l10. momento de inercia ii

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
ESCUELA DE FÍSICA
LABORATORIO DE FÍSICA I
L10. MOMENTO DE INERCIA II
OBJETIVOS
• Medir el período de oscilación de una varilla transversal delgada con masas adosadas y unida a un eje de torsión, en función de la
distancia de las masas al eje de rotación y verificar la proporcionalidad del momento de inercia de las masas respecto del cuadrado
de la distancia. Determinar la constante del eje de torsión.
• Determinar los momentos de inercia de cuerpos de simetría de rotación en base a su período de oscilación sobre un eje de torsión.
Comparar los períodos de oscilación de dos cuerpos de distinta masa pero de igual momento de inercia. Comparar los períodos de
oscilación para cuerpos huecos de igual masa e iguales medidas y comparar el período de oscilación de dos cuerpos de igual masa e
igual forma pero de diferentes dimensiones.
• Determinar el momento de inercia de un disco para distintas distancias entre el eje de rotación y el de simetría y verificar el Teorema
de Steiner (Teorema de los ejes paralelos).
EQUIPO
1 eje de torsión; 1 juego de cilindros y 1 esfera para el eje de torsión; 1 disco para el eje de torsión; 1 trípode pequeño en forma de V y 1
cronómetro, una balanza, un calibrador y una regla o cinta métrica.
MARCO TEÓRICO
En un cuerpo rígido cualquiera, cuyas masas elementales mi tienen distancias ri al eje de rotación, el momento de inercia es
I = ∑ mi ri 2
(1)
i
Para una masa puntal m que gira en una trayectoria circular con radio r se cumple que
I = mr 2
(2)
El momento de inercia queda determinado a partir del periodo de oscilación de un eje de torsión, en el que se ha insertado el cuerpo de
prueba y que está unido con el soporte mediante un resorte de voluta elástico. El sistema es excitado para obtener oscilaciones
armónicas. A partir del periodo de oscilación T y con el factor direccional angular D se calcula el momento de inercia I del cuerpo de
prueba según
2
⎛T ⎞
(3)
I = D⎜ ⎟
⎝ 2π ⎠
1. Definición del momento de inercia
El momento de inercia es una medida de la inercia con la que un cuerpo reacciona a un momento de torsión y cambia su movimiento de
rotación, por lo que es análogo a la masa inercial en los movimientos de traslación. Así, por ejemplo, en las oscilaciones de torsión, el
período T de oscilación será tanto mayor cuanto mayor sea el momento de inercia J del sistema oscilante. Más exactamente:
I
T = 2π
D
(4)
D: constante de torsió
Una masa puntual m que se mueve en una trayectoria circular
de radio r tiene un momento de inercia
(5)
I 1 = mr 2
El momento de inercia de dos masas m iguales unidas
firmemente entre sí y separadas una distancia r del eje de
rotación vale
I 2 = 2mr 2
(6)
Fig. 1 Representación esquemática
Luego, el momento de inercia es, en ambos casos, proporcional al cuadrado de la distancia r.
En el experimento se procede a unir firmemente dos masas mediante una varilla delgada, unida a su vez en su mitad a un eje de torsión
(ver fig. 1). El sistema oscila con período de oscilación T luego de sacarlo de su posición de reposo. De la ecuación (4) se deduce
2
⎛T ⎞
(7)
I = D⎜ ⎟
⎝ 2π ⎠
Además, teniendo en cuenta que el momento de inercia I se compone del momento de inercia I2 de ambas masas y del momento de
inercia I0 de la varilla:
(8)
I = 2mr 2 + I 0
Se mide aparte el período de oscilación T0 de la varilla sola y, reemplazando, se obtiene
2
2
⎛T ⎞
⎛T ⎞
D⎜ ⎟ = 2mr 2 + D⎜ 0 ⎟
⎝ 2π ⎠
⎝ 2π ⎠
o sea
8mπ 2 2
(9)
T2 =
r + T02
D
De esto resulta, pues, una relación lineal entre el cuadrado del período de oscilación T y el cuadrado de la distancia r.
De la pendiente de la recta
8mπ2
(10)
a=
D
puede calcularse, conociendo la masa m, la constante de torsión D.
2. El momento de inercia y la forma de un cuerpo
El momento de inercia de un cuerpo es una medida de la resistencia que éste presenta ante un cambio de su movimiento de rotación, y
depende de la distribución de su masa respecto del eje de rotación.
Para cuerpos con distribución de masa continua y homogénea, se tiene
1
(11)
I = M ∫ r 2 dV
VV
M: masa total, V: volumen total, r: distancia de un elemento de volumen dV al eje de rotación. El cálculo se simplifica si se toman
cuerpos con simetría de rotación rotando en torno de su eje de simetría.
Cilindro hueco: I cil − hue = MR 2
Cilindro sólido: I cil − mac = 1 MR 2
2
Esfera sólida: I esfera = 2 MR 2
5
(12)
(13)
(14)
Fig. 2 Cálculo de los momentos de inercia de un cilindro hueco, de un
cilindro macizo y de una esfera
3. Teorema de Steiner
El momento de inercia de cualquier cuerpo rígido cuyas porciones de masa .mi guardan una distancia ri respecto del eje de rotación A,
está dado por
(12)
I A = ∑ Δmi ri 2
i
Si el eje de rotación A no pasa por el centro de masa del cuerpo, la aplicación de la ecuación (4) conduce a un cálculo complejo. Por lo
general es más sencillo realizar el cálculo del momento de inercia IS en torno del eje S, paralelo al eje de rotación, que sí pasa por el
centro de masa.
La relación entre IA y IS, o teorema de Steiner:
(13)
I A = Ma 2 + I S
Este teorema se verifica durante el experimento con el ejemplo
de un disco. Su momento de inercia IA en torno de un eje de
rotación, a una distancia a respecto del eje de simetría, resulta
de la expresión (3). Luego,
2
⎛T ⎞
(14)
IA = D⎜ ⎟
Fig. 3 Representación esquemática para deducir el
⎝ 2π ⎠
Teorema de Steiner (Teorema de los ejes paralelos)
D: constante de torsión del eje de torsión
En la primera parte se determina el momento de inercia de una «masa puntual » en función de la distancia r al eje de rotación. Para ello
se inserta una varilla con dos masas iguales en dirección transversal al eje de torsión. Los centros de gravedad de ambas masas tiene las
mismas distancias r al eje de rotación, de tal manera que el sistema oscila sin desequilibrarse.
En la segunda parte se compara los momentos de inercia del cilindro hueco, con el cilindro macizo y la bola maciza. Para ello se tienen
dos cilindros macizos de la misma masa pero con diferentes radios. Además, se dispone de un cilindro hueco que tiene la misma masa y
radio que uno de los cilindros macizos y de una esfera maciza cuyo momento de inercia concuerda con uno de los cilindros macizos.
En la tercera parte se realiza la verificación experimental del teorema de Steiner tomando como ejemplo un disco circular plano. Con tal
propósito se mide los momentos de inercia IA del disco circular para diferentes distancias a del eje de rotación respecto al centro de masa
y se compara con el momento de inercia IC alrededor del eje del centro de masa. Esto es, se verifica la relación: I − I = Ma2
A
C
TEMAS PARA CONSULTA
9 Péndulo de torsión.
9 Momentos de inercia.
9 teorema de Steiner.
PROCEDIMIENTO
Parte 1
El montaje del experimento se muestra en la Fig. 4.
1. . Mida el valor de cada masa adosada. Regístrelo en la tabla de datos 1.
2. Fijar por el medio la varilla transversal al eje de torsión y ubicar las masas de manera simétrica
a 30 cm de éste.
3. Marcar la posición cero sobre la mesa.
4. Hacer girar 180° la varilla transversal hacia la derecha respecto de la posición cero, y soltar.
5. Comenzar a medir el tiempo cuando la varilla transversal pase la posición cero, y detener la
medición luego de el número de oscilaciones indicada por el profesor. Regístrela en la tabla de
datos 1.
6. Repetir la medición cuatro veces alternando giros hacia la derecha y hacia la izquierda.
Fig. 4 Montaje del experimento
para determinar el período de
7. Reducir de manera sucesiva la distancia a 25 cm, 20 cm, 15 cm, 10 cm y 5 cm y repetir la
oscilación
medición para cada una. Regístrelas en la tabla de datos 1.
8. Retirar las masas y reiterar la medición. Regístrela en la tabla de datos 1.
Parte 2
El montaje del experimento se muestra en la fig. 5.
2. Adosar la esfera y marcar la posición cero sobre la mesa.
3. Hacer girar 180° la esfera hacia la derecha respecto de la posición cero, y soltar.
4. Comenzar a medir el tiempo cuando la esfera pase la posición cero, y detener la
medición luego de n oscilaciones.
5. Repetir la medición cuatro veces alternando giros hacia la derecha y hacia la
izquierda.
6. Reemplazar la esfera por un disco y repetir la medición.
7. Reemplazar el disco por el soporte.
Fig. 5 Montaje del experimento para
8. Repetir la medición primero con el cilindro macizo y luego con el cilindro hueco.
determinar los momentos de inercia de
9. Por último, realizar la medición con el soporte vacío.
algunos cuerpos con simetría de rotación.
1. Mida la masa de cada cuerpo,
anótela en la tabla 2
Parte 3
El montaje del experimento se muestra en la Fig. 6.
1.
2.
3.
4.
Mida la masa M del disco y su radio R.
Fijar el disco por su centro al eje de torsión y marcar la posición cero sobre la mesa.
Hacer girar 180° el disco hacia la derecha respecto de la posición cero, y soltar.
Comenzar a medir el tiempo cuando el disco pase la posición cero, y detener la medición
luego de cinco oscilaciones.
5. Repetir la medición cuatro veces alternando giros hacia la derecha y hacia la izquierda.
6. Calcular el período de oscilación T en base al valor medio de las cinco mediciones.
Fig. 6 Montaje para la verificación
7. Montar el disco sobre el eje de torsión, separado 2 cm del centro, y eventualmente marcar de
experimental del Teorema de
nuevo la posición cero.
Steiner (Teorema de los ejes
8. Medir cinco veces el período de cinco oscilaciones alternando giros hacia la derecha y hacia
paralelos)
la izquierda.
9. Calcular el período de oscilación T.
10. Repetir la medición para otras distancias a respecto del eje de simetría.
Nota: Anote la sensibilidad de cada instrumento de medida utilizado.
ANALISIS E INTERPRETACION DE DATOS
Parte 1
1. Complete la tabla 1
Tabla 1: Definición del momento de inercia
Masa adosada m =
r[cm]
r2[cm2]
t1[s]
t2[s]
para n =
30
25
M
5
sin masas
t3[s]
t4[s]
t5[s]
t ± δ t [s]
T=
oscilaciones
–––
t
± δ T [s]
n
T0 =
T2[s2]
-
- Represente en un gráfico T2 como función de r2. Compare los valores de r2 y T2.
- Calcule, utilizando regresión lineal, la pendiente de la recta que debió obtener al graficar T2 contra r2. Indique el factor de
correlación. Analice la curva obtenida.
4. - Calcule la constante de torsión D en base a la pendiente de la recta a de la ecuación (10). Calcule el error absoluto de esta medida
indirecta.
Parte 2
a) Haga una comparación cualitativa de los periodos entre: cuerpos de distinta masa pero de igual momento de inercia; cuerpos huecos y
macizos y cuerpos de igual masa y forma pero de distintas dimensiones:
b) Comparación cuantitativa:
1. Complete la tabla 2
2. Con la ecuación (7) puede calcularse el momento de inercia I en base a los períodos de oscilación T de la tabla 2. En la parte 1 se
determinó la constante de torsión D, necesaria para el cálculo. Registre en la columna de I [ gm2]
3. En la tabla 2 registre, además, los factores adimensionales (teóricos) de las ecuaciones (12), (13) y (14), y compárelos con los valores
calculados en base a los valores medidos. Halle el % de error relativo y regístrelo en la tabla 2.
2.
3.
Cuerpo
Esfera maciza
Cilindro macizo
chato (disco)
Cilindro macizo
alto
Cilindro hueco
Soporte vacío
M[g]
2R
[cm]
t1[s]
Tabla 2: El momento de inercia y la forma de un cuerpo
I [g m2]
t2[s] t3[s] t4[s] t5[s]
t
t ± δ t [s]
T = ± δ T [s]
n
n = oscilaciones
I / MR2
I / MR2
%Error
–––
Medición
–––
Teoría
–––
*
*
–––
–––
* Luego de descontar el momento de inercia del soporte vacío
Parte 3
1. Complete la tabla 3
2. Con la ecuación (7) puede calcularse el momento de inercia IA en base a los períodos de oscilación T de la tabla 3. En la parte 1 se
determinó la constante de torsión D, necesaria para el cálculo. Registre los resultados en la tabla 3.
3. Realice una gráfica del momento de inercia IA en función del cuadrado de la distancia a entre el eje de rotación y el eje de simetría.
4. Calcule, utilizando regresión lineal, la pendiente de la recta que debió obtener al graficar IA contra a2. Indique el factor de
correlación. Analice la curva obtenida. ¿Qué representa la pendiente de la recta y la ordenada al origen.
Tabla 3: Comprobación del teorema de Steiner
masa del disco: M =
radio del disco: R =
a[cm]
a2[cm2]
t1[s]
t2[s]
t3[s]
t4[s]
n=
oscilaciones
0
2
4
M
16
OBSERVACIONES
Presente algunas observaciones sobre el experimento realizado.
CONCLUSIONES
Obtenga sus conclusiones.
t5[s]
t ± δ t [s]
T=
t
± δ T [s]
n
⎛ T ⎞ [s2]
⎜ ⎟
⎝ 2π ⎠
IA[g⋅m2]
TABLA PARA LA TOMA DE DATOS (sugerida)
L12. Momentos de Inercia II
fecha:___________grupo_______subgrupo _______ estudiantes ______________________________________
Instrumento de medición 1 _________________ sensibilidad _________
Instrumento de medición 2 _________________ sensibilidad _________
Instrumento de medición 3 _________________ sensibilidad _________
Tabla de datos 1
masa adosada m =
t2[s]
t3[s]
t4[s]
para n = _____ oscilaciones
t1[s]
r[cm]
t5[s]
30
25
20
15
10
5
sin masas
Tabla 2: El momento de inercia y la forma de un cuerpo
Cuerpo
M[g]
2R [cm]
–––
–––
t1[s]
t2[s]
t3[s]
t4[s]
n = ________ oscilaciones
t5[s]
Esfera maciza
Cilindro macizo chato (disco)
Cilindro macizo alto
Cilindro hueco
Soporte vacío
Tabla de datos 3
radio del disco: R =
masa del disco: M =
a[cm]
t1[s]
t2[s]
t3[s]
n=
t4[s]
t5[s]
oscilaciones
0
2
4
6
8
10
12
14
16
OBSERVACIONES
________________________________________
Vo Bo Profesor (firma)