Presentación de PowerPoint

Caracterización Automática de
Yacimientos Petroleros Naturalmente
Fracturados de Triple Porosidad
Rodolfo Camacho, Mario Vásquez, PEMEX
S. Gómez, G. Ramos, C. Minutti, UNAM
CINVESTAV-2015
Objetivo: Caracterizar el Yacimiento
para predecir la producción en
Yacimientos Naturalmente Fracturados
de México
Encontrar las propiedades del medio poroso,
en forma automática,
Usando pruebas de presión con
Datos de presion y log-derivada
Objetivo: Caracterizar el
Yacimiento
Necesitamos :
•Utilizar un modelo matemático de flujo
•Desarrollar Métodos Numéricos y de Optimización
•Generar código prototipo para usar en el campo
Robusto: buena interpretación de diferentes datos
Eficiente: Velocidad en casi tiempo real
Trabajamos con un Modelo de
Triple Porosidad- Doble Permeabilidad
Camacho et al, SPE 77689, 2002
Fuentes et al, SPE92116, 2004
Representación esquemática de un
yacimiento
(Pozos penetrados parcial o totalmente)
Modelo de flujo de
Yacimientos de Triple Porosidad

Coordenadas cilíndricas ( r, z )
 Adimensional para lograr graficas estandar
(independiente de las dimensiones)
 Sistema de tres ecuaciones acopladas, para
modelar un yacimiento naturalmente fracturado
y vugular (cavidades grandes—mm)
Triple Porosidad– doble permeabilidad
(pozos de penetración Total y Parcial )
2
1 ∂  ∂p f 
1 ∂ pf
∂
 r
 − κ z 2
ωf
=
p f −κr
2
∂t
r ∂r  ∂r 
hD ∂z
λmf ( pm − p f ) + λvf ( pv − p f )
∂
ωm pm = λmf ( p f − pm ) + λmv ( pv − pm )
∂t
Fracturas
Matriz
∂
1 ∂  ∂pv 
1 ∂ 2 pv
ωv
pv − (1 − κ r )
=
r
 − (1 − κ z ) 2
2
∂t
r ∂r  ∂r 
hD ∂z
λvf ( p f − pv ) + λmv ( pm − pv )
Vugulos
Modelo de Triple Porosidad
Presión en fracturas, matriz y vúgulos: p f (t , r , z ), pm (t , r , z ), pv (t , r , z )
Permeabilidad radial y vertical:
Porosidad relacionada con los
coeficientes de almacenamiento:
Coeficientes de interacción (M-F-V):
κ r , κ z ∈ [0,1]
ω f , ωv , ωm = 1 − (ω f + ωv )
λmf , λmv , λvf
desconocidos
Un Modelo para 3 tipos de
yacimientos
Triple Porosidad
Varios casos
Precision es la clave
Caracterización
Doble Porosidad
Una
ω≈ 0
Una Porosidad
Homogeneo
ωv ≈ 0 ,
ωf
≈1
Detectar Automaticamente
PS, PD, PT
Pozos de Penetración Total
Penetración TOTAL: parámetros desconocidos
1 ∂
Kr
r ∂r
F
 ∂p f 
∂p f
 − λ mf p m − p f + λ vf p v − p f = ω f
r
 ∂r 
∂t


(
(
)
− λ mv ( p m − p v ) − λ mf p m − p f
(
)
∂p m
= 1 − ω f − ωv
∂t
) (
)
M
V
∂p v
∂  ∂p v 
(
)
 + λ mv p m − p v − λ vf p v − p f = ω v
r
r ∂r 
∂t
∂r 
(1 − K r ) 1
(
)
ωv , ωf = coef. de almacenamiento (porosidades)
λmf λmv, λvf = transferencia entre matriz-frac-vúgulos
Κr = permeabilidad relativa
Condiciones iniciales y de frontera
Flujo primario solamente en fracturas o en vúgulos
Condición inicial
p f (0, r , z ) = 0
La presión inicial es uniforme a lo largo del yacimiento.
Frontera superior e inferior
p f (t , r ,0) = p f (t , r ,1) = 0
Presión constante tratado como gas o agua.
Condiciones iniciales y de frontera
Frontera interior:
El pozo es una línea vertical y de flujo constante.
H ( z − h1 ) − H ( z − h p )
 ∂p f (t , r , z ) 
 = −
lim r
= −1
r →0
∂r
hp


Frontera exterior:
El yacimiento es infinito.
lim p f (t , r , z ) = 0
r →∞
Cond. de
Frontera
Efectos de Pozo
=PARAMETROS DESCONOCIDOS
Para trabajar con DATOS REALES necesitamos
trabajar con variables con dimensiones y necesitamos
Otro PARAMETRO DESCONOCIDO
La solución Analítica
del sistema de ecuaciones se obtiene usando
la transformada de Laplace
(τ = tiempo de Laplace)
La solucion para pozos de penetración Total
K 0 (β (τ )r )
pˆ f (τ , r ) =
τβK1 (β (τ ) )
β k (τ ) = h(τ , ω f , ωv , λmf , λmv , λvf )
[
Γk = cos(kπ (h1 + h p )) − cos(kπh1 )
]
9 Parámetros que hay que
estimar
x = ωv , ω f , λmf , λmv , λvf , κ , s, CD , k f + kv
Coeficientes que debemos encontrar: identificar
Coeficiente almacenamiento en vúgulos = ωv
Coeficiente almacenamiento en fracturas = ωf
Coeficiente de transferencia matriz-fracturas = λmf
Coeficiente de transferencia matriz-vúgulos = λmv
Coeficiente de transferencia vúgulos-fracturas = λvf
Permeabilidad relativa = Κ
Daño causado por el pozo en la formación = s
Efecto de almacenamiento = CD
Permeabilidad Total [cP] = KT
Pozos de Penetración Parcial
MODELO DE FLUJO
Triple Porosidad – doble permeabilidad
2
1 ∂  ∂p f 
1 ∂ pf
∂
 r
 − κ z 2
ωf
=
p f −κr
2
∂t
r ∂r  ∂r 
hD ∂z
λmf ( pm − p f ) + λvf ( pv − p f )
∂
ωm pm = λmf ( p f − pm ) + λmv ( pv − pm )
∂t
Fractura
Matrix
∂
1 ∂  ∂pv 
1 ∂ 2 pv
ωv
pv − (1 − κ r )
=
r
 − (1 − κ z ) 2
2
∂t
r ∂r  ∂r 
hD ∂z
λvf ( p f − pv ) + λmv ( pm − pv )
Vugulos
La solución para Pozos
de Penetración Parcial
p
ˆ f (τ ) =
2
2 2
π h pτ
∞
2
Γk
K
(
β
(
τ
))
0
k
2
k =1 k
∑
β k (τ ) = h(τ , ω f , ωv , λmf , λmv , λvf )
[
Γk = cos(kπ ( h1 + h p )) − cos(kπh1 )
]
Problema a resolver
 Para pozos de penetración parcial:
Calcular con suficiente precisión
la suma infinita usando aceleración de series
pˆ f (τ ) =
2
2 2
π h pτ
∞
2
Γk
))
K
(
β
(
τ
0
k
2
k =1 k
∑
Artículo sometido a Mathematical Modelling
13 Parámetros que hay que
estimar
Sensibilidad de la Presión para100,000
conjuntos de parámetros aleatorios
Efecto de λ en las curvas en tiempo real
2. Estimación de los
coeficientes del modelo
“Caracterización del yacimiento”
Problema Inverso usando
Optimización
Datos para la Caracterización
1.00E+02
“log-derivada”
1.00E+00
pD y p D '
d
p (t )
d (log(t ))
1.00E+01
1.00E-01
1.00E-02
1.00E-03
1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06 1.00E+07 1.00E+08
tD
Objetivo:
Obtener los coeficientes que reproducen las graficas
Sencilla, Doble y Triple
porosidad DATOS tipicos
Sencilla
Doble
Triple
En la práctica, en el caso de porosidad triple, existen efectos
paralelos que pueden producir una curva que parece de
porosidad doble escondiendo la verdadera naturaleza del
flujo.
Optimización en el tiempo de Laplace
Identificación de los coeficientes:
Min F = pˆ f (τ , x) − data (τ )
Sujeto a:
2
2
data (τ ) = L(data (t ))
x1 + x2 ≤ 1
xmin ≤ x ≤ xmax
El gradiente analítico puede obtenerse: ¡VELOCIDAD !
Transformación de los DATOS que estan en Tiempo
Real al espacio Laplace
Datos Originales
Datos en Laplace
t0
t1

tN
p0
p1

PN
∞
L(data ) = ∫ data e −tτ dt
0
Laplace
τ 0 pˆ 0
τ 1 pˆ 1
 
τ N PˆN
SENSIBILIDAD DE LA
FUNCION OBJETIVO
Los valles pueden ser muy estrechos
(agujas del orden 10-5 , 10-7 )
x(1) = ωv
x(2) = ωf
DATOS
Triple
Porosidad
Zoom
10-5
Variables λmf vs λvf
Valles muy estrechos
Zoom
10-7
Valor promedio de F con respecto a λ
Para identificar λ la función Objetivo es Plana
Casi en todo el intervalo. Zoom
Impacto de encontrar mínimos con
precisión en la predicción de producción
1.E+02
1.E+00
1.E+01
qwD
1.E-01
True Min
Min 1
True Min, reD=2x103
Min 1, reD=2x103
1.E-02
1.E+00
1.E+02
1.E-02
1.E+01
1.E+01
1.E+02
1.E+03
1.E+04
1.E+05
tD
1.E+06
1.E+07
1.E+08
1.E-03
1.E+09
1.E-01
qwD
1.E-03
1.E+00
p wD & p wD'
p wD & p wD'
1.E-01
1.E+00
1.E+00
1.E-01
1.E-02
1.E+00
1.E-02
True Min
Min 1
True Min, reD=2x103
Min 1, reD=2x103
1.E+01
1.E+02
1.E+03
1.E+04
1.E+05
tD
1.E+06
1.E+07
1.E+08
1.E-03
1.E+09
Impacto en la producción
qwD
cuando la solución óptima NO se tiene con
suficiente precisión
True Min
Processor 1
Processor 4
Processor 7
True Min
Processor 1
Processor 4
Processor 7
Metodo de Optimización GLOBAL
TUNEL
 Para encontrar varios mínimos con
precisión
 Para moverse de puntos malos (en valles
planos o muy profundos) donde los
metodos locales como LM se “atoran”
Convergencia a mínimos con
“buen ajuste a los datos”
( ) ( )
Método TUNEL
( )
f x ≥ f x ≥ f x
*
1
f(x)
*
2
*
G
min
Fase
Tunel
Fase
tunel
x
*
2
*
3
x
x
Crea un polo para
destruir el mínimo
f(x)
f*
f*
x*
x
x
T(x)
= x° solución
X*
x
Para poner un polo en x* se usa la Función Túnel
1. Función Clásica,
2. Función Exponencial ,
Where λ* is the strength of the pole
 . is the squared euclidean norm
Minimos al mismo nivel
T( x ) =
f ( x) − f *
l
∏ || x − x* ||
i =1
= 0
λ*
Encontrar mínimos al mismo nivel dentro de un
intervalo de F*
Con BUEN AJUSTE a los datos
F*
x*
T(x)
Polos Móviles
f(x) - f*
1
T (x) = -------------- . ---------------|| x - x* || λ* || x - xm || λm
f (x)-f *
x*
xm
x°
Levy-Montalvo , Levy-Gomez, Gomez-Barron,
Gomez-Castellanos
x
Ejemplos Sintéticos: Exhaustivo
Se crearon 3240 juegos de datos con las posibles
combinaciones de los valores de los coeficientes:
En este conjunto, los casos de una, doble o
triple porosidad estan incluidos.
Tiempo promedio, Laplace vs Real
Tiempo promedio
(Laplace )
0.17 (sec)
Tiempo promedio
(tiempo real )
10.52 (sec)
Tiempo Ejecución (seg)
250
200
Tiempo
Laplace
150
Tiempo
Real
100
50
0
-100
1900
3900
5900
No. Iteraciones
7900
9900
60 veces
mas
rapido con
Laplace
Resultados de la optimización usando el método
local (TRON-LM) y el global (TUNEL).
Se considera exitoso si F(x) < 10-10
Optimizador Local
Optimizador global
(Tunel)
59%
100%
Tiempos Laplace en PT
(1296 juegos de datos)
Menos
de 1 seg.
Menos
de 1 min.
861
327
44
119
24
67.53%
25.65%
3.45%
9.33%
1.88%
1 a 2 min. 2 a 3 min. Mas de 3 min.
Gráficas exactas y calculadas método global .
Curvas de presión, derivada y gasto.
Filtrado de ruido
“denoising” o filtrado Usando wavelets, curvas tipo y splines
Filtrado de ruido
Se usan los datos filtrados por splines para calcular la transformada de
Laplace y hacer la optimización. Con los parámetros obtenidos se
grafica la derivada.
Parámetro
Valor
wv
1x10 -1
1x10 -1
wf
1x10 -4
1.4x10 -4
λmf
1x10 -6
1x10 -9
λvf
1x10 -4
1.1x10 -4
λmv
1x10 -8
1x10 -6
κ
0.5
0.5
Conclusiones
 Usando el Metodo del Tunel se logro el ajuste
en el 100% de los casos sintéticos
 Logramos optimizar en el tiempo de laplace
en tiempos RECORD.
 Estamos filtrando los DATOS CON RUIDO
Estamos resolviendo casos de pozos reales
Estamos trabajando en penetracion parcial
GRACIAS
[email protected]