NOTAS SOBRE EL DEMONIO DE MAXWELL 1 Notas sobre el Demonio de Maxwell Jaime Romero, 10 de Diciembre de 2004 Universidad de Chile, Facultad de Ciencias, Departamento de Fı́sica, Termodinámica Resumen—El proposito de este trabajo es entregar una visión general sobre el Demonio de Maxwell. Primero se verán algunas consideraciones históricas, sus caracterı́sticas, como trabaja, etc. Luego las implicancias de las leyes de la termodinámica en su funcionamiento. También se explicará el modelo propuesto por Szilard y como salva a la segunda ley, luego el exorcismo practicado por Brillouin quien asume que se usan señales de luz como vehı́culo para que el demonio reuna información y que esto produce un aumento en la entropı́a, por lo que no se viola la segunda ley. Despues se revisará la solución propuesta por Bennett, basada en el principio de Landauer, donde el hecho clave que salva a la segunda ley es borrar la memoria del demonio. Finalmente se mencionará una situación, en el campo de la mecánica cuántica, donde el Principio de Landauer y la segunda ley son violadas. Para un tratamiento más completo de este tema se recomienda Maxwell’s Demon 2 [1]. I. Introducción L A Segunda Ley de la Termodinámica establece que para disminuir la entropı́a de un sistema, un reservorio debe “pagar” por esa disminución y aumentar su propia entropı́a. Esto, por ejemplo, imposibilita la producción infinita de energı́a o trabajo. Sin embargo, uno de los fundadores de la termodinámica, Maxwell, ideó un simple e ingenioso “gedankenexperiment”: El llamado Demonio de Maxwell. ¿ Su objetivo ? Ilustrar limitaciones de la segunda ley. Desde su creación varias teorias han tratado de explicar donde está la falla en el funcionamiento del demonio, saliéndose del ámbito de la fı́sica y abarcando temas como teorı́a de información, computación, cibernética y economı́a. Se ha dado solución al problema del demonio en 3 ocasiones, las primeras 2 fueron relativamente parecidas, mientras que la última (y más aceptada) introdujo conceptos totalmente distintos. II. Sobre el Demonio de Maxwell El demonio apareció por primera vez en 1871, en el libro “Theory of Heat”, de J.C.Maxwell, bajo la sección “Limitación de la Segunda Ley de la Termodinámica” , como un experimento pensado para ilustrar las limitaciones de la segunda ley, enfatizando que es un principio estadı́stico, que se cumple casi siempre en un sistema compuesto de muchas particulas. El experimento concebido por Maxwell se puede resumir asi: Supongamos que tenemos un recipiente con muchas moléculas, a distintas velocidades, moviendose en todas direcciones. Ahora supongamos que dividimos el recipiente mediante una pared delgada que tiene un pequeño agujero en su interior y que hay un ser, diminuto, que abre y cierra el agujero, dejando pasar las moleculas más rápidas hacia un lado y las más lentas hacia el otro. Haciendo sólo esto, él logrará elevar la temperatura de un lado y bajar la del otro, sin efectuar trabajo, violando ası́ la segunda ley de la termodinámica. El nombre de “Demonio de Maxwell” fue puesto por William Thomson en 1874 [2] en su artı́culo Kinetic Theory of the Dissipation of Energy. Cuando Maxwell le dio vida a su demonio no fue muy especı́fico sobre como éste debı́a operar ni cuales debian ser sus objeticos especı́ficos, de aquı́ que salieran 2 tipos de demonios y varios métodos mediante los cuales podı́a detectar a las moléculas que debı́a dejar o no pasar. El demonio original es un demonio de temperatura, que actúa en un sistema aislado termicamente y que crea una diferencia de temperaturas sin efectuar trabajo. Otro tipo de demonio es el de presión, que es más simple y que solo deja pasar hacia un lado u otro a las partı́culas que van en una u otra dirección, respectivamente; es decir, no es nada más que una válvula. Sobre los métodos de detección que tendrı́a un demonio, se han ideado varios, desde el uso de señales de luz, momentos magnéticos, efecto Doppler y métodos mecanicos. Algo a tener en cuenta es que el uso de seales de luz es restrictivo, por razones que se explicarán más adelante. Como el demonio no debe aumentar la entropı́a del sistema, lo que realmente importa es preguntarse si es que las mediciones deben ser necesaria- 2 NOTAS SOBRE EL DEMONIO DE MAXWELL mente irreversibles. Un demonio de temperatura debe ser capaz de detectar velocidades individuales dentro de un gas, y hasta el momento no se conoce ningún dispositivo que sea capaz de lograr esto con un gasto mı́nimo de trabajo y con un mı́nimo de disipación. Como ya se dijo, para que un demonio opere exitosamente, no debe aumentar la entropı́a del sistema (no se debe producir un proceso irreversible). Debido a esto el demonio debe estar en equilibrio térmico con el gas en el que está inserto. Si un demonio usa señales de luz como método para recibir la información de las moléculas, empieza a recibir energı́a y eleva su temperatura, teniendo que transferir el calor a alguna otra parte (un reservorio, el exterior, etc.). De todas formas asumir que el demonio elimina el exceso de energı́a a un reservorio va en contra de la hipotesis de un sistema aislado y en todo caso, esto no vioları́a la segunda ley. Smoluchowski fue el primero en hacer notar este hecho, pero dejo la puerta abierta a la posibilidad de que tal vez ser inteligente fuera capaz de operar una maquina de movimiento perpetuo evitando estas fluctuaciones. III. El demonio y la primera y segunda ley bote su exceso de entropı́a y necesitamos también una fuente de trabajo, que le entregue energı́a al demonio a entropı́a constante. Resumiendo, las 2 primeras leyes de la termodinámica aseguran que: 1. La entropı́a del demonio se incrementa cuando disminuye la entropı́a del gas. 2. No puede ser reseteado sin intercambiar energı́a con fuentes externas. 3. El reseteo lleva a un intercambio de energı́a entre una fuente de energı́a a un reservorio (fuente de energia → demonio → reservorio) Veamos ahora a un demomio de presión, que opera en un proceso cı́clico, con un gas ideal en un recipiente a temperatura constante (usando un reservorio térmico), dividido en 2 partes en el centro por una pared movible. Definimos el proceso: 1. Inicialmente el gas esta en equilibrio, luego el demonio disminuye la entropı́a del gas a temperatura y energı́a fija, produciendo un gradiente de presión y densidad. 2. El gas vuelve al equilibrio, haciendo trabajo (isotérmico y reversible) sobre una carga mediante la pared movil. La pared se saca y se vuelve a dejar en el centro. 3. Se resetea al demonio. Durante el proceso la carga gana energı́a, la primera ley dice que esa energı́a tiene que venir de alguna parte. Del reservorio no podrı́a venir porque si asi fuera, la entropı́a del universo disminuirı́a cada vez que se hace el proceso, violando la segunda ley. En (3) se requiere una fuente de trabajo, que es la que le proporciona energı́a a la carga. En (1), la entropı́a del demonio se incrementa debido a la disminución en la entropı́a del gas. En (2) el gas hace trabajo sobre la carga, induciendo un flujo de calor Q = W desde el reservorio al gas; el trabajo hecho sobre la carga es compensado por la disminución en la energı́a y entropı́a del reservorio. Aquı́ el incremento en la entropı́a del demonio compensa la disminución en la entropı́a del reservorio, manteniendo la segunda ley. Cuando el demonio se resetea en (3), intercambia energı́a con la fuente de trabajo (que hace trabajo E sobre el demonio) y con el reservorio (donde el demonio bota calor). Veamos que pasa con las primeras 2 leyes de la Termodinámica cuando opera un demonio de temperatura. La segunda ley exige que la entropı́a del demonio se incremente en una cantidad mayor o igual a la disminución en la entropı́a del gas. La primera ley implica que las energı́as del demonio y del gas no deben cambiar (sistema aislado) Por lo tanto, el demonio debe aumentar su entropı́a manteniendo la energı́a fija. Pero si el demonio continua aumentando su entropı́a infinitamente, va a llegar un momento en que va a ser incapaz de llevar a cabo sus tareas (sa va a volver muy desordenado). Una solución a esto es “resetearlo”, volverlo a su estado inicial. Esto por 2 razones: la mencionada anteriormente, y para hacer más facil el analisis, concentrandose en el gas y no en IV. El clasico de Szilard el demonio (obviamente, este reseteo del demonio En 1929 Leo Szilard [3] publicó un artı́culo lladebe hacerse sin afectar al gas). Necesitamos entonces un reservorio de calor para que el demonio mado On the decrease of entropy in a thermo- NOTAS SOBRE EL DEMONIO DE MAXWELL dinamic system by the intervention of intelligent beings donde desarrolla la tesis de un “perpetuum mobile” (maquina de movimiento perpetuo) del segundo tipo (que usa calor a la más baja temperatura). El modelo propuesto por Szilard consiste en un volumen V donde hay sólo una partı́cula. Luego, se divide el volumen V en 2 subvolumenes iguales V1 y V2 . En este momento interviene el ser inteligente, ya que él determina donde está la partı́cula, si a la derecha (V1 ) o a la izquierda (V2 ) y graba ese resultado. Supongamos que la partı́cula está en la partición de la derecha. Como se sabe donde está la partı́cula, se usa esta información para cambiar la división por un pistón y dejar que el gas haga un trabajo W sobre la carga del pistón, restaurando el volumen inical V . El trabajo necesario para mover el pistón es entregado por un reservorio en forma de calor a la molécula de gas, Q = W . Si nos damos cuenta, despues de que termina el proceso, aparentemente se ha violado la segunda ley, ya que el reservorio entregó calor, disminuyendo su entropı́a. Luego Szilard asume que a una medición está asociada una cierta producción promedio de entropı́a, que restaura la entropı́a disminuida por el demonio, salvando la segunda ley. Luego identifica y demuestra que esta cantidad fundamental es k ln 2. La principal crı́tica a la hipótesis de Szilard, es la que dice que la entropı́a es una cantidad medible que no depende del conocimiento o desconocimiento que tenga el observador del sistema. De todas formas, el trabajo de Szilard fue pionero en temas como teoria de información, cibernética y computación. V. Solución por Brillouin En 1940 se sabı́a que se necesitaba una lampara de alta temperatura para que el demonio pudiera distinguir las señales de luz de las señales producidas por la radiación de cuerpo negro. En 1951 Leon Brillouin [4], asumiendo lo último, y usando la naturaleza cuántica de la radiación, demostró explicitamente que la entropı́a que gana el demonio era suficiente para salvar a la segunda ley. En 1949 Shannon introdujo una función llamada Entropı́a de Información; Brillouin relacionó este concepto con la entropı́a termodinámica. Veamos en que consiste esto: Digamos que P0 es el número total de estados posibles de un siste- 3 ma y que no sabemos en que estado se encuentra el sistema actualmente. Entonces la información que tenemos es I0 = 0. Si ahora efectuamos mediciones y reducimos el número de estados posibles a P1 , la información que tenemos ahora se define como I1 ≡ K0 ln(P0 /P1 ), con K0 una constante positiva. Si P1 > P0 , I1 < 0, estamos diciendo que se pierde información. Después, en su libro de 1956, Science and Information Theory [5], va más allá en su teorı́a, y distingue 2 tipos de información: información libre (free information) If que es la que no tiene importancia termodinámica, como por ejemplo, el conocimiento que puede tener una persona. Por otro lado, está la “bound information”, Ib definida en función de los estados posibles de un sistema. El conocimiento de la persona se puede convertir en “bound information” cuando se transmite a través de alguna señal fisica. Luego, relacionó cambios en la información Ib con cambios en la entropı́a de la siguiente manera: Ib1 − Ib0 ≡ k(ln P0 − ln P1 ) = S0 − S1 > 0 Como podemos ver, esto dice que si ganamos información sobre un sistema termodinámico, hacemos disminuir la entropı́a. Luego Brillouin definiı́o la “negentropı́a” ≡ N ≡ -(entropı́a), por lo que 4N = −4S. Luego relacionó estos resultados con un sistema aislado, con una entropı́a S1 = S0 −Ib1 , como arriba, por lo que tenemos 4S1 = 4S0 − 4Ib1 = −4N0 − 4Ib1 ≥ 0 o más claramente (4N0 + 4Ib1 ) ≤ 0 es decir, la cantidad negentropı́a más información no se incrementa y en un proceso reversible es fija. Esto último es una nueva interpretación de la segunda ley de la termodinámica. Con estos reultados Brillouin exorcisó al demonio. Al igual que con el trabajo de Szilard, hubo variadas reacciones: esta reinterpretación de la segunda ley fue aceptada por algunos y rechazada por otros, la principal crı́tica fue que la entropı́a no es subjetiva, no depende del observador. 4 NOTAS SOBRE EL DEMONIO DE MAXWELL VI. Bennett, Landauer, y el Demonio VIII. Conclusión En 1961 Landauer dio a conocer un artı́culo [6] donde desarrolla lo que hoy se conoce como el Principio de Landauer, que dice basicamente que cuando se borra un bit de información, se aumenta la entropı́a del ambiente en por lo menos k ln 2. Si recordamos el modelo de Szilard, lo que salvaba a la segunda ley era que la disminución de la entropı́a del reservorio era compensada por el aumento de la entropı́a debido a las mediciones hechas por el demonio; en un artı́culo publicado en 1973 Charles Bennett argumentó que las mediciones no aumentan la entropı́a ya que pueden ser hechas de tal forma que la dispacion de calor sea arbitrariamente pequeña. ¿ Quiere decir esto que la segunda ley se rompe en el modelo de Szilard ? No, porque recordemos que era deseable borrar la memoria del demonio y este acto es el que salva la segunda ley, ya que según el Principio de Landauer, cuando se borra la memoria del demonio se aumenta la entropı́a del reservorio. Bennett en 1982 demostró que las 2 cantidades se compensaban, por lo que la segunda ley permanece incólume. Para terminar, el Principio de Landauer ha sido demostrado por otros autores (Shizume [7] y Piechocinska [8]), clásica y cuánticamente y esas demostraciones sugieren que su validez es universal, cosa que no es cierta bajo ciertas condiciones extremas en el dominio cuántico. En este trabajo se ha pretendido mostrar la evolución del demonio de Maxwell, desde que fuera creado para ilustrar las limitaciones de la segunda ley, hasta ahora. Aunque la solución propuesta por Bennett es ampliamente aceptada, todavı́a no se ha dicho la última palabra, especialmente en el campo cuántico. Por otro lado están naciendo nuevas aplicaciones para el puzzle del demonio de Maxwell, como en la termodinámica de agujeros negros y tambien en economı́a, estudiando la eficiencia de mercados. En resumen, el exorcismo del demonio todavı́a no es definitivo, por lo que continuará siendo buscada una solución satisfactoria. VII. Cuando la Segunda Ley se rompe Como mencionamos arriba, el principio de Landauer y la segunda ley pueden romperse en dominios cuánticos debido a un “quantum entanglement” entre el sistema y el reservorio. Explicar detalladamente en que consiste este fenómeno escapa totalmente a los propósitos de este ensayo, pero se puede dar una idea general de lo que significa. “ Quantum Entanglement” se puede traducir como “enredo cuántico” y es lo que ocurre cuando no se puede analizar por separado al sistema y al reservorio, es decir, pasan a formar un solo sistema. Acá ocurren cosas como: energı́a(sistema + reservorio) 6= energı́a(sistema) + energı́a(reservorio). Allahverdyan y Nieuwenhuizen muestran que a temperaturas suficientemente bajas, el sistema tiene dQ > 0 y dS < 0, violando asi la segunda ley y también el Principio de Landauer. Referencias [1] Leff, H., & Rex, A., Maxwell’s Demon 2: Entropy, Classical and Quantum Information, Computation, Institute of Physics Publishing, Bristol, Inglaterra, 2003. [2] Thomson, W., Kinetic Theory of the Dissipation of Energy, Nature 9, (441-444), 1874. [3] Szilard, L., On the decrease of entropy in a thermodinamic system by intellgent beings, Zeitschrift fur physik, (53, 840856), 1929. [4] Brillouin, L., Maxwell’s Demon cannot operate: Information and Entropy. I, J. Appl. Phys, (22, 334-337), 1951a. [5] Brillouin, L., Science and Information Theory, Second Edition., New York: Academic Press, 1962. [6] Landauer, R., Irreversibility and heat generation in the computing process., IBM J. Res. Dev, (5, 183-191), 1961. [7] Shizume, K., Heat generation required by erasure., Phys. Rev. E, (52, 3495-3499), 1995. [8] Piechocinska, B., Information Erasure., Phys. Rev. A, 61 (Article 62314), 1- 9, 2000.