1 Exercise – 2 - WordPress.com

Trigonometry – 1
Exercise – 2 (C)
1.
(A)
A  BC  &
C

C
sin  A    k sin  
2

2
C

sin  A  
2

k
C
sin
2
By componendo and dividendo
C
C

sin  A    sin
k 1
2
2


C
C
k 1

sin  A    sin
2
2

AC
A
2sin 
 cos  
 2 
2

A
 AC
2sin   cos 

2
 2 
AC
B
tan 
 cot  
1
 2 
2 

A
B
A
A
tan  
tan   tan tan
2
2
2
2
 tan
2.
A
B k 1
tan 
2
2 k 1
3  cot 76 cot16
cot 76  cot16
Now cot 76  cot16 
(supplementary angles)
sin(92 )
sin 88

sin 76 sin16
sin 76 sin16
also 1  cot 76 cot16 
 L.H.S. 



cos  76  16
sin 76 sin16

1
2sin 76 sin16
3  cot 76 cot16
cot 76  cot16
2  1  cot 76 cot16
cot 76  cot16
1
2sin 76 sin16
sin 88
sin 76 sin16
2
4sin 76 sin16  1
sin 88
2 cos(60 )  cos 92 
 
1
sin 88


2 1  cos92
2  2 cos 92

sin 88
sin 88
2  sin 2 46
sin 88

1
2    2 cos 92  1
2
  
sin 88

2 cos 2 44

2sin 44 cos 44
 cot 44  tan 46
3.
(A)
 89 
2sin 
 sin  45
2 
v

N : 2(sin1  sin 2  ........  sin 89 ) 
1 
sin  
2
Dv : 2(cos1  cos 2  ......  cos 44 )  1 
2sin  22

 cos  452
1 
sin  
2



 1
1 
 89 
sin    sin 

2
 2  1

1 
sin  
2
 89 
 89 
sin 
sin 


 2   1 1 
 2 

1 
1 
sin  
sin  
2
2
 89 
2sin 
 sin  45
 2 
1 
sin
 
Nv
2

v
D
 89 
sin 

 2 
1 
sin  
2
 2sin 45 
4.

2
sin 2x 
2024 5
9
x 
,
2025
4
4
(sin x  cos x) 2 1  sin 2x  1 
 (sin x  cos x) 
i.e. sin x  cos x  
2024
2025
1
45
1
45
But range of x is given for
5
9
x
4
4
sin x < cox x < 50 hence sin x + cos x should be negative
sin x  cos x 
5.
(D)
1
45
B
c
a
C
A
b
A
a
b
 sin A ;  cos A
c
c
2
2
c c
     cos ec A  sec A 
a b
1 
 1



 sin A cos A 

2
A is acute
 sin A  cos A   4 1  sin 2A 
sin 2 A cos 2 A
4
1  sin 2A 
sin 2 2A
4sin 2 A cos 2 A
 4  cos ec2 2A  cos ec2A 
so if cosec 2A is min. then L.H.S. is min.
cos ec2A  0
2A  0,  
least value of cosec 2A= 1
 least value of L.H.S.= 4 (1 + 1)= 8
6.
(D)
 tan 4  tan 2 1  tan 2 3 tan 2  
sin 6
1  tan 3 tan  1  tan 3 tan  
cos 4 cos 2
 cos 4   cos2 



 cos 3 cos    cos 3 cos  

sin 6
cos 4 cos 2

2sin 3 cos 3
 2 tan 3 sec 2 
2
2
cos 3 cos 
7.
(D)
A  cot x  cot  60  x   cot 120  x 
cot  A  B  
1
cot A cot B  1

tan  A  B  cot A  cot B
 cot 60 cot x  1   cot120 cot x  1 
A  cot x  


 cot 60  cot x   cot120  cot x 
Let cot x  
 


 1

 
3 

A  

 1
 
  

 3
 


1 
3

1
  
3

  3     3 
  3  1  3 1
A 
   3 
A 
 
  3  1  

3  1
3  1  2 3  1   3



 3 2  3  3    3    3 2  3 

A 


3 2  1


A 
8
3 2  1
A
33    8
3 2  1
A
33  9
3 2  1
  cot x
A
3cot 3   9cot x
3cot 2 x  1
A
3  9 tan 2 x
3tan x  tan 3 x
8.
a cosec  bsec  


a
b

sin  cos 
a cos   b sin 
sin  cos 


a
b
a 2  b2 
cos  
sin  
2
2
a 2  b2
 a b

 sin 2 


 2 
 sin  cos   cos  sin  
 2 a 2  b2 

sin 2


 sin      
 2 a 2  b2 

 sin 2 
 2 a 2  b2
 sin  3    
   3 
sin 2
 2 a 2  b2
9.
A  B  90
A B
  45
2 2
Take tan on both sides
A
 B
tan    tan  
2
 2 1
A
B
1  tan tan
2
2
Cross multiply and solve we will get
A 
B

 1  tan  1  tan   2
2
2

10.
A  340
A
A

1  sin A   cos  sin 
2
2

 cos
2
A
A
 sin
2
2
A
 170 then
2
cos
A
A
 sin is negative
2
2
1  sin A  cos
  cos
A
A
 sin
2
2
A
A
 sin
2
2
A
A

1  sin A   cos  sin 
2
2

 cos
 sin
2
A
A
 sin
2
2
A
A
 cos
2
2
sin
 1  sin A  1  sin A  2sin
11.
(A)
p  sin 20  cos 20
p 2  1  sin 40 or sin 40  1  p 2
A
2
A
A
 cos
2
2
 cos 40  1  sin 2 40  1  1  p 2 

1  1  p 1  p

 2  p  p 
2
2
2
2
 1
2
cos 40  p
2  p2
cos 40   p 2  p2
12.
(C)
sin   P

2 P

1  tan 2
2
2 tan
P tan 2


 P  2 tan  0
2
2
P tan 2


 2 tan  P  0
2
2
Now product of the roots 
So if one root is tan


other is cot
2
2
 equation with roots tan
13.
(B)
cos 290  sin 20
sin 250   cos 20
C P
 1
A P


and cot is px 2  2x  p  0
2
2
1

sin 20
1

3 cos 20
3 cos 20  sin 20
3 sin 20 cos 20
 3

1
2
cos 20  sin 20 
2
2

 
3
sin 40
2
4 sin  60  20
sin 40
3

14.

4
4 3

3
3
(B)
xy
xy
sin x  sin y  a  2sin 
 cos 

 2 
 2 
xy
xy
cos x  cos y  b  2 cos 
 cos 

 2 
 2 
xy a
tan 

 2  b
a
2 
2ab
b
sin  x  y     2  2
a  b2
a
1  
b
15.
sec
(C)



 3 
sin    sin
 cos
4
10
10
 20 
  
sin   
 4 10   sin   cos 


10
10
cos
4

sin






cos  cos sin
 sin  cos
4
10
4 10
10
10 = 0

cos
4

1 
 
sin 4  cos 4  2 


16.
(A)
3

4
2
1

 cot 
tan  sin 2 



2cos  sin   1
 cot 
sin 2 
 sin   cos  
………. cot    cot    2 
2
sin 
2
 cot 
……….
sin   cos 
 cot 
sin 
3
  
4
………… 0     
……….. cot      1
 1  cot   cot 
so 1  cot  will be negative
 1  cot   cot 
=–1
17.
(A)
1  tan11  1  tan 34 
1  tan17 1  tan 28 
If A  B  45
(1 + tan A) (1 + tan B) = 2
Easy to prove just write A  B  45
Take tan on both sides
tan (A + B) = 1
tan A + tan B = 1
1 – tan A tan B

4
and you will get the result
1  tan11  1  tan 34
2
1  tan17  1  tan 28   2
2
1
2
Ans 
18.
 4cos
2
9  3  4cos 27  3
= (Multiply by cos 9 and divide)
= (Multiply & divide by cos 27 )
 4 cos
3
9  3cos 9
  4 cos
3
cos 9

27  3cos 27

cos 27
cos 27 cos81
sin 9

 tan 9
cos 9 cos 27
cos 9
19.
4sin 9 sin 21 sin 39 sin 51 sin 69 sin 81
sin 54

4  sin 9 sin 51 sin 69
sin 21 sin 39 sin 81 
sin 54
 sin 27   sin 63 
4


4  4 


sin 54
1  sin 27 cos 27  1
 
 
4
sin 54
 8
20.
cos 2   cos  sin 
cos 2  2cos 2   1
 2 cos  sin   1
   sin   cos  
2
  1
1

  2 
sin  
cos   
2

  2
2
  2  sin  cos 45  cos  sin 45

  2 sin    45 

2


  2sin 2    
4



  2sin 2    
4

21.
(B)
sin 1765   sin 1800  35
 sin  20  90  35


  sin 35
sin  325    sin 35
cos ec  1465
   cos ec 1465 
  cos ec 1440  25

  cos ec 16  90  25

  cos ec 25
sec 295  cos ec25
Ans  0

2
22.
 
 13      
 3    5  1  5  1     1 
sin

sin

sin

sin
 
    

   
  10 
    
 10     10 
 10    4
  
 4   2 


 2 
2 
2  
 sin 2 
 cos  cos
   sin
6
10  
10
6

  5  1 2 1 
  
  
  4 
4


 5 1 2 5  4   1 5 
 
  

16

  8 
 L.H.S. 
5 1
16
23.
1  cos   1  cos 
1  cos   1  cos 


 2 sin
2
2


2 cos
 2 sin
2
2
    2 ;
 
 
2 2
2 cos



 sin sin
2
2


cos
 sin
2
2
cos

cos


  cos
2
2


 sin
2
2



 cos  sin
2
2
 cos
 1  cos   2 cos 2

 Q2
2


2
2 cos

2


 sin
2
2



cos  sin
2
2
cos
 
 tan   
4 2
24.
(C)
cos 2 
x   cos   1 x 
0
2
2
 2  2       2
2
  cos   1  cos2 
2
 1  cos 2   2 cos   cos 2 
1  2 cos 
 2   2 cos   2
1  1  2 cos   3
 2  2 max  3
25.
(B)
sin1  sin1c
26.
57
(A)
sin 2  

1c
x 2  y2
2xy
1x y
  
2 y x 
0  sin 2   1
For positive
x 1x y
,   I
y 2 y x
 A.M.  G.M.
L.H.S.  1 and R.H.S.  1 , so they can be equal only when both
L.H.S. = R.H.S. = 1 so
27.
x
1  xy
y
(C)
5tan   4 implies tan  
4
5
sin  cos 

k
4
5
sin   4k & cos   5k
5sin   3cos  5(4k)  3(5k)

5sin   2 cos  5(4k)  2(5k)

k(20  15) 1

k(20  10) 6
28.
(A)
sin x  cos x  2
sin x 
1
2
sin x
sin 2 x  2sin x  1  0
 sin x 1
2
0
sin x = 1  sin n x  cos ecn x  1n  1n  2
29.
cos
(B)
6

5
2
4
3
  cos , cos   cos
  cos
, cos
7
7
7
7
7
7
L.H.S.  cos
 cos

2
3
4
5
6
7
 cos
 cos
 cos
 cos
 cos  cos
7
7
7
7
7
7
7

2
3
3
2

 cos
 cos
 cos  cos
 cos  cos   0  (1)   1
7
7
7
7
7
7
30.
(B)
sin 4   cos 4  1  2sin 2  cos 2 
1
0
sin 2 2
2
sin 2 2 1

2
2
 1  sin 2 2

0
2
2
1
sin 2 2
1 
1
2
2
31.
(D)
cot       0 ,
sin    2   ?
sin    2   sin      
 sin      cos   cos      sin 
 sin      cos   0
cot      0  cos       0
 sin 2       1
sin        1
sin    2    cos 
32.
(D)
1  sin 1 , sin 2 , sin 3  1
so, sin 1  sin 2  sin 3  3  1  2 3  90
and
cos 1  cos 2  cos 3 = 0
33.
cos ec  cot   9
cos ec  cot  

1
cos ec  cot 
1
q
cos ec  cot 
1
 cos ec  cot 
q
q  cos ec  cot 
1
q   2 cos ec
q
cos ec 
34.

1
1
q  
2
q
(B)

4n
A  tan  tan 2..........tan  2n  2   tan  2n  1 
1st and last term
tan  tan  2n  1   tan
 tan


tan  2n  1
4n
4n



  
tan  
cot
1
  tan
4n
4n
4n
 2 4n 
2nd and 2nd last term
 
 2 

tan 2 tan  2n  2    tan   tan  (2n  2)

4n 
 4n 

 2 
  2 
 2 
 2 
 tan   tan  
  tan   cot   = 1
 4n 
 2 4n 
 4n 
 4n 
so like that all terms will become 1 and middle term will be tan 45 1
35.
(C)
sin x  sin 2 x  1
……….. ( 1 )
A  cos12  3cos10 x  3cos8 x  cos6 x  2
 cos6 x  cos6 x  3cos4 x  3cos 2 x  1  2
 cos 6 x  cos 2 x  1  2
3
From (1)
sin x  1  sin 2 x
sin x  cos 2 x
………. cos 6 x  sin x  1   cos 2 x(sin x  1) 
A  cos6 x  sin x  1  2
3
3
  sin 2 x  sin x   2
3
 1  2  1
3
36.
(A)
cos(A  B) 
3
5
tan A tan B = 2
sin A sin B = 2 cos A cos B
cos A cos B  sin A sin B 
 3cos A cos B 
cos A cos B 
………..(1)
3
5
3
5
1
2
& sin A sin B 
5
5
…….from (1)
3
37.
(D)


1
  2  3 cos 23  1 sin 23 
3
cos
23

sin
23
 4 2
4
2



1
sin(60  23 ) 
2 

1
sin 37 
2

1
cos 53
2
38.
(D)
100  125  225
taking tan on both sides
tan 100  125
tan 100
  tan  225 
  tan125
1  tan100 tan125
1
tan100  tan125  1  tan100 tan125
tan100  tan125  tan100 tan125 1
39.
(B)
tan  20  40   tan 60  3
tan 20  tan 40
 3
1  tan 20 tan 40
 tan 20  tan 40  3 tan 20 tan 40  3
40.
f  0 
cot 
1

1  cot  1  tan 
 f    f  
1
1  tan   1  tan  
it is easy to prove that if    
5
then,
4
5


 use     4 then take tan on both sides 
1  tan   1  tan   2
f    f   
41.
1
2
(A)
 tan A  6
ABC  
tan A, tan B  2
 tan A   tan A  6

 tan A
tan A tan B
 tan C 
6
3
2
tan C = 3
 tan A  tan B  tan C  6
tan A  tan B  3
tan A  tan B  2
tan A, tan B are roots of
x 2  3x  2  0
x = 1, 2
so, tan A = 1, tan B = 2, tan C = 3