Grado de Doctor en Ciencias Físicas

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B&C
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∂vj
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∂xj
∂xi
B&"C
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µt ∂vk
2
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B&C
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B&C
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∂xi
∂xi
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∂xi
B&3C
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∂xi
∂xi
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∂φ
∂2φ
∂2φ
∂φ
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∂x∂y
∂y
∂x
∂y
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2
(x − x2 ) +
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2
+
(x − x2 )2
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2
B&6C
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1
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B&2C
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B&C
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φ D > 8
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4 8
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; 5
&3
4 %
: : 9
7
9
$9 '% ;
9
> / L(φ) = 0
B&"C
/
D 7 φ∗ φ∗ = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + am xm
B&""C
/>
7 .
'
R = L(φ∗ )
B&"C
/ D+ D 7
D 7 ; W Rdx = 0
B&"&C
I > 4 9 ai 7 4 7
9
B
%C
(
φ > 9 9 =0
.
4 8
5 I Q " 9 > D " > 9 9 $9 F
1
9 FE
8
$9 F
1
BFE
8
C
$ 7 4 > > D D+ D / D
F
1
9 ' ;
5 F
1
5 > %
5 E D 5
D ; φ 4
E
> φ 4
7 φ D 7 & 9
("
" BC B*;C > 4 B*8C D ; 9 ∂2u
∂u
=α 2
∂t
∂x
B&"(C
*4
9
> un+1
− unj
α
j
=
(un − 2unj + unj−1 )
∆t
(∆x)2 j+1
B&"6C
7
9
D .
> − unj
un+1
∂2u
α
∂u
j
−α 2 =
−
(unj+1 − 2unj + unj−1 )
2
∂t
∂x
∆t
(∆x)
EDP
EDF
4 ∂ u
∂2u
∆t
(∆x)2
+α
+ ...
+ −
∂t2 n,j 2
∂x4 n,j 12
B&"2C
ET
D ' > 4
D B&"6C @
D 7% D D > & (
4 E
un+1
j
R" : - D Bunj C n+1
D 4 5 : un+1
, un+1
j
j+1 , uj−1 D D D .
D B&"2C .
- D Q
*; . *8 'B∆tC R 'G(∆x)2 H
D 'G∆t, (∆x)2 H
'B∆xC 5 1
D
'B∆xC D |ET | ≤ K|∆x| ∆x → 0 J 1
D9 .
4 7
/ D @
.
4 D D limmalla→0 (ET ) = 0
B&"C
5
D+ B : 'B∆xC C B
: 'B∆tC C @
D 5 % D 'B∆t/∆xC / 7 D B∆t/∆xC → 0
(&
9 .
> D <: $1) @
D 9
D D D B
C 5
D
5 D ; : 4 D *8.8
0
un+1
− un−1
α
j
j
=
(un − un+1
− un−1
+ unj−1 )
j
j
2∆t
(∆x)2 j+1
B&",C
D D /
4 D 7% B
B&"6CC
r = [α∆t/(∆x)2 ] ≤ 0,5 + + 1 E : D D > '[(∆t)2 (∆x)2 ]
> D 9
5 D D 1
.
=
D D D > D% D .
4 7 *; D + 5 D
7 D > 7
D > D 5 *; 9
D 4 *; ((
1D 9
.
& *; E 9 > 5
E D 5 5 5 8 9
> D 7 *18 D.
> @
9
.
-
-./0 D 9
D ; : ∂ρ ∂(ρvi )
+
=0
∂t
∂xi
B&"3C
5 9
∂ρ
∂ρ
∂vi
+ vi
+ρ
=0
∂t
∂xi
∂xi
B&C
- D ∂φ
Dφ
∂φ
=
+ vi
Dt
∂t
∂xi
B&"C
(6
φ B&C D Dρ
∂vi
+ρ
=0
Dt
∂xi
B&C
D "
# 9 9 7
D 4
5 B
D 4
C ; 4 5 * *; > *8 /
7 *8 * D % .
/
9 *8 - /
5 *; 5 / *4
. *
'
- . *
(2
5 8 B 5 F
-
C
; E 5 8 F
-.
5 7
7% "* B&"6C D D% un+1
− unj
α
j
=
(un − 2unj + unj−1 )
∆t
(∆x)2 j+1
B&&C
*:
un+1
j
un+1
= unj + α
j
∆t
(un − 2unj + unj−1 )
(∆x)2 j+1
B&(C
/ N = D + 1 - 9 5 4 />
B&(C (D + )n+1
= (D + )nj + α
j
∆t
((D + )nj+1 − 2(D + )nj + (D + )nj−1 )
(∆x)2
B&6C
1 * 7 B&(C 9
* D% D 9
: n+1
− nj
α
j
(n − 2nj + nj−1 )
=
∆t
(∆x)2 j+1
B&2C
D > 7 * / * 9
% D
5 % B C > 5 5 % (
/ D B:C >
B
C (x, t) =
∞
bm (t)eiKm x
B&C
m=0
Km = mπ/L > 9 9
9 m (x, t) = eat eiKm x
B&,C
a E : B&3C
n+1
= ea∆t nj
j
7
B&2C 5
ea∆t = 1 − 4rsen2
β
2
B&&C
β = Km /∆x > r = α∆t/(∆x)2 ; E % B&3C D : D n+1
j
4 D D
| ea∆t |≤ 1
B&&"C
D B&&C
r=
α∆t
≤1
(∆x)2
B&&C
(,
D 4
B&&C
G=
n+1
j
nj
B&&&C
D ( % D 9 D D | G |≤ 1
1 18
/ 5 ∂u
∂u
+c
=0
∂t
∂x
B&&(C
4 9 7% 7
un+1
j
unj+1 + unj−1
∆t
−c
=
2
∆x
unj+1 − unj−1
2
B&&6C
/ D G=ν=c
∆t
∆x
B&&2C
ν E 1
; ∆t c
∆x ≤ 1
D 1
.8 .O> B18C
B&&C
(3
; 7
D .
4 9 7% 6$
; D 9 7% % B > 5C D D D 4
5 B C > D D ; *
∂2u
∂u
∂2u
=α 2 +α 2
∂t
∂x
∂y
B&&,C
4 D 7% un+1
j,k
=
unj,k
+α
+α
∆t
(∆y)2
∆t
(∆x)2
(unj+1,k − 2unj,k + unj−1,k )
(unj,k+1 − 2unj,k + unj,k−1 )
B&&3C
18 7
α∆t
1
1
+
2
(∆x)
(∆y)2
≤
1
2
B&(C
> "
> % 7 9
G6H
6
; &* 18 G23H

V
olumen
celdilla(i,
j,
k)

= min 
2
2
2
(|v Si | + |v Sj | + |v Sk |) + c S + S + S

∆tCF L
i
j
B&("C
k
c 7
4 $A)* 7 D
7%
; %
> ∆tCF L ∆tCF L
∆z(∆r)2
=
|v |((∆r)2 + ∆z∆r) + c (∆r)4 + (∆z)2 (∆r)2
B&(C
> ∆t :
7% D % 5
: 6"
% D <: $1) > % <:
BD % <: C > .
4 % D D .
-./0 :
D % D :
9 -.
/0 7
9 9 + D .
<: B
C 9 4 5 > 9 -9
D -./0 > .
+ D 5 D > :
5 > 5 5 ; .
: 9 9 > 9 >
6
; 9
5 .
4 ; : <: D% D 9
B
C > 9
8%
9
7
9 .
9 D %
D 9
.
: > D &* ; D 9 -./0 <:
D > D % .
∂Q
+∇·F =0
∂t
B&(&C
9
9 D D% 7 D <: 



Q=



ρ
ρu
ρv
ρw
ρe
ρY k








B&((C
<: 4 6 Fv > Fnv BC > 9 > B) *C 6&
D D D
<: % F = Fnv − Fv
B&(6C
* D F = F(Q) E
D % 1
-./0
> 5 <: - D '>
B -./C
> 7
> 9 κ − 9
D B&(&C
-./0 .
. .
> %. B C : /
> .
9 7
> % : .
% + √
% δb ≈ L/ Re D δs ≈ L/Re >
δt ≈ LRe <: 1 5
D ; >% 9
9 <:√
<: 5 δb ≈ L/ Re > + B % C 4
D+ δb <: *
4
9
BC > B.
C 5
D 9 9 6(
9
> ; > D 9
.
> D D 5 D+ .
; D -.
/0 > 9 D
; -./0 >
9.
> 9 9 > % 9
-./0
66
"$
8
7
B
!C -./0 <: E '>
*
> @
.
% D E < + > +
% δ
7
9
/
% %
B
! !C 7
9
> 9
.
7
<: % > .
% E
9
D -./0 Fv D <: 1
7
<: > D+ 9
: 7
7
B
. C > + <: 5 D + .
B> D C ; -./0
9
.
> B> E
D % C 5
7
5
<: %
@
D 7
62
D 9
<: > D D <:
9 -./0 > 7
9
!
9.:1/ ;+5
-./0 ;4 B-/;C .
7
% E
9
D 7
Q D ; <: > 7
<: ; <: % > >
<
: ; 9
$ ; ;
> D 9
4 <: /
: 9 D 7
; <: <: .
p̄(x) D <:
∆p D 6
D E
.
> 5 > !
9.:1/ '
-./0 ' B-/'C -./0 ;4 7
D : <: * % > ;4
-/' 5 9
D -/; D -./0
!
!
D <: 7.
> -./0 1
> -./0 1 9 -.
/0 E '>
5
9 7
9
B&(&C E
D - D 9
9
.
> % > 9
6,
λi 1 9 > 7 % D 9 9
%
9 D >% < ; : <: <
D > D 9 D '
0
.A
G6H
.
9 > %
<: / 9
E $ > .
<: % <: <: 4
D 9
<: > D + 7
9 D && 63
!
9 5 .
7
> > : 9 7 D % D . 5 ;
: % ; > .
D
7 4 D 5 D 9 >
> D 9 9 > 4 4
<: > 4
> D 7
9 5
9 && > &2 9 D .
4 B C
D 9
.
9 4
E
> 9
4
.< E
2
8 & *
F
1
1E
4
> D & G,H E
% 7
> % 9 E
%
1 9 .
D
9
7 D 5 .
9 E
<
9 4
9.
> : > 9 E
G,H
"0
..
4
4
.
2"
9
FE
8
.
B&(&C 7 * 4 7 &*
3
∆Q
((aF )i− − (aF )i+ ) = 0
Vc +
∆t
i=1
B&(2C
Q Vc i = 1, 2, 3 i± a > F
<: : 9
FE
8
% B7>C > 5 %
9
> 9
*
8
.
B&(&C 5 > D > D .
%
> 9 4
: 9
9
5 : -./0 9.
> D D
7
5
4 &* %
∂ Q̂ ∂ F̂i
+
=0
∂τ
∂ξi
B&(C
Q̂ > F̂i <: > <: 4 / #
2
*9 4
9 4 9 F
8
> .
% 6 7
9 4 $A)* 9 F
9
> E
9
8
Ω .
> Q $
> = .
7 ∆Q
=
Mjk
∆t
∂Nj
Fi
dΩ −
∂xi
Ω
Γ
Fi ni Nj dΓ
B&(,C
Mjk 4 7
5 D .
8
> 7 7.
F
8
*
8
G,H
D 9
D
5 4
E
<: > 7
<: 2&
!
% &
4
D <: .
D <: ; 5 ".* D E
4
SiS F̂i+1/2 − F̂i−1/2
Ŝi+1/2 − Ŝi−1/2
∆Qi
+
=
∆t
∆x
∆x
B&(3C
∆Q/∆t 4 D 5 .
> F̂i±1/2 > Ŝi±1/2 9 <: <: > 6 .
<: 7
.
O((∆x)2 ) D 4 % % 9
S = µ ∂u
∂x Si+1/2 = µi+1/2
ui+1 − ui
∆x
B&6C
4 6
.
9 <: <
9 > D 9
.
> 2(
5
5 % 7 D 9
; >% D -./0
<: B8: C
9 9 <: D 7.
<: % D > >
<: > 4 D 9
>
.
B 9
T9
$@/1SC 5 7
1
> <: E E
B 9
?*M $A)* % 6C
9
.>
T9
.$@/1S <: >
> 9 <: >
B >
.
7
9
?*8 $A)*C
9
D .
/
7 D F9 : G"3(H D $A)* %
2 D 9 4 > 9
26
$ .
0
.
'
5 T
S
.
D 7
D * %
'
> 5 > D 7 '
D =
G(H
D 9
> / 9 '
7
% @
9 <:
,
(& ; : D G",&H ' G"6,H ? G"&2H /
> I
G"&H > ,
& 4 D 4 5 ".*
∂Q ∂F
+
=0
∂t
∂x
B&6"C
F <: BG6H ,"C
∂Q
∂Q
+ [A]
=0
∂t
∂x
B&6C
[A] 4 #
<:
[A] =
∂F
∂Q
B&6&C
7 :
4 D
22
[Λ] = [T −1 ][A][T ]
B&6(C
[Λ] 4 > [A] [A] 4 > 4 [T −1] 4D [A] <: F F = [A]Q
B&66C
4
* / > I
p = ρf (e)
B&62C
e % <: F(Q) 9
Q D D
F(αQ) = α(FQ)
B&6C
D α
1
B&6(C > B&66C <: F F = [A]Q = [T ][Λ][T −1 ]Q
B&6,C
; <: | u |≤ a 4 [Λ] 2
B
C
> B C
[Λ] = [Λ+ ] + [Λ− ]
B&63C
1
B&6"C > % D 4 .
B9 : G6H 2& %
%
C /
9 4.
B&6"C > <: F 4
∆Q F̂i+1/2 − F̂i−1/2
+
=0
∆t
∆x
B&2C
F̂i±1/2 <: 9 D .
% - D : F̂i+1/2 <: ; B&6,C <: [Λ± ] > <: Q * <: @
4 [Λ] > 4 <: .
9 <: D D 5
9
D ,
&
$ 0 .
6 [A± ] = [T ][Λ± ][T −1 ] y F± = [A± ]Q
> <: 9 & B&2"C
2,
−
−
F̂i+1/2 = F+ (Q+
i+1/2 ) + F (Qi+1/2 )
B&2C
<: D D F = F+ + F− Q± 7 7
<:
9
/ > I
G"&H .
[Λ±
ij ] =
[Λij ]± | Λij |
2
B&2&C
U <: 9 F̂i+1/2 = [T ]([Λ+ ] + [Λ− ])[T −1 ]Q = ([A+ ] + [A− ])Q = F+ + F−
B&2(C
1 D
5 <: / > I
D
9
F
G",&H B& C : D / > I
<: .
E $ D <: 4
* D > 5 D D
% > 9
.
/
D .
23
! 0 ' G"6,H B&-
C .
B&2C B&2&C
> <: 9 F̂i+1/2 =
−
−
F+ (Q+
i+1/2 ) + F (Qi+1/2 )
2
1
−
+ [T̄ ][| Λ̄ |][T̄ −1 ](Q+
i+1/2 − Qi+1/2 )
2
B&26C
[T̄ ] > [Λ̄] E
B 'C
M > D
D [Λ̄] % 7
> 4 D * A
G,,H | λ̄ |=
λ̄2 + (δ/2)2
B&22C
: D
!8 ( 9 4D > B C Q+
i+1/2 = Qi
Q−
i+1/2 = Qi+1
B&2C
/ D > D 5 5 * 7
4 > 5
7.
$@/1 F
G,H > 9
<: A
G,,H
9
Q± 7
> D > > 9 <:
7
$@/1 5 9 .
Q+i+1/2 > .5 Q−i+1/2 D Q+
i+1/2 = Qi +
Q−
i+1/2 = Qi+1 −
ϕi
((1 + k)∆+ Q + (1 − k)∆− Q)i
4
B&2,C
ϕi+1
((1 + k)∆− Q + (1 − k)∆+ Q)i+1
4
B&23C
∆+ Qi = Qi+1 − Qi
B&C
∆− Qi = Qi − Qi−1
B&"C
D% ϕ B <:C > 0 .
4
; ϕ = 0 D . O(∆x)
ϕ = 1 D 1
5 D
/ 0Q" D O((∆x)2 ) 0Q"!& D .
B
C O((∆x)3 ) 0Q . O((∆x)2 )
> 0Q." D . O((∆x)2 )
ϕ <: 9 D 7
> 9 D D% > " > .
% B% F*C > 7
"
@
E <: : 1
G"3(H
E
D ϕi = ϕi (∆+ Qi , ∆− Qi , ...).
B&C
> D D+ 7
4
ϕ > D > > 9 5 Q
9
<: A
G,,H U G"3(H .
4 D <:
B &-
C ' <:
B&26C Q+i+1/2 = Qi > Q−i+1/2 = Qi+1 9
<:
O((∆x)2 ) > 9
. ; .
9
+ 9
B&26C
D D 1 7 B DC <: D D . D <: <: 9
<:
F̄i+1/2 =
1
Fi+1 + Fi
+ [T̄ ]φi+1/2
2
2
B&&C
9
9
. ' B&26C [T̄ ] 4 > φ % <: : : D T9τ
TO
SF* U > A
@
% .
U G"3(H
D 9
'
7 <
% 5 E $ [Λ+ ] = [Λ− ] = [Λ]/2
B&(C
U <: 9 F̄i+1/2 =
Fi+1 + Fi
2
B&6C
> #
[A] > 4
/
D % <
9
> D 5 > B C > .
; + 9
G6H
9
9
d4 > 9
d2 <: 9 F̄i+1/2 =
Fi+1 + Fi
+ d4i+1/2 − d2i+1/2
2
B&2C
9
d4 4 D+ B : C 4
d =
4 ∆x
∆t
∆x4 Qxxx
4 B&C
&
9
D d2 9
D 2 ∆x
d = ∆x2 Qx
∆t
2
B&,C
2 D .
4 9
> D+
O(∆x) *
G,H G6H
9
.
D+ 9 7
; % > <: .
<: ; G"3(H
(
/ D D <: 4
#
[A] <: B8: C
D 4
:
.
Ψ(A) #
D 4
; <: > &* > <: *> G2"H 9 Ψ(A) D > E 9 D E D% <: #
<: λ0
Q un
λ+
Q un + c
λ−
Q un − c
c > un .
B C
E λ+ > λ− 1 D λ0 n − 2
6
E Bρv ρe ρκ ρL ρY s " E C
G2"H D Ψ(A) Ψ(A) = φ0 [I] + (φ+ − φ0 )r+l+ + (φ− − φ0 )r−l−
B&3C
φ0 = Ψ(λ0 ),
φ+ = Ψ(λ+ ),
φ− = Ψ(λ− )
B&,C
> r+ r− l+ l− 4D λ+ > λ− D Ψ(A) .
D D E #
<: |A| (A)
#
$A)*
D 4 <: 9 ' 4
<: % 6
2
' !
-./0 4
.
<: : 4 D E $ ; E
9
9 9 9 9 .
9
7% 9 % &" $9 7% > D E > 9 7% > 4
> .
4
/
9 7% 9 > > <: E '>
$9 )% : D 9 7%.
; + : 4
> 4
9.
% ; 9 % 4 D 9 7% 4 > 9 9
.
D D D > > D
D D D > + 9
4
>
4 D * 9
D D D .
D 7.I
V D .
$.10
D D D 4
> E
> : D 9.
4 : % 9 '
.J > >% D % .
? 9 4
D + <: B
C D
.
4
D > > * D <
4
> ; D 7% D 4
D >
: : .
D D D+ > D+ <: E '>
9 D% ; 4
D 7%
9
<: <: : E '>
E '>
D ,
% 9 ; D ; D > 9 B
C 9 D > D ;
.
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9
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B6,C
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B63C
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B6"C
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2
B6"&C
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B6"6C
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B6"2C
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2
2
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B6"C
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L
B6",C
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B6"3C
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4 κ− 4
4 L 4 4
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∂t
∂xi
B6C
∂(ρL) ∂(ρvi L − ψiL )
+
= ρW L
∂t
∂xi
B6"C
W κ > W L 9
κ > L
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ψiL =
µt ∂κ
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σκ ∂xi
µt ∂L
L
µ+
+ πL ψiκ
σL ∂xi
κ
πL κ
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L
B6C
B6&C
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ρ
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B66C
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P =
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B62C
7
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κ1/2
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L
B6C
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B6,C
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L
9
L √
W L = Cµ3/4 CL κ
B63C
CL CL = cL2 + cL1
−(σL
κ eq
κ
∂L ∂L
∂κ ∂κ
∂κ ∂L
Cµ )−1 bLL
+ bκκ
+ bκL
∂xi ∂xi
∂xi ∂xi
∂xi ∂xi
B6&C
σκ σL πL cL1 cL2 bLL bκκ bκL .
σκ σ c1 > c2 κ − :
cL1 =
3
− c1 ; cL1 ∈ [0,0, 0,1]
2
B6&"C
3
cL2 = − + c1 ; cL2 ∈ [0,4, 0,5]
2
B6&C
Cµ (cL1 + cL2 ) χ−2
B6&&C
bLL = 1 + σL
χ J
B0,4 0,43C / bLL = 2,0
κ − D χ2
σL = σ = (cL1 + cL2 ) ; σL , σ ∈ [1,0, 1,5]
Cµ
B6&(C
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bκκ
3
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I + h∆τ
I + h∆τ
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(∆q)1
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n ∂A2
I + h∆τ
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∂ξ2
n ∂A3
I + h∆τ
(∆q)3
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(∆q)n
= (∆q)expli
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∂ξi
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B62C
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∂ξ1
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∂ξ1
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1)
(∆q)1 + h∆τ
∆ξ1
(∆q)1 + h∆τ
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B622C
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1
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2
2
B62C
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qd = qi
B62,C
1
D δf =
1
1
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2
2
B623C
δqi = qin+1 − qin
B6C
δϕ = ϕn+1 () − ϕn ()
B6"C
> qin+1 15 δϕ
1
2
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B6C
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2
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