Análisis no lineal de secciones de CR en flexión y flexocompresión

Análisis no lineal
de secciones de
CR en flexión y
flexocompresión
Ingeniería Civil, UAZ
Diego Miramontes De León
Introducción
• Lecciones
anteriores
Charleston, SC, 1886
Tokio, Japón, 1923
Istambul, Turquía, 1999
...
revisar procedimientos,
confirmar límites,
mejorar predicciones
Diego Miramontes De León
Hipótesis básicas
1. La distribución de la deformación en el concreto, varía
linealmente con la profundidad al eje neutro.
2. La deformación del acero es igual a la deformación en el concreto
a nivel del refuerzo.
3. Los diagramas esfuerzo-deformación de los materiales son
conocidos.
4. La falla ocurre cuando la deforma­ción en el concreto en la fibra a
compresión máxima alcanza el valor de ε = 0.003 ?
u
5. La deformación promedio en una ba­rra de acero no es
notablemente diferente a la deformación máxima de esa barra.
Diego Miramontes De León
 c = P/A (kg/cm 2 )
Comportamiento del concreto
400
P
Área (A)
300
Acortamiento a
200

100
0
0.001
0.002
0.003
0.004
Deformación unitaria
0.005
P
ε c = a/
Diego Miramontes De León
Primeros modelos
 ’c
0.15  ’c
Esfuerzo
Lineal
(
fc = f 'c 2 ⋅ ς − ς 2
Ec
)
Donde
ς = ε c /ε 'c
ε 'c
εc
Deformación
Ley de comportamiento monotónico del concreto de Hognestad (1951)
Diego Miramontes De León
Concreto confinado
c
Z=
K   c
tg θ
  c
  c
0.5   c
Concreto no
confinado
0
ε
0.002
50v
K 0.002
Concreto
confinado
ε 50h
θ
ε 50c
εc
Grafica representativa del concreto confinado (Kent y Park).
Diego Miramontes De León
Modelos cíclicos para concreto
(εun, fun)
.. .
(εre, fre)
.
fc
(εnew, fnew)
.
εplcr
εc
Curva cíclica (Sihna et al 1964)
Envolvente numérica
.
(εcr, fcr)
.
εpl
Modelo cíclico bajo
envolvente monotónica
Martínez Rueda (1997)
(εf, ff)
Diego Miramontes De León
2
s = (kg/cm )
Comportamiento del acero
10000
8000
6000
4000
2000
0
0.1
0.2
0.3
εs
Curvas esfuerzo-deformación de aceros laminados en caliente para barras de refuerzo
Diego Miramontes De León
Modelos para acero
fr
esfuerzo
esfuerzo
fr
fy
εy
εr
deformación
fy
l3
l2
l4
l6
l5
l1
εy
εu
εr
deformación
Diego Miramontes De León
Leyes de comportamiento
εc
ε
c
y
e.n.
f(y)
dy
fs
f 't
fs
f 'c
εs
confinado
f'c
no confinado
ε o ε co
deformación
εc u
comportamiento del concreto
fu
esfuerzo
esfuerzo
b
fy
εy
deformación
εu
comportamiento del acero
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Leyes adoptadas
Concreto
Acero
Es
fr
esfuerzo
esfuerzo
f 'c


ης
f c = f c' 
η 
 η − 1+ ς 
l3
l2
l4
l1
donde η = Ec / (Ec-Es) , ς = εc / ε'c
Ec
ε'c
εc
deformación
Popovics (1973)
k=1+ρ
fy
l6
l5
fyv
f 'c
(N-Nb)
ξ =1 - 0.575
f´c Ag
factor de
confinamiento
asv
efecto de
fuerza axial acc
εy
εu
εr
deformación
multilineal
Vasv
ρ=
Vacc
s
f 'cc = kξ f 'c
Diego Miramontes De León
Expresiones generales
εc
ε
c
y
e.n.
f(y)
dy
fs
f 't
fs
f 'c
εs
b
Vc =
Volumen bajo la curva
Hipótesis de Navier
y=
cε
c
∫0 b
f ( y ) dy
εc
Fuerzas internas :
bc ε 2
Nc =
f (ε ) dε
ε c ε1
∫
Mc =
bc 2
ε
2
c
ε2
∫ε
ε ⋅ f ( ε ) dε
1
Diego Miramontes De León
Expresiones propuestas
'
Reformulación ec. de Popovics : f ( y ) = f c
 yφ 
η '
 εc 
 yφ  η
η −1+  '
 εc 
Fuerzas internas de compresión (b constante)
N c = bφ ⋅ η E s
c
∫0
y ⋅ dy
 φ ⋅ y

η − 1 + 
' 
 εc 
η
M c = bφ ⋅ η E s
c
∫0
y 2 ⋅ dy
 φ ⋅ y

η − 1 + 
' 
 εc 
η
Fuerzas internas de tracción (b constante)
cambiar ε'c por ε't, f 'c por f 't y Es = f 't / ε 't
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Integración numérica
M c = bφ ⋅ E s ∫
Método de Gauss
aux:=0;Mt:=0;
M c = bφ ⋅ Es ∫
c
c
0
η y 2 ⋅ dy
 φ ⋅ y
η − 1 +  ' 
 εc 
η
n
Mc = ∫ f (x)dx= ∑wi f (χi )
b
a
i
η y 2 ⋅ dy
η
0
for
j:=1
 φ ⋅ y to 8 do
η − 1 +  ' 
begin
 εc 
aux:=ww[j]*exp(2*ln(aa+(bb-aa)*0.5*(xx[j]+1)));
aux:=aux/(bta-1+exp(bta*ln((aa+(bb-aa)*
0.5*(xx[j]+1))*ro[i]/ept)));
Mt:=Mt+aux
end;
Mt:=b*ro[i]*Es*(Mt*bta*(bb-aa)/2+(aa*aa*aa/3))
Diego Miramontes De León
Agregando el acero
Fuerzas internas de compresión (b constante)
nρ bEs
N=
f c' d
c
∫
0
nρ bEs
M=
f c' d 2
ydy
 ρy
n − 1+  ' 
 ε 
c
∫
0
n
+
∑
y 2 dy
 ρy
n − 1+  ' 
 ε 
n
+
pi  ε u (c − d i ) 

 Ea
f c' 
c

∑
pi
( ε u (c − d i ) ) (c − d i ) Ea
f c' dc
φ = ρ =
εc
c
pi =
Asi
bd
Diego Miramontes De León
Centro de presión
Dado que la posición del eje neutro cambia para cada nivel de carga,
es preferible calcular la respuesta a partir de un punto fijo, éste será
el Centro plástico
(
)
1
bh 2 f c' + ∑ Asi f y d i
Yp = 2
bhf c' + ∑ Asi f y
nρ bEs
M=
f c' d 2
c
∫
0
(Y
p
− (c − y ) ) ydy
 ρy
n − 1+  ' 
 ε 
n
+
∑
pi
( ε u (c − d i ) ) ( Y p − d i ) E a
f c' dc
φ = ρ =
εc
c
pi =
Asi
bd
Diego Miramontes De León
Resultante de compresión
Para simplificar la integral de M, puede calcularse la posición de la
resultante de compresión y con ello determinar el momento :
yc =
Mc
Nc
_
y = c − yc


nρ bE
M =  ' 2s
 fc d


c
∫
0


_
ydy
 (Y p − y ) +
n
 ρy 
n − 1+  '  
 ε  
∑
pi
( ε u (c − d i ) ) (Yp − d i ) Eai
f ' c dc
La integral es la misma que se tiene para la fuerza normal, por lo
tanto ya no se necesita calcular en este paso.
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Algoritmo
Propiedades
geométricas
materiales y
fuerza axial N
puntos
a calc.
k>4
1. εsp=εcu ; i=1
ε(d)=εsy
c[i]=εsp(d) / (εsp+ εsy)
*N
b
y t, y b
k=1 + ρ (fyv/f'c)
(N-Nb)
ζ =1 - 0.575
f´c Ag
c1 = 0; c2 = h;
iteración i
i=i+1
c[i]=(c1+c2)/2
2. εin=εcr
εsp = c[i](εcr) / (h + c[i])
3. ε(d)=εsy
εsp = c[i] (εd) / (d + c[i])
4. εsp=εcu
5. εsp=εcu + 0.0001
* C = ∫ Ncc + Nasc
T = ∫ Nct + Nast
εd(i) = (εsp) (d(i) + c[i]) / c[i]
C+T>N
c2 = c[i]
C+T<N
c1 = c[i]
C+T=N
Mk, φk
i=1, k=k+1
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Validación
1. Efecto de la fuerza axial en la relación M-φ
2. Comparación entre diferentes resultados numéricos
3. Comparación de resultados numéricos / experimentales
Envolvente para una columna con concreto de alta
resistencia
Envolventes para elementos sujetos a fuerza axial
elevada
Diego Miramontes De León
Efecto de fuerza axial
8
6
350
4
300
2
0
-2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Momento kN-m x 102
5
Momento kN-m
Fuerza normal kNx103
10
250
200
150
400
Eφ 10mm @ 80mm
100
N<Nb
N>Nb
N>>Nb
aumento de resistencia
reducción importante
de la ductilidad
reducción drástica de
resistencia y ductilidad
N (kN)
12 φ 20mm
50
00
f'c = 40 Mpa
fy = 400 Mpa
400
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
0
500
1000
2000
3000
4000
8.0
9.0
Curvatura m-1 X10-3
Diego Miramontes De León
Resultados numéricos
3
3φ16
30
f'c = 30 Mpa, fy = 513 Mpa, fu = 640 Mpa
3φ16
30
250
140
200
Momento kN-m
Momento kN-m
120
100
80
60
N / Nu = 0.1
análisis propuesto
40
Manfredi & Pecce
20
150
100
N / Nu = 0.4
análisis propuesto
50
Manfredi & Pecce
0
0
0.05
0.1
1.5
2.0
2.5
-1
Curvatura (m X 10-2 )
3.0
3.5
0
0
0.05
0.1
1.5
2.0
-1
-2
Curvatura (m X 10 )
2.5
Diego Miramontes De León
Concreto de alta resistencia
Comparación envolvente numérica / experimental
150
A
N
N
Eφ8@50 A
150
500
50
250
50
Sección AA
150
7
CEB
Análisis propuesto
6
100
5
Momento kN-m
Fuerza Normal kN x 103
f'c = 80 Mpa
fy = 531 Mpa
fu = 641 Mpa
N=1000kN
250
Eφ10 @150
1030
Alta resistencia
4
3
2
50
0
-50
Experimental
Galeota et al.
Análisis propuesto
1
-100
0
-1
0
20
40
60
80
100 120 140 160 180 200
Momento kN-m
-150
-2
-1.5
-1
-0.05
0
0.05 1
Curvatura (m-1 ) x 10-2
1.5
2
2.5
Diego Miramontes De León
Fuerza axial elevada
5
Fuerza normal kN x 103
4
3
0.74Nu
0.61Nu
2
1
0
Especímen A-3
-1
-2
-2.5
Especímen E-13
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Momento kN-m x 10
2
250
180
160
140
Momento (kN-m)
Momento kN-m
200
150
N=0.61 f 'c.Ag
100
A-3 Experimento
Kent-Park
Mander
Sheikh-Uzumeri
propuesto
50
120
100
N=0.74 f 'c.Ag
80
E-13 Experimento
Mander
Kent-Park
Sheikh-Uzumeri
propuesto
60
40
20
0
0
0
0.05
1.0
1.5
Curvatura m-1 x10-1
2.0
2.5
3.0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Curvatura m x 10
-1
1.2
1.4
1.6
-1
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Ejemplos en tiempo real
3
3φ16
30
Dasba : Datos para el análisis de secciones en concreto armado
3φ16
30
Asba : Análisis de secciones en concreto armado
India : Interaction Diagram
Diego Miramontes De León
Diagramas de interacción
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
-200
-400
-4000
800
normal force (kN)
normal force (kN)
Respuestas de secciones simétricas y asimétricas
-2000
0
2000
moment (kN-cm)
4000
600
400
200
0
-200
-3000 -2000 -1000 0
1000 2000 3000
moment (kN-cm)
Diego Miramontes De León
Modelos en variables globales
Así como se han utilizado las relaciones deformación-esfuerzo del concreto y
del acero, es posible utilizar respuestas integradas, por ejemplo momento
curvatura.
Además es posible incluir el comportamiento sísmico o cíclico en el análisis
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Modelos cíclicos
F
Y+
f y+
c
a
b
Ky
f y+
Ky
F
Um
+
Y
+
f cr
D
α k'
D
D
f cr
Ky
Y
f y-
-
Clough (1966)
M
4+ +
4
3-
2-
5-
Y
-
x3 - boucle
R3
f yR2
Um
'
1+ +
5
3+
+
5
3+
+
(c +
p ,mp)
φ
M -y
RoufaielMeyer
(1987)
+
(c +
m,mm )
e i2+
e i1+ 1
e i+
5
e i+
4
44-
m+
y,o
m+
y
m+
c
e i3-
e i4-
e i5e i1-
e i2-
de faible
amplitude
Takeda et al (1970)
m
2+
M+
y
3-
k'
F
d
e i3+
e i3+
c
e io
m-y
m-y,o
- m(s)
m-c
Mork (1994)
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Modelo propuesto
phenomena
- cracking
-yield of steel
-crushing strain
-constant normal
force
-implicit shear force
-degradation process
-energy dissipation
φ x- φ uFUL
_
αk o-
M+
u
M+
y
+
M cr
p + 1+
6+
73-
k oy
-
+
4+
fx
1
3+
2+
φ -y p -
αk-
k oy
R+c
7+
FUL +
5+
6- φ+
y
M -cr
M -y
M -u
D+p
αk+o
(1998)
φ+
x1
αk+
+
φ+
u φ x2
+
β φ x1
D c= cyclic strength
deterioration
D = post-peak
p strength reduction
p = pinching (Mp , φp)
FUL = first unloading limit
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Respuesta global cíclica
2.5E+04
2.0E+04
Diagrama momento curvatura
1.5E+04
1.0E+04
5.0E+03
0.0E+00
0.E+00 5.E-04 1.E-03 2.E-03 2.E-03 3.E-03 3.E-03 4.E-03
Respuesta cíclica integrada
programas :
ancis o cyclique (fortran)
2.5E+04
2.0E+04
1.5E+04
1.0E+04
5.0E+03
0.0E+00
-5.0E+03
-1.0E+04
-1.5E+04
-2.0E+04
-2.5E+04
-1.E-03
-5.E-04
0.E+00
5.E-04
1.E-03
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Conclusiones y perspectivas
Conclusiones
1. grandes deformaciones
2. predicción aceptable
3. análisis realizable
análisis no lineal
incluir comportamiento de materiales
herramientas actuales
Z
Perspectivas :
Expresiones para b, facilitan
el análisis en biflexión
b'
a
c
β
y+
Y
e.n.
a
yb'
b'
1
2
3
b
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Sección b variable
b'
y c
α
r
y
c
y
Circular
a) b'=
w
c
h
h
a)
Trapecial
b'
w
b
b'
b)
b

 ( r − c) + y  
b'= 2r sencos −1 

 
r

(b − w)
[h − c + y ]+ w
h
b) b'=
(b − w)
c − y ]+ w
[
h
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