Plasticidad - Aplicaciones 1 Archivo

2014 – 1erC
Introducción a la teoría de la
plasticidad
Aplicaciones 1
Recipientes de paredes
delgadas
• Condición a/h>20
• Cálculo de tensión circunferencial
Con la condición anterior, puede suponerse que las tensiones
circunferenciales se distribuyen uniformemente. Planteando
el equilibrio de fuerzas correspondiente:
∑ Fν = ∫ Pν dA − 2∫ σ θθ dA' = 0
Pν = P senθ ,
dA = r dθ dz , r=a en este caso
dA’ = dr dz.
l
π
l
0
0
0
P.a ∫ .∫ .senθ .dθ .dz = 2σ θθ ∫ .∫
P.2a.l = 2σ θθ .h.l ⇒ σ θθ =
P.a
h
.a + h
a
dr.dz
Recipientes de
paredes delgadas
• Cálculo de tensión axial
Ahora se asume que la tensión axial σzz también es uniforme.
el equilibrio de fuerzas correspondiente (ver figura previa) se expresa
como:
dA = r dθ dz.,
Fz = P dA − σ zz dA = 0
z
Tomando los límites de integración
correspondientes e integrando, se
tiene:
2π a
2π
.a + h
P.∫ .∫ .r.dr.dθ = σ zz ∫ .∫ r.dr.dθ
∑
0
∫
0
∫
0
a
2
P
.
a
P.(a 2 / 2).2π = σ zz .((a + h) 2 − a 2 ).2π ⇒ σ zz =
2a.h + h 2
usando la hipótesis de paredes delgadas puede despreciarse h2, resulta
σ zz =
P.a σ θθ
=
2.h
2
Recipientes de paredes delgadas
• Cálculo de tensión radial
La tensión radial media puede estimarse como:
−P+0 −P
h
σ rr =
=
⇒ σ rr ≅ σ θθ << σ θθ
2.
2
a
La suposición de paredes delgadas permite despreciar el valor de σrr ,
que resulta muy pequeño comparado con los valores de las otras
tensiones.Resulta un caso de tensión plana.
•
Resumiendo:
P.a
σ θθ =
.h
P.a
σ zz =
2.h
σ rr = 0
Aplicación
• Se tiene un tanque de aluminio de paredes delgadas (a/h=20) cerrado
en ambos extremos y presurizado (presión interna = P). Encontrar la
deformación plástica en la dirección circunferencial (despreciar la
deformación elástica). Suponer que el material se modela según la ley
de Hollomon: σ=k (ε ))n
• Resolución:
En la aproximación de recipiente de paredes delgadas, se conoce la
expresión de las tensiones principales en función de la presión interna P
y de la geometría de la pieza, por lo que se puede calcular la tensión
equivalente
σ equiv
(
)
1
2
2
2 1/ 3
(σ θ − σ θ / 2) + (σ θ / 2) + (σ θ ) = 3 σ θ = 3 Pa ≡ 10 3P
=
2
2 h.
2
Aplicación – continuación
• Usando las ecuaciones de Levy-Mises, se pueden calcular los
incrementos de las deformaciones:
dε θ =
dε r =
dε z =
dε equiv
σ equiv
dε equiv
σ equiv
dε equiv
σ equiv
dε equiv
σ θ 3 dε equiv
1
σθ
.[σ θ − (σ z + σ r )] =
[σ θ − ] =
σ equiv
2
4
4 σ equiv
dε equiv σ θ σ θ
1
3 dε equiv
σθ
.[σ r − (σ z + σ θ )] = −
[ + ]=−
σ equiv 2 4
2
4 σ equiv
dε equiv σ θ σ θ
1
.[σ z − (σ θ + σ r )] =
[ − ] = 0 => Fluencia Plana
2
σ equiv 2 2
• Nota: Se puede Verificar la Constancia de Volumen:
3 dε equiv
3 dε equiv
σ θ + dε z + ( −
σθ ) = 0
dV = dε θ + dε z + dε r =
4 σ equiv
4 σ equiv
Aplicación – continuación
•
•
•
La relación entre el incremento de deformación circunferencial y el
incremento de deformación equivalente resulta:
3 dε equiv
3 σθ
3 σθ
3
dε θ =
dε equiv =
dε equiv =
dε equiv
σθ =
4 σ equiv
4 σ equiv
4 3
2
σθ
2
Ambos incrementos están relacionados por una constante, lo que se
debe a que la proporción entre las tensiones principales durante todo
el programa de carga es constante (programa de cargas proporcional).
Bajo hipótesis adecuadas se pueden integrar los incrementos de
deformación de la siguiente manera:
εθ
ε equiv
0
0
ε θ = ∫ dε θ = ∫
3
3 ε equiv
3
dε equiv =
dε equiv =
ε equiv
∫
2
2 0
2
Aplicación – continuación
•
Por otra parte, de la expresión de Hollomon σequiv= k εequivn , resulta:
1/ n
 10. 3.P 
1/n

εequiv = (σequiv / k) =
k


•
Finalmente, la deformación plástica en la dirección circunferencial
resulta:
1/ n
3
3  10. 3.P 


εθ =
ε equiv =

2
2 
k

Valores de tensiones y deformaciones verdaderas
•
en tracción uniaxial y en corte puro
En las aplicaciones que involucran deformaciones plásticas, los estados
(ideales) de tracción uniaxial y corte puro servirán para modelar varios
procesos
Tracción uniaxial
Corte puro
σ1 =σmax , σ2=σ3=0 σ1 =-σ3=σma, σ2 = 0
τmax= σ1/2=σmax/2
τmax= 2σ1/2=σmax
εmax=ε1, ε2=ε3=ε1/2 εmax=ε1=-ε3, ε2=0
γmax=(3/2)ε1
γmax=ε1-ε3 = 2ε1
σequiv = σ1
σequiv = 3 σ1
εequiv = ε1
εequiv= (2/ 3 )ε1
Trabajado mecánico de metales
• El trabajado mecánico de metales está relacionado con el
comportamiento plástico de los mismos y por tanto con la
curva de flujo.
•
• Estos procesos pueden agruparse en grandes categorías,
según la siguiente clasificación
• 1) Procesos del tipo de compresión directa,
• 2) procesos de compresión indirecta,
• 3) procesos de tipo tracción,
• 4) procesos de flexión,
• 5) procesos de corte.
Trabajado mecánico de metales
Trabajado mecánico de metales
•
•
•
A fin de sistematizar los requerimientos teóricos, se hacen hipótesis
simplificativas que permiten predecir razonable las tensiones y
deformaciones que se generan (y también las velocidades de
deformación) en cada punto de la región deformada de la pieza a ser
trabajada plásticamente. Los sistemas de ecuaciones a plantear son
los siguientes:
1) las ecuaciones de equilibrio estático bajo las solicitaciones
asumidas,
2) las ecuaciones de Levy-Mises o Prandlt-Reuss, según corresponda
para relacionar tensiones con deformaciones o tasa de deformaciones,
3) el criterio de fluencia que mejor se adapte a la situación de interés.
•
•
• Esto da lugar a un sistema de 9 ecuaciones con 9 incógnitas (6
componentes de la tension y de las velocidad en cada punto) que
puede o no tener solución dependiendo de las condiciones de
contorno que imponga la geometría.
Trabajado mecánico de metales
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Cuando es resoluble, su complejidad es tan grande que,
generalmente. se lo calcula en forma aproximada. Los métodos de
análisis habituales son los siguientes:
1) Método de la placa
2) Método de energía de deformación uniforme
3) Método del campo de líneas de deslizamiento
4) Soluciones de cotas superior e inferior
5) Método de los elementos finitos.
No se explicarán pues exceden los alcances del curso.
Trabajado mecánico de metales
•
•
•
•
En conformado plástico de metales, la tensión de conformado o
presión que se ejerce (p) se describe como:
p = σ 0 g ( f ) h (c )
con
σ0
: resistencia al flujo del material para el estado tensional
correspondiente (es función de la deformación, la
temperatura, la tasa de deformación, etc.
g(f) una expresión apropiada para la fricción en la interfase
pieza-herramienta,
h(c) función de la geometría (de la pieza y de la herramienta)
no se tratará aquí pues depende de cada proceso en
particular.
Ensayo de Watts
y Ford
• Es un ensayo de compresión
adecuado para láminas u hojas
metálicas
•
•
El ensayo consiste en comprimir una banda angosta de la lámina entre
dos placas de ancho b. Los “hombros” del material a cada lado de las
placas, impiden que el material deforme en la dirección del ancho w. Se
requiere que w/b>5. Si el espesor original de la placa era t0 y después de
la compresión es t, debe verificarse, además, 1/4<t/b<1/2. Esta dos
condiciones aseguran fluencia plana.
Las placas se cambian a fin de garantizar las condiciones anteriores. La
lubricación es fundamental: si no hay buena lubricación se forma
una“zona muerta” junto a las placas.
Ensayo de Watts y Ford
aplicación
 Calcular la tensión y deformación
3
verdaderas y tensión y deformación
equivalentes para el ensayo de Watts
y Ford.
 Resolución
En la dirección de compresión (1) se calculan
(invirtiendo el signo en la figura, para que
resulte positiva):
Tensión verdaderas: p=P/(wb) = σ1,
Deformación verdadera: ε =ln(t0/t) = ε1
1
2
Ensayo de Watts y Ford aplicación
• Las direcciones indicadas en la figura son principales.
• En la dirección (2 no hay deformación (ε2 = 0), es
fluencia plana
• Por volumen constante, resulta:
0 = ε1 + ε2 + ε3 = ε1 + ε3 => ε1 = -ε3
• En la dirección (3) el material fluye libremente, σ3 = 0.
• La teoría de Levy-Mises, permite calcular
σ2 = (σ1 + σ3) / 2 = σ1/2
• De lo anterior resulta:
3
p
σ equiv =
σ1 =
• Tensión equivalente:
2
1.155
2
• Deformación equivalente: ε
ε 1 = 1.155ε
equiv =
3