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Algebra Lineal
UPPITA-IPN
Tarea # 9
Definición de Producto interno
Un producto interno sobre un espacio vectorial V es una operación que asigna para cada par de
vectores u y v en V un número real u, v tal que las siguientes propiedades se satisfacen para todos los
vectores u, v y w en V y todos los escalares c.
1. u , v  v, u
2. u, v  w  u, v  u, w
3. cu , v  c u , v
4. u , u  0 y u , u  0 si y solo si u = 0.
Propiedades del producto interno
Sean u, v y w vectores en un espacio con producto interno V y sea c un escalar.
a) u  v, w  u, w  v, w
b) u , cv  c u , v
c) u,0  0, u  0
Longitud, distancia y ortogonalidad.
Definición. Sean u y v dos vectores en un espacio con producto interno V.
1. La longitud (o norma) de v es v 
v, v .
2. La distancia entre u y v es d (u , v)  u  v .
3. u y v se llaman ortogonales si u , v  0 .
Un vector de longitud uno se llama vector unitario. La esfera unitaria en V es el conjunto formado
por todos los vectores unitarios en V.
Teorema de Pitágoras
Sean u y v vectores en un espacio con producto interno V. Entonces, u y v son ortogonales si y solo si
2
2
2
uv  u  v
Proyecciones ortogonales y el proceso Gram-Schmidt
Definición. Un conjunto ortogonal de vectores en un espacio con producto interno V es un conjunto
v1 , v2 ,..., vk  de vectores de V tal que vi , v j  0 siempre que vi  v j .
Autor: Fermín Acosta Magallanes
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Un conjunto ortonormal de vectores de vectores es un conjunto ortogonal de vectores unitarios.
Una base ortogonal (base ortonormal) para un subespacio W de V es una base para W que es un
conjunto ortogonal (conjunto ortonormal).
El proceso Gram- Schmidt
Sea x1 ,..., x k  una base para el subespacio W de un producto interno V, entonces definimos lo
siguiente
v1  x1
W1  espacio( x1 )
v2  x2 
v1 , x 2
v3  x3 
v1 , x3
v1 , v1
v1 , v1
v1
W2  espacio( x1 , x 2 )
v1 
v 2 , x3
v1 
v2 , xk
v2 , v2
v2
W3  espacio( x1 , x 2 , x3 )

vk  xk 
v1 , x k
v1 , v1
v2 , v2
v2  
v k 1 , x k
v k 1 , v k 1
v k 1
Wk  espacio( x1 , x 2 ,..., x k )
Entonces para cada i  1,..., k v1 ,..., vi  es una base ortogonal para W i . En particular, v1 ,..., v k  es una
base ortogonal para W.
Definiciones. La proyección ortogonal proyW (v) de un vector v sobre un subespacio W de un espacio
con producto interno es proy W (v) 
u1 , v
u1 , u1
u1  ... 
uk , v
uk , uk
u k si u1 ,..., u k  es una base ortogonal para
W. Entonces la componente de v ortogonal a W es el vector perpW (v)  v  proyW (v) .
Autor: Fermín Acosta Magallanes
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 u1 
 v1 
1. Considere u    , v    en R2 con el producto interno dado por u, v  2u1v1  3u 2 v 2 .
u 2 
v 2 
2
 3
Calcule
(a) u, v
(b) u
(c) d (u , v )
si
u    y v   .
 4
 1
2
2. Encuentre un vector no cero ortogonal a u    con el producto dado en el ejercicio 1.
 1
3. Considere P2, y los polinomios p( x)  a0  a1 x  a 2 x 2 ,
q( x)  b0  b1 x  b2 x 2 y el producto
interno dado por p( x), q( x)  a0 b0  a1b1  a 2 b2 . Calcule
(a) p( x), q ( x)
si p ( x)  2  3x  x , q ( x)  1  3 x
2
(b) p (x )
(c) d ( p ( x), q ( x))
2
4. Encuentre un vector no cero ortogonal a p ( x)  2  3x  x 2 con el producto interno dado por el
ejercicio 3.
5. Sean f ( x)  sin x y g ( x)  sin x  cos x en el espacio vectorial C 0,2  con el producto interno
usual (dado por la integral

2
0
f ( x) g ( x)dx ). Calcule
(a) f , g
(b) f
(c) d  f , g 
Determine en los ejercicios 6 - 8 cual de los cuatro axiomas del producto interno no se satisfacen. Dar
un contraejemplo en cada caso.
 u1 
 v1 
6. Sean u    y v    en R2. Definimos u, v  u1v1
u 2 
v 2 
 u1 
 v1 
7. Sean u    y v    in R2 . Definimos u, v  u1v 2  u 2 v1
u 2 
v 2 
8. En P2, definimos p( x), q( x)  p(1)q(1) .
9.
u 
u, v  4u1v1  u1v 2  u 2 v1  4u 2 v 2 define un producto interno sobre R2 , donde u   1  y
u 2 
v 
v   1  . Encuentre una matriz A tal que u , v  u T A v
v 2 
1
10. Bosqueje el círculo unitario en R2 para el producto interno u, v  u1v1  u 2 v 2
4
En los ejercicios 11-12 suponga que u, v y w son vectores en un espacio vectorial con producto
interno en el cual se satisface que:
u , v  1 , u , w  5 , v, w  0 , u  1 , v  3 , w  2
Autor: Fermín Acosta Magallanes
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11. Evalúe la expresión u  w, v  w .
12. Evalúe la expresión
uv .
En los siguientes ejercicios aplique el proceso de Gram-Schmidt a la base B para obtener una base
ortogonal para el espacio con producto interno V definido con el producto interno dado.
1 1 
 u1 
 v1 
13. V  R 2 , B   ,    , considere u    , v    en R2 con el producto interno dado por
u 2 
v 2 
0 1 
u, v  2u1v1  3u 2 v 2 .
14. V  P2 , B  1,1  x,1  x  x 2 . Sean p( x)  a0  a1 x  a 2 x 2 , q( x)  b0  b1 x  b2 x 2 y el producto
interno dado por p( x), q( x)  a0 b0  a1b1  a 2 b2 .
Soluciones
1. (a) 0
(b)
11
(c)
77
 3
2. Cualquier vector no cero múltiplo de v   
 4
3. (a) −1 (b) 14
(c) 26
4. 1−x2.
5. (a)  (b) 
(c) 
0
6. Axioma (4) falla: u     0 , pero u , u  0 .
1
0
7. Axioma (4) falla: u     0 , pero u , u  0 .
1
8. Axioma (4) falla: p ( x)  1  x no es el polinomio cero, pero p( x), p( x)  0
4 1 
9. A  

1 4 
10. una elipse con a = semi eje mayor = 2 b semi eje menor = 1.
1 0 
11. −8.
12. 6
13.  ,   
0 1 
Autor: Fermín Acosta Magallanes
14. 1, x, x 2 
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