la competencia matemática con la calculadora gráfica 3

LA COMPETENCIA MATEMÁTICA CON LA
CALCULADORA GRÁFICA
3. CÁLCULO
Sucesiones, Límites, Derivadas e Integrales
MAURICIO CONTRERAS
ONOFRE MONZÓ
La competencia matemática con la calculadora gráfica
Febrero 2014
1. COMPLEMENTOS DE FUNCIONES
Introducción
Con la CP – 400 podemos obtener fácilmente gráficas de funciones definidas a intervalos. La CP – 400
dispone también de la posibilidad de realizar gráficos dinámicos, así como una aplicación específica para
estudiar las sucesiones.
En esta sesión estudiaremos, en particular, las funciones definidas a trozos, las sucesiones y el cálculo de
límites de funciones, la optimización mediante el cálculo de derivadas y el cálculo de integrales y sus
aplicaciones.
1. Representación gráfica de funciones
FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
Existen situaciones reales en las que no hay una única expresión para todo el problema y la función que las
modeliza hay que definirla por intervalos. Veamos algún ejemplo:
Cambio de estado
La gráfica muestra la cantidad de calor (en calorías), capaz de transmitir un gramo de hielo o agua a
diferentes temperaturas (en ºC).
Calorías

10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
ºC
a) ¿Cuántas calorías puede transmitir 1 g. de hielo a -10ºC? ¿Y a -5ºC?
b) ¿Y 1g. de agua a 20ºC? ¿Y a 10ºC? ¿y a 7ºC?
c) Expresa mediante una fórmula la función anterior.
Las preguntas a) y b) llevan a la conclusión de que la función que modeliza el problema está compuesta por
dos rectas, una hasta el 0 y otra a partir de él.
La primera recta pasa por los puntos (10, 1) y (0, 2) con lo que, utilizando la ecuación de la recta en forma
punto-pendiente (y = y0 +m(xx0)), tendremos que: y  2 
Y
x
(2  1)
( x  0) , es decir, y  2 
10
(0  (10))
la segunda recta, que pasa por los puntos (0, 8) y (20, 9) será: y  8 
y 8
(9  8)
( x  0) , es decir,
(20  0)
2  X / 10, ______si _ x  0
x
. Con lo que la función buscada es: Y  
20
8  ( x  8) / 10, __ si _ x  0
SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO
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Para dibujarla en la CP – 400 tenemos que definirla como dos funciones, una por cada trozo, y, además,
hemos de hacer uso del comando  que está situado en el teclado virtual math3. Este comando permite
restringir el rango de valores de la variable que aparece en la fórmula de la función. La sintaxis es sencilla:
se escribe la fórmula de la función a la izquierda de la barra  y la condición de restricción a la derecha.
Ajustamos la ventana en
a los datos del problema y visualizamos la gráfica pulsando
Si quisiéramos representar una función en la que una de sus partes estuviera definida como:
f(x)=x+1
5 ≤ x ≤ 5
debemos definir la función como antes se ha señalado, pero esta vez, utilizaremos dos veces el comando ,
una para cada extremo del intervalo, ya que dicho comando solamente admite una condición de restricción:
1,
si 0  x  1
2x,

En las siguientes figuras se muestran las gráficas de y  
e y  x,
2

x,
si
1

x

2

1,

SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO
si x  1
si  1  x  1
si x  1
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2. Actividades
1) Dibuja en los mismos ejes de coordenadas las gráficas de las funciones y=x1, y= x 2  1 , y= x 3  1 ,
y= x 4  1. Dibuja también las gráficas de las funciones recíprocas: y 
1
1
, y
, ... Comenta
2
x 1
x 1
los resultados obtenidos.
2) Comprueba con la CP – 400 que las funciones y  e x , y  ln(x) son funciones inversas.
SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO
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3) La cantidad de carbono decrece exponencialmente. Empezando con una cierta cantidad q de carbono
C14, la vida media es de 5730 años. Después de un número x de años, la cantidad de carbono que
 1
queda es: y  q   
2
x 5730
. Si se sabe la cantidad de carbono actual y, para saber la edad de ese
carbono, hay que calcular x, es decir, hay que resolver una ecuación exponencial. Representa
gráficamente la función anterior tomando q=500. Establece los siguientes valores para la ventana de
visualización:
xmin=0
xmax=50000 xscale=10000
xdot=0.1
ymax=100
yscale=10
ymin=30
Utiliza la función de Trazo para analizar como cambia la cantidad de carbono a lo largo del tiempo.
2. SUCESIONES
1. Análisis de sucesiones con la CP – 400
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SUCESIONES CON LA CALCULADORA GRÁFICA
CP-400
(1)
Ventana editor de secuencias
(2)
Ventana de tablas
a) Título
b) Nombres de columna
Al abrir el menú de secuencias en la calculadora CP-400 obtenemos una pantalla como la de la figura, en la
que podemos apreciar dos ventanas, la del editor de secuencias y la de tablas. En el menú Edit dispones de
los comandos habituales (Cortar, Copiar, Pegar, Seleccionar todo, Borrar todo). Los comandos Cortar,
Copiar y Seleccionar sólo están disponibles cuando las ventanas de gráficos y de tablas están activas.
Para introducir una expresión en la ventana del editor de secuencias, sitúa el cursor en la posición (a), (b) o
(c), toca el menú [n, an] y luego toca el término deseado. En la hoja Explicita también puedes usar la [n] de
la lista.
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a) Crea
una
tabla
de
secuencia
para
la
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sucesión
recursiva
de
Fibonacci
dada
por
an2  an1  an, a1  1, a2  1 .
Si la aplicación Secuencias está funcionando, selecciona el comando
/ Ventana / Editor secuencias.
Toca la lengüeta [Recursiva] e indica el tipo de recursión, seleccionado Tipo / Tipo a n2 a1 , a 2 . Toca
el cuadro de entrada a la derecha de a n 2 y escribe la expresión recursiva: [ n, a n ] [ a n 1 ] [+] [ n, a n ]
[ a n ] [EXE]. Introduce el valor inicial: [1] [EXE] [1] [EXE].
Toca el botón
. Aparece el cuadro de diálogo de entrada de tablas de secuencia. Introduce el
rango de valores para n como se muestra a continuación: Inicio=1, Fin=5. Toca el botón [Acep.] para
confirmar.
Toca el botón [] junto a
y selecciona
para crear la tabla. Selecciona el comando /
Formato gráfico y en la ficha [Especial ] selecciona “4 Celdas” de la lista desplegable Celdas ancho de
fila.
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b) Construye una tabla para cada una de las siguientes sucesiones: a n= n 2  2 , an+1=an+3 con primer
término 1, an+1=3.an con primer término 2, an+1=2.an+2 con primer término 3.
En el primer caso, una vez introducida la fórmula explícita, hay que pulsar el botón de tabla que
aparece en la solapa [Recursiva].
En la segunda sucesión hay que introducir su expresión en la solapa [Recursiva], usando el botón
y pulsar el botón de tabla. Para visualizar en la tabla las diferencias entre cada dos términos, hay que
pulsar el botón
. Vemos que dichas diferencias son constantes, es decir, se trata de una sucesión
aritmética de diferencia d=3.
Para ver los cocientes entre dos términos consecutivos de la tercera sucesión, hay que pulsar el botón
, una vez introducida su expresión recursiva. Al visualizar la tabla, vemos que es una sucesión
geométrica de razón r=3.
En la cuarta sucesión, una vez introducida la expresiuón recursiva, hemos de pulsar el botón
para obtener dos columnas: una con las diferencias entre cada dos términos consecutivos y otra con
los cocientes entre las diferencias anteriores. De esta manera vemos que esos cocientes son
constantes, iguales a 2. Una sucesión de este tipo se dice que es aritmético-geométrica.
Las siguientes pantallas muestran los resultados finales en cada sucesión.
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
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Representa gráficamente la sucesión recurrente: an1  2an  1.
Si la aplicación Secuencias está activa, selecciona el comando / Ventana / Editor Secuencias. Toca la
pestaña [Recursiva] e indica el tipo de recursión seleccionando Tipo / Tipo a n1 a1 . Escribe la
expresión recursiva. Toca el cuadro situado a la derecha de a n 1 . Utiliza los procedimientos estudiados
anteriormente para introducir: [2] [ n, a n ][ a n ] [+] [1] [EXE]. Introduce el valor inicial: [1] [EXE].
Selecciona el comando / Ventana Vis. Aparece el cuadro de diálogo de la ventana de visualización.
Configura las opciones de la ventana de visualización con los valores:
xmin=0
ymin=15
xmax=6
ymax=65
xscale=1
yscale=5
Toca el botón [Acep.] para confirmar. Toca el botón [] junto a
tabla. Selecciona el comando
y selecciona
para crear la
/ Formato gráfico / Especial y selecciona “4 Celdas” de la lista
desplegable Celdas ancho de fila. Para representar un gráfico continuo, toca el botón
. Para
representar un gráfico de marcadores, toca el botón
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GRÁFICOS VINCULADOS
Sitúa el cursor en la celda de la primera fila en la columna [ a n ] de la tabla. Con la ventana de tablas activa,
selecciona el comando  / Vínculo. Observa que el puntero de la ventana de gráficos salta automáticamente
al punto indicado por las coordenadas en la celda seleccionada de la tabla. Selecciona la celda de la cuarta
fila en la columna [ a n ] de la tabla y observa que el cursor de la ventana de gráficos se mueve hasta la
posición indicada.
GRÁFICOS DE TELA DE ARAÑA
Otro modo de visualizar las gráficas de las sucesiones recursivas es el llamado diagrama de tela de araña.
Veámoslo para el caso de la denominada “ecuación logística” y  k  x  1  x  , que corresponde a una
parábola.
Normalmente el crecimiento o decrecimiento de una población en un determinado período de tiempo está
condicionado por la situación anterior: una superpoblación puede significar escasez de alimentos lo que
llevará a disminuir su número por ejemplo, mientras que disponer de un amplio territorio sin competencia
favorecerá un aumento de la población.
La función logística proporciona un modelo más adecuado de crecimiento que el exponencial. Se trata de
una función recursiva que tiene como fórmula: Xt+1=K.Xt.(1 - Xt) , donde:

K [0, 4] es una constante que dependerá de distintos factores en cada población y que será un valor
decisivo en su evolución.

T representa el tiempo que irá tomando los valores 0, 1, 2,…

X [0, 1] es la variable población. Cuando X llega a tomar el valor 0 significará la extinción de la
población y el valor 1 el máximo desarrollo.

Xt representa la situación en el instante t y este valor determinará la situación de la población en el
siguiente período.
Los dos factores variables que intervienen en el cálculo de X t+1 están relacionados y si uno de ellos aumenta
el otro se aproxima más a cero.
Este modelo lo introdujo el biólogo Robert May, en 1976, al estudiar una población de insectos en un
ecosistema cerrado.
Por ejemplo, las siguientes pantallas se han obtenido representando la función recursiva a n+1=k.an.(1-an),
para distintos valores de K y distintos valores de a n.
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K=0.9; X0=0.9
Converge a 0; la población se estingue
K=2.1; X0=0.9
Converge a un atractor; la población se estabiliza
K=2.5; X0=0.7
Converge a un atractor; la población se estabiliza
K=3.2; X0=0.1
Ciclo doble; la población fluctúa entre dos valores
K=3.9; X0=0.4
Ciclos de diversos períodos; caos
K=4; X0=0.4
Ciclos de diversos períodos; caos
Para hacer las gráficas con la CP – 400 hay que introducir la fórmula recursiva correspondiente y pulsar el
botón
. Se muestra en pantalla la gráfica de la parábola logística correspondiente, junto con la recta de
ecuación y=x (bisectriz del primer y tercer cuadrante). Es posible que tengas que modificar las dimensiones
de la ventana de visualización, botón
, para ver el vértice de la parábola. Para visualizar la órbita
correspondiente a un valor inicial X0 hay que pulsar la tecla [EXE] repetidas veces.
Para 0  K  1 la población está condenada a la extinción.
Para 1  K  3 la población se estabiliza.
Cuando K supera el valor 3 aparecen situaciones muy diferentes (varios atractores, caos), como puedes
comprobar en los ejemplos anteriores.
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TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN RECURRENTE

Calcula el término general de la sucesión recurrente an1  a n  2 , a1  1.
Si la aplicación Secuencias está activa, selecciona el comando
/ Ventana / Editor Secuencias.
Selecciona el comando / Ventana/ Ejecutar Secuencia. En la siguiente ventana, elige el comando Calc
/ rSolve. Escribe la expresión: [ n, a n ] [ a n 1 ] [=] [ n, a n ] [ a n ] [+] [2] [ , ] [ a0 , a1 ][ a1 ] [=] [1] [)] . Toca el
botón [EXE] para confirmar. Aparece en pantalla el término general de la sucesión.
SUMA DE UNA SUCESIÓN

Calcula la suma de la sucesión de término general a nE  n 2  2n  1 en el rango 2  n  10.
Si la aplicación Secuencias está activa, selecciona el comando
/ Ventana / Editor Secuencias.
Selecciona el comando / Ventana / Ejecutar Secuencia. En la siguiente ventana, elige el comando
Calc / . Escribe la expresión: [ n, a n ] [n] [] [2] [+] [2] [ n, a n ] [n] [] [1] [ , ] y en la plantilla de subíndices
teclea [ n, a n ][n] [2] (límite inferior) y [1] [0] (límite superior) . Toca el botón [EXE] para confirmar. Se
muestra el resultado en la pantalla.
2. Actividades
1) Utiliza la calculadora gráfica CP-400 para hallar en forma explícita el término general de las siguientes
sucesiones recurrentes:
a) an+1=2.an+3, a1=1
d) an=2.an-1, a1=3
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b) an+2=an+1+an, a1=0, a2=1
e) an=an-1+n, a1=10
c) an=an-1+3, a1=5
f) an=2.an-1-1, a1=4
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2) Utiliza la calculadora gráfica CP-400 para hallar los 15 primeros términos de cada una de las
sucesiones anteriores y represéntalas gráficamente.
3) Escribe una definición recursiva de cada una de las siguientes sucesiones y comprueba la validez de tu
definición con la calculadora gráfica CP-400:
a) 9, 13, 17, 21, …
c) 1, 3, 7, 15, 31, 63, …
e) 1, 3, 6, 10, 15, 21, …
b) 81, 27, 9, 3, …
d) 1, 3, 7, 13, 21, 31, …
f) 1, 2, 6, 24, 120, 720, …
4) Intenta hallar de forma explícita el término general de cada una de las sucesiones anteriores. Ayúdate
de la calculadora gráfica CP-400.
5) Utiliza la aplicación Secuencias de la CP-400 para hallar las sumas de las siguientes sucesiones:
a) 1+2+4+8+16+…+1024
b) 1+2+3+4+…+998+999+1000
c) 3+7+11+15+ … +99
d) 1 
e)
1 1
1
1
 2  3  ...  25
3 3
3
3
1 1 1
 
 ...
3 9 27
1 1
1
1
f)  2  3  ...  25
2 2
2
2
6) Dibuja un triángulo equilátero. Repite sucesivas veces: divide cada uno de los lados del polígono en tres
segmentos iguales y en el tercio central añade un triángulo equilátero que tenga como lado dicho
segmento. Adosa un triángulo en cada uno de los lados del polígono y repite el mismo proceso en cada
uno de los lados.
a) Si la longitud del lado de la figura de partida es 1 unidad, ¿cuál es la longitud del lado l n de la figura
2, 3, …, n? ¿Qué ocurrirá con ln cuando n sea muy grande?
b) ¿Cuál es el perímetro de la figura 1, 2, 3, …, n? ¿Qué ocurrirá con el perímetro P n cuando n vaya
aumentando?
c) ¿Podrías decir a qué se va aproximando el área de la figura cuando sea cada vez más grande?
d) Si tienes en cuenta la tendencia de la longitud del lado, el perímetro y el área, ¿no consideras que
se produce una situación “extraña”?
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3. CÁLCULO DE LÍMITES, DERIVADAS E INTEGRALES
Introducción
El sistema CAS de la calculadora CP – 400 permite obtener algebraicamente límites, derivadas e integrales
de funciones (además de sumatorios, productos, series de Taylor, etc). De esta forma es posible practicar
técnicas algebraicas de cálculo de límites, derivadas e integrales y se facilita el estudio de las aplicaciones
del cálculo diferencial e integral a otras materias. En particular a la Física y la Economía, ya que dispone de
una opción que permite resolver ecuaciones diferenciales.
En esta sesión estudiaremos algunas posibilidades de la CP – 400 para tratar los contenidos habituales de
Cálculo diferencial e integral que aparecen en Bachillerato, como por ejemplo, el cálculo de áreas y la
resolución de problemas por integración.
1. Cálculo de límites, derivadas e integrales
ANALIZANDO FUNCIONES CON LA APLICACIÓN PRINCIPAL

En el menú de aplicaciones, toca el botón

Selecciona el menú Acción / Cálculo. Observa que este menú contiene comandos que permiten realizar
operaciones propias del Cálculo Diferencial e Integral.

Cálculo de límites
para iniciar la aplicación Principal.
El comando Acción / Cálculo / lim determina límites de funciones. Su sintaxis es:
Lim(Exp/List, variable, punto [, dirección] [)].
La dirección puede ser: 1 si es límite por la derecha y 1 si es límite por la izquierda.

Calcula lim e  x .

Calcula lim 
x 
x 0
1
(límite por la derecha).
x
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
Calcula lim 
x 0
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1
(límite por la izquierda).
x
También puedes calcular límites utilizando el teclado virtual. Para ello debes tocar con el lápiz táctil los
distintos elementos que componen la expresión del límite, seleccionándolos de alguno de los teclados
[Math1], [Math2], [Math3], etc.

Calcula lim
x 1
Utilizando el botón

x2  1
x3 2
.
del teclado [Math2] obtenemos:
Cálculo de derivadas
El comando Acción / Cálculo / diff halla la derivada de una función con respecto a la variable. Su sintaxis es:
diff(Exp/List [, variable] [)]
diff(Exp/List, variable, orden [, a] [)]
a es el punto en el que se desea hallar la derivada.
En el primer caso, orden = 1. La variable por defecto es x, cuando se omite la variable.
6

Calcula la derivada de y=x con respecto a x.

Halla la derivada segunda de y=x con respecto a x.

Halla la derivada segunda de y=x con respecto a x en el punto x=3.
6
SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO
6
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También puedes utilizar el teclado virtual [Math2] para calcular derivadas. Para ello debes utilizar el botón
de dicho teclado.
3

Calcula la derivada de la función y=sen xx .

Cálculo de máximos y mínimos
El comando Acción / Cálculo / fMin/fMax / fMin devuelve el mínimo de una función en un intervalo. La
sintaxis es:
fMin(Exp [, variable] [)]
fMin(Exp, variable, valor inicial, valor final [, n] [)]

x es el valor por defecto cuando se omite la variable.

En el primer caso, el intervalo por defecto es ], +[.

n es la precisión de cálculo, que está comprendida entre 1 y 9.

Si se indica un valor de n, el comando devuelve un valor aproximado del mínimo.

Halla el punto mínimo absoluto de la función y=x 1.

Halla el punto mínimo de la función y= x 1 en el intervalo [2, 3].

Halla el punto mínimo de la función y=x 6x en el intervalo [2, 2] con una precisión n=1.
2
2
3
El comando Acción / Cálculo / fMin/fMax / fMax devuelve el máximo de una función en un intervalo. La
sintaxis es:
fMin(Exp [, variable] [)]
fMin(Exp, variable, valor inicial, valor final [, n] [)]

x es el valor por defecto cuando se omite la variable.

En el primer caso, el intervalo por defecto es ], +[.

n es la precisión de cálculo, que está comprendida entre 1 y 9.

Si se indica un valor de n, el comando devuelve un valor aproximado del mínimo.
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2

Halla el punto máximo absoluto de la función y=x 1.

Halla el punto máximo de la función y= x 1 en el intervalo [2, 5].

Halla el punto máximo de la función y=x 6x en el intervalo [2, 2] con una precisión n=1.

Recta tangente
2
3
El comando Acción / Cálculo / line / tanLine devuelve el lado derecho de la ecuación de la recta tangente a
la curva en el punto indicado. La sintaxis es la siguiente:
tanLini(Exp/List, variable, valor de la variable en el punto de tangencia [)]

Halla la ecuación de la recta tangente a la función y  x 3 en x=2.

Recta normal
El comando Acción / Cálculo / line / normal devuelve el lado derecho de la ecuación de la recta normal a la
curva en el punto indicado. La sintaxis es la siguiente:
Normal(Exp/List, variable, valor de la variable en el punto de la normal [)]

Halla la ecuación de la recta normal a la función y  x 3 en x=2.

Fórmula de Taylor
El comando Acción / Advanced / taylor calcula un polinomio de Taylor de una función con respecto a una
variable. La sintaxis es:
taylor(Exp/List, variable, orden, [, punto central] [)]
El valor por defecto de punto central es 0.

Halla un polinomio de Taylor de 5º orden de sin(x) en el punto x=0, en el modo de radianes.
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
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Cálculo de integrales
El comando Acción / Cálculo /  halla la integral de una función respecto de una variable. La sintaxis es:
(Exp/List, [variable] [)]
(Exp/List, variable, límite inferior, límite superior [, tol] [)]

x es la variable por defecto.

tol representa el intervalo de error permitido.

Si se indica un valor para tol, el comando devuelve un valor aproximado.

Calcula
 x dx .

Calcula
1

Calcula
1
2
1
dx .
x  ln(x)
5
(2x 2  3x  4) dx con un error admisible de 1E4.
También puedes utilizar el teclado virtual [Math2] para calcular integrales. Para ello debes utilizar el botón
de dicho teclado.

Calcula la integral definida
1
2
x
 0 1  x  e dx .
a) Con la pantalla Principal activa, pulsa [KEYBOARD] para ver el teclado virtual. Toca la etiqueta
[Math2] y luego toca el botón
integral.
. El cursor aparece en el cuadro a la derecha del símbolo de
b) Introduce la expresión que va a la derecha del signo integral, ayudándote de los símbolos
matemáticos del teclado virtual.
c) Toca con el lápiz táctil para mover el cursor a los otros cuadros de entrada para introducir los límites
de integración. En el cuadro inferior introduce [0]. En el cuadro superior, introduce [1].
d) Toca el botón [Ejec.] para obtener el resultado.

Longitud de arco de una curva
El comando Acción / Cálculo / line/ arcLen devuelve la longitud de arco de una función desde un valor inicial
hasta un valor final con respecto a una variable. La sintaxis es:
arcLen(Exp/List, variable, valor inicial, valor final [)]
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
Calcula la longitud de arco de la curva y  x 3 2 desde x=0 hasta x=4.

Cálculo de sumatorios
El comando Acción / Cálculo /  evalúa una expresión para un intervalo de valores discretos y luego calcula
la suma. La sintaxis es:
(Exp/List, variable, valor inferior, valor superior [)]

2
Calcula la suma de x cuando x varía entre x=1 y x=10.
También podemos calcular sumatorios utilizando el teclado virtual [Math2]. Para ello hemos de usar el botón
de dicho teclado.
n

Calcula la suma
k2 .
k 1
a) Con la ventana Principal activa, pulsa [KEYBOARD] para que se muestre el teclado virtual. Toca la
etiqueta [Math2] y luego toca el botón
.
b) En el cuadro de entrada debajo de , introduce k=1: [VAR] [k] [] [1].
c) Toca con el lápiz táctil para mover el cursor al cuadros superior, e introduce la información
requerida, tocando [n].
d) Introduce la expresión a la derecha de : [k] [ ] [x] [2].
e) Pulsa [EXE] para obtener el resultado.
ANALIZANDO FUNCIONES CON LA APLICACIÓN GRÁFICOS Y TABLAS

Visualización de la función y su derivada mediante tablas y gráficos

Genera una tabla numérica para la función y  3x 2  2 y para su derivada, y’, tomando valores de x en
el intervalo [3, 1], con un incremento igual a 1.
a) Si es necesario, en el menú de aplicaciones, toca el botón
.
b) En la línea y1 del editor de gráficos introduce la función y  3x 2  2 y selecciona su cuadro de
marcación.
c) Toca el botón
. Aparece el cuadro de diálogo de entrada de tablas. Introduce los siguientes
valores de x: Inicio=3, Fin=3, Paso=1 y toca el botón [Acep.].
d) Selecciona el comando / Formato de gráfico. En el cuadro de diálogo selecciona el cuadro de
marcación Derivada / Pendiente.
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Pág. 17
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Febrero 2014
e) Toca el botón
. Se genera la tabla numérica de la función y de su derivada y se muestra el
resultado en la ventana de tablas.
f)
Toca el botón
para dibujar la gráfica de la función. La gráfica de la derivada no es posible
obtenerla, pero puedes hacer lo siguiente:
g) Con la ventana del gráfico activa, selecciona el comando Análisis / Trazo. Observa que aparece un
cursor sobre la gráfica y se muestra en pantalla el valor de la derivada.
h) Pulsa las teclas de cursor [] [] o toca las flechas [] [] del controlador del gráfico y verás
como el cursor recorre la gráfica, mientras en pantalla se muestran las coordenadas del cursor y el
valor de la derivada.
i)
Para finalizar la operación de trazo, toca el botón
junto a la pantalla. Si quieres visualizar
simultáneamente las gráficas de la función y de su derivada, en la línea y2 del editor de gráficos
introduce la fórmula de la derivada, de la siguiente forma:
j)
Sitúa el cursor en la línea y2 y pulsa [KEYBOARD] para visualizar el teclado virtual. Toca el botón
[Math2].Toca el botón
.
k) A continuación, selecciona con el lápiz táctil la expresión a la derecha de la línea y1 y arrastra dicha
expresión a la línea y2, a continuación del paréntesis. En y2 selecciona el cuadro de marcación de
la expresión
l)


d
3x 2  2 .
dx
Con la ventana del editor de gráficos activa, toca el botón
simultáneamente las gráficas de la función y su derivada.
SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO
y verás cómo se dibujan
Pág. 18
La competencia matemática con la calculadora gráfica
Febrero 2014

Estudio de una función mediante una tabla resumen.

Genera una tabla resumen de la función y  x 3  3x donde se muestre el signo de la primera y la
segunda derivada. Utiliza dicha tabla para describir el comportamiento de la función.
a) Selecciona el comando
selecciona 4 celdas.
/ Formato gráfico / Especial. En la lista desplegable Celdas ancho de fila,
b) Introduce la fórmula de la función y  x 3  3x en la ventana del editor de gráficos. Selecciona
solamente el cuadro de marcación de esta función y pulsa [EXE].
c) Con la ventana del editor de gráficos activa, toca el botón
para abrir el cuadro de diálogo de la
ventana de visualización. Selecciona el comando Memoria / Auto. Así, todos los valores del cuadro
de visualización pasan a “Auto”.
d) Toca el botón [Acep.]. Toca el botón
. Observa que se genera la tabla resumen. Puedes
desplazar dicha tabla con ayuda de la barra de desplazamiento, para ver su contenido.
e) Toca el botón
para representar gráficamente la función. Compara la gráfica con los resultados
de la tabla resumen y extrae conclusiones respecto del crecimiento, decrecimiento, extremos,
curvatura, etc.
f)
Cierra la ventana de gráficos, seleccionando
g) Toca el botón
/ Cerrar. Activa la ventana del editor de gráficos.
e indica los valores de x para la tabla resumen, indicando xmin=0,5 y xmax=2.
SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO
Pág. 19
La competencia matemática con la calculadora gráfica
h) Toca el botón [Acep.] y toca el botón
indicado anteriormente.
Febrero 2014
. Se genera otra tabla resumen, de acuerdo con el rango
i)
Toca el botón
para dibujar la gráfica y compárala con la obtenida en el apartado (e).
j)
Cierra la ventana de gráficos, seleccionando
/ Cerrar. Activa la ventana del editor de gráficos.
k) Selecciona el comando
/ Formato gráfico / Especial. En la lista desplegable Tabla resumen
selecciona list1. En la lista desplegable Celdas ancho de fila, selecciona “4 celdas”.
l)
Selecciona el comando
x=2, 1, 0, 1, 2.
/ Ventana / Editor de listas. Introduce en la list1 los siguientes valores de
m) Toca la ventana del editor de gráficos para que sea la ventana activa. Con el botón
los valores de la lista: Principio= -1, Fin=2, Paso=1. Genera una tabla con el botón
introduce
.
n) Toca el botón
anteriormente.
. Se genera otra tabla resumen, de acuerdo con la lista de valores de x indicados
o) Toca el botón
para dibujar la gráfica y compárala con las anteriores.
SEMCV AL-KHWARIZMI / CASIO
Pág. 20
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
El menú Resolución G.

Con la ventana de gráficos activa, selecciona el comando Análisis / Resolución G. Con este menú
podemos analizar funciones. Los comandos más importantes son:
Comando
Raíz
Máx.
Mín.
Corte y
Intersección
Cal y
Cal X
dx
Inflexión
Distancia
2
f(x) dx

Acción
Calcula la raíz (intersección con OX) de una función
Halla el valor máximo de la función
Halla el valor mínimo de la función
Halla la intersección con OY
Calcula el punto de corte entre dos gráficas
Halla la ordenada y para una x dada
Halla la abcisa x para una y dada
Calcula la integral definida en un determinado intervalo
Obtiene los punto de inflexión de la función
Calcula la distancia entre dos puntos
Calcula el volumen de un sólido de revolución
Representa gráficamente la función y  xx  2x  2 y halla su raíz (corte con OX).
a) Abre el cuadro de diálogo de la ventana de visualización y configúralo con siguientes valores:
xmin=7.7
ymin=3.8
xmax=7.7
ymax=3.8
xscale=1
yscale=1
b) En la línea y1 del editor de gráficos, introduce la función y  xx  2x  2 y selecciona solamente
el cuadro de marcación. Toca el botón
para representarla gráficamente.
c) Toca el botón
o selecciona el comando Análisis / Resolución G. / Raíz. Aparece “Raíz” en la
ventana de gráficos y el cursor se sitúa en la primera solución. Las coordenadas del punto de corte
con OX se muestran en la ventana.
d) Para obtener más raíces, pulsa las teclas [] [] o toca las flechas [] [] del controlador gráfico.
El cursor se desplaza al siguiente punto de corte con OX.

Para la misma función y  xx  2x  2 , determina la coordenada y cuando x=0.5 y la coordenada x
cuando y=2.2.
a) Selecciona el comando Análisis / Resolución G. / x-Cal/y-Cal / y-Cal. Aparece un cuadro de diálogo
para indicar el valor de x.
b) Introduce x=0.5 y toca el botón [Acep.]. El cursor se desplaza a la posición en la que x=0,5 y se
muestran las coordenadas de dicha posición.
c) Selecciona el comando Análisis / Resolución G. / x-Cal/y-Cal / x-Cal. Aparece un cuadro de diálogo
para indicar el valor de y.
d) Introduce y=2.2 y toca el botón [Acep.]. El cursor se desplaza a la posición en que y=2,2 y se
muestran las coordenadas en pantalla.
e) Para obtener el siguiente punto en el que y=2.2, pulsa la tecla []. Si pulsas [] el cursor vuelve al
punto anterior.
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Pág. 21
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
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Determina la integral definida de la función y  xx  2x  2 en el intervalo 1x2.
a) Abre el cuadro de diálogo de la ventana de visualización y configúralo con los valores:
xmin=7.7
ymin=4
xmax=7.7
ymax=4
xscale=1
yscale=1
b) En el editor de gráficos selecciona solamente el cuadro de marcación de la función
y  xx  2x  2 y toca el botón
para dibujar la gráfica.
c) Selecciona el comando Análisis / Resolución G. / Integral / dx. Aparece “Inferior” en la ventana de
gráficos.
d) Pulsa [1]. Aparece un cuadro de diálogo para introducir un intervalo para valores de x. Comprueba
que el límite inferior del eje OX es 1.
e) Toca el cuadro de entrada Superior e introduce 2 como límite superior de integración.
f)

Toca el botón [Acep.]. Se sombrea el área en la ventana de gráficos y aparece el valor de la integral
en el cuadro de mensajes.
Representa gráficamente la función y 
1 2
x  x  2  x  2 y halla sus valores mínimos y máximos.
2
a) Comprueba que las dimensiones de la ventana de visualización son: xmin=7.7, xmax=7.7,
xscale=1, ymin=3.8, ymax=3.8, yscale=1.
b) En la línea y1 del editor de gráficos, introduce la función y 
solamente su cuadro de marcación. Toca el botón
1 2
x  x  2  x  2 y selecciona
2
para dibujar la gráfica.
c) Toca el botón
o selecciona el comando Análisis / Resolución G. / Min. Aparece “Min” en la
ventana de gráficos y el cursor se sitúa en el primer mínimo. Las coordenadas de dicho punto se
muestran en pantalla.
d) Para hallar otros mínimos, pulsa las teclas [] [] o toca las flechas [] [] del controlador gráfico.
El cursor se desplaza al siguiente mínimo.
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e) Con la ventana de gráficos activa, toca el botón
o selecciona el comando Análisis / Resolución
G. / Máx. Aparece “Max” en la ventana de gráficos y el cursor se sitúa en el máximo. Las
coordenadas de dicho punto se muestran en pantalla.
f)

Para hallar otros máximos, pulsa las teclas [] [] o toca las flechas [] [] del controlador
gráfico. El cursor se desplaza al siguiente máximo, si existe.
2
Representa gráficamente las funciones y=x+1 e y=x y halla su punto de intersección.
a) Abre el cuadro de diálogo de la ventana de visualización y configúralo con los siguientes valores:
xmin=5
ymin=5
xmax=5
ymax=5
xscale=1
yscale=2
b) En las líneas y1 e y2 del editor de gráficos, introduce las funciones y  x  1, y  x 2 y selecciona
únicamente sus cuadros de marcación. Toca el botón
para dibujar las gráficas.
c) Selecciona el comando Análisis / Resolución G. / Intersección. Aparece “Intersección” en pantalla y
el cursor se sitúa en el primer punto de corte. Las coordenadas del cursor se muestran en la
ventana.
d) Para obtener otros puntos de corte, pulsa las teclas [] [] o toca las flechas [] [] del
controlador gráfico. El cursor se desplaza al siguiente punto de corte.

Determina la distancia entre dos puntos.
a) Toca la ventana de gráficos para que sea la ventana activa.
b) Selecciona el comando Análisis / Resolución G. / Distancia. Aparece “Distancia” en la ventana de
gráficos.
c) Toca el primer punto en la ventana de gráficos. Aparece un cursor de posición en dicho punto.
d) Toca el segundo punto en la ventana de gráficos. Aparece un cursor en el segundo punto y la
distancia entre dichos puntos se muestra en el cuadro de mensajes.
e) Selecciona de nuevo el comando Análisis / Resolución G. / Distancia. Aparece “Distancia” en la
ventana de gráficos.
f)
Pulsa [2]. Aparece un cuadro de diálogo en el que debes introducir las coordenadas de los dos
puntos. Escribe x1=2, y1=3, x2=3, y2=4.
g) Toca el botón [Acep.] y observa el resultado en el cuadro de mensajes.
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
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Representa gráficamente la función y  x 3  1 y determina su punto de inflexión.
a) Abre el cuadro de diálogo de la ventana de visualización y configúralo con los siguientes valores:
xmin=4.9
ymin=3.3
xmax=4.9
ymax=1.8
xscale=1
yscale=1
b) En la línea y1 del editor de gráficos, introduce la función y  x 3  1 y selecciona únicamente su
cuadro de marcación. Toca el botón
para representarla gráficamente.
c) Selecciona el comando Análisis / Resolución G. / Inflexión. Aparece “Inflexión” en la ventana de
gráficos, con el cursor situado en el punto de inflexión y se muestran las coordenadas de dicho
punto.
d) Si la función tuviera más puntos de inflexión, utiliza las teclas [] [] o toca las flechas [] [] del
controlador gráfico. El cursor se desplaza al siguiente punto de inflexión.

Representa gráficamente la función y  x 2  x  2 y calcula el volumen del sólido de revolución
generado al girar el segmento de dicha función comprendido entre x=1 y x=2 alrededor del eje OX.
Calcula también el volumen al considerar el intervalo entre x=1 y x=3.
a) Abre el cuadro de diálogo de la ventana de visualización y configúralo con los siguientes valores:
xmin=7.7
ymin=3.8
xmax=7.7
ymax=3.8
xscale=1
yscale=1
b) En la línea y1 del editor de gráficos introduce la función y  x 2  x  2 y selecciona solamente su
cuadro de marcación. Toca el botón
para dibujar su gráfica.
2
c) Selecciona el comando Análisis / Resolución G. / f(x) dx. Aparece un cursor en cruz sobre el
gráfico y la palabra “Inferior” en la esquina inferior derecha de la ventana de gráficos.
d) Pulsa [1]. Aparece un cuadro de diálogo para introducir el intervalo de integración. En él aparece el
extremo inferior = 1.
e) Toca el cuadro de entrada Superior e introduce 2 como límite superior.
f)
Toca el botón [Acep.]. aparece la silueta del sólido de revolución en la ventana de gráficos y su
volumen aparece en el cuadro de mensajes.
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La competencia matemática con la calculadora gráfica
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2
g) Selecciona de nuevo el comando Análisis / Resolución G. / f(x) dx. Aparece en pantalla la palabra
“Inferior” y el cursor en forma de cruz.
h) Utiliza las teclas de cursor [] [] o toca las flechas [] [] del controlador gráfico para mover el
cursor hasta la posición x=1 y pulsa [EXE]. Aparece en pantalla la palabra “Superior”.
i)
Usa las teclas de cursor [] [] o toca las flechas [] [] del controlador gráfico para mover el
cursor hasta la posición x=3 y pulsa [EXE]. Observa cómo se calcula el volumen entre x=1 y x=3.
2. Actividades
1) Representa gráficamente la función f(x)

5x  2
2x 3  1
x 
x 
La gráfica sugiere que lim f(x)= lim f(x)=0. En efecto, compruébalo con el teclado [Math2].
x 
x 
2) Representa gráficamente la función f(x) 

y calcula lim f(x) y lim f(x) .
La gráfica sugiere que lim
x0
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sin x
sin x
y calcula lim
.
x
x0 x
sin x
=1. Compruébalo utilizando las opciones del teclado virtual.
x
Pág. 25
La competencia matemática con la calculadora gráfica
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3) Investiga con la CP – 400 cuáles son los valores de los siguientes límites: a)

n 
2
constante); b) lim  n  n  n  ; c) lim 1 
n


n
sin k x
(k
x0 x
lim
n
1
x

 ; d) lim 1   .
n


n
 n
4) Utiliza la CP – 400 para calcular las siguientes sumas:
a) 1 + 2 + 3 + ... + 100;
b) 1 
1 1 1
1
   ...  n  ...
2 4 8
2
5) Utilizando límites, comprueba que la derivada de la función seno es la función coseno.
6) ¿Tiene la curva y  x 4  2x 2  2 tangentes horizontales?. Para averiguarlo, utiliza la CP – 400 para
resolver la ecuación
dy
 0 . Después comprueba el resultado dibujando la gráfica de la función.
dx
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Pág. 26
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7) Busca dos números cuya suma sea 30 y cuyo producto sea lo mayor posible.

Si un número es x, el otro es 30x. El producto de los dos es: y=x(30x)=30x x 2 . La gráfica de
esta función sugiere que hay un máximo para x=15. Resuelve la ecuación
dy
 0 y halla la
dx
segunda derivada para confirmar este resultado.
8) En un semicírculo de radio 2 podemos inscribir rectángulos de diferentes lados. Halla las dimensiones
del rectángulo inscrito de máxima área. Comprueba el resultado gráficamente.

Tomando un sistema de coordenadas como indica la figura, y llamando x a la semibase del
rectángulo, se cumple que: base=2x, altura= 4  x 2 , área= 2 x  4  x 2 . Por tanto, hay que
hallar el máximo de la función A(x) 2 x  4  x 2 en el intervalo 0x2. En las siguientes
pantallas se muestra el proceso de resolución seguido con la CP – 400:
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Pág. 27
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9) Comprueba con la CP – 400 que la derivación y la integración son operaciones inversas. A continuación
calcula las primitivas de las siguientes funciones: a) y= x 2 , b) y= 4  x 2 , c) y=ax.
10) Calcula el área bajo la curva f(x)=
4  x 2 en el intervalo [2, 2].
11) La ecuación general de una elipse es de la forma
área de la elipse
x2
a2

y2
b2
 1 . Usa la CP – 400 para demostrar que el
x2 y2

 1 es igual 6. Explora otras elipses. ¿Qué ocurre si a=b?
4
9
12) Según Arquímedes, el área de un segmento parabólico de base b y altura h es igual a A 
2
b  h . Por
3
ejemplo, para el segmento de la parábola y  x 2  x  6  x  2  x  2 comprendido en el intervalo
[3,
A
2],
se
cumple
que
b=5
y
h=6,25.
Por
tanto,
según
Arquímedes,
su
área
es
2
2
125
b  h   5  6,25 
 20.83 . Utiliza la CP – 400 para representar gráficamente este
3
3
6
segmento parabólico y para comprobar si se cumple la fórmula de Arquímedes.
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La competencia matemática con la calculadora gráfica
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2
13) (Máximo beneficio). La venta de x artículos produce unos ingresos de I(x)= 200x  0.01x euros.
Fabricar x artículos supone unos costes de C(x)=50x+20000 euros. ¿Cuál es el número de artículos que
se deben producir y vender para obtener el máximo beneficio?. ¿Cuál es este beneficio máximo?.

El beneficio se obtiene restando los costes a los ingresos. Por tanto, en nuestro caso, el beneficio
2
es: B(x)=  0.01x  150x  20000 . Se trata de obtener el valor máximo de esta función con la CP
– 400 .
14) La región entre la curva y  x , 0x4, y el eje OX gira alrededor del eje OX generando un sólido de
revolución. Halla el volumen de este sólido.
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La competencia matemática con la calculadora gráfica
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15) La región limitada por el semicírculo y  r 2  x 2 y el eje OX genera una esfera. Halla el volumen de
esta esfera.
16) La región limitada por la curva y  x 2  1 y la recta y=x+3 gira alrededor del eje OX generando un
sólido. Halla el volumen de este sólido.
17) En un sistema de referencia ortonormal se consideran las gráficas de las funciones f(x)=ln(x+2) y
x
g(x)=e e , ambas de dominio [ 0, 3 ]. Determina el área del triángulo OAB, siendo O=origen de
coordenadas, A=intersección de las gráficas de las dos funciones, B=intersección del gráfico de g(x) con
el eje OX. Utiliza la calculadora gráfica para visualizar las gráficas y hallar los puntos A y B.
(SELECTIVIDAD DE PORTUGAL)
18) Cierto día, un grupo de amigos decide formar una asociación deportiva. Suponemos que t días después
de constituida la asociación, el número de socios viene dado aproximadamente por la función:
N(t ) 
2000
1  199 e 0,01t
, t  0 . Utilizando la calculadora gráfica, calcula N(0) y lim N(t) . ¿Al cabo de
t 
cuántos días se conmemora la inscripción del socio número 1000? (SELECTIVIDAD DE PORTUGAL)
4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar una función y=f(x) que está
relacionada con una determinada situación que previamente hay que matematizar. Generalmente la
función f(x) es desconocida y hay que obtenerla a partir de la situación concreta. Lo habitual es que
la función a optimizar contenga las dos variables x e y. Entonces, para poder obtener y en función
de x, es necesario disponer de una ecuación de condición, que relaciona las dos variables x e y.
 CAJAS
En una tintorería necesitan depósitos para colocar el tinte, y para construirlos quieren aprovechar unas
chapas rectangulares de 10 dm x 16 dm. Se construyen con estas chapas los depósitos por el
procedimiento de cortar las esquinas de las planchas en la forma indicada en la figura, luego doblar y
finalmente soldar.
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Pág. 30
La competencia matemática con la calculadora gráfica
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a) Llamando x a uno de los lados de cada uno de los cuadrados que se recortan, escribe la función V=f(x)
que da el volumen del depósito conociendo x.
b) ¿Para qué valor de x se obtiene un depósito de volumen máximo?
c) En el caso de que el volumen del depósito sea máximo, ¿cuántos kilos de tinte podrá contener cada uno
3
de los depósitos, si la densidad del tinte es 1,20 kg/dm .
 NÚMERO
Descomponer 18 como suma de dos números positivos, de manera que el producto de uno de ellos por el
cuadrado del otro sea máximo.
 COSTE MÍNIMO
El coste de fabricación de un determinado producto depende del número q de unidades fabricadas, según la
2
función:
C(q)=1000000+100q+0,001q
a) ¿Cuál es el coste medio por unidad?
b) ¿Qué cantidad hay que fabricar para minimizar el coste medio por unidad?
 BENEFICIO MÁXIMO
Las funciones de ingresos y costes anuales por la fabricación y venta de q unidades de un determinado
producto vienen dadas por:
I(q)=2000q0,04q
2
C(q)=1000000+100q+0,001q
2
a) Halla la función que da el beneficio anual.
b) ¿Cuántas unidades hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es ese
beneficio?
 CAJA SIN TAPA
Se desea construir una caja abierta (sin tapa) recortando cuadrados iguales de cada una de las esquinas de
una hoja de cartón rectangular de dimensiones 3 y 8 dm. Calcula la longitud del lado del cuadrado que se
ha de cortar para obtener una caja de volumen máximo.
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Pág. 31
La competencia matemática con la calculadora gráfica
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 CAJAS DE EMBALAJE
Se desea construir cajas de embalaje en forma de prisma cuadrangular recto de modo que la suma de las
tres dimensiones sea 72. ¿Cuáles han de ser las dimensiones para que la capacidad de las cajas sea
máxima?
 LUMINOSIDAD
Halla las dimensiones de una ventana de 6 metros de perímetro para que tenga la máxima superficie
posible y, así, produzca la máxima luminosidad.
 CAJA CON TAPA
Partiendo de una hoja de papel de medidas 20 cm  25 cm, recortamos cuadrados de lado X en dos de las
esquinas y recortamos rectángulos de X12,5 cm en las otras dos esquinas, como se muestra en la
siguiente figura:
A continuación doblamos el papel para formar una caja con tapadera. ¿Con qué valor de X se obtiene el
máximo volumen V de la caja?
 CÍTRICOS
Un cultivador de frutas cítricas estima que si plantan 60 naranjos en un huerto, la producción media por
árbol será de 400 naranjas y ésta disminuirá en un promedio de 5 naranjas por árbol por cada árbol
adicional plantado en el huerto.
a) Determina la función de producción total de naranjas.
b) ¿Cuántos árboles se deben plantar en el huerto para maximizar la producción total de naranjas? ¿Cuál
es dicha producción máxima? Razona la respuesta.
 UNA VENTANA
Una ventana tiene la forma de semicírculo montada sobre un rectángulo. El rectángulo es de cristal
transparente, mientras que el semicírculo es de cristal de color que transmite la mitad de luz por unidad de
área transparente. El perímetro total (exterior) de la ventana es fijo y vale 160 cm. Halla las dimensiones de
la ventana que proporcionan la mayor cantidad de luz.
 TERRENO
Un granjero dispone de 3000 euros para cercar una porción rectangular de terreno adyacente a un río,
usando éste como un lado del área cercada; es decir, construirá tres cercas. El coste de la cerca paralela al
río es de 5 euros por metro instalado, y el de la cerca para cada uno de los dos lados restantes es de 3
euros por metro instalado. Calcula las dimensiones del área máxima que puede ser cercada.
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5. ECUACIONES DIFERENCIALES
La CP-400 incorpora una aplicación que permite obtener el campo de curvas de nivel asociado a
una ecuación diferencial y también sirve para obtener soluciones particulares de ecuaciones
diferenciales. A continuación se muestran algunos ejemplos y una pequeña colección de problemas
que se resuelven mediante ecuaciones diferenciales.

Dibuja el campo de curvas de nivel de la ecuación diferencial y'  y 2  x , obteniendo las
soluciones particulares que pasan por los puntos (0, 0), (0, 1/2) y (0, 1).
a) En la ventana del editor de ecuaciones diferenciales, elige la opción 1st (Slope Field) del menú Type
y escribe la ecuación diferencial.
b) Toca en el botón
para visualizar el campo de curvas de nivel.
c) Modifica las dimensiones de la ventana de visualización, pulsando el botón
valores: xmin=-1,5, xmax=1,5, ymin=-1,5, ymax=1.5, Field=arrows, Steps=12.
, con los siguientes
d) En el editor de ecuación diferencial, toca la solapa IC e introduce las condiciones iniciales: (0, 0), (0,
1/2) y (0, 1).
e) Pulsa de nuevo en el botón

para visualizar el campo de curvas de nivel.
Dibuja el campo de curvas de nivel de la ecuación diferencial x'  x ,
solución particular que pasa por el punto (1, 1).
y'  y , obteniendo la
a) En la ventana del editor de ecuaciones diferenciales, elige la opción 2nd (Phase Plane) del menú
Type y escribe la ecuación diferencial.
b) Toca en el botón
para visualizar el campo de curvas de nivel.
c) En el editor de ecuación diferencial, toca la solapa IC e introduce la condición inicial: X i=1, Yi=1.
d) Pulsa de nuevo en el botón
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para visualizar el campo de curvas de nivel.
Pág. 33
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
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Dibuja el campo de curvas de nivel de la ecuación diferencial y'3  x  x 2 , obteniendo la
solución particular que cumple las condiciones iniciales x=0, y=3.
La gráfica muestra que la solución es lineal, pues su representación es una recta. Una forma alternativa
para resolver la ecuación diferencial es utilizar el comando dsolve en el menú Acción / Ecuación /
Inecuación, cuya sintaxis es la siguiente:
En nuestro caso, usamos dSolve(y'  3  x  x 2 , x, y, x  0, y  3)
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La competencia matemática con la calculadora gráfica
Febrero 2014

Resuelve la ecuación diferencial
dy
 x  e x , con las condiciones iniciales x=0, y=0.
dx

Resuelve la ecuación diferencial
dy e x
, con las condiciones iniciales x=1, y=0.

dx
x

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
a)
dy
 5  y 1
dx
b)
dy
 1 y 2
dx
c)
dy
 10  0,05 y
dx
d)
dy
 9.8  0.2  y 2
dx
1. Problemas que se resuelven con ecuaciones diferenciales
 ROTURA DE EMBRAGUE
Un coche de fórmula 1 se queda sin propulsión debido a una rotura de embrague. Se estima que a partir de
ese momento (t=0) su velocidad en metros por segundo vendrá dada por v  80  0,05 t 2 . ¿Qué distancia
habrá recorrido a los 20 segundos? ¿Y a los 30? ¿Qué distancia recorrerá hasta pararse?
 COCHE ELÉCTRICO
En un modelo de vehículo propulsado por baterías se ha comprobado que, a partir de las cuarenta horas de
funcionamiento, la velocidad que puede desarrollar depende del tiempo que llevan usándose las baterías,
contando a partir de las cuarenta horas, en la forma: v 
400
, v en km/h, t en horas. ¿Qué distancia
t  10
máxima puede recorrer a partir de las cuarenta horas de funcionamiento si cuando la velocidad que puede
desarrollar baja hasta los 10 km/h hay que recargar las baterías?
AYUDA: ¿Para qué valor de t es v=10? Toma como condiciones iniciales t=0, e=0 empezando a contar
tiempos y espacios a partir de las cuarenta horas.
 CRECIMIENTO DE UNA POBLACIÓN
La tasa de crecimiento de la población es proporcional, en primera aproximación, al tamaño de la población,
esto es:
dy
 k  y , siendo y el tamaño de la población y t el tiempo en años. En el período 1990-2010
dx
puede estimarse que k=0,0095; si en 1990 (t=0) la población era de 28 millones de habitantes, ¿qué
población cabe estimar para 2030 si se mantiene la misma tasa de crecimiento? ¿Y para el año 2050?
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 LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
Según la ley de enfriamiento de Newton, la tasa de variación de la temperatura de un cuerpo es
proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente, es decir,
dT
 k  T  Ta , donde
dt
T es la temperatura del cuerpo en el instante t, Ta es la temperatura del medio ambiente y k la constante de
proporcionalidad.
a)
Si el café sale de una cafetera a 90 grados (t=0, T=90) en una habitación cuya temperatura es de 20
grados (Ta=20) y a los 5 minutos su temperatura es de 80 grados, ¿cuánto tiempo tardará en llegar a
los 60 grados? ¿Qué temperatura tendrá a los diez minutos de haber salido de la cafetera?
b)
Si el café se hace en un refugio de montaña en el que la temperatura ambiente es de 5 grados y tarda
dos minutos en bajar de 90 a 80 grados, ¿cuánto tiempo tardará en estar a 60 grados? ¿Qué
temperatura tendrá a los 5 minutos de haber salido de la cafetera?
 TERMÓMETRO
Un termómetro de exterior se encuentra en una habitación cuya temperatura es de 20 grados. A los 5
minutos de haberlo sacado a la intemperie marca 12 grados y a los 10 minutos maraca 8 grados. ¿Qué
temperatura hace fuera?
 LANZAMIENTO EN PARACAÍDAS
La ecuación diferencial que describe el movimiento de caída de un paracaidista que se lanza desde un
avión es:
dv
 9,8 , si se hace abstracción de la resistencia del aire y del movimiento de rotación de la
dt
Tierra. Pero la resistencia del aire produce una fuerza que se opone a su caída, fuerza que aumenta con la
velocidad.
Un paracaidista se lanza desde un avión que vuela a gran altura. Hasta los 8 segundos, momento en el que
abre el paracaídas, la ecuación que describe su movimiento es:
8 segundos viene dada por:
dv
 9.8  0.2  v 2 .
dt
dv
 9.8  0.1 v ( t=0, v=0 ) y a partir de los
dt
a)
¿Qué velocidad llevará a los 8 segundos de haberse lanzado?
b)
¿Y a los 10 segundos de haber abierto el paracaídas?
c)
¿Qué velocidad llevaría en estos dos instantes si se utiliza el modelo que no tiene en cuenta la
resistencia del aire?
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