MATEMÁTICAS PARA C.S. II.- Aplicación de derivadas.Soluciones

MATEMÁTICAS PARA C.S. II.- Aplicación de derivadas.Soluciones
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1º.-Dada la función f ( x) = 2 x 3 − 21x 2 + 36 x + 24 , encontrar:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento
b) Los intervalos de concavidad positiva y de concavidad negativa
c) Los puntos de máximo de y de mínimo
d) Los puntos de inflexión de la función
e) Los valores máximo y mínimo de la función
Solución:
⎧x = 1
a) f '( x) = 6 x 2 − 42 x + 36 ⇒ 6 x 2 − 42 x + 36 = 0 ⇔ x 2 − 7 x + 6 = 0 ⇒ ⎨
⎩x = 6
-
de ( −∞;1) → f ′( x ) > 0 ⇒ f ( x) es creciente
de (1; 6) → f ′( x ) < 0 ⇒ f ( x ) es decreciente
de (6; ∞ ) → f ′( x ) > 0 → f ( x ) es creciente
b)
f ′′( x) = 12 x − 42 ⇒ 12 x − 42 = 0 ⇒ x =
-
7
2
7⎞
⎛
de ⎜ −∞; ⎟ → f ′′( x) < 0 ⇒ concavidad negativa
2⎠
⎝
⎛7 ⎞
de ⎜ ; ∞ ⎟ → f ′′( x) > 0 ⇒ concavidad positiva
⎝2 ⎠
c) En x = 1 la función pasa de creciente a decreciente, luego en dicha abscisa hay un
máximo
En x = 6 la función pasa de decreciente a creciente, luego en dicha abscisa hay un
mínimo
7
la función pasa de concavidad negativa a concavidad positiva, luego en
2
dicha abscisa hay un punto de inflexión.
e) El valor máximo de la función es f (1) = 2(1)3 − 21(1) 2 + 36(1) + 24 = 41
d) En x =
El valor mínimo de la función es f (6) = 2(6)3 − 21(6) 2 + 36(6) + 24 = −84
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2º.-Una empresa de telefonía quiere lanzar al mercado una oferta de tarifa plana de
internet. Se ha realizado en estudio que determina que si la tarifa fuera de 36 € podrían
conseguirse 4800 contratos. Sin embargo, por cada euro menos en la tarifa, el número
de contratos previstos anteriormente se incrementaría en 150. Se pide:
a) Expresar el ingreso previsto como una función de una variable. Explicar el
significado de la variable utilizada.
b) ¿Cuál debería ser la tarifa para que la empresa obtuviera el ingreso máximo? ¿Cuál
es éste y con cuántos abonados se conseguiría?
Solución:
a) *Tomamos como variable,” x ”, el número de veces que disminuimos un euro de
los 36€
Los ingresos se obtendrán multiplicando el nº de contratos por el valor de cada
contrato:
- Número de contratos: 4800 + 150x
- Valor del contrato: 36 − x
De donde la función buscada es:
I ( x) = (4800 + 150 x )(36 − x ) (1)
* Si llamásemos “ x ” al precio de la tarifa, en euros, la función sería:
I ( x) = x (4800 + 150(36 − x )) (2)
b) Trabajando con la función (1)
I ′( x ) = 600 − 300 x → 600 − 300 x = 0 ⇒ x = 2
Como I ′′( x ) = −300 , luego la función es siempre de concavidad negativa, por ello
en punto x = 2 hay un máximo para la función
Por ello la tarifa debería ser 36-2=34 € para obtener un ingreso máximo. Este ingreso
sería: I (2) = (4800 + 150·2)(36 − 2) = 173400 € que se consigue con 4800 + 2·150 = 5100
contratos.
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