Cálculo una variable

MATERIA:
CÓDIGO:
REQUISITOS:
PROGRAMAS:
PERÍODO ACADÉMICO:
INTENSIDAD HORARIA:
CRÉDITOS
Cálculo de una Variable
08274
Algebra y funciones (08272)
Biología, Ingenierías, Química, Química Farmacéutica.
2016-2
5 Horas por semana
4
1
OBJETIVO GENERAL.
Al finalizar el curso el estudiante estará en capacidad de utilizar la terminología propia del cálculo diferencial e
integral de una variable y aplicar las técnicas básicas de diferenciación e integración de funciones de una
variable real en problemas prácticos.
2
OBJETIVOS TERMINALES. Como resultado del proceso de aprendizaje activo del curso, el estudiante estará
en capacidad de:
2.1
Estudiar la noción de límite como introducción al concepto de derivada.
2.2
Interpretar y utilizar la notación simbólica asociada a la aplicación de diferenciación e integración en una
variable.
2.3
Identificar los problemas cuya solución requiere del uso del cálculo diferencial para resolverlos.
2.4
Identificar el comportamiento de las curvas caracterizados por el cambio de la derivada asociada a la
función que representa.
2.5
Enunciar y aplicar el Teorema fundamental del Cálculo.
2.6
Identificar los problemas cuya solución requiere del uso del cálculo integral y seleccionar la mejor técnica
de integración a aplicar para resolverlos.
3
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE FORMACIÓN ACADÉMICA.
3.1
UNIDAD 1: Límites y Continuidad. Introducción a las derivadas.
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.1.5
3.1.6
Repasar la simplificación de expresiones algebraicas utilizando técnicas de factorización
Evaluar límites por métodos gráficos y algebraicos.
Determinar la continuidad de una función en un punto y en un intervalo abierto.
Aplicar el teorema del valor intermedio para justificar la existencia y delimitar soluciones de ciertas
ecuaciones que no se puedan resolver algebraicamente.
Usar la definición de límite para calcular la derivada de una función.
Utilizar la relación entre derivabilidad y continuidad.
3.2
UNIDAD 2: Reglas de Derivación.
3.2.1
Hallar la derivada de cualquier función polinómica o racional, utilizando la regla adecuada: de las
potencias, de la suma y diferencia, del producto y del cociente.
Hallar la derivada de cualquier función trigonométrica, exponencial o logarítmica.
Usar la derivación implícita para hallar la derivada de una función definida implícitamente y de la inversa
de una función con derivada conocida.
Reconocer las diferentes funciones involucradas en una función compuesta y determinar el dominio de la
misma.
Usar la regla de la cadena para hallar la derivada de una función compuesta.
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.2.5
3.3
UNIDAD 3: Aplicaciones de la Derivada.
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
3.3.5
3.3.6
3.3.7
3.3.8
Calcular razones de cambio entre magnitudes relacionadas por alguna regla de dependencia.
Resolver problemas que involucren razones de cambio.
Encontrar los extremos absolutos y relativos de una función en un dominio dado.
Determinar donde es aplicable el teorema del valor medio. Aplicar el teorema del valor medio para
justificar el comportamiento de las funciones determinado por el signo de su derivada.
Utilizar la derivación para determinar los intervalos de crecimiento y de concavidad de una función dada.
Analizar y trazar la gráfica de una función a partir del comportamiento de sus derivadas.
Resolver problemas de optimización (máximos y mínimos aplicados).
Analizar límites especiales utilizando las reglas de L’hopital.
3.4
UNIDAD 4: Integración.
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.4.4
3.4.5
3.4.6
Entender el concepto de antiderivada como integral indefinida.
Calcular integrales indefinidas por la definición de antiderivada.
Calcular integrales definidas utilizando propiedades algebraicas y geométricas.
Enunciar y aplicar el teorema fundamental del Cálculo.
Calcular integrales aplicando las diferentes técnicas: sustitución simple, por partes, por fracciones
parciales.
Analizar la convergencia de integrales impropias.
3.5
3.5.1
UNIDAD 5: Aplicaciones de la integral.
Calcular el área de una región plana delimitada por curvas.
4
5
CONTENIDO: El contenido total del curso se detalla por temas en la parcelación que se adjunta a este
programa.
METODOLOGIA.
5.1
El enfoque: En concordancia con los propósitos de la Universidad, en desarrollo de este curso se considera
que el aprendizaje es el resultado de un proceso que tiene como centro al estudiante y como guía al
profesor. Por lo anterior, en la última media hora de cada sesión de clase el profesor presentará a los
estudiantes los conceptos y ejemplos de los ejercicios que se trabajarán en la siguiente sesión. El
estudiante, por su parte, deberá estudiarlos, aprenderlos y aplicarlos para responder las preguntas y
resolver los ejercicios que se plantean para la clase siguiente. Esta actividad del estudiante será revisada
durante la primera media hora de la clase bien sea individual o colectivamente, para conformar la calificación
de preparación para la clase (15%). En la hora restante de clase se trabajarán ejercicios que permitan la
apropiación y consolidación de los conceptos y técnicas estudiados, con base en la retroalimentación de la
primera parte de la clase.
5.2
Los momentos de la clase: Las sesiones de dos horas de duración tendrán los siguientes momentos:
•
Recordar los objetivos de la sesión de clase.
Al inicio de cada clase, el profesor recordará los objetivos específicos de aprendizaje que se trabajarán
durante la sesión, y motivará el trabajo individual y colectivo del grupo.
•
Presentación y evaluación de la actividad de preparación desarrollada por el estudiante.
Las preguntas y los ejercicios asignados por el profesor en la clase previa serán revisados de manera
constructiva al inicio de cada sesión de clase, individual o colectivamente. El propósito fundamental de
esta actividad es motivar a los estudiantes para el estudio y la preparación permanentes de los temas
asignados, con los consiguientes beneficios en los conocimientos esperados y en las diferentes
evaluaciones. No todas estas evaluaciones conllevan una calificación numérica, pero sí algunas de ellas,
no anunciadas previamente.
CÁLCULO DE UNA VARIABLE.
S#: Sesión número.
S#
PERÍODO ACADÉMICO 2016-2.
SAE: Sección del texto guía asignada al estudiante para la clase siguiente
TEMA
Ejercicios recomendados
para programar la
discusión en clase
(*1)
1
PRESENTACIÓN DEL PROGRAMA.
funciones trigonométricas (circunferencia
unitaria, triángulos especiales)
2
Funciones Trigonométricas.
3
Ecuaciones trigonométricas.
TALLERES.
4
Introducción a límites.
5
Estudio formal de límites.
Teoremas de límites.
6
7
Límites que involucran funciones trigonométricas.
TALLERES.
Límites al infinito; límites infinitos.
8
Continuidad de funciones.
9
TALLERES.
10
Dos problemas con el mismo tema.
2.1: 8,17,21,25,30
La Derivada.
2.2: 13,20,26,28,35,40,64,66
67,70
2.3: 26,38,44,49,53,57,60
11
Reglas para encontrar derivadas.
12
Derivadas de funciones trigonométricas.
TALLERES
1.1: Pares 1 al 18, 29 a 32
34,35,37,38,40.
1.2: Ejemplos del texto.
1.3: Pares 1 al 12,15,21,28
34,40,47,49
1.4: Pares 1 al 14, 17,19,20
1.5:Impares: ( 7 al 23), (33 al
42),46,48 al 50,55,56
1.6:Pares 1 al 17, 18,21,29,
32, 36 al39, 45,48,51,55,56,
60,62,65 al 69
14
15
la función logaritmo natural y de las funciones
trigonométricas inversas.
TALLERES
16
PRIMER PARCIAL: hasta la sesión 14.
17
MD (continuación):
en la derivación de funciones exponenciales
discutir los resultados con otras bases:
a x ; log a x; f ( x )
18
TALLERES
g ( x)
1.1
1.2
1.3
1.4
1.1:Impares 1 al 18
1.2 Ejemplos del texto.
1.3: Impares 1 al 12
1.4: Impares 1 al 14
1.5
1.6
1 al 6, 27 al 32
Impares 1 al 17
2.1
2.1: 1 al 6, 13,14
2.2
2.3
2.2: Impares 1 al 9
2.3: Impares 1 al 15
2.4
2.4: Impares 1 al 15
2.5
2.5: Impares 1 al 20
2.6
2.6: Impares 1 al 16
2.7
Impares 1 al 12
MD
6.4:17 al 22
2.8
1 al 5
2.4: 20,23,25,28,29,31
2.5: 23,28,32,37,48,57,60,77
2.6: 22,27,32,34,36
2.7: 16,17,35,36,40,42,46,47
MD:
Miscelánea de derivación (MD): usando la técnica 6.1: 3 al 14, 31 al 34
6.3: 11 al 22
de derivación implícita en la relación
=
y f ( x ) ↔=
x f −1 ( y ) calcular la derivada de 6.8: 39 al 54
La regla de la cadena.
Derivadas de orden superior.
Derivación implícita.
0.7
Ejercicios recomendados para
que el estudiante confronte su
manejo previo de los temas.
ES OBLIGATORIO EL ESTUDIO
DE LOS EJEMPLOS DE CADA
SECCIÓN DEL TEXTO
Impares 1 al 15
Pruebas
Cortas
0.7:Pares 1 al 15,24,25,32
33,34
Presentación en clase.
eh − 1
= 1 para
Uso del límite EXP: lim
h →0
h
d x
e  = e x
obtener:
dx  
13
SAE
MD:
6.4: 27 al 33
y los ejemplos 5 a 7 de 6.4
1
2.8:7,9,12,15,18,20,21,27,29,
30,31
2.9:12,15,18 al 20, 23,26,33,
37,41,44
19
Razones de cambio relacionadas.
20
Diferenciales y aproximaciones.
21
TALLERES
22
3.1: 8,13,16,24,26, 29 a 36
3.2: 7,10,20,24,28, 29 a 34
38,40,42,44,50
3.3:8,13,18,21,24,26,29,34,
36,37 a 45
24
Máximos y mínimos.
Monotonía y concavidad
(Analizar el ejercicio 34 de 6.4).
Extremos locales y extremos en intervalos
abiertos.
TALLERES
25
Problemas prácticos.
3.4:8,12,14,18,23,24,25,26,
27,32,34 a 39,45,48
26
Problemas prácticos (continuación).
27
28
TALLERES
Graficación de funciones mediante cálculo.
29
El teorema del valor medio para derivadas.
30
TALLERES
31
Antiderivadas.
32
SEGUNDO PARCIAL: sesiones 15 a 30
33
TALLERES
34
35
Introducción al área.
La integral definida
El primer teorema fundamental del cálculo.
36
El segundo teorema fundamental del cálculo y el
método de sustitución.
TALLERES
37
El método de sustitución (continuación).
4.4:
38
El teorema del valor medio para integrales y el
uso de simetría.
El área de una región plana
TALLERES
4.5:12,35,38,40,45,46
41
El área de una región plana (continuación).
Reglas básicas de integración.
Integración por partes
5.1:
7.1:15,22,23,32,45,46,47,51
7.2:13,20,21,32,38,41,46,49,
60,77,84
42
TALLERES
43
Integración de funciones racionales por medio de
fracciones parciales.
Formas indeterminadas del tipo 0/0.
Otras formas indeterminadas.
23
39
40
44
45
TALLERES
46
Integrales impropias: límites de integración
infinitos.
Integrales impropias: integrandos infinitos.
47
Integrales impropias (continuación).
48
TALLERES
3.5:8,17,28 a 33,40,49,54 a
58
3.6:18,24,33,34,35,38,39,44
a 48,50 a 54
2.9
1 al 8
3.1
3.2
3.3
3.1: 1al 5
3.2: 1 al 5
Impares 1 al 10
3.4
1 al 7
2
3.4
3.5
3.6
1 al 5
Impares 1 al 10
3.8
Impares 1 al 18
4.1
4.1 1al 4, 12 al 14
4.2
4.3
4.4
4.2: 1,2
4.3: 1 al 8
4.4: Impares 1 al 14
3.8:6,14,16,20,22,26,30,35,3
8,40,41,42,43
4.1: 16,22,47,51,55
4.2: 7,12,14,18,22,25,31,32
4.3: 9,12,18,24,26,34,40,42,
50,53
4.4:16,25,27,40,42,46,52,58
59,62
4.4
4.5
5.1
4.5: 1 al 5
5.1:1 a 10
5.1
7.1
7.2
5.1:
7.1: 1 al 10
1 al 5
7.5
1 al 5
8.1
8.2
8.1: 1 al 5
8.2: 1 al 5
8.3
8.4
8.4
8.3: 1 al 5
8.4: 1 al 5
5.1:11,17,28,34,35,38
7.5:9,12,13,15,17,20,23,29,
31,34,36,39,40
8.1: 11,19,23,25,26,29
8.2:11,15,20,30,32,40,41 a
44
8.3:8,12,17,20,24,36,37
3
8.4:7,12,17,24,29,35,38,39,
45,53,56
8.4:
(*1) En el desarrollo de la clase el profesor puede proponer ejercicios y ejemplos adicionales para apoyar y complementar el trabajo
con el texto guía. El estudiante debe responder en cada clase, como mínimo, por haber estudiado los ejemplos de las secciones
asignadas previamente.