Guia de estudio 2 MM

Ecuaciones Diferenciales MM-411
Guía de Estudio II Parcial
Lic. Elvin Mejía
Determinar si los conjuntos dados son linealmente dependientes o linealmente
independientes
1.
2.
3.
4.
𝑓1 (𝑥) = 𝑥 𝑎 (cos(𝑏 ln(𝑥)) , 𝑓2 (𝑥) = 𝑥 𝑎 (sin(𝑏 ln(𝑥)))
𝑓1 (𝑥) = 𝑥 𝑛 , 𝑓2 (𝑥) = 𝑥 𝑛 𝑙𝑛 (𝑥), 𝑓3 (𝑥) = 𝑥 𝑛 (𝑙𝑛 (𝑥))2
𝑓1 (𝑥) = |𝑥|, 𝑓2 (𝑥) = 𝑥, 𝑓3 (𝑥) = 1
𝑓1 (𝑥) = 𝑒 𝑥 , 𝑓2 (𝑥) = 1, 𝑓3 (𝑥) = 𝑥, 𝑓4 (𝑥) = 𝑥 2 , … , 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛
Verificar que el conjunto dado es un conjunto fundamental de soluciones de la
ecuación proporcionada; encontrar la solución que satisface las condiciones iníciales.
1. 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 2𝑦 = 0; 𝑦1 = 𝑒 𝑥 , 𝑦2 = 𝑒 −2𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 𝑦(0) = 1, 𝑦 ′ (0) = 0
2. 𝑦 ′′ + 4𝑦 = 0; 𝑦1= 𝑐𝑜𝑠(2𝑥), 𝑦2 = 𝑠𝑖𝑛(2𝑥), 𝑐𝑜𝑛 𝑦(0) = 1, 𝑦 ′ (0) = 4
3. 𝑦 ′′′ − 2𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ = 0; 𝑦1 = 1, 𝑦2 = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠(2𝑥), 𝑦3 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛(2𝑥), 𝑐𝑜𝑛 𝑦(0) = 1
𝑦 ′ (0) = 1, 𝑦 ′′ (0) = −1
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
1. 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 2𝑦 = 0
2. 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 5𝑦 = 0
3. 𝑦 (4) − 𝑦 = 0
4. 𝑦 ′′′ − 3𝑦 ′′ + 3𝑦 ′ − 𝑦 = 0
5. 𝑦 (4) − 5𝑦 ′′ + 4𝑦 = 0
6. 𝑦 (5) + 8𝑦 ′′′ + 16𝑦 ′ = 0
7. 𝑦 ′′ + 7𝑦 ′ + 10𝑦 = 𝑥𝑒 −2𝑥 cos(5𝑥)
8. 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 2𝑥𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
9. 𝑦 ′′ − 8𝑦 ′ + 17𝑦 = 𝑒 4𝑥 (𝑥 2 − 3𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥))
10. 𝑦 (4) + 𝑦 ′′ = 7𝑥 − 3cos(𝑥)
11. 𝑦 ′′ + 4𝑦 = cos(𝑥)cos(3𝑥)
12. 𝑦 (4) + 5𝑦 ′′ + 4𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos(2𝑥)
13. 𝑦 ′′ − 8𝑦 = 0; 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 0
14. 𝑦 ′′′ − 11𝑦 ′ + 7𝑦 ′ + 147𝑦 = 0; 𝑦(0) = 4, 𝑦 ′ (0) = 0, 𝑦 ′′ (0) = 6
15. 𝑦 ′′′ − 8𝑦 ′ + 5𝑦 ′ + 50𝑦 = 0; 𝑦(−2) = 3, 𝑦 ′ (−2) = 1, 𝑦 ′′ (−2) = −6
16. 𝑦 ′′′ − 17𝑦 ′ + 40𝑦 ′ − 300𝑦 = 0; 𝑦(0) = −1, 𝑦 ′ (0) = −1, 𝑦 ′′ (0) = −1
17. 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 =
′′
′
𝑒𝑥
𝑥
1
18. 𝑦 + 3𝑦 + 2𝑦 = 𝑒 𝑥 +1
19. 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 3𝑒 −𝑥 √𝑥 + 1
20. 𝑥 3 (𝑦 ′′ − 𝑦) = 𝑥 2 − 2
21. 𝑥 2 𝑦 ′′ − 4𝑥𝑦 ′ + 6𝑦 = 0
22. 𝑥 2 𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′ − 3𝑦 = 0
23. 𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ + 4𝑦 = 10𝑥
24. 𝑥 3 𝑦 ′′ − 2𝑥𝑦 = 6𝑖𝑛𝑥
25. 𝑥 2 𝑦 ′′ − 2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥))
26. 𝑥 2 𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 =
ln(𝑥)
𝑥
𝑥
+ ln(𝑥)
27. (𝑥 − 2)2 𝑦 ′′ − 3(𝑥 − 2)𝑦 ′ + 4𝑦 = 𝑥; ℎ𝑎𝑔𝑎 𝑥 − 2 = 𝑒 𝑡
28. (2𝑥 + 3)3 𝑦 ′′′ + 3(2𝑥 + 3)𝑦 ′ − 6𝑦 = 0; ℎ𝑎𝑔𝑎 2𝑥 + 3 = 𝑒 𝑡
29. 𝑥 3 𝑦 ′′′ + 4𝑥 2 𝑦 ′′ − 3𝑥𝑦 ′ + 3𝑦 = 2𝑥 −3 + 𝑥; 𝑦(1) = −2, 𝑦 ′ (1) = 1, 𝑦 ′′ (1) = 2
30. 𝑥 2 𝑦 ′′ + 4𝑥𝑦 ′ − (64𝑥 2 − 2)𝑦 = 0 ; haga 𝑣 = 𝑥 2 𝑦
31. 𝑦 ′′′ + 3
1+𝑥
2𝑥
𝑥
6
𝑦 ′′ + 𝑥 𝑦 ′ − 4𝑦 = 0; cambio variable v=xy
2
32. 𝑦 ′′ + 1−𝑥 2 𝑦 ′ − 1−𝑥 2 𝑦 = 0; 𝑦1 (𝑥) = 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 1 < 𝑥 < 1
2
2

33. 𝑦 ′′ − (2tan(𝑥) + 𝑥 ) 𝑦 ′ + (2tan(𝑥) + 𝑥 ) 𝑦 = 0; 𝑦1 (𝑥) = 𝑥 ,0 < 𝑥 < 2
1
1
2
34. 𝑦 ′′ − 𝑥 (𝑥 + 2𝑦)𝑦 ′ + (𝑥 + 𝑥 2 ) 𝑦 = 0; 𝑦1 (𝑥) = 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0
2𝑥
2
35. 𝑦 ′′ + 2𝑥 2 +3𝑥+1 𝑦 ′ − 2𝑥 2 +3𝑥+1 𝑦 = 0; 𝑦1 (𝑥) = 𝑥
36. 𝑦 ′′ + (𝑦 ′ )2 = 0
37. 𝑦𝑦 ′′ = 𝑦 2 𝑦 ′ (𝑦 ′ )2
38. 𝑦 ′′ + 𝑒 2𝑦 (𝑦 ′ )3 = 0
39. 𝑦𝑦 ′′ + (𝑦 + 1)(𝑦 ′ )3 = 0
40. 𝑦𝑦 ′′ = (𝑦 ′ )2 − (𝑦 ′ )3
41. 𝑦 ′′′ = 2(𝑦 ′′ − 1)cot(𝑥)
42. 𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′′′ + (𝑦 ′′′ )3 = 0
43. 𝑥𝑦 ′′ = 𝑦 ′ + 𝑥𝑠𝑒𝑛
(𝑦 ′′ )4
(𝑦 ′ )5
𝑦′
𝑥
44.
=
− 𝑦(𝑦 ′ )3 𝑦 ′′
45. 𝑥 2 𝑦𝑦 ′′ = (𝑦 − 𝑥𝑦 ′ )2
46. 𝑦 2 (𝑦 ′ 𝑦 ′′′ − (𝑦 ′′ )2 ) = 𝑦(𝑦 ′ )2 𝑦 ′′ + 2(𝑦 ′ )4
47. 𝑥 2 𝑦 ′′′ − 𝑥(𝑥 + 2)𝑦 ′′ + (𝑥 + 2)𝑦 ′ = 6𝑥 3 ; 𝑦(1) = 𝑦 ′ (1) = 𝑦 ′′ (1) = 0
Sea u= 𝑦 ′ observe que u = x es una solución de la ecuación homogénea reducida
Construya una ecuación diferencial lineal que tenga la función dada como solución
general.
1. 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 3𝑥
2. 𝑦 = 𝑐1 𝑒 −4𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 −4𝑥
3. 𝑦 = 𝑒 −2𝑥 (𝑐1 cos(2𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥))
Para cada uno de los siguientes conjuntos de funciones
Construya una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de
orden mínimo que las contenga, entre otras, como soluciones particulares. Determine
un conjunto fundamental de soluciones, en cada caso, resolviendo la ecuación
diferencial.
1. {𝑥𝑒 3𝑥 , 𝑥𝑒 3𝑥 , 𝑒 3𝑥 cos(−3𝑥)}
2. {𝑥 2 𝑒 3𝑥 , 𝑒 −𝑥 , −𝑥𝑒 𝑥 cos(−2𝑥)}
3. {𝑥 3 cos(2𝑥) , 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos(𝑥)}
4. {1, 𝑥, 2𝑥, 3𝑥, 4𝑥, 𝑥 2 }
5. {𝑠𝑒𝑛(2𝑥), 𝑠𝑒𝑛(3𝑥), cos(4𝑥)}
Sistemas Resorte Masa
1. Una masa que pesa 4 libras se sujeta a u resorte cuya constante del resorte es de
16lb/ft. ¿Cuál es el periodo del movimiento armónico simple?
2. Una masa que pesa 20 libras estira un resorte 6 pulgadas la masa se libera
inicialmente del reposo desde un punto situado 6 pulgadas por debajo de la posición
de equilibrio.
2.1) Encuentre la posición de la masa en los momentos t=/12, /8, /4, y 9/32 seg.
2.2) ¿Cual es la velocidad de la masa cuando t=3/16 seg.
2.3) ¿En qué momento la masa pasa por la posición de equilibrio?
3. Una masa que pesa 64 libras estira un resorte 0.32 pies. La masa inicialmente se
libera desde un punto que esta 8 pulgadas por encima de la posición de equilibrio con
velocidad descendente de 5 ft/s.
3.1) En cuentre la ecuación de movimiento,
3.2) ¿Cuáles son la amplitud y el periodo de movimiento?
3.3) ¿Cuántos ciclos completos habrá cubierto la masa al final de 3 segundos?
3.4) ¿En qué momento la masa pasa por la posición de equilibrio cuando se dirige
hacia abajo por segunda vez?
3.5) ¿En qué momento la masa alcanza su desplazamiento extremo en cualquier lado
de la posición de equilibrio?
3.6) ¿Cuál es la posición de la masa en t=3 seg?
3.7) ¿Cuál es la velocidad instantánea en t= 3 seg?
3.8) ¿Cuál es la aceleración en t=3 seg?
3.9) ¿Cuál es la velocidad instantánea en los momentos que la masa pasa por la
posición de equilibrio?
3.10) ¿En qué momento la masa esta 5 pulgadas por debajo de la posición de
equilibrio?
3.11) ¿En qué momento la masa esta 5 pulgadas por debajo de la posición de equilibrio
dirigiéndose hacia arriba?
4. Una masa de 1 slug está suspendida de un resorte cuya constante es de 9 lb/ft. La
masa inicialmente se libera desde un punto ubicado 1 pie por encima de la posición de
equilibrio con velocidad ascendente de √3 ft/s.Encuentre los momentos en que la
masa se dirige hacia abajo con velocidad de 3 ft/s
5. Una masa de 400g se une a un resorte .En equilibrio el resorte se ha alargado
245cm. El resorte se jala hacia abajo y se suelta. A las 12:00 del día se observa que la
masa esta 10 cm más abajo del puente de equilibrio y moviéndose hacia arriba a √84
cm/s. establezca la ecuación diferencial para el movimiento. Resuelva la ecuación
diferencial y exprese la solución en la forma amplitud fase
6. Una masa de 16 g se une a un sistema de masa resorte con una constante de resorte
de 64 g/𝑠 2 . ¿Cuales deben ser las condiciones iníciales para obtener una respuesta de
amplitud 2 y ángulo de fase de /3?
7. El sistema masa resorte tiene una masa de 10 g acoplada al rsorte.L constante del
resorte es 30g/𝑠 2 .Al sistema se une un mecanismo equivalente a una constante de
amortiguamiento de 40 g/s. la masa se jala hacia abajo y se suelta. En el tiempo t=0. La
masa se encuentra 3 cm debajo de la posición de reposo y moviendose hacia arriba a
5 cm/ seg
7.1) ¿Establezca la ecuación diferencial que describe el movimiento?
7.2) Establezca si el movimiento del sistema masa resorte es armonico, oscilatorio con
subamortiguamiento, con amortiguamiento critico o con sobreamortiguamiento.Si el
movimiento es oscilatorio sub amortiguado, escriba 𝑥(𝑡) = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝑤0 𝑡 − )
8. Un resorte largo tiene unida una masa de 1 slug. El resorte se alarga 16/12 ft y
regresa del reposo. El coeficiente de amortiguamiento es 2 slug/s . Se ejerce una
fuerza de impulsiva sobre la masa. En el tiempo t=0, loque impone una velocidad de 5
ft/s hacia abajo. Hacer los cálculos igual que ejercicio 7
9. Un sistema de resorte tiene una masa de 1 g. una constante de resorte de 5g/𝑠 2 y
un coeficiente de amortiguamiento de 4 g/s . Se empuja hacia arriba 1 cm desde la
posición de equilibrio y se suelta con una velocidad de 3 cm/s hacia abajo. Igual
ejercicio 7
10. Una masa que pesa 4 libras está unida a un resorte cuya constante es 2 lb/ft. El
medio ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numéricamente igual a la
velocidad instantánea. La masa inicialmente se libera desde un punto localizado 1 pie
por encima de la posición de equilibrio a velocidad descendente de 8 ft/s, Determine el
tiempo al cual la masa cruza la posición de equilibrio. Encuentre el momento en el cual
la masa logra su desplazamiento extremo a partir de la posición de equilibrio. ¿Cuál es
la posición de la masa m ese instante?
11. Una masa de 1 kg se sujeta a un resorte cuya constante es de 16N/m, y todo es
sistema se sumerge entonces en un liquido que imparte una fuerza de
amortiguamiento numéricamente iguala 10 veces la velocidad instantánea. Determine
las ecuaciones del movimiento sí.
a) La masa se libera inicialmente del reposo desde un punto que esta 1 metro por
debajo de la posición de equilibrio. Y después
b) la masa se libera inicialmente desde un punto que esta 1 metro por debajo de la
posición de equilibrio a velocidad ascendente de 12 m/s.
12 Después de sujetar una masa de 10 libras de peso a un resorte de 5 pies, el resorte
mide 7 pies. Esta masa se separa y remplaza por otra de que pesa 8 libras .Todo el
sistema se coloca en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento
numéricamente igual a la velocidad instantánea.
a) Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde un
punto que esta 0.5 pie por debajo de la posición de equilibrio a velocidad de 1 ft/s.
b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑡 𝑠𝑒𝑛(√2 − 2 𝑡 + )
c) En que momentos la masa cruza por la posición de equilibrio con dirección
descendente
d) Grafique la ecuación de movimiento.
11. Una masa con peso de 10 libras estira un resorte 2 pies. La masa se sujeta a un
dispositivo de amortiguamiento de velocidad que ofrece una fuerza amortiguadora
numéricamente igual a  (>0) veces la velocidad instantánea. Determine los valores
de la constante de amortiguamiento  de manera que el movimiento posterior sea a)
sobre amortiguado, b) críticamente amortiguado y c) su amortiguado.
12. Una masa de 1 slug se sujeta a un resorte cuya constante es de 5 lb/ft. En un inicio,
la masa se libero desde 1 pie por debajo de la posición de equilibrio a velocidad
descendente de 5 ft/s. y el movimiento subsiguiente se desarrolla en un medio que
ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual al doble de la velocidad
instantánea.
a) Encuentre la ecuación del movimiento si la masa es conducida por una fuerza
externa igual f(t)=12cos12t + 3sen2t.
b) Grafique las soluciones transitoria y permanente en los mismos ejes de
coordenadas.
c) Grafique la ecuación de movimiento.
13. Cuando una masa de 1 slug se sujeta a un resorte, lo estira 2 pies y después en su
posición de equilibrio. Comenzando en t=0, una fuerza externa igual a f(t)=esen4t se
aplica al sistema. Encuentre la ecuación de movimiento si el medio circundante ofrece
una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 8 veces la velocidad
instantánea.
14. Un sistema masa resorte tiene una masa de 4g, coeficiente de fricción 24g/s y una
constante de resorte 52g/𝑠 2 . La masa se jala 3 cm hacia abajo y se suelta. Durante el
movimiento subsecuente la masa esta sujeta a una fuerza externa de 4 dinas hacia
abajo.
Encuentre el movimiento subsecuente. Determine qué términos son transitorios y
cuáles de estado estable.
15.Un sistema masa resorte tiene una masa de 2 g. coeficiente de fricción 4 g/s y
constante de resorte 2 g/𝑠 2 . La masa esta inicialmente en reposo. Existe una fuerza
externa de 1- 𝑒 −𝑡 dinas hacia abajo.
a) Determine el movimiento subsecuente.
b) Establezca que términos son transitorios.
16.Una masa de 9 Kg alarga un resorte 9.8 cm; el sistema masa resorte se encuentra
suspendido verticalmente. La masa se libera desde el reposo de un punto situado 5 cm
debajo de la posición de equilibrio.
a) ¿Encuentre la posición de la masa en los tiempos t=5 y 10 seg.
b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando t es igual a 12 seg 
c) ¿En qué tiempos la masa pasa por la posición de equilibrio
d) ¿En qué tiempos tiene el resorte su máxima compresión y su máxima elongación
17. Un resorte con constante de 20 N/m se suspende verticalmente de un soporte y es
su otro extremo se coloca una masa de 20 kg: El sistema se libera desde la posición de
equilibrio con una velocidad descendente de 10 m/s.
a) Determine la amplitud, la frecuencia angular y el periodo del movimiento.
b) Calcule la posición y la velocidad en todo tiempo t.
c) ¿Cual es la máxima velocidad de la masa? ¿Qué pasa con la aceleración en ese
instante?
18. Una masa m=1 kg está suspendida de un resorte que esta estirado 1 cm bajo la
influencia del peso de esta masa. Ahora se aplica una fuerza periódica externa de
f(t)=200cost sobre la masa, que inicialmente estaba en equilibrio
estatico.Despreciando toda fricción. Obtenga la relación para el desplazamiento de la
masa en función del tiempo, x(t). También determine el valor de  que hará que
produzca resonancia
19. Una masa m=5 Kg cuelga de un resorte que se ha estirado 2 cm bajo la influencia
del peso de la masa. La masa está conectada a un amortiguador con una contante de
amortiguación de 200 N.s/m. Hora se aplica una fuerza periódica externa
f(t)=200cost sobre la masa, que inicialmente estaba en equilibrio estático.
Obtenga la relación para el desplazamiento de la masa en función del tiempo, x(t).
También el valor de  que hará que la amplitud del movimiento tenga un valor
máximo