O1. Un resorte con masa ... cuelga verticalmente, y una bandeja ...

O1. Un resorte con masa despreciable y constante de fuerza k=400 N/m
cuelga verticalmente, y una bandeja de 0.200 Kg se suspende de su
extremo inferior. Un carnicero deja caer un filete de 2.2 Kg sobre la
bandeja desde una altura de 0.40 m. El choque es totalmente inelástico y
el sistema queda en movimiento armónico simple vertical. Calcule:
a) La rapidez de la bandeja junto con el filete justo después del
choque.
b) La amplitud del movimiento subsiguiente.
c) El periodo de ese movimiento.
(Sears-Zemansky-Young-Freedman, 11ma. Ed., 13.71)
Datos:
𝑚𝑐 =2.2 Kg
𝑚𝑏 = 0.2 Kg
h = 0.4 m
k = 400 N/m
Composición gráfica del fenómeno antes e inmediatamente después del choque
Δ = mbandejag/k
Resorte no estirado
Situación
1:
Bandeja cuelga sola
del resorte y lo
estira Δ respecto de
la longitud natural
del resorte.
Situación 2: La
carne
va
a
comenzar a caer
sobre la bandeja,
desde una altura, h
Situación 3: La
carne apenas toca la
bandeja: todavía la
bandeja no ‘siente’
el peso de la carne,
que
golpea
la
bandeja con una
velocidad vc
Situación 4: Carne y
bandeja adquieren la
velocidad
V.
El
conjunto, debido al peso
adicional de la carne,
poco después estirará aún
más el resorte de la carne
INMEDIATAMENTE
ANTES DEL CHOQUE
ANTES DEL CHOQUE
INMEDIATAMENTE
DESPUÉS DEL
CHOQUE
(a) ¿Rapidez, V, de la bandeja y el filete justo después del choque?
CLAVE: Hay dos tipos de conservación: 1) de energía, mientras la carne cae (la
fuerza es el peso) y, 2) de momentum durante el golpe sobre la bandeja

Conservación de cantidad de movimiento: el choque es totalmente
inelástico (la fuerza externa del peso de la carne es ‘absorbida’ por la
bandeja colgante)
mc vc + mb *0 = (mc + mb ) V ⟹ V =
Inmediatamente
antes del
choque

mc
v
mc+ mb c
Inmediatamente
después del
choque
Valor de vc (velocidad de la carne inmediatamente antes del impacto sobre
la bandeja). Aplicamos conservación de energía mecánica
(durante el trayecto de la carne hacia la bandeja, la fuerza actuante es el peso,
conservativa)
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
E𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑒𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑎 𝑐𝑎𝑒𝑟 = E𝑖𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐ℎ𝑜𝑞𝑢𝑒
1
mc g h = mc vc2 ⟹ vc = √2 g h
2
Luego, combinando las ecuaciones de las velocidades:
V=
𝐦𝐜
𝐦 𝐜 + 𝐦𝐛
√𝟐 𝐠 𝐡 =
2.2
2.4
√2(9.8 )(0.4 ) ≈ 2.57 𝒎⁄𝒔
(b) Amplitud del MAS posterior al impacto de la carne (situaciones 4 y
5).
Situación4:
Antigua
posición de
equilibrio,
debida sólo
a mb
CLAVE
Cuando el conjunto carne-bandeja
tiene ya la velocidad V, el sistema
no se encuentra aún en la nueva
posición de equilibrio sino mcarneg/k
metros por encima de la que será la
posición del nuevo equilibrio, la
situación 5. Después al continuar la
oscilación, bajará hasta x = -A
x = x0
Δ’ = mcarne g/k
La separación adicional
a la que produjo el peso
de la bandeja, la produce
ahora el peso de la carne
x=0
vconjunto = v0 = V
INMEDIATAMENTE
DESPUÉS DEL
CHOQUE
Situación5:
Nueva posición de
equilibrio debida al
peso adicional de mc
vconjunto = vel. máx.
DESPUÉS DEL CHOQUE
x = -A
vconjunto = 0
(pos. de máximo estiramiento)

Como la fuerza
elástica
es
conservativa, la energía total del conjunto con MAS no cambia en el tiempo,
pero es necesario tener en cuenta lo que explica la figura:.
Obtención de A aplicando conservación de energía
Energía total en la situación 4 (x = x0 = Δ’) = Energía total en la posición de
máximo. estiramiento (x = -A)
1
2
Como 𝑣0 = 𝑉 𝑦 𝑥0 =
𝑉2 = (
1
2
𝟐𝐠𝐡
𝒌(𝐦𝐜+ 𝐦𝐛 )
𝑚𝑐 𝑔
1
2
2
mc+ mb
mc
mc+ mb
k 𝐴2
y del inciso anterior obtuvimos que:
𝑘
mc
(mc + mb ) (
A= 𝐦𝐜 √
1
(mc + mb )v02 + k x02 =
)2 (2 g h), entonces:
1
)2 (2 g h) + 𝑘 (
𝒈 𝟐
𝑚𝑐 𝑔 2
2
2(9.8 )(0.4 )
𝑘
1
) = 2 k 𝐴2
⟹
9.8 2
+ ( ) = 2.2√
+ ( ) ≈ 20.6 cm
𝒌
(400)(2.4 )
400
Comentarios
o El momento en que la carne golpea la bandeja no corresponde a la nueva
situación de equilibrio porque aún falta que aquélla se desplace la distancia Δ’,
por acción del nuevo peso (de la carne). El conjunto, a partir de ahí, es acelerado
por el nuevo peso, hasta que la fuerza elástica lo iguala (en x = 0)
o En el momento del impacto, además del peso de la carne (2.2*9.8 ≈ 21.6N), actúa
sobre la bandeja la fuerza de impacto de aquélla sobre ésta (dependiente de la
velocidad en el impacto y de la duración de éste: si lo estimamos en 0.1 segundos,
𝜟𝒗
𝒗−𝑽
𝜟𝒗
𝑽−𝟎
ésta fuerza en promedio valdría: 𝒎𝒄 𝒄 = 𝒎𝒄
= 𝒎𝒃 𝒃 = 𝒎𝒃
=
𝜟𝒕
√𝟐∗𝟗.𝟖∗𝟎.𝟒
o
𝒕𝒊𝒎𝒑
𝜟𝒕
𝒕𝒊𝒎𝒑
𝟎. 𝟐
= 𝟓. 𝟔𝑵). Esta fuerza tanto mayor cuanto más grande fuera vc,
𝟎.𝟏
provocaría en último caso una mayor A.
Nótese que, como corresponde a la solución de una ecuación diferencial (eso es,
como sabemos la expresión 𝒙 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝝋)), el valor de A (como el de φ, si
fuera el caso) se ha calculado a partir de las condiciones iníciales (v0 y x0) del
MAS que provoca la carne en su impacto sobre la bandeja.
(c) Valor del período de la
nueva oscilación
T=
Directamente de la fórmula:
𝟐𝝅
𝛚
= 2π√
(𝐦𝐜+ 𝐦𝐛 )
𝒌
= 2π√
(2.4 )
(400)
= 0.49 s