Ejercicios 2º Bachillerato Internacional curso 2014 - five

Bachillerato Internacional
Matemáticas II. Curso 2014-2015
Problemas
1 REGLAS DE DERIVACIÓN
1.
3
Reglas de derivación
Obtener la derivada de las siguientes funciones:
1. y = (x2 − 7x + 1)2
27. y = e2x
2. y = (4x2 + 5)3
28. y = e−x
3. y = (3x3 − 4x2 − 5x + 1)4
29. y = e3x
4. y = x3 (2x + 1)3
30. y = xe2x
5. y = (x − 3)2 (2x + 5)3
31. y = (x2 − 1)ex
x2 + 1
6. y = 2
3x − 2x + 3
32. y =
2
−3
2
3x + 1
7. y =
(x − 3)2
x2 − x + 2
(2x + 1)3
√
= x3 − x + 1
√
= 5x2 − 1
√
= 3x
√
= 3 x2 + 1
√
= 4x
√
= 4 x3 − 3x
8. y =
9. y
10. y
11. y
12. y
13. y
14. y
√
34. y = e x
√
35. y = 5ex − 2
36. y = ln(ex + 1)
37. y = log3 x
38. y = log2 (1 −
√
x)
39. y = 2x
40. y = 25x−1
√
41. y = 1 + ln x
42. y = (ln x)2
44. y = ex ln x
1
x2
45. y = sen 3x
+1
2x − 1
17. y = √
x
x3 + x
18. y = √
x2 + 1
√
19. y = (x2 − 3x + 1) 3x2 + 2
20. y = 3 ln(x2 − 3)
x2 − 4
x2 + 4
√
22. y = ln 4x2 + 1
21. y = ln
1
23. y =
ln x
24. y =
33. y = x2 e−x
43. y = (1 − ln x)3
1
15. y = √
x
16. y = √
ex
x
2
ln(x2 + 1)
46. y = tg(π − x)
47. y = cos2 x
48. y = 5 cos(2π − x)
49. y = 3 sen2 x
50. y = sen x cos x
51. y = sen2 x cos 2x
sen x
52. y =
cos2 x
53. y = e2 sen x
1
cos x
cos x
55. y =
sen x
56. y = ln tg x
54. y =
25. y = x ln x − x
57. y = xx
26. y = (x2 − 3x) ln(x + 1)
58. y = xcos x
1 REGLAS DE DERIVACIÓN
1 − ex
1 + ex
√
1+ x
√
75. y = ln
1− x
(
)
76. y = log cos2 x − sen2 x
59. y = ln cotg x
74. y = ln
3 − 5x
2x + 7
x
61. y = ln √
2
x +1
60. y = ln
x2
62. y = ln √
x2 + 1
63. y =
1 − cos x
1 + cos x
√
1 + sen x
78. y = log
1 − sen x
√
79. y = arsen x
77. y = log
1 1 + sen x
ln
8 1 − sen x
64. y = ln cos ex
65. y = ln cos ex
2
66. y = atg x
67. y = acos x
√
68. y = a
69. y = e
4
80. y = arcos
1
x
81. y = x artg
1
x
2
sen x
√
x
a2 − x2 + arsen
a
√
1 + x2
83. y = ln
+ artg x
1+x
√
x
70. y =
ex + e−x
2
71. y =
e5x
1 + ex
72. y =
ex
x2
82. y =
84. y = xx
( x )x
85. y =
a
73. y = ax
86. y = (1 + x)
x
87. De la ecuación de la trayectoria x = x0 + v0 t + 12 at2 obtener la fórmula de la velocidad y la
aceleración.
88. De la fórmula
(1 + x)n = 1 +
( )
( )
( )
( )
n
n 2
n 3
n n
x+
x +
x + ··· +
x
1
2
3
n
obtener, derivando y haciendo x = 1, que
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
n−1
n2
=
+2
+3
+ ··· + n
1
2
3
n
89. Obtener la derivada segunda de:
a) y = x3 − 5x2 + 4
b) y = x4 − 2x3 + 3x2 + 6
√
c) y = ln 1 − x2
d ) y = esen x
√
e) y = ln 1 + sen x
f ) y = x2 ex
90. Obtener la diferencial de:
a) y = 4x2 − 5x + 2
1
b) y =
1 + x2
c) y =
√
2x − 3
d ) y = x2 esen x
2 CÁLCULO DE LÍMITES
2.
5
Cálculo de lı́mites
91. Calcular los siguientes lı́mites:
x3 + 5x2 + x − 1
x→∞
3x2 + 4x + 2
x4
d ) lı́m
x→∞ 5x4 + 3x3 + 2x2 + x + 1
a) lı́m (3x2 − x + 5)
c) lı́m
x→2
b) lı́m (3x2 − x + 5)
x→∞
92. Calcular los siguientes lı́mites:
a) lı́m
x→∞ 3x3
x4
− 2x2 + 6x + 1
x3 − 6x2 + x + 14
x→2
x3 + x2 + 2
b) lı́m
x3 − 6x2 + 6
− x3 + x − 1
c) lı́m
x→1 x4
3x4
+ x2
d ) lı́m
x→0 x3
93. Calcular los siguientes lı́mites:
x2 − 25
x→5 x2 − 5x
c) lı́m
x4 − 2x3 + x − 2
x→2 x3 + 4x2 − 11x − 2
x3 + 5x2 + 10x + 12
x→−3 x3 + 2x2 − 2x + 3
d ) lı́m
a) lı́m
b) lı́m
x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4
x→−2
x4 + 4x3 + 4x2
94. Calcular los siguientes lı́mites:
x3 + 5x2 + 3x − 9
x→−3 x3 + 7x2 + 15x + 9
a) lı́m
x4 − 6x2 + 8x − 3
x→1 x4 − 2x3 + 2x − 1
b) lı́m
(
x−2
x2 − 4
−
2
x→2 x − 4
x−2
√
x− 5
d ) lı́m
√
2
x→ 5 x − 5
)
c) lı́m
95. Calcular los siguientes lı́mites:
x2 − 25
√
a) lı́m √
x→5
x− 5
√
x2 − 5x + 6
b) lı́m
x→2
x2 − 3x + 2
b) lı́m
x→2
d ) lı́m
(√
)
√
x2 + 3x − x2 + 2
x→∞
x→∞
1
1
−√
x−2
x−2
)
(√
x2 − 2 − x
x→∞
96. Calcular los siguientes lı́mites:
(√
)
√
a) lı́m
x3 − x2 + 1 − x3 − x + 1
(
c) lı́m
)
√
1−x−1
c) lı́m
x→0
x
(
)x
4x + 1
d ) lı́m
x→∞
2x
97. Calcular los siguientes lı́mites:
)x2
4x + 1
a) lı́m
x→∞
2x2
(
)2x
x−2
b) lı́m
x→∞
x+1
(
(
98. Calcular los siguientes lı́mites:
c) lı́m
x→∞
(
d ) lı́m
x→2
x2 + 1
x2 − 2
x+2
2x
)x
1
) x−2
2 CÁLCULO DE LÍMITES
6
a) lı́m ln x
f ) lı́m+ log1/3 x
b) lı́m log3 x
g) lı́m ln(1 + x)
c) lı́m log1/2 x
h) lı́m log5 x
d ) lı́m+ ln x
i ) lı́m log3 x
e) lı́m log5 x
j ) lı́m
√ log3
x→∞
x→0
x→0
x→∞
x→5
x→∞
x→1
x→0
x→ 3
x→0+
1
x
99. Calcular los siguientes lı́mites:
x2 − 3x + 2
x→∞
x−2
3x + 5
b) lı́m 2
x→∞ x + 1
a) lı́m
x3 − 2x + 1
− 3x2 + 2x − 1
x2 − 5x + 2
d ) lı́m
x→∞
x4 − 1
c) lı́m
x→∞ x3
x4 − 3x3 + 2
x→∞
4x4 + 2
x5 − 3x3 + 2x
f ) lı́m
x→∞ x3 − 5x + 6
e) lı́m
100. Calcular los siguientes lı́mites:
x3 − 2x + 3
x→∞
1 + ex
2x
d ) lı́m x
x→∞ 3
x3
x→∞ ex
ex − 1
b) lı́m
x→∞
x2
a) lı́m
c) lı́m
ex
+x
e) lı́m
x→∞ 2x
f ) lı́m
5x
3x
e) lı́m
sen x
ln x
f ) lı́m
x
sen x
x→∞
101. Calcular los siguientes lı́mites:
ln x
x
x2
b) lı́m
x→∞ 5 ln x
ln x
ex
sen x
d ) lı́m
x→∞
x
a) lı́m
c) lı́m
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
102. Calcular los siguientes lı́mites:
a) lı́m
sen x
x2
b) lı́m
tg2 x
3x
x→0
x→0
arsen x
1 − cos x
x2
d ) lı́m
x→0 artg x
c) lı́m
x→0
sen2 x
x→0 cos x − 1
x + tg x
f ) lı́m
x→0
3x
e) lı́m
103. Calcular las ası́ntotas de las siguientes curvas:
a) y =
2x + 1
x−3
b) y =
x−3
2x + 4
c) y =
1
3x − 2
104. Calcular las ası́ntotas de las siguientes curvas:
a) y =
2x + 1
x2 − 4
b) y =
2x2 + 1
x2 − 1
c) y =
x2
1
+1
105. Calcular las ası́ntotas de las siguientes curvas:
a) y =
2x2 + 1
x−3
b) y =
Soluciones:
(91) (a) 15 (b) ∞ (c) ∞ (d)
1
5
(92) (a) ∞ (b) 0 (c) ∞ (d) 0
(93) (a) 2 (b)
7
13
(c)
9
17
(d)
5
4
x3 + 1
x2 − 3x + 2
c) y =
x4 + 1
x2 − 3
3 CONTINUIDAD
7
1
(94) (a) 2 (b) 2 (c) − 15
(d) √
4
2 5
√
(95) (a) 20 5 (b) ∄ (c) 0 (d) 32
(96) (a) −∞ (b) ∞ (c)
1
2
(d) ∞
(97) (a) 0 (b) e−6 (c) 1 (d) e−4
(98) (a) ∞ (b) ∞ (c) −∞ (d) −∞ (e) −∞ (f ) ∞ (g) 0 (h) 1 (i) 0 (j ) − 12
(99) (a) ∞ (b) 0 (c) 1 (d) 0 (e)
1
4
(f ) ∞
(100) (a) 0 (b) ∞ (c) 0 (d) 0 (e) ∞ (f ) ∞
(101) (a) 0 (b) ∞ (c) 0 (d) 0 (e) 0 (f ) ∄
(102) (a) ∞ (b) 0 (c) ∞ (d) 0 (e) −2 (f )
(103) (a) x = 3, y = 2 (b) x = −2, y =
1
2
2
3
(c) x =
2
,
3
y=0
(104) (a) x = −2, x = 2, y = 0 (b) x = −1, x = 1, y = 2 (c) y = 0
√
√
(105) (a) x = 3, y = 2x + 6 (b) x = 1, x = 2, y = x + 3 (c) x = − 3, x = 3
3.
Continuidad
106. Estudiar la continuidad de la función:
{
2x + a
si x ≤ 1
f (x) =
x2 − ax + 2 si x > 1
según los valores de a.
107. Estudiar la continuidad de la función:
f (x) =
x3 − 2x2 + x − 2
x2 − x − 2
108. Calcular a y b para que la siguiente función sea continua:

2

x + ax si x ≤ −1
f (x) = b
si − 1 < x < 3


2x + 4
si x ≥ 3
109. Estudiar los puntos de discontinuidad de la función:
y=
12
2
−
x − 3 x2 − 9
110. Hallar el valor de k para que la función:
 4

 x − 1 si x =
̸ 1
x−1
f (x) =

k
si x = 1
sea continua en x = 1.
111. ¿Cómo hay que definir en x = 1 la función:
√
x−1
y=
x ̸= 1
x−1
para que sea continua en ese punto?
112. Estudiar la continuidad de la función:
{
eax
si x ≤ 0
f (x) =
x + 2a si x > 0
según los valores de a.
4 TEOREMA DE BOLZANO
8
113. De la función g(x) se sabe que es continua en el intervalo cerrado [0, 1] y que para 0 < x ≤ 1 es:
x2 + x
x
¿Cuánto vale g(0)?
g(x) =
114. Sea la función:
x2 − 4
f (x) =
x−2
El segundo miembro de la igualdad carece de sentido cuando x = 2. ¿Cómo se deberı́a elegir el valor
de f (2) para que la función f sea continua en ese punto?
Soluciones:
(106)
(107)
(108)
(109)
(110)
(111)
Para a = 12 es continua en x = 1. Para los demás valores hay un salto finito.
En x = 2 hay una discontinuidad evitable. En x = −1 hay un infinito de la función.
a = −9, b = 10.
En x = 3 hay una discontinuidad evitable. En x = −3 hay un infinito.
k = 4.
La función tiene que valer 12 .
(112) La función es continua en x = 0 para a =
(113) Tiene que valer g(0) = 1.
(114) Debe elegirse f (2) = 4.
4.
1
.
2
Teorema de Bolzano
115. Demostrar que la ecuación x3 − 3x + 40 = 0 tiene alguna solución en el intervalo (−4, −3).
116. Demostrar que las gráficas de las funciones f (x) = ln x y g(x) = e−x se cortan en algún punto.
117. Dada la función f (x) = x3 + x − 5, demostrar que existe un c ∈ (1, 3) tal que f (c) = 20.
118. Comprobar que la ecuación sen x − 2x + 3 = 0 tiene una solución en el intervalo (1, 2).
119. Comprobar que la función f (x) = x5 − x3 − x + 5 toma el valor −1 en el intervalo (−2, −1).
120. Demostrar que la función f (x) = xe−x + 3 toma el valor
3
2
en el intervalo (−1, 0).
121. Demostrar que la ecuación sen x − cos x + 2x = 3 tiene una solución en el intervalo (1, 2).
122. Comprobar que la función f (x) = cos x − x + 1 corta al eje OX en al menos un punto, e indica un
intervalo de extremos de números enteros consecutivos al cual pertenezca dicho punto.
123. Lo mismo para la función f (x) = xex − x − 16.
124. Demostrar que las gráficas de las funciones f (x) = x3 + x2 y g(x) = cos πx − 2 se cortan en un
punto x0 . Calcular la parte entera de x0 .
125. Demostrar que la ecuación x3 + 3x2 + 4x − 7 = 0 tiene al menos una solución.
126. Comprobar que la ecuación 2x = cos x tiene al menos una solución.
127. Demostrar que las gráficas de las funciones f (x) = x3 + x2 y g(x) = 3 + cos x se cortan en algún
punto.
128. Sea la función:


x − 4
4
f (x) =

e−x2
si 0 ≤ x ≤
si
1
2
1
2
<x≤1
Observamos que f está definida en [0, 1] y que toma valores de signos opuestos en los extremos
de este intervalo. Sin embargo, no existe ningún c ∈ (0, 1) tal que f (c) = 0. ¿Contradice esto el
teorema de Bolzano?
5 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
5.
9
Continuidad y derivabilidad
129. Considérese la función:
{
eax
x≤0
f (x) =
2x + 1 x > 0
donde a es un número real.
a) Calcular lı́m f (x) y comprobar que f (x) es continua en x = 0.
x→0
b) ¿Para qué valor del parámetro a la función es derivable en x = 0?
130. Determinar el valor de a para el cual la siguiente función es derivable en x = 0:
{
cos x
x≤0
f (x) =
2
x +a x>0
131. Dada la función:
{
ax2 + 1
f (x) =
e2−x
x<2
x≥2
calcular a para que f sea continua en x = 2. Para el valor obtenido, ¿es derivable la función en
x = 2?
132. Discutir según los valores de m la continuidad y la derivabilidad de la función:

3 − mx2 x ≤ 1
f (x) =
 2
x>1
mx
133. Determinar los valores de a y
 2
bx + ax




a
f (x) = x


2


 x + ax + 1
x+1
b para que la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:
x ≤ −1
−1 < x ≤ 1
x>1
134. Dada la función:
{
x2 + ax + b x < 1
f (x) =
cx
x≥1
Calcular a, b y c para que la función sea derivable en x = 1, sabiendo que f (0) = f (4).
135. Estudia la derivabilidad de las función f (x) = |x2 − 7x + 12| en x = 4.
√
136. La función f (x) = x no es derivable en x = 0 y la función g(x) = sen x, sı́. ¿Es derivable en x = 0
la función p(x) = x sen x?
137. Sea la función:
{
sen x
f (x) =
x − 3π
3π
2
< x < 3π
x ≥ 3π
Estudiar su continuidad y su derivabilidad en x = 3π.
6 RECTA TANGENTE
6.
10
Recta tangente
138. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = x2 − 5x + 6 en el punto de abscisa x = 2
139. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva −x2 + 2x + 5 en el punto de abscisa x = −1
140. Calcular la ecuación de la recta tangente a y = 3x2 − 4x + 2 que tenga pendiente igual a 2.
√
141. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = x + 4 en el punto de abscisa 0.
142. Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x3 − 3x que sean paralelas a la recta
y = 6x + 10.
143. Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = 4 − x2 en los puntos de corte con el
eje de abscisas.
144. Hallar los puntos de tangente horizontal de la curva y = x3 − 3x2 − 9x − 1.
145. Hallar los puntos de tangente horizontal de las siguientes curvas:
a) y = 3x2 − 2x + 1
b) y = x3 − 3x
146. ¿En qué puntos de y = 1/x la recta tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante?.¿Tiene
algún punto de tangente horizontal?
147. ¿En qué punto la recta tangente a la curva y = x2 − 6x + 5 es paralela a la recta y = 2x − 3?
148. ¿En qué puntos la recta tangente a y = x3 − 4x tiene la pendiente igual a 8?
149. Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y =
2x
que son paralelas a 2x+y−1 = 0.
x−1
150. Calcula la ecuación de la tangente a la curva y = ln x trazada desde el origen.
√
1+x
151. ¿Hay algún punto de la gráfica de y = ln
con tangente horizontal?
1−x
152. Calcula la ecuación de la recta tangente a la curvaf (x) = sen x en el origen.
153. ¿Hay algún punto de la gráfica de f (x) = tg 2x en el que la tangente tenga menor pendiente que la
bisectriz del primer cuadrante?
154. Encuentra los puntos con abscisa en [0, 2π] para los que la tangente a la curva f (x) = sen x + cos x
sea horizontal.
155. Obtén la ecuación de la tangente a la curva x2 + y 2 = 13 en P (2, 3) de dos formas: utilizando la
derivación implı́cita y despejando y.
156. Usa la derivación implı́cita para calcular la pendiente de la recta tangente a la curva x2 y 3 = 2 en
el punto de abscisa x = 1
157. Dada la función:
√
 x ln x
f (x) =
2x

x+k
si x ≥ 0
si x < 0
se pide:
a) Determinar el valor de k para que la función sea continua en R.
b) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
c) Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto del abscisa
x = 1.
7 PROBLEMAS DE MOVIMIENTO
11
158. Determinar las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función
f (x) = xex +
x3 − 2
x2 + 4
en el punto de abscisa x = 0.
159. Halla el área del triángulo formado por el eje X y las rectas tangente y normal a la curva de ecuación
y = e−x en el punto de abscisa x = −1.
7.
Problemas de movimiento
160. Una partı́cula se mueve a lo largo de una recta de tal forma que su posición en un tiempo t está dada
por:
x(t) = t3 − 7t2 + 11t − 2,5
a) Calcular la velocidad y aceleración en el tiempo t.
b) Calcula el tiempo en que la partı́cula está en reposo y cuando está acelerando y frenando.
Justifica las respuestas.
c) Calcula los valores de t en que el movimiento cambia de sentido.
d ) Calcular la distancia recorrida en los primeros 3 segundos.
161. La posición de una partı́cula t segundos después de que comience el movimiento está dada por la
función:
x(t) =
1 3
t − 3t2 + 8t
3
metros. Calcular:
a) La velocidad y aceleración en función de t.
b) El momento en que la partı́cula está (i) en reposo (ii) acelerando (iii) frenando.
c) La aceleración cuando la velocidad de la partı́cula es cero. Interpretar la respuesta.
d ) El momento en que la partı́cula cambia de dirección.
e) La distancia recorrida en los primeros cinco segundos.
8.
Problemas BI
162. Una caja sin tapa se construye cortando cuadrados en los vértices de una pieza de cartón cuadrada
de 4 m de lado. Calcular el tamaño de los cuadrados de forma que el volumen de la caja sea máximo.
163. Calcular las dimensiones de una lata cilı́ndrica de un litro de capacidad de forma que su superficie
sea mı́nima. Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima cuya base está en el eje de
abscisas y sus otros dos vértices sobre la parábola y = 10 − x2 .
164. Una lámina de latón de 36 cm de perı́metro se enrolla para formar un cilindro.
a) Calcular sus dimensiones de forma que el volumen del cilindro sea máximo.
b) La misma lámina gira alrededor de uno de sus lados para generar el cilindro. Calcular las
dimensiones para que el volumen sea máximo.
165. Calcular la pendiente de la recta tangente a la circunferencia x2 + y 2 = 1 en el punto (0, 1).
166. Calcular la derivada del folium de Descartes x3 + y 3 − 9xy = 0.
167. El punto P (2, m) donde m < 0 se encuentra en la curva 2x2 y + 3y 2 = 16:
8 PROBLEMAS BI
12
a) Calcular el valor de m.
b) Calcular la pendiente de la normal y la tangente en P .
168. Dada la curva x + y = x2 − 2xy + y 2 :
a) Calcular su derivada.
2
.
2x − 2y + 1
(
)3
d2 y
dy
c) Demostrar que
=
1
−
.
dx2
dx
b) Demostrar que 1 −
dy
dx
=
169. Una escalera de 10 m de longitud se encuentra apoyada sobre una pared. La parte superior desliza
sobre la pared con una velocidad de 0,5 m s−1 . Calcular la velocidad con que desliza sobre el suelo
el otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 6 m de la pared.
170. Un depósito cónico se llena con agua a razón de 3 m3 min−1 . El depósito está situado con el vértice
hacia abajo. ¿A qué velocidad sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 2 m y el radio de
la superficie del agua es de 1,5 m?
171. El volumen de un cubo aumenta a 1,5 m s−1 .Calcular la velocidad con que aumenta la superficie
del cubo cuando su volumen es de 81 m3 .
172. Un avión que vuela a una altura de 8000 m pasa sobre una estación de radar. Cuando el avión
se encuentra a 12000 m de la estación, el radar obtiene que la distancia está cambiando con una
velocidad de 320 km h−1 . Calcular la velocidad del avión en ese momento.
173. Dos circunferencias concéntricas se están expandiendo. En el tiempo t el radio de la circunferencia
exterior es de 9 m y está creciendo a un ritmo de 1,2 m s−1 . El radio de la circunferencia interior es
de 1 m y crece a 1,5 m s−1 . Calcular la velocidad de crecimiento del área de la corona comprendida
entre ambas circunferencias en el tiempo t.
174. Calcular los valores de a para los que la serie
a2 +
a2
a2
+
+ ···
1 + a2
(1 + a2 )2
es convergente y calcular su suma.
175. Dada la función:
y=
x3 − 2x2 + 5
x2 − x3
calcular:
a) Su ası́ntota horizontal.
b) Los puntos en que la curva se corta con su ası́ntota.
176. Sea f una función par definida en el intervalo (−a, a), a > 0. Demostrar que si f es derivable en
todo su dominio, la tangente a su gráfica en x = 0 es paralela al eje x.
177. Si f es una función tal que f (x) = [g(x)]3 , g(0) = − 12 , g ′ (0) = 83 , calcular la ecuación de la tangente
a f (x) en x = 0.
178. Considérese la función:
y=
2x
x2 − 1
a) Calcular las ası́ntotas horizontales y verticales.
b) Demostrar que la función es impar.
c) Comprobar que y ′ < 0 para todo x de su dominio.
9 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
13
d ) Representar gráficamente la función.
√
x.
179. Calcular la menor distancia del punto (1,5, 0) a la curva y =
180. Con una pieza de alambre de 80 cm se forman dos circunferencias iguales y un cuadrado. Calcular
el radio de las circunferencias si queremos que la suma de las tres áreas sea mı́nima.
181. Una escalera de 10 m de longitud se apoya contra una pared. En determinado momento, el extremo
superior empieza a deslizar hacia abajo con una velocidad de 0,5 m s−1 . Calcular la velocidad de
cambio del ángulo que forma la escalera con el suelo cuando la escalera se apoya a 8 m del suelo.
182. Un cámara profesional se encuentra filmando un safari. Supongamos que está situado a 30 m de un
árbol, siguiendo a unos pájaros que vuelan a una velocidad de 95 km h−1 . Los pájaros se mueven
perpendicularmente a la lı́nea que une el árbol con el cámara. ¿A qué velocidad debe girar la cámara
para seguir a un pájaro:
a) Que está justo enfrente de la cámara.
b) Un segundo después.
9.
Crecimiento y decrecimiento. Concavidad y convexidad
183. Estudiar la monotonı́a de las siguientes funciones:
a) f (x) = x2 (x + 1)
b) f (x) = −x4 + 3x2 − 2x
184. Estudiar la monotonı́a de:
a) f (x) =
x2 − 2x + 2
x−1
b) f (x) =
x
x2 + 2
185. Estudiar la monotonı́a de:
a) f (x) = 3x2 ex
c) f (x) =
ln x
x2
1
+ ln x
x
√
d ) f (x) = x ln x
b) f (x) =
186. Determinar los máximos y mı́nimos de las siguientes funciones utilizando la derivada segunda:
(x − 1)2
x2 + 1
a) y = x3 − 24x − 6
b) y =
c) y = ln(x2 + 1)
d ) y = (x2 + 4)ex
187. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de las siguientes
funciones:
a) y = x3 − 3x2 + 2x + 4
b) y =
x2
−1
x2
√
9 + x2
d) y =
ln x
2x
e) y = 4 cos x − cos 2x
f) y =
x2
ex
c) y =
188. Sea f (x) = x2 + mx donde m es un parámetro real. Hallar el valor de m para que f (x) tenga un
mı́nimo relativo en x = − 34 .
9 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
14
189. Se considera la función:
f (x) = aex
2
+bx+c
;
a>0
Calcular los parámetros a, b y c sabiendo que la función tiene un mı́nimo relativo en el punto (1, a)
y f (0) = 1.
190. Determinar los valores de a, b y c para que la función:
f (x) = x3 + ax2 + bx + c
pase por el origen de coordenadas, tenga un punto de inflexión en x = −1 y su recta tangente en
x = 1 tenga pendiente 3.
191. Calcula para f (x) = (x+1)e−x los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos,
los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad.
192. Hallar los máximos y mı́nimos relativos y los puntos de inflexión de la función:
f (x) =
3x2 + x + 3
x2 + 1
193. Demostrar que la curva de ecuación
y = x4 − x3 + x2 − x + 1
no tiene ningún punto de inflexión.
194. Sea f : R → R la función definida por:
f (x) = 2x3 + 12x2 + ax + b
Determinar a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión es la
recta y = 2x + 3.
195. Calcular los valores del parámetro a, a ̸= 0, que hacen que las tangentes a la curva de ecuación
y = ax4 + 2ax3 − ax + 1,512
en los puntos de inflexión sean perpendiculares.
196. Se considera la función
f (x) = x3 + ax2 + bx + c
donde a, b y c son parámetros reales.
a) Averiguar los valores de a y b para los que las rectas tangentes a la gráfica de f (x) en los
puntos de abscisas x = 2 y x = 4 son paralelas al eje X.
b) Con los valores de a y b hallados anteriormente, obtener el valor de c para el que se cumple
que el punto de inflexión de la gráfica de f (x) está en el eje X.
197. Demuestra que la curva f (x) = x − 2 cos x tiene un punto de inflexión en el interior del intervalo
[0, π] y halla la ecuación de la recta tangente a la curva en ese punto. Haz un dibujo en un entorno
del punto hallado.
198. Hallar una función polinómica de tercer grado que tenga un extremo relativo en (1, 1) y un punto
de inflexión en (0, 3). ¿Es (1, 1) el único extremo de la función?.
Soluciones:
(
(183) (a) creciente en (−∞, − 23 ) ∪ (0∞) (b) creciente en −∞,
√ )
−1− 3
2
∪
(
)
√
−1+ 3
,1
2
10 TEOREMAS DE ROLLE Y DEL VALOR MEDIO
15
( √ √ )
(184) (a) creciente en (−∞, 0) ∪ (2, ∞) (b) creciente en − 2, 2
(185) (a)(creciente
(0, ∞), máximo en x = −2 (b) decreciente en (−∞, −4), mı́nimo en x = −4 (c) creciente
√ ) en (−∞, −2) ∪√
en 0, e , máximo en x = e (d) decreciente en (0, 1e ), mı́nimo en x = 1e
√
√
(186) (a) máximo en x = −2 2, mı́nimo en x = 2 2 (b) máximo en x = −1, mı́nimo en x = 1 (c) mı́nimo en x = 0 (d) no
hay extremos relativos
(187) (a) cóncava en (1, ∞) (b)( cóncava
puntos de inflexión en x = −1 y x = 1 (c) cóncava en
) en (−∞, −1) [∪ (1, ∞),
√
√
) ( 4π
]
3
(−∞, ∞) (d) convexa en 0, e 2 (e) convexa en 0, 2π
∪
, 2π (f ) cóncava en (−∞, 2 − 2) ∪ (2 + 2, ∞)
3
3
(188) m =
(189) a =
3
2
1
,b
e
= −2, c = 1
(190) a = 3, b = −6, c = 0
(191) creciente en (−∞, 0), cóncava en (1, ∞)
(192) máximo en x = −1, mı́nimo en x = 1, punto de inflexión en x = 0
(193) La derivada segunda no tiene raı́ces
(194) a = 26, b = −19
(195) a = −1, a = 1
(196) a = −9, b = 24, c = −18
(
)
(197) y − π2 = 3 x − π2
(198) a = 1, b = 0, c = −3, d = 3.
10.
Teoremas de Rolle y del valor medio
199. Estudiar si se puede aplicar el teorema de Rolle a f (x) = 2 tg x en el intervalo [0, π] y, si es posible,
determinar el punto en el que la derivada se anula.
√
200. Razonar si se puede aplicar el teorema de Rolle a la función f (x) = 3 (x − 2)2 en el intervalo [0, 4].
201. Aplicar el teorema de Rolle a la función f (x) = x2 + 2x − 3 en el intervalo [−4, 2] e interpretarlo
geométricamente.
202. Cada una de las funciones siguientes toma el mismo valor en los extremos del intervalo [−2, 2], pero
no hay ningún valor ξ ∈ (−2, 2) en el que la derivada se anule. Justificar en cada caso por qué no
contradicen el teorema de Rolle:
1
a) f (x) = 4
x
b) f (x) = 2 − |x|
203. Probar que la función f (x) = x3 +x2 −x−1 satisface las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo
[−1, 1] y calcula un punto del intervalo abierto (−1, 1) cuya existencia garantiza el teorema.
204. Demostrar que la ecuación 1 − x = ex solamente tiene una solución.
205. Demostrar que la ecuación x2 = x cos x − sen x se verifica para un solo valor de x.
206. Demuestra que la curva y = x3 − 3x + 1 solo corta al eje X en un punto del intervalo [0, 1].
207. Demostrar que la ecuación x3 + x2 + 2x − 1 = 0 solo tiene una solución real.
208. Dado el intervalo I = [0, 5] y dadas las funciones f (x) = x2 − Ax, encontrar el valor de A para que
se pueda aplicar el teorema de Rolle al intervalo I y aplicar el teorema en ese caso.
√
209. Utilizando los teoremas de Bolzano y Rolle, demostrar que las curvas y = cos x e y = x se cortan
en un único punto del intervalo (0, π).
√
210. Demostrar que se puede aplicar el teorema del valor medio a la función f (x) = x2 + 9 en el
intervalo [0, 4] y halla el punto que verifica el teorema.
211. Aplicar el teorema del valor medio a la función f (x) = −x2 + 2x − 8 en el intervalo [−3, 3] e
interpretarlo geométricamente.
11 REGLA DE L’HÔPITAL
16
212. Razonar si es aplicable el teorema del valor medio a la función
{
x ln x x > 0
f (x) =
0
x=0
en el intervalo [0, e]. En caso afirmativo, hallar el valor al que se refiere el teorema.
213. Dada la función:
f (x) = xx − 2x + x − 1
demostrar que existen α, β ∈ (1, 2) tales que f (α) = 0 y f ′ (β) = 2. Decir que teorema se utiliza.
214. Sea f (x) = x3 + 2x − 1 y sea el intervalo I = [0, 2]. Aplicar el teorema del valor medio a la función
f en el intervalo I, hallando el punto de dicho intervalo cuya existencia asegura el teorema.
215. Dada la función
f (x) = x cos
πx
2
demostrar que existe ξ ∈ (1, 2) tal que f ′ (ξ) = −2. Citar los teoremas que se utilicen.
11.
Regla de l’Hôpital
216. Calcular los siguientes lı́mites:
x2 − 4x + 4
x→2
x2 − 4
a) lı́m
c) lı́m
x→0
sen x − x cos x
x3
ex − e−x
x→0 2 sen x
√
x2 − 5 − 2
d ) lı́m
x→3
x−3
b) lı́m
217. Calcular los siguientes lı́mites:
ex − x − sen x
x→0
sen2 x
a) lı́m
2
ex − 1
x→0 cos x − 1
b) lı́m
ex − e−x − 2x
x→0
x − sen x
c) lı́m
218. Calcular los siguientes lı́mites:
a) lı́m
x→0
x
ln(1 + x)
x2
x→0 1 − cos x
b) lı́m
sen2 2x
x→0 x3 + x
ln x
x→0 cotg x
c) lı́m
d ) lı́m
219. Calcular:
(
a) lı́m x cotg x
b) lı́m
x→0
x→0
1
c) lı́m (ex − x) x
x→0
220. Calcular:
1
− cotg x
x
1 + x − ex
x→0
sen2 x
d ) lı́m
)
11 REGLA DE L’HÔPITAL
17
√
x2 − 5 − 2
a) lı́m
x→3
x−3
(
1−
b) lı́m
x→∞
1
x2
)x
221. Calcular:
ex sen x − x
x→0 2x2 + x4
b) lı́m
a) lı́m
x→0
x − sen x
tg x − sen x
222. Calcular:
(
a) lı́m
x→1
1
1
−
ln x x − 1
)
(
b) lı́m x
x→∞
artg ex −
π)
2
223. Calcular:
a) lı́m (ln x)e
(
−x
b) lı́m
x→∞
x→∞
1 + tg
1
x
)x
224. Calcular:
√
√
x+1− x−1
√
a) lı́m √
x→∞
x+2− x−2
√
ln 1 − cos x
ln(1 − cos x)
b) lı́mπ
x→ 2
225. Calcular, si existen, los siguientes lı́mites:
a) lı́m+ (sen x)tg x
b) lı́m
x→0
x→0
sen x
|x|
226. Calcular:
√
x2 + 1 − 1
a) lı́m
x→0
x2
)
( n
2 −8
c) lı́m
n→∞
2n+1
b) lı́m+ (x2 − 1) tg
x→1
πx
2
227. Calcular los valores del número real a sabiendo que:
eax − 1 − ax
=8
x→0
x2
a) lı́m
c) lı́m
b) lı́m
x→0
ln(1 + ax)
=3
sen 2x
2x
=4
− 1)
x→∞ ln(eax
228. Calcular los valores de λ ̸= 0 para los cuales:
sen x2
= −1
x→0 cos2 λx − 1
lı́m
229. Calcular:
a) lı́m (x − 2) ln(x − 2)
x→2
c) lı́m (cos x + sen x)
x→0
e) lı́m
x→∞
√
x
x2 + 2
1
x
b) lı́m xsen x
x→0
1
d ) lı́m (x3 − 1) x
x→∞
12 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
18
Soluciones:
(216) (a) 0 (b) 1 (c)
1
3
(d)
3
2
(217) (a) ∞ (b) −2 (c) 2
(218) (a) 1 (b) 2 (c) 0 (d) 0
(219) (a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) − 12
(220) (a)
(221) (a)
(222) (a)
3
2
1
2
1
2
(b) 1
(b)
1
3
(b) 0
(223) (a) 1 (b) e
(224) (a)
1
2
(b)
1
2
(225) (a) 1 (b) −1 a la izquierda y 1 a la derecha
(226) (a)
1
2
(b) − π4 (c)
1
2
(227) (a) a = ±4 (b) a = 6 (c) a =
1
2
(228) λ = ±1
(229) (a) 0 (b) 1 (c) e (d) 1 (e) 1
12.
Problemas de optimización
230. De todos los cilindros que pueden inscribirse en una esfera de 9 cm de radio, hallar la altura y el
radio del que tiene mayor volumen.
231. Descomponer el número 8 en dos sumandos positivos de manera que la suma del cubo del primer
sumando más el cuadrado del segundo sea mı́nima.
232. ¿En qué punto de la parábola y = 4 − x2 la tangente forma con los ejes coordenados un triángulo
de área mı́nima?
233. Determinar el punto de la parábola y = x2 que está más próximo al punto (3, 0).
234. Determinar un punto de la curva de ecuación y = xe−x en el que la pendiente de la recta tangente
sea máxima.
2
235. Considérense las funciones f (x) = ex y g(x) = −e−x . Para cada recta r perpendicular al eje X, sean
A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g respectivamente. Determı́nese la
recta r para el cual el segmento AB es de longitud mı́nima.
236. El coste del marco de una ventana rectangular es de 12,50 euros por metro lineal de los lados
verticales y 8 euros por metro lineal de los lados horizontales.
a) Calcular razonadamente las dimensiones que debe tener el marco de una ventana de 1 m2 de
superficie para que resulte lo más económico posible.
b) Calcular, además, el coste de este marco.
237. De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre
los ejes coordenados y un vértice en la recta r de ecuación
x
+y =1
2
determinar el de área máxima.
238. Considérese el recinto limitado por la curva y = x2 y la recta y = 3. De entre los rectángulos que
tienen un lado sobre la porción de recta que queda sobre la curva y los otros dos vértices sobre la
parábola, determinar el que tiene área máxima.
239. Un trozo de alambre de longitud 20 se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rectángulo
cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Encontrar las
longitudes de ambos trozos para que sea mı́nima la suma del área del rectángulo y la del cuadrado.
13 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
19
240. Una cartulina tiene forma rectangular con 30 cm de base y 20 cm de altura. Se quiere construir un
cajón sin tapa con la forma resultante tras recortar cuatro cuadrados de lado x en cada esquina
de la cartulina. Calcular x para que el volumen del cajón resultante sea máximo. Calcular dicho
volumen.
Soluciones:
√
√
(230) r = 3 6, h = 6 3
(231) 2 y 6
(232) x = − √2 , x =
3
√2
3
(233) x = 1
(234) x = 0
(235) x = 0
(236) 80 cm y 125 cm
(
)
(237) El que tiene un vértice en 1, 12
(238) El que tiene un vértice en (1, 1)
(239)
(240)
13.
180
17
160
17
√
25−5 7
3
y
Representación de funciones
241. Estudiar y representar las siguientes funciones:
8
−4
1
b) y = x +
x
a) y =
x2
242. Representar gráficamente la función y = x3 − 3x.
243. Dada la función
y=
x−1
x+1
determı́nense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los
puntos de inflexión y las ası́ntotas. Esbócese su gráfica.
244. Se considera la función:
y=
x2
x
+1
a) Halle sus ası́ntotas, máximos y mı́nimos.
b) Represéntese gráficamente la función.
245. Estudiar (dominio, crecimiento, máximos, mı́nimos y ası́ntotas) y representar gráficamente la función:
y=
2x − 1
x − x2
246. Representar gráficamente la función:
y=
x3
1 − x2
estudiando las ası́ntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
13 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
20
1
247. Calcular las ası́ntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: y = e x y
representarla gráficamente.
248. Se considera la función:
y=
(x + 1)2
ex
Hallar los extremos locales y los puntos de inflexión. Representar gráficamente la función.
249. Sea la función f (x) = x2 e−x .
a) Comprobar que la recta y = 0 es ası́ntota horizontal en +∞.
b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Con los datos anteriores, hacer una representación aproximada de la función.
250. Representar gráficamente las funciones:
a) y = x ln x
b) y =
x
ln x
251. Sea f (x) = 2 − x + ln x con x ∈ (0, ∞). Se pide:
a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.
b) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad.
c) Determinar las ası́ntotas y esbozar la gráfica.
Soluciones:
(241)
(242)
(243)
13 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
(244)
(245)
(246)
(247)
(248)
(249)
(250)
21
14 MÁS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
22
(251)
14.
Más problemas de optimización
252. Hallar el rectángulo de área máxima inscriptible en un triángulo isósceles de base 6 cm y altura
10 cm. Generalizar.
253. Hallar el rectángulo de área máxima inscriptible en un semicı́rculo.
254. Demostrar que de todos los rectángulos de igual perı́metro, el de área máxima es el cuadrado.
255. Hallar el cilindro de máximo volumen inscriptible en un cono recto circular de radio 10 cm. y altura
20 cm. Generalizar.
256. Demostrar que todos los cilindros de igual superficie, el de volumen máximo es el de altura igual al
diámetro.
257. Inscribir en una esfera el cilindro, de volumen máximo.
258. Idem de área máxima.
259. Demostrar que la altura del cono de volumen máximo inscrito en una esfera vale los 4/3 del radio.
(Tomar como variable dicha altura.)
260. Calcular las dimensiones de un depósito cónico invertido abierto, de 2000 litros de capacidad, de
modo que requiera la mı́nima cantidad de superficie.
261. Sabido es que el desarrollo de la superficie lateral de un cono es un sector circular. Dado un cı́rculo,
¿cuál es el sector correspondiente a un cono de máximo volumen?
262. La superficie lateral de una caldera cilı́ndrica de 3 m3 de capacidad está hecha de material que
cuesta 2 euros el dm2 , mientras los cı́rculos de las bases cuestan a 3 euros el dm2 . Calcular las
dimensiones más económicas.
Soluciones
(252) La base es 3 cm y la altura 5 cm.
√
(253) La base es R 2 y la altura √R .
2
(254) La base debe ser la cuarta parte del perı́metro.
(255) El radio es
(256) El radio es
(257) El radio es
20
3
√
cm y la altura
S
6π
√
R√ 2
3
(260) El radio es r =
cm.
y la altura el doble. S es el área total.
y la altura
√ √
(258) El radio es r = R 5+10 5
(259)
20
3
√
3
√
3 2
π
m.
2R
√
3
15 INTEGRAL INDEFINIDA
15.
23
Integral indefinida
263. Calcular las siguientes integrales inmediatas:
∫
∫
(a)
(4x2 − 5x + 7) dx
(d )
(x − sen x) dx
∫
∫
1
√
(b)
dx
(e)
(x2 + 4)x(x2 − 1) dx
5
x
∫
∫
1
(c)
dx
(f )
(x − 1)3 dx
2x + 7
264. Calcular las siguientes integrales inmediatas:
∫
∫
2
(a)
sen(x − π) dx
(d )
dx
x
∫
∫
dx
7
(e)
(b)
dx
2
x−1
cos x
√
∫
∫
x+ x
(c)
(ex + 3e−x ) dx
(f )
dx
x2
265. Calcular las siguientes integrales:
∫
∫
dx
dx
(a)
(b)
x−4
(x − 4)2
∫ √
3x dx
∫
(h)
(sen x + ex ) dx
∫
√
3
(i )
x dx
(g)
∫
3 dx
1 + x2
∫
dx
√
(h)
1 − x2
∫
(i )
tg2 x dx
(g)
∫
(c)
266. Calcular las siguientes integrales:
∫
∫
ex−4 dx
e−2x+9 dx
(a)
(b)
∫
(x − 4)2 dx
(d )
e5x dx
(d )
∫
(c)
∫
267. Resuelve las siguientes integrales de tipo arcotangente:
∫
∫
∫
dx
4 dx
5 dx
(a)
(b)
(c)
4 + x2
3 + x2
4x2 + 1
268. Calcula las siguientes integrales del tipo arcoseno:
∫
∫
dx
dx
√
√
(a)
(b)
2
1 − 4x
4 − x2
dx
(x − 4)3
(3x − x3 ) dx
∫
(d )
∫
(c)
2
dx
1 + 9x2
ex
√
dx
1 − e2x
269. Calcular las siguientes integrales racionales:
∫
(a)
x2 − 5x + 4
dx
x+1
∫
(b)
x2 + 2x + 4
dx
x+1
270. Calcular las siguientes integrales:
∫
∫
2x + 3
3x − 2
(a)
dx
(c)
dx
(x − 2)(x + 5)
x2 − 4
∫
∫
x+2
dx
(b)
dx
(d
)
2
2
x +1
x −x−2
271. Calcular las siguientes integrales:
∫
(c)
∫
x3 − 3x2 + x − 1
dx
x−2
2x2 + 5x − 1
dx
x3 + x2 − 2x
∫
1
(f )
dx
(x2 − 1)2
(e)
15 INTEGRAL INDEFINIDA
24
∫
∫
∫
2x2 + 7x − 1
dx
3
x + x2 − x − 1
∫
1
(b)
dx
2
3x + 6x + 6
x−2
dx
+x+2
∫
x−1
(f )
dx
2
2x + 4x + 3
dx
2
x + 4x + 5
∫
3x + 1
(d )
dx
2
x + 2x + 2
(e)
(c)
(a)
272. Calcula las siguientes integrales:
∫
∫
2
(a)
cos x sen3 x dx (b)
2xex dx
∫
(c)
(d )
275. Integrar por partes:
∫
(a)
x2 e3x dx
∫
x
(b)
dx
ex
∫
(c)
artg x dx
(f )
∫
tg x sec2 x dx
(1 + ln x)2
dx
x
∫ √
(f )
(1 + cos x)3 sen x dx
x cos x dx
(g)
x3 sen x dx
(h)
x ln x dx
(i )
∫
arcos x dx
∫
∫
(f )
sen x
dx
cos5 x
(e)
∫
(e)
sen x cos x dx
∫
∫
(d )
1 3
ln x dx
x
∫
∫
3x
dx
2 − 6x2
(d )
(e)
274. Calcular las siguientes integrales:
∫ √
∫ √
(a)
(x + 3)5 dx
(c)
x2 − 2x(x − 1) dx
∫
∫
x dx
(x2 + 3)5
273. Calcular las siguientes integrales:
∫
∫
5
dx
√
(a)
x4 ex dx
(c)
9 − x2
∫
∫
x dx
√
(d )
(b)
x sen x2 dx
x2 + 5
(b)
2x2
x cos 3x dx
∫
x5 e−x dx
3
∫
276. Calcula
cos(ln x) dx integrando por partes dos veces.
277. Calcula:
∫
ln x
(a)
dx
x
∫
(b)
1
dx
x ln x
∫
(c)
∫
sen x1
dx
x2
(d )
artg x
dx
1 + x2
278. Calcular:
∫
(a)
√
sen x
√
dx
x
∫
(b)
279. Calcular:
∫
√
x x + 1 dx
(a)
(b)
280. Calcular:
∫
(a)
sen2 x dx
(b)
∫
√
ln x
√ dx
x
∫
(ln x)2 dx
(c)
∫
x
√
dx
x+1
(c)
cos2 x dx
(c)
∫
1
√ dx
1+ x
∫
ex cos x dx
15 INTEGRAL INDEFINIDA
25
281. Encuentra la primitiva de la función:
1
1 + 3x
f (x) =
que se anula para x = 0.
282. Halla la función F (x) para la que
1
;
x2
F ′ (x) =
F (1) = 2
283. De todas las primitivas de la función y = 4x − 6, ¿cuál de ellas toma el valor 4 para x = 1?
Soluciones (no se ha puesto la constante de integración):
(263) (a)
(i)
2
4x3
− 5x2
3√
3x 3 x
4
+ 7x (b)
5
√
5
x4
4
(c)
ln |2x + 7| (d)
1
2
x2
2
+ cos x (e)
x6
6
4
− 3x4 − 2x2 (f )
(264) (a) − cos(x + π) (b) 7 tg x (c) ex − 3e−x (d) 2 ln |x| (e) ln |x − 1| (f ) ln x −
−1
x−4
(265) (a) ln |x − 4| (b)
3
(c)
(x−4)
3
(266) (a) ex−4 (b) − 12 e−2x+9 (c)
(267) (a)
1
2
(268) (a)
1
2
(269) (a)
(270) (a)
(f )
x
2
artg
√4
3
(b)
arsen x (b) arsen
2
ln |x2 +3x−10|
ln |x + 1| −
(d)
5
2
(c)
3x
ln 3
−
1
4
sen4 x
4
artg (2x) (d)
x2
2
2
3
(273) (a)
ex
5
5
√
2
ln(x2 +1)+2
2
x3
3
−
x2
2
− x − 3 ln |x − 2|
artg x (c) 2 ln(x+2)+ln(x−2) (d)
1
− 4(x+1)
1
4(x−1)
−1
8(x2 +3)4
(b) − cos2x (c) arsen
(x+3)7
7
(d)
3
2
(277)
1
3
ln(x−2)− 13 ln(x+1) (e) − 12 ln |x+2|+2 ln |x−1|+ 12 ln |x|
ln(x2 +2x+2)−2 artg (x+1) (e)
1
4
√
ln(2x2 +x+2)− 3 1015 artg
√
2
1
x2 + 5 (e) − cos2 x (f ) 4 cos
4x
√
√
2
2
3
(x −2x)
2 (1+cos x)5
(1+ln x)3
tg x
(b) − 14 ln |2 − 6x2 | (c)
(d)
(e)
(f
)
−
3
2
3
5
x
3
(d)
1
(c) x artg x− 12 ln(1+x2 ) (d) cos x+x sen x (e) −x3 cos x+3x2
(9x2 −6x+2)e3x (b) − 1+x
27
ex
√
3
1 2
1 2
(f ) 2 x ln x − 4 x (g) x arcos x − 1 − x2 (h) 19 cos 3x + 13 x sen 3x (i) − 13 (1 + x3 )e−x
1
x cos ln x + 12 x sen ln x
2
(a) 12 (ln x)2 (b) ln(ln x) (c) cos x1 (d) 12 ( artg x)2
√
√
√
2
sen x−6 sen x+6x cos x
(278) (a) −2 cos x (b) x ln x − 2 x (c) x (ln x) − 2x ln x + 2x
√
√
√
√
√
2
(279) (a) 15
(x + 1)3 (x − 2) (b) 23 x + 1(x − 2) (c) − ln |x − 1| + 2 x + ln | − 1 + x| − ln |1 + x|
(280) (a)
(281)
(282)
(283)
1
x
2
−
1
2
sen x cos x (b)
1
ln |1 + 3x|
3
−1
+3
x
2
2x − 6x − 7
4x+1
√
15
(ln x)4
4
(275) (a)
(276)
(g) 3 artg x (h) arsen x (i) −x + tg x
artg (3x)
+ x + 3 ln |x + 1| (c)
1
3
2
(h) − cos x + ex
(c) arsen ex
(b)
ln |x − 1| −
(b) ex (c)
√
2x 3x
3
x4
4
artg (x+1) (c) artg (x+2) (d)
√
√
ln(2x2 + 4x + 3) − 2 artg (x + 1) 2
(272) (a)
(274) (a)
1
2
1
4
3
(271) (a) 2 ln x− x+1
(b)
(f )
x
2
x
√
3
− 6x + 10 ln |x + 1| (b)
x
2
1
4
artg
(g)
−1
2(x−4)2
(d)
1 5x
e
5
√2
x
(x−1)4
4
1
x
2
+
1
2
sen x cos x (c)
1 x
e
2
(sen x + cos x)
16 MÁS INTEGRALES INDEFINIDAS
16.
26
Más integrales indefinidas
Calcular las siguientes integrales:
∫
284.
∫
1 + x2
√
dx
x
285.
cos 3x dx
287.
∫
286.
∫
288.
∫
1
dx
1 + cos x
(multiplicar y dividir por 1 − cos x)
∫
1
√
290.
dx
4 − x2
∫
1
√
292.
dx
25 − 16x2
∫
1
√
294.
dx
x 4x2 − 9
∫
296.
x
dx
x4 + 3
∫
x2 + 2x
dx
(x + 1)2
sen x
dx
cos2 x
(tg 2x + sec 2x)2 dx
289.
∫
291.
∫
293.
∫
295.
1
dx
9 + x2
1
dx
4x2 + 9
x2
√
dx
1 − x6
(hacer t = x3 )
∫
1
√
297.
dx
x x4 − 1
(hacer t = x2 )
∫
298.
∫
300.
∫
302.
∫
304.
∫
306.
∫
308.
∫
310.
299.
x+3
√
dx
1 − x2
301.
1
√
dx
20 + 8x − x2
303.
1
√
dx
2 28 − 12x − x2
305.
x+2
√
dx
4 − x2
307.
1
dx
(x − 1)3
309.
√
3x − 1 dx
311.
∫
312.
x
∫
314.
∫
3x3 − 4x2 + 3x
dx
x2 + 1
√
3
2x2
+ 3 dx
∫
x2
1
dx
+ 10x + 30
∫
2x2
∫
∫
1
dx
+ 2x + 5
1
√
dx
5 − 4x − x2
3
(x − 2) 2 dx
∫
∫
1
√
dx
x+3
√
2 − 3x dx
∫ √
313.
1 + x4 x3 dx
∫
x
dx
(x2 + 4)3
315.
(x2 − x)4 (2x − 1) dx
317.
∫
316.
sec x tg x
dx
9 + 4 sec2 x
(x − 1)2 x dx
∫
x+1
√
dx
x2 + 2x − 4
16 MÁS INTEGRALES INDEFINIDAS
∫
318.
∫
320.
27
∫
√
(1 + x)2
√
dx
x
319.
sec 3x tg 3x dx
321.
x sec2 x2 dx
323.
∫
∫
322.
cos x sen x dx
∫
tg2 x dx
∫
4
326.
cosec2 2x dx
∫
∫
324.
(x + 1)(x − 2)
√
dx
x
325.
1
√
dx
5 − x2
sec2 x
√
dx
1 − 4 tg2 x
)
√ (
x2
Soluciones (no se ha puesto la constante de integración): (284) 2 x 1 + 23 x + 51 x2 (285) x+1
(286) 13 sen 3x (287) sec x
1
1
1
x
x
4x
(288) − cotg x+cosec x (289) tg 2x+sec 2x−x (290) arsen 2 (291) 3 artg 3 (292) 4 arsen 5 (293) 6 artg 2x
(294) 13 arsec 2x
3
3
√
√
2√
2
x
(295) 13 arsen x3 (296) 63 artg x 3 3 (297) 12 (298) 3x2 − 4x + 4 artg x (299) 16 artg 2 sec
(300) − 1 − x2 + 3 arsen x
3
√
√
√
(x+5) 5
(301) 55 artg
(302) arsen x−4
(303) 13 artg 2x+1
(304) arsen x+6
(305) − 5 − 4x − x2 + arsen x+2
5
6
3
8
3
√
√
5
3
3
1
2
2 (311) − 2 (2 − 3x) 2
(306) − 4x − x2 + 4 arsen x−2
(307) 25 (x − 2) 2 (308) − 2(x−1)
2 (309) 2 x + 3 (310) 9 (3x − 1)
2
9
√
4
3
3
(312) 16
(2x2 + 3) 3 (313) 16 (1 + x4 ) 2 (314) − 4(x21+4)2 (315) 14 x4 − 23 x3 + 21 x2 (316) 15 (x2 − x)5 (317) x2 + 2x − 4
5
3
1
√
(318) 23 (1 + √x)3 (319) 25 x 2 − 23 x 2 − 4x 2 (320) 13 sec 3x (321) − 12 cotg 2x (322) 12 tg x2 (323) tg x − x (324) − 15 cos5 x
x 5
5
(325) arsen
(326)
1
2
arsen (2 tg x)
∫
327.
∫
32x dx
328.
(ex + 1)3 ex dx
330.
∫
329.
∫
331.
∫
∫
x
333.
332.
335.
∫
e2x
dx
e2x + 3
x4 +1
3
337.
x 5
dx
∫
336.
∫
340.
x sen x dx
342.
arsen x dx
344.
2
ln x dx
x2 ln x dx
artg x dx
∫
sec x dx
346.
∫
arcos 2x dx
∫
2
x sen x dx
348.
x cos x dx
350.
∫
349.
ex
√
dx
1 − e2x
∫
3
347.
x dx
∫
∫
345.
+2
∫
ln(x2 + 2) dx
∫
343.
2
x3 ex dx
338.
∫
341.
e−x
(ex − xe ) dx
334.
∫
339.
dx
+1
∫
2
(e + 1) dx
∫
ex
∫
1
e x2
dx
x3
1
ex
dx
x2
x3 e2x dx
∫
x sec2 3x dx
16 MÁS INTEGRALES INDEFINIDAS
28
∫
351.
∫
x artg x dx
352.
∫
∫
3
353.
x sen x dx
∫
355.
x2 e−3x dx
x arsen x2 dx
354.
ln x
dx
x2
1
(ex +1)4
1
(330) x − ln(ex + 1)
32x (328) −e x (329)
2 ln 3
4
e+1
4
1
− 12 e
(332) − 12 e−x +2 (333) 12 e2x + 2ex + x (334) ex − xe+1 (335) 12 ln(e2x + 3) (336) arsen ex (337) 4 ln
5x +1
5
√
(
)
3
1 x2
e (x2 − 1) (339) x ln(x2 + 2) − 2 + 2 2 artg √x (340) x (ln x − 1) (341) −x cos x + sen x (342) x3 ln x − 19 x3
2
2
√
√
x arsen x + 1 − x2 (344) x artg x − 21 ln(1 + x2 ) (345) 12 (sec x tg x + ln | sec x + tg x|) (346) x arcos 2x − 12 1 − 4x2
−x2 cos x + 2 (x sen x + cos x) (348) 12 x3 e2x − 34 x2 e2x + 34 xe2x − 38 e2x (349) x sen x + cos x (350) 13 x tg 3x − 91 ln | sec x|
(
)
1
(x2 + 1) artg x − 12 x (352) − 13 e−3x x2 + 23 x + 29 (353) −x3 cos x + 3x2 sen x + 6x cos x − 6 sen x
2
√
1 2
x arsen x2 + 12 1 − x2 (355) − ln x+1
2
x
Soluciones (no se ha puesto la constante de integración): (327)
(331)
(338)
(343)
(347)
(351)
(354)
1
x2
2
356. Demostrar la siguiente fórmula de reducción:
∫
∫
senm−1 x cos x m − 1
m
sen x dx = −
+
senm−2 x dx
m
m
357. Aplicar la fórmula anterior para calcular la integral de sen2 x.
358. Calcular la integral de sen3 x.
∫
1
359.
dx
x2 − 9
∫ 2
x + 3x − 4
361.
dx
x2 − 2x − 8
∫
2x + 1
363.
dx
2
x +x+1
∫
x−1
dx
365.
x2 + 4x + 5
∫
360.
∫
362.
∫
364.
∫
366.
Soluciones (no se ha puesto la constante de integración): (359)
2
(362) ln |x−2|− x−2
(363) ln(x2 +x+1) (364)
√3
5
artg
x+1
√
5
1
6
(365)
x
dx
x2 − 3x − 4
x
dx
(x − 2)2
x2
3
dx
+ 2x + 6
4x − 1
dx
2x2 + 3x + 2
ln x−3
(360)
x+3 1
2
1
5
ln (x + 1)(x − 4)4 (361) x+ln (x + 2)(x − 4)4 ln(x2 +4x+5)−3 artg (x+2) (366) ln(2x2 +3x+2)− √ 8
∫
367.
sec x dx
Con el cambio t = sen x dt = cos x dx
∫
∫
sec x dx =
1
dx
cos x
∫
∫
1
1
1
dt =
dt
cos x cos x
cos2 x
∫
∫
∫
1
1
1
1
1
=
dt
=
dt
+
dt
1 − t2
2
1+t
2
1−t
=
1
1
ln |1 + t| − ln |1 − t| + C
2
2
1 1 + t 1 1 + sen x = ln + C = ln +C
2
1 − t
2
1 − sen x =
= ln |sec x + tg x| + C
191
artg
4x+3
√
191
16 MÁS INTEGRALES INDEFINIDAS
29
∫
368.
sec3 x dx
Por partes u = sec x ;
∫
dv = sec2 x dx
∫
sec3 x dx =
sec x sec2 x dx
∫
= sec x tg x −
tg x
sen x
dx = sec x tg x −
cos2 x
∫
sen2 x
dx
cos3 x
∫
1 − cos2 x
dx
cos3 x
∫
∫
1
1
= sec x tg x −
dx +
dx
cos3 x
cos x
∫
= sec x tg x − sec3 x dx + ln |sec x + tg x|
= sec x tg x −
∫
sec3 x dx = sec x tg x + ln |sec x + tg x| + C
2
∫
sec3 x dx =
∫ √
369.
1 − x2 dx
1
1
sec x tg x + ln |sec x + tg x| + C
2
2
Con el cambio x = sen t ;
dx = cos t dt
∫ √
∫ √
2
1 − x dx =
1 − sen2 t cos t dt
∫
=
∫
cos t cos t dt =
cos2 t dt
1
(t + sen t cos t) + C
2
)
√
1(
=
arsen x + x 1 − x2 + C
2
=
370.
∫ √
x2 − 1 dx
Con el cambio x = sec t ;
dx =
sen t
cos2 t
dt
∫ √
∫ √
sen t
x2 − 1 dx =
sec2 t − 1
dt
cos2 t
∫
∫
sen t
sen t sen t
= tg t
dt
=
dt
2
cos t
cos t cos2 t
∫
∫
1 − cos2 t
sen2 t
dt
=
dt
=
3
cos t
cos3 t
∫
∫
= sec3 t dt − sec t dt
=
1
1
sec t tg t + ln | sec t + tg t| − ln | sec t + tg t| + C
2
2
1
1
sec t tg t − ln | sec t + tg t| + C
2
2
√
1 √
1 = x x2 − 1 − ln x + x2 − 1 + C
2
2
=
17 INTEGRAL DEFINIDA
17.
30
Integral definida
1
b−a
371. Se define el valor medio de una función f (x) en un intervalo [a, b] como el cociente
√
Calcula el valor medio de la función f (x) = x · 4 − x2 en el intervalo [0, 2].
∫b
a
f (x) dx.
∫3
2
372. Sea f una función definida por f (x) = x x+1
con 1 ≤ x ≤ 3. Hallar c tal que f (c) = 12 1 f (x) dx.
2
∫ 2x 2
373. Sea F (x) = 0 et dt. Hallar el valor de F ′ (0).
∫x
374. Determinar los máximos y mı́nimos de la función F (x) = 1 ln t dt en el intervalo [2, 10].
375. Determina la siguiente integral definida:
∫ 2
|x2 − 4| dx
−4
376. Hallar el área encerrada por las funciones f (x) = x y g(x) = x2 .
377. Dadas las funciones f (x) = 2x − x2 y g(x) = x2 − x − 2, encuentra el valor del área comprendida
entre ellas.
378. Dadas la parábola y = 6x − x2 y la recta y = 2x, determina el área limitada por ambas.
√
379. Determina el área de la región limitada por las curvas y = x2 , y = 3 x y las rectas x = −1 y x = 1.
380. Calcula el área de la región limitada por la función f (x) = x2 − 4x + 3 y el eje OX.
381. Averigua el área comprendida entre la gráfica de la función f (x) =
x = −1 y x = 1.
x
1+x2 ,
382. Calcula el área limitada por la gráfica de la función y = cos x entre x =
π
4,
el eje OX y las rectas
x=
3π
4
383. Calcula el área encerrada por la curva y = x sen x y las rectas y = 0, x = 0 y x =
y el eje OX.
π
2.
384. Halla el área limitada por la curva y = ln x y las rectas y = 0 y x = e.
385. Hallar el área del
√ recinto limitado por los ejes de coordenadas, la recta y = 2 y la curva cuya
ecuación es y = x − 2.
386. Hallar el área del recinto plano delimitado por las rectas y = x e y = 2x y la parábola y = x2 .
387. Determinar el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f (x) = x3 − 2x y g(x) = x2
cuando solo se consideran valores positivos de x.
388. Hallar el área de la región limitada por las curvas y = |x| e y = x2 − 1 y las rectas x = −1 y x = 1.
389. Representa la región del plano limitada por y = ln x, su recta tangente en x = e y el eje OX.
Calcular su área.
390. Encontrar el área del recinto limitado por las curvas y = |x − 2| e y = x2 − 4x − 2.
391. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas
de las funciones y = 2x − x2 e y = −x + 2.
392. La curva y =
4
x+4 ,
los ejes de coordenadas y la recta x = 4 limitan una superficie S.
(a) Calcular el área de S (b) Determina el volumen de la figura generada por S al dar una vuelta
completa alrededor del eje OX.
√
393. Considera la figura plana encerrada entre las curvas y = x e y = x2 cuando 0 ≤ x ≤ 1. Hallar el
volumen que genera esta figura cuando da una vuelta completa alrededor del eje OX.
394. Se considera la función f (x) = ax + b + x8 . Calcular a y b para que la gráfica de f (x) pase por el
punto (−2, −6) y admita en dicho punto una tangente horizontal. Calcular también el área limitada
por la gráfica de f (x) y las rectas x = 1, x = 2 e y = 0.
18 PROBLEMAS DE CINEMÁTICA
31
395. Si la integral definida de una función en el intervalo [1, 2] verifica que
para todos los puntos x ∈ [1, 2] se tiene que f (x) ≥ 0?
∫2
1
f (x) dx ≥ 1, ¿es cierto que
396. Sabiendo que la función f es derivable en todos sus puntos y su derivada verifica f ′ (x) ≥ 1 para
cualquier valor de x y que f (0) = 3, demuestra que f (2) ≥ 5.
397. Dada la función f (x) = ax3 + bx2 + cx + d se sabe que tiene un máximo relativo en x = 1, un punto
∫1
de inflexión en (0, 0) y que 0 f (x) dx = 54 , calcula a, b, c y d.
398. Hallar el valor de a sabiendo que el área limitada por la gráfica de la parábola y = x2 − ax y el eje
OX es de 32
3 .
399. Dos constructores tienen una parcela que han de repartirse en partes iguales para la construcción
de un centro comercial. La parcela es la región plana encerrada entre la parábola y = x2 y la recta
y = 1. Si deciden dividir la parcela mediante una recta y = a paralela a la recta y = 1, hallar el
valor de a.
√
400. Determina el valor del parámetro a para que el área limitada por las gráficas de f (x) = ax y
2
g(x) = xa , en el primer cuadrante, sea igual a 3 unidades cuadradas.
401. Sea y = x2 + a. Calcular el valor de a para que las tangentes cuya abscisa tenga valor absoluto
1, pasen por el origen de coordenadas. Hallar el área del recinto limitado por la curva y las dos
tangentes.
402. Se considera la función y = xeax , donde a es una constante no nula. Calcular el valor de a si sabemos
que el área limitada por la curva y = xeax y las rectas y = 0, x = 0, y x = 1 es igual a a12 .
403. Determina el valor de a sabiendo que el área comprendida entre la parábola y = x2 + ax y la recta
y + x = 0 es 36.
404. Con ayuda de la calculadora representar y calcular el área encerrada por las curvas y = cos 2x e
y = ln(x − 1).
405. Lo mismo para las curvas y = cos x2 e y = cos 2x.
406. Lo mismo para las curvas y = 2 sen x e y = e 2 −4 + 1.
x
(
)
o
407. Representar el área encerrada por la curva y = tg x, x ∈ − π2 , 2pi , su tangente en el punto de
abscisa x = π4 y el eje OX.
√
Soluciones: (371) 43 (372) 3 (373) 2 (374) F (2) = 2 ln 2 − 1, F (10) = 10 ln 10 − 9 (375) 64
(376) 16 (377) 125
(378) 32
3
24
3
√
3
4
20
7
8
7
e
1
π
(379) 2 (380) 3 (381) ln 2 (382) 2 − 2 (383) 1 (384) 1 (385) 3 (386) 6 (387) 3 (388) 3 (389) 2 − 1 (390) 27 (391) 30
9
π (394) 2, 2, 5 + 8 ln 2 (395) no (396) Aplicar el teorema del valor medio del cálculo diferencial
(392) 4 ln 2, 2π (393) 70
1
(397) −1, 0, 3, 0 (398) 4 y − 4 (399) √
(400) 3 (401) 1, 23 (402) 1 (403) 5 y − 7
3
4
18.
Problemas de cinemática
408. Un avión vuela horizontalmente en lı́nea recta durante un minuto, comenzando en el tiempo t = 0,
donde t se mide en segundos. La aceleración a, medida en m s−2 está dada por la siguiente gráfica:
18 PROBLEMAS DE CINEMÁTICA
32
a) Calcular una expresión de la aceleración en función del tiempo.
b) Suponiendo que en t = 0 la velocidad es de 125 m s−1 , calcular la velocidad máxima durante
el minuto que sigue.
c) Suponiendo que el avión supera la barrera del sonido a 295 m s−1 , calcular durante cuánto
tiempo el avión vuela a una velocidad superior a esta velocidad.
409. Un paracaidista se lanza desde un globo
m) de altura. Su velocidad en m s−1 , t segundos
( a 2000
−0,2t
después de saltar, está dada por v = 50 1 − e
.
a) Calcular la aceleración 10 segundos después de saltar.
b) ¿A qué altura se encuentra en ese momento?
410. Un cuerpo se mueve en un lı́quido de forma que su aceleración en m s−2 es:
a=−
v2
− 32
200
donde v es la velocidad del cuerpo en m s−1 . La velocidad inicial del cuerpo es de 40 m s−1 .
a) Demostrar que el tiempo que necesita el cuerpo para frenarse hasta la velocidad V está dado
por:
∫ 40
1
dv
T = 200
2 + 802
v
V
b) Explicar por qué la aceleración puede expresarse como
a=v
dv
ds
y, a partir de este resultado, hallar una integral similar a la del apartado a) para la distancia
S recorrida por el cuerpo hasta que se frena a la velocidad V .
c) Calcular la distancia recorrida y el tiempo empleado hasta que el cuerpo queda momentáneamente en reposo.
411. La aceleración en m s−2 de una partı́cula que se mueve en lı́nea recta en el tiempo t ≥ 0 está dada
por la función:
1
a=− v
2
Cuando t = 0 la velocidad es de 40 m s−1 . Calcular una expresión de v en función de t.
19 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
33
412. La aceleración de un cuerpo en función del desplazamiento s es:
a=
2s
s2 + 1
a) Hallar una fórmula de la velocidad en función del desplazamiento sabiendo que cuando s = 1 m,
v = 2 m s−1 .
b) A partir de esa fórmula calcular la velocidad cuando el cuerpo ha recorrido 5 metros.
19.
Distribuciones de probabilidad
413. Una variable aleatoria continua tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:
{1
(6x2 + 4x + 1)
si 0 ≤ x ≤ 1
p(x) = 5
0
resto de valores
Hallar la media y la varianza de X.
414. Una variable aleatoria continua tiene como función de densidad de probabilidad la siguiente:


si 0 ≤ x ≤ 1
kx
p(x) = k
si 1 < x ≤ 2


0
resto de valores
a) Demostrar que k = 23 .
b) Calcular E(x) y Var(x).
c) Demostrar que la mediana es
1
36
mayor que la media.
d ) Hallar el valor de la constante a para que p(X > E(X) − a) = 0,95.
415. Sea
{
kx2
p(x) =
0
si 0 ≤ x ≤ 2
en el resto
a) Comprobar que k = 38 .
b) Calcular E(X) y la mediana de X.
416. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X se define como:
1

x
si 0 ≤ x ≤ 3


8

27
p(x) =
si 3 < x ≤ r

2

8x



0
en el resto
a) Calcular el valor de r.
b) Calcular la media y la desviación tı́pica.
417. Una variable aleatoria continua tiene una función de densidad de probabilidad deda por:
{
k(2x − x2 )
si 0 ≤ x ≤ 2
p(x) =
0
en el resto
a) Hallar el valor de k.
b) Calcular p(0,25 < X < 0,5).
20 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. CÁLCULO. (COMUNIDAD DE MADRID)
34
418. La función de probabilidad de una variable aleatoria continua es:

 1 x(4 − x2 )
si 0 ≤ x ≤ 2
p(x) = 4

0
en el resto
Calcular el valor de la mediana de X.
419. El tiempo T en minutos que tardan los alumnos en responder a una pregunta en un examen de
matemáticas tiene una función de densidad de probabilidad dada por:

 1 (12t − t2 − 29)
si 4 ≤ t ≤ 10
f (x) = 72

0
en los demás casos
a) Hallar el valor esperado y la varianza de T .
b) Se elige un alumno al azar. Hallar la probabilidad de que el tiempo que tarda ese alumno en
responder la pregunta se encuentre en el intervalo (σ − µ, µ).
420. La función de probabilidad de una variable aleatoria continua X viene dada por:

√
−2
 c
para
≤x≤2 2
2
4
−
x
3
f (x) =

0
en los demás casos
a) Hallar el valor exacto de la constante c.
b) Dibujar aproximadamente la gráfica de f (x) y, a partir de ella, obtener la moda de la distribución.
c) Hallar el valor exacto de E(x).
421. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua viene dada por:

4

si 0 ≤ x ≤ 2
π(4
+
x2 )
f (x) =

0
en los demás casos
Hallar la moda de X y el valor exacto de E(x).
422. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X viene dada por:
{
12x2 (1 − x)
para 0 ≤ x ≤ 1
f (x) =
0
en los demás casos
Hallar la probabilidad de que X se encuentre entre la media y la moda.
20.
Problemas de selectividad. Cálculo. (Comunidad de Madrid)
423. Se considera la ecuación x3 + λx2 − 2x = 1. Utilizando el teorema de Bolzano de los valores
intermedios:
a) Probar que si λ > 2, la ecuación admite alguna solución menor que 1.
b) Probar que si λ < 2, la ecuación admite alguna solución mayor que 1.
424. Se considera la función
{
ex − 1 si x ≤ 0
f (x) =
x2 + x si x > 0
Contestar razonadamente a las siguientes preguntas:
20 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. CÁLCULO. (COMUNIDAD DE MADRID)
35
a) ¿Es continua en el punto x = 0?
b) ¿Es derivable en el punto x = 0?
c) ¿Alcanza algún extremo?
425. Se considera la función:

x−2



x−1
f (x) =

3x2 − 2x


x+2
si x ≤ 2
si x > 2
a) Estúdiese si f (x) es continua en x = 2.
b) Calcúlese la ecuación de la recta tangente a f (x) en el punto x = 3.
c) Calcúlense sus ası́ntotas oblicuas.
426. Se considera la función real de variable real definida por:
{√
3
x−2
si x ≥ 2
f (x) =
x(x − 2) si x < 2
a) Estudiar su continuidad y derivabilidad.
b) Hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (3, 1).
427. Dada la función:
f (x) =
x5 − x8
1 − x6
a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f . Determinar razonadamente si alguna de las
discontinuidades es evitable.
b) Estudiar si f tiene alguna ası́ntota vertical.
428. Calcular los siguientes lı́mites:
ln cos(3x)
.
x→0 ln cos(2x)
a) lı́m
√
√
4+x− 4−x
b) lı́m
.
x→0
4x
429. Sea la función:
f (x) =
sen x
2 − cos x
definida en el intervalo cerrado y acotado [−2π, 2π]. Se pide:
a) Calcular los puntos del intervalo dado donde f alcanza sus valores máximo y mı́nimo absoluto.
b) Dibujar la gráfica de f en el intervalo dado.
∫ π/3
f (x) dx
c) Calcular
0
430. Calcular la base y la altura de un triángulo isósceles de perı́metro 8 y área máxima.
431. Se considera la función:
f (x) =
(2x − 1)2
4x2 + 1
a) Calcular las ası́ntotas, el máximo y el mı́nimo absolutos de la función f (x).
∫ 1
b) Calcular
f (x) dx
0
20 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. CÁLCULO. (COMUNIDAD DE MADRID)
36
432. Sabiendo que la función f (x) tiene como derivada
f ′ (x) = (x − 4)2 (x2 − 8x + 7)
a) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
b) Hallar los máximos y mı́nimos relativos de f .
c) ¿Es el punto x = 4 un punto de inflexión de f ? Justificar razonadamente la respuesta.
433. Sea f (x) una función derivable en (0, 1) y continua en [0, 1] tal que f (1) = 0 y
∫
1
2xf ′ (x) dx = 1
0
∫
1
f (x) dx.
Utilizar la fórmula de integración por partes para hallar
0
434. Calcular un polinomio de tercer grado p(x) = ax3 + bx2 + cx + d sabiendo que verifica:
a) Tiene un máximo relativo en x = 1.
b) Tiene un punto de inflexión en el punto de coordenadas (0, 1).
c) Se verifica:
∫
1
p(x) dx =
0
5
.
4
435. Dada la función:
f (x) =
1
x
se pide:
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto (a, f (a)) para a > 0.
b) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en el apartado anterior con los dos ejes
coordenados.
c) Hallar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos puntos hallados sea mı́nima.
436.
a) Dibujar la gráfica de la función f (x) =
decrecimiento y ası́ntotas.
b) Demostrar que la sucesión an =
2n
n+1
2x
x+1
indicando su dominio, intervalos de crecimiento y
es monótona creciente.
c) Calcular lı́m n2 (an+1 − an )
n→∞
437. Calcular:
∫ 2
1
438.
x2
dx
+ 2x
a) Calcular los valores de a y b para que la función:

si x < 0

 3x + 2
2
f (x) = x + 2a cos x si 0 ≤ x < π

 2
ax + b
si x ≥ π
sea continua para todo valor de x.
b) Estudiar la derivabilidad de f (x) para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior.
439. Dada la función f (x) = xe2x se pide:
20 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. CÁLCULO. (COMUNIDAD DE MADRID)
37
a) Dibujar su gráfica indicando su dominio, ası́ntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento,
máximos y mı́nimos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.
b) Calcular el área comprendida entre el eje OX y la gráfica de f (x) entre −1 ≤ x ≤ 1.
440.
a) Hallar los máximos y mı́nimos relativos y los puntos de inflexión de la función:
f (x) =
3x2 + x + 3
x2 + 1
b) Determinar la función F (x) tal que su derivada sea f (x) y además F (0) = 4.
441. Sea g una función continua y derivable de la que se conoce la siguiente información:
a) g ′ (x) > 0 para todo x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, ∞), mientras g ′ (x) < 0 para todo x ∈ (0, 2).
b) g ′′ (x) > 0 para todo x ∈ (1, 3) y g ′′ (x) < 0 para todo x ∈ (−∞, 1) ∪ (3, ∞).
c) g(−1) = 0, g(0) = 2, g(2) = 1.
d)
lı́m g(x) = −∞ y lı́m g(x) = 3.
x→−∞
x→∞
Teniendo en cuenta los datos anteriores, se pide:
a) Analizar razonadamente la posible existencia de ası́ntotas verticales, horizontales u oblicuas.
b) Dibujar de manera sistemática la gráfica de g(x).
∫x
c) Si G(x) = 0 g(t) dt, encontrar un valor x0 tal que G′ (x0 ) = 0.
442. Estudiar los siguientes lı́mites:
(
)
a) lı́m ex − x2
x→∞
4x + 5x
x→∞ 3x + 6x
b) lı́m
443. Obtener los máximos y mı́nimos relativos y los puntos de inflexión de la función:
2
f (x) = x (ln x)
siendo ln x el logaritmo neperiano de x.
444.
a) Para cada valor de c > 0, calcular el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de
la función
1
f (x) = cx4 + x2 + 1,
c
el eje OX y las rectas x = 0 y x = 1.
b) Hallar el valor de c pare el cual el área calculada en el apartado anterior es mı́nima.
445. Dada la función
f (x) = e−x (x2 + 1)
se pide:
446.
a) Dibujar la gráfica de f estudiando el crecimiento, decrecimiento, puntos de inflexión y ası́ntotas.
∫1
b) Calcular 0 f (x) dx.
∫
a) Calcular x3 ln x dx
20 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. CÁLCULO. (COMUNIDAD DE MADRID)
38
b) Utilizar el cambio de variable x = et − e−t para calcular:
∫
1
√
dx
4 + x2
Indicación: Para deshacer el cambio de variable, utilizar:
√
x + x2 + 4
t = ln
2
447. Calcular el siguiente lı́mite:
(
)x+1
1
lı́m 1 +
x→∞
αx2 + 4x + 8
según los valores del parámetro α.
448. Calcular la integral
∫ x
F (x) =
t2 e−t dt
0
449. Si la derivada de la función f (x) es:
f ′ (x) = (x − 1)3 (x − 5)
obtener:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f .
b) Los valores de x en los cuales f tiene máximos relativos, mı́nimos relativos, o puntos de
inflexión.
c) La función f sabiendo que f (0) = 0.
450. Dada la función:

ln(1 + ax) − bx


x2
f (x) =
1

−
2
si 1 + ax > 0 y x ̸= 0
si x = 0
se pide:
a) Hallar los valores de los parámetros a y b para los que la función f (x) es continua en x = 0.
b) Para a = b = 1 estudiar si la función f es derivable en x = 0 aplicando la definición de
derivada.
451. Dada la función:
f (x) =
x2 + 2
x2 + 1
a) Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f (x).
b) Hallar los puntos de inflexión de la gráfica de f (x).
c) Hallar las ası́ntotas y dibujar la gráfica de f (x).
d ) Hallar el área del recinto acotado que limitan la gráfica de f (x), el eje de abscisas y las rectas
y = x + 2, x = 1.
452. Dada la función:
√
 x ln x
f (x) =
2x

x+k
se pide:
si x > 0
si x ≤ 0
20 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. CÁLCULO. (COMUNIDAD DE MADRID)
39
a) Determinar el valor de k para que la función sea continua en R.
b) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
c) Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto del abscisa
x = 1.
453. Hallar :
[√
3
a) lı́m
x→∞
]25
3 + 5x − 8x3
1 + 2x
(
)2
b) lı́m 1 + 4x3 x3
x→0
454. Dada la función f (x) = ln(x2 + 4x − 5), se pide:
a) Determinar el dominio de definición de f (x) y las ası́ntotas verticales de su gráfica.
b) Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f (x).
455. Dadas las funciones:
y = 9 − x2 ;
y = 2x + 1
se pide:
a) Dibujar las gráficas de las dos funciones identificando el recinto acotado por ellas.
b) Calcular el área de dicho recinto acotado.
c) Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje OX el
recinto acotado por la gráfica de y = 9 − x2 y el eje OX.
456. Obtener el valor de a para que:
(
lı́m
x→∞
x2 − 3
x2 + 3
)ax2
=4
457. Hallar:
∫
∫
16
(x − 15) dx
8
a)
11
(x − 10)19 (x − 9) dx
b)
14
9
458. Dada la función:
f (x) =
3x2 + 5x − 20
x+5
se pide:
a) Estudiar y obtener las ası́ntotas.
b) Estudiar los intervalos de concavidad y convexidad.
c) Representar gráficamente la función.
459. Calcular los lı́mites:
3x + 2ex
x→∞ 7x + 5ex
a) lı́m (1 + artg x)a/x
b) lı́m
x→0
460. Calcular:
∫
1
a)
0
461.
x
√
dx
4 − x2
∫
π
b)
x cos x dx
0
∫
a) Calcular la integral
3
x
1
√
4 + 5x2 dx
20 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. CÁLCULO. (COMUNIDAD DE MADRID)
b) Hallar los valores mı́nimo y máximo absolutos de la función f (x) =
462.
40
√
12 − 3x2 .
a) Calcular el siguiente lı́mite:
√
x
lı́m √
√
x→∞
x+ x
b) Demostrar que la ecuación 4x5 + 3x + m = 0 solo tiene una raı́z real, cualquiera que sea el
número m. Justifica la respuesta indicando qué teoremas se usan.
463. Dada la función:
f (x) =
ax4 + 1
x3
a) Determinar el valor de a para el que la función posee un mı́nimo relativo en x = 1. Para ese
valor de a obtener los otros puntos en que f tiene un extremo relativo.
b) Obtener las ası́ntotas de la gráfica de y = f (x) para a = 1.
c) Esbozar la gráfica de la función para a = 1.
464. Hallar el valor de λ para que la función
 λx2
e
−1


si x > 0

3x2
f (x) =


 sen 2x
si x < 0
x
sea continua. Razonar la respuesta.
465. Dado el polinomio P (x) = x3 +ax2 +bx+c, obtener los valores de a, b y c de modo que se verifiquen
las condiciones siguientes:
⋄ El polinomio P (x) tenga extremos relativos en los puntos de abscisas x = − 31 , x = −1.
⋄ La recta tangente a la gráfica de P (x) en el punto (0; P (0)) sea y = x + 3.
466. Sabiendo que la función F (x) tiene derivada f (x) continua en el intervalo cerrado [2; 5] y, además,
que:
F (2) = 1; F (3) = 2; F (4) = 6; F (5) = 3; f (3) = 3 y f (4) = −1;
hallar:
∫
5
⋄
f (x) dx
∫
2
∫
2
3
⋄
(5f (x) − 7) dx
4
⋄
f (x)F (x) dx
2
467. Calcular razonadamente las siguientes integrales definidas:
∫ π
∫ π/2
e2x cos x dx
(a)
(b)
0
0
sen 2x
dx
1 + cos2 2x
468. Dadas las funciones:
f (x) =
3x + ln(x + 1)
√
;
x2 − 3
g(x) = (ln x)x ;
se pide:
(a) Hallar el dominio de f (x) y el lı́m f (x).
x→∞
h(x) = sen(π − x)
20 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. CÁLCULO. (COMUNIDAD DE MADRID)
41
(b) Calcular g ′ (e).
(c) Calcular, en el intervalo [0, 2π], las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y
los extremos relativos de h(x).
469. Hallar a, b y c de modo que la función f (x) = x3 + ax2 + bx + c alcance en x = 1 un máximo relativo
de valor 2, y tenga en x = 3 un punto de inflexión.
470. Dada la función f (x) = cos2 x, se pide:
(a) Calcular los extremos relativos de f en el intervalo (−π, π).
(b) Calcular los puntos de inflexión de f en el intervalo (−π, π).
(c) Hallar la primitiva g(x) de f (x) tal que g(π/4) = 0.
471. Dada la función:
x−3
f (x) = √
x2 − 9
se pide:
(a) Hallar lı́m+ f (x), y
x→3
lı́m f (x)
x→−3−
(b) Hallar lı́m f (x), y lı́m f (x)
x→∞
x→−∞
472. (a) Sea f (x) una función continua tal que
∫
8
f (u) du = 3
1
hallar:
∫
2
f (x3 )x2 dx
1
(b) Hallar el dominio de definición y las abscisas de los puntos donde la función:
√
F (x) = − (x − 3)(9 − x2 )2
alcanza sus máximos y mı́nimos relativos.
473. Dada la función
{
3x + A
f (x) =
−4 + 10x − x2
x≤3
x>3
se pide:
a) Hallar el valor de A para que f (x) sea continua. ¿Es derivable para ese valor de A?
b) Hallar los puntos en que f ′ (x) = 0.
c) Hallar el máximo absoluto y el mı́nimo absoluto de f (x) en el intervalo [4, 8].
474. Dada la función f (x) = x2 sen x, se pide:
a) Determinar, justificando
) la respuesta, si la ecuación f (x) = 0 tiene alguna solución en el
(
intervalo abierto π2 , π .
b) Calcular la integral de f en el intervalo [0, π].
c) Obtener la ecuación de la recta normal a la gráfica de y = f (x) en el punto (π, f (π)). Recuérdese
que la recta normal es la recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto.
20 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. CÁLCULO. (COMUNIDAD DE MADRID)
475. Dada la función:
 2
2x +3x

 x−1
f (x) = a

 − x1
e
42
x<0
x=0
x>0
se pide:
a) Determinar el valor de a para que f sea continua en x = 0.
b) Para ese valor de a estudiar la derivabilidad de f en x = 0.
c) Hallar si las tiene las ası́ntotas de la gráfica de f (x).
476.
a) Representar gráficamente el recinto limitado por la gráfica de la función f (x) = ln x y el eje
OX entre las abscisas x = 1e y x = e.
b) Calcular el área de dicho recinto.
c) Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al girar dicho recinto alrededor del eje
OX.
477. Dada la función:
f (x) =
x3
(x − 3)2
se pide:
a) Hallar las ası́ntotas de su gráfica.
b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) en el punto de abscisa x = 2.
478. Calcular las siguientes integrales:
∫
x−3
a)
dx
x2 + 9
∫
2
b)
1
3 − x2 + x4
dx
x3
479. Dada la función f (x) = 2 cos2 x, se pide:
[
]
a) Determinar los extremos absolutos en − π2 , π2 .
[
]
b) Determinar los puntos de inflexión de f (x) en − π2 , π2 .
∫ π2
c) Calcular
f (x) dx
0
480. Dada la función:
f (x) =
27
4
+
x − 4 2x + 2
se pide:
a) Hallar las ası́ntotas de su gráfica.
b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de inflexión.
c) Esbozar la gráfica de la función.
481. Dada la función:
f (x) =
x
x2 + 1
se pide:
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) en x = 0.
20 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. CÁLCULO. (COMUNIDAD DE MADRID)
∫
b) Calcular
43
1
xf (x) dx.
0
1
482. Dada la función f (x) = e x , se pide:
a) Calcular lı́m f (x) y lı́m f (x) y estudiar la existencia de lı́m f (x).
x→∞
x→−∞
x→0
b) Esbozar la gráfica de y = f (x) determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento de
f (x) y sus ası́ntotas.
483.
a) Sea f : R → R una función dos veces derivable. Sabiendo que el punto de abscisa x = −2 es
un punto de inflexión de la gráfica de f (x) y que la recta de ecuación y = 16x + 16 es tangente
a la gráfica de f (x) en dicho punto, determinar:
f (−2),
f ′ (−2),
f ′′ (−2)
b) determinar el área de la región acotada limitada por la gráfica de la función G(x) = x4 + 4x3
y el eje OX.
484. Calcular justificadamente:
1 − 2x − ex + sen(3x)
x→0
x2
(5x2 + 2)(x − 6)
x→∞ (x2 − 1)(2x − 1)
a) lı́m
485. Dada la función:
{
a − ln(1 − x)
f (x) =
x2 e−x
b) lı́m
si x < 0
si x ≥ 0
se pide:
a) Calcular lı́m f (x) y lı́m f (x)
x→∞
x→−∞
b) Calcular el valor de a para que f (x) sea continua en todo R.
c) estudiar la derivabilidad de f y calcular f ′ donde sea posible.
486. Dada la función
f (x) =
1
x
+
x+1 x+4
se pide:
a) Determinar el dominio de f y sus ası́ntotas.
b) Calcular f ′ (x) y determinar los extremos relativos de f .
∫ 1
f (x) dx
c) Calcular
0
487. Dada la función

5 sen x

+

 2x
f (x) = a


 x
xe + 3
1
2
si x < 0
si x = 0
si x > 0
se pide:
a) Hallar, si existe, el valor de a para que f (x) sea continua.
b) decidir si la función es derivable en x = 0 para algún valor de a.
20 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. CÁLCULO. (COMUNIDAD DE MADRID)
44
c) Calcular la integral:
∫
ln 5
f (x) dx
1
Soluciones:
(423)
(424) (a) si (b) si (c) no
(425) (a) no (b) y −
21
5
59
(x
25
=
− 3) (c) y = 3x − 8 en +∞
(426) (a) Continua y no derivable en x = 2 (b) y − 1 =
1
(x
3
− 3)
(427) (a) evitable en x = 1, infinito en x = −1 (b) x = −1
(428) (a)
9
4
1
8
(b)
(429) (a) máximos en − 5π
y
3
8
3
(430) La base es
y la
π
, mı́nimos en − π3 y 5π
(b)
3
3
√
4 3
altura 3 (triángulo equilátero)
(c) ln
(
(
)
)
(431) (a) (b) y = 1 máximo en − 12 , 0 , mı́nimo en 12 , 0 (c)
3
2
2−ln 5
2
(432) (a) creciente en (−∞, 1) ∪ (7, ∞) decreciente en (1, 7) (b) máximo en x = 1, mı́nimo en x = 7 (c) sı́
(433) − 12
(434) a = − 15 , b = 0, c =
(435) (a) y −
1
a
=
− a12 (x
3
,
5
d=1
(
)
− a) (b) (2a, 0) y 0, a2 (c) a = 1
(436) (a) R − {1}, siempre creciente, y = 2, x = −1 (b) si es creciente para todo x también lo es para todo n (c) 2
(437)
1
2
ln
3
2
(438) (a) a = 1, b = −2 (b) derivable en x = π, no derivable en x = 0
)
(
)
(
(439) (a) dominio R, ası́ntota y = 0 en −∞, decreciente en −∞, − 12 , creciente en − 12 , ∞ , convexa en (−∞, −1),
2
cóncava en (−1, ∞), mı́nimo en x = − 12 , punto de inflexión en x = −1 (b) 12 + e4 − 4e32
√
√
(440) (a) mı́nimo en x = −1, máximo en x = 1, puntos de inflexión en x = − 3, x = 0 y x = 3 (b) 3x +
1
2
ln(x2 + 1) + 4
(441) (a) no hay ası́ntota vertical, y = 3 es ası́ntota horizontal en +∞, puede haber una ası́ntota oblicua en −∞
(b) (c) x = −1
(442) (a) ∞ (b) 0
(443) máximo en x = e−2 , mı́nimo en x = 1, punto de inflexión en x = e−1
√
5
1
(444) (a) S = 5c + 3c
+ 1 (b)
3
(445) (a) siempre decreciente, puntos de inflexión en x = 1 (tangente horizontal) y x = 3 (b) 3 − 6e−1
√
x+ x2 +4
1 4
x + C (b) ln
+C
(446) (a) 14 x4 ln x − 16
2
1
(447) El lı́mite es 1 si α ̸= 0 y e 4 si α = 0
(448) F (x) = 2 − (2 + 2x + x2 )e−x
(449) (a) creciente en (−∞, 1) ∪ (5, ∞), decreciente en (1, 5) (b) máximo en x = 1, mı́nimo en x = 5, punto de inflexión en
x = 4 (c) f (x) =
1
(x
4
(x−3)5
20
= 13
− 1)4 (x − 5) −
(450) (a) a = b = −1, a = b = 1 (b) f ′ (0)
+
6
5
(451) (a) creciente en (−∞, 0), decreciente en (0, ∞) (b) x =
(452) (a) 0 (b) (0, 0), (1, 0) (c) y =
(453) (a) −1 (b)
1
(x
4
−1
√
,
3
x=
√1
3
(c) y = 1 (d) 3 −
− 1)
e8
(454) (a) (−∞, −5) ∪ (1, ∞) (b) decreciente en (−∞, −5), creciente en (1, ∞)
(455) (a) (b) 36 (c)
1296π
5
(456) − 13 ln 2
(457) (a)
2
9
(b)
2
21
(458) (a) x = −5, y = 3x − 10 (b) convexa en (∞, −5), cóncava en (−5, ∞)
(459) (a) ea (b) 25
√
(460) (a) 2 − 3 (b) −2
√
(461) (a) 316
(b) 0, 12
15
π
4
20 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. CÁLCULO. (COMUNIDAD DE MADRID)
45
(462) (a) 1
(463) (a) 3, −1 (b) x = 0, y = x
(464) 6
(465) 2, 1 y 3
(466) (a) 2 (b) −2 (c) 35
2
(
)
(467) (a) − 25 1 + e2π (b)
π
4
(468) (a) (3, ∞), 3 (b) 1 (c) 0, π, 2π,
π 3π
,
2 2
(469) −9, 15, −5
(470) (a) − π2 , 0,
π
2
(b) ± π4 , ± 3π
(c)
4
1
(x
2
+ sen x cos x) −
π+2
8
(471) (a) 0, −∞ (b) 1, −1
(472) (a) 1 (b) x ≥ 3, x = 3
(473) (a) A = 8, no (b) x = 5 (c) máximo en (5, 20), mı́nimo en (8, 12)
(474) (a) 0, π (b) −4 + π 2 (c) y =
1
(x
π2
− π)
(475) (a) 0, no (b) y = 2x + 5, y = 1
(
)
(476) (a) (b) 2 − 22 (c) π e − 5e
(477) (a) x = 3, y = x + 6 (b) y − 8 = 28(x − 2)
(478) (a)
1
2
ln(x2 + 9) − artg
(479) (a) x = 0, x =
± π2
x
3
21
8
(c) π2
+ C (b)
(b) x =
± π4
− ln 2
(480) (a) x = 4, x = −1, y = 0 (b) siempre decreciente, x = 2
(481) (a) y = x (b) 1 −
π
4
(482) (a) lı́mx→∞ f = 1, lı́mx→−∞ f = 1, lı́mx→0− f = 0, lı́mx→0+ f = ∞ (b) siempre decreciente, ası́ntotas x = 0, y = 1
(483) (a) −16, 16, 0 (b)
(484) (a) − 12 (b)
256
5
5
2
(485) (a) 0, −∞ (b) a = 0 (c) no derivable en x = 0
(486) (a) R − {−1, −4}, x = −1, x = −4, y = 1 (b) máximo en x = −2, mı́nimo en x = 2 (c) 1 + 9 ln 2 − 4 ln 5
(487) (a) a = 3 (b) no (c) 8 ln 5 − 8
21 MATRICES Y DETERMINANTES
21.
46
Matrices y determinantes
488. Dadas las matrices:
[
]
−1 2
A=
,
−3 4
[
]
0 −1
B=
−1 5
halla las matrices:
a) 2A + 3B
c) BA
e) AB − A2
b) AB
d ) A2
f ) 2B − BA2
489. Sean las matrices
[
A=
1 0
−1 4

]
−2
,
2
2
B= 0
−3
6
−4
1

0
2
−5
calcular:
a) AB
490. Dadas las matrices:
[
A=
c) BB t
b) BA
1
5

2
B = 3
0
]
2
,
3
d ) AB 2

1
1
6
comprueba que (BA)t = At B t .
[
]
a 0
491. Dada la matriz A =
, ¿qué relación deben guardar las constantes a y b para que se verifique
1 b
que A2 = A?
492. Encuentra

2
1
0
las matrices cuadradas X de orden 2 que verifican la siguiente relación:



−1
3 −1
2  X = −1 12 
3
−3 15
[
]
1 2
493. ¿Qué matrices conmutan con la matriz
?
0 1


0 0 0
494. Dada la matriz A = 1 0 0:
0 1 0
a) Encuentra todas las matrices B cuyo producto con A verifique la propiedad conmutativa, es
decir: AB = BA.
b) Calcula An , siendo n cualquier número natural.
[
]
[
]
2 −1
0 −3
495. Sean las matrices A =
yB=
.
1 −3
1 −1
Resuelve el sistema:
{
3X + Y = A
X − 2Y = 2B
[
496. Calcula la matriz A
250
]
1 0
+ A , siendo A =
.
1 1
20
21 MATRICES Y DETERMINANTES
[
497. Dada la matriz A =
47
]
1 1
:
0 1
a) Calcula A2 y A3 .
b) Halla una ley general para calcular An .
498. Se consideran las matrices:




0 0 1
0 0 1
M = 0 1 0 ,
N =  x 1 0
1 0 0
y 0 0
a) Determina x e y para que M N = N M .
b) Calcula M 1995 y M 1996 .
499. Halla todas la matrices X de la forma




a 1 0
1 0 1
X = 0 b 1
tales que X 2 = 0 1 0 .
0 0 c
0 0 1
500. Se consideran las matrices:



0
1 1 1
B = 0
A = 0 1 1 ,
0
0 0 1
1
0
0

1
1
0
calcula B 3 y A3 . (Sugerencia A = B + I).
[
]
1 1
n
n−1
501. Prueba que A = 2
A, siendo A =
.
1 1
502. Halla la inversa de las siguientes

[
]
1
3 0
A=
.
B = 2
1 4
1
[
503. Dada la matriz A =
2 1
0 1
matrices aplicando la definición:

0 2
−1 3
2 1
]
0
:
0
a) Razona si puede existir una matriz B tal que AB = I siendo I la matriz identidad; en caso
afirmativo halla B.
b) ¿Tiene inversa A? Razona la respuesta.
504. Se considera el conjunto M de las matrices 3 × 3 tales que, en cada fila y en cada columna , tienen
dos ceros y un uno. Escribe todas las matrices del conjunto M .
505.
a) Calcula todas las matrices diagonales de orden 2 que coinciden con su inversa.
b) Si A es una de estas matrices, calcula su cuadrado.
506. Se dice que dos matrices cuadradas A y B son semejantes si existe una matriz P tal que B = P −1 AP .
Determina si son semejantes las matrices:
[
]
[
]
1 2
1 0
A=
,
B=
0 1
0 −1
507. Señala para que valores de a, b, c y d se verifica que
[
] [
]
a b
0 0
=
c d
0 0
21 MATRICES Y DETERMINANTES
48
508. Si A y B son matrices diagonales de orden 2 demuestra que AB = BA.
[
]
2 1
509. a) Demuestra que la matriz A =
verifica una ecuación del tipo A2 + αA + βI = 0,
1 2
determinando α y β (I denota la matriz identidad).
b) Utiliza el apartado anterior para calcular la inversa de A.
510. Considera la matriz


3 0 8
A =  3 a 6
−2 0 5
a) Encuentra el valor de a, tal que (A + I)2 = 0.
b) Calcula la matriz inversa de A para el valor obtenido en el apartado anterior.
511. Una matriz cuadrada A tiene la propiedad de que A2 = 2A + I donde I es la matriz unidad:
a) Demuestra que A admite inversa y obtenla en función de A.
[
]
1+m
t
b) Dada la matriz B =
, halla los valores de m para los que se verifica que
1
1−m
B 2 = 2B + I, y escribe la matriz inversa de B para dichos valores.
512. Calcular los siguientes determinantes de orden 2:
2 5
0
2
0 a) c) e) 3 4
1 −25
0
−3 1
3 7
8
b) d ) f ) 4 0
0 0
6
513. Calcular
1
a) 1
2
1
b) 7
0
los siguientes determinantes de orden 3:
1 0 8
2 3 1 −1
c) 0 −5 5
1 −6 2
0 5
1 8 1 2
3 0
0 d ) 1 7 0 1 6 −1
−2 −1
514. Calcular
1
2
a) 1
0
los siguientes determinantes de orden 4:
6
0 −1 2 1
2 3
4 b) 3 0 −2
1
2
1 9
1
1
0 g) −2 −3
−1 5
h) 0 3
1 −1
7
5
1 1 1
e) 0 −1 1
1 −7 5
3 3 3
f ) 0 0 1
5 −3 2
9
2
7
−1
−2 −3
1
0 −1 0 0 −1
515. Calcular el valor del siguiente determinante:
a
b−1
c
d + 1
a + 1
b
c−1
d a
b+1
c
d − 1
a − 1
b
c+1
d 516. Sean A y B las siguientes matrices:



2x 2 3 + x
x
5 
A=2 x
B = 1
10 6 x + 5
5
2
x
6

3
4
x
sabiendo que el determinante de B vale 7, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular
el valor del determinante de A.
21 MATRICES Y DETERMINANTES
49
517. Sea A una matriz cuadrada de orden 2 que verifica 2A2 = A. Calcula razonadamente los posibles
valores del determinante de A.
518. Si la matriz


a b c
A = d e f 
g h i
tiene determinante n,

6d 4e
B = 3g 2h
9a 6b
averigua el valor del determinante de las siguientes matrices:



2f
d+f e f +e
i
C = a + c b c + b
3c
g+i h i+h
519. Resolver la ecuación:
x + 2
1
1
1
x
+
2
1
1
1
x
+
2
x
x
x
1
1
=0
1
3
520. Calcular el rango de las siguientes matrices:




1
2
3
−1 1 2
3
3
5

B=
A =  1 1 0
0
1
4
2 1 1
−1 −2 −1
521. Calcular el rango de:

1 −2 −3
2
C = −1 3
0
5
5
−4
6
2

−5
3
1


2 −1 1 2 2 3
 0 1 1 1 8 9

D=
 0 0 1 1 4 6
0 0 0 1 8 9
522. Hallar el rango de la siguiente matriz:


cos α − sen α 0
sen α
cos α
0
0
0
1
523. Calcular la inversa de las siguientes matrices:
[
]


1 4
1 1 0
a)
1 −6
b) 0 1 1
0 0 6
524. Dadas las matrices:
[
]
1 3 0 −2
A=
,
2 2 1 −4


1
0
 2 −1

B=
0
3
−1 1
a) ¿Es cierto que |AB| = |BA|?
b) Calcula, si es posible, la inversa de AB.

1
c) 1
0
2
0
3

1
0
1
21 MATRICES Y DETERMINANTES
525. Sea

sen x
cos x
A=
sen x + cos x
50

− cos x
0
sen x
0
sen x − cos x 1
¿Para qué valores de x existe la matriz inversa de A?. Calcula dicha matriz inversa.
[
]
[
]
1 1
3 1
526. Dadas las matrices A =
yB=
, halla para qué valores de m la matriz B + mA no
2 0
2 2
tiene inversa.
527. Calcula los parámetros a, b y c para los cuales:


1 a
 2 b

B=
rango(B) = 1
−1 1
−3 c
528. Encuentra, en función de los valores del parámetro a, el rango de la matriz:


a a 1 1
A = 1 a a 1
1 1 a a
529. Estudia según los

x
−x

A=
1
1
valores de x, el rango de la matriz

−1 −1 0
x −1 1 

−1 x 1 
−1 0 x
530. Calcula el rango de la matriz A según los diferentes valores del parámetro real a:


2
0
a
2
0
−1 3 
A = −1
5 a + 4 −4 −3

531.
1 0
a) Demuestra que la matriz A = 1 a
1 a
son nulos.

−1
b − 1, tiene inversa si y solo si los parámetros a y b
−1
b) Calcula A−1 cuando a = b = 1.
532. Se consideran las matrices:


[
1 0
k


A= 2 k
B=
1
0 1
]
0 −1
1 2
a) Discute en función de los parámetros que pueda tomar el parámetro real k, si la matriz AB
tiene inversa.
b) Discute, en función de los valores de k, si la matriz BA tiene inversa.
533.
a) Demuestra que

0
A = 1
1
A2 − A − 2I = 0, siendo:



1 1
1 0 0
0 1
I = 0 1 0
1 0
0 0 1
21 MATRICES Y DETERMINANTES
51
b) Calcula A−1 utilizando el apartado anterior o de cualquier otra forma
534. Resuelve la ecuación matricial AXB = C, siendo:
[
]
[
]
[
]
1 0
1 0
1 2
A=
, B=
, C=
0 1
0 1
0 0
535. Calcula la matriz A sabiendo que se verifica la igualdad:

 

1 2 3
2 0 0
A 0 2 3 = 0 2 0
0 0 3
0 0 2
536. Encuentra la matriz A que verifique



1 0 0
1 0
A = 1 2 0 B = 0 1
1 2 4
0 0
537. Dadas las matrices:


1 0 0
A = 0 2 1
0 5 3
la ecuación AX


0
3
0 C = 2
1
0
+ B = C, siendo:

0 0
5 2
1 3


0 0 1
B = 0 1 0
1 0 0
halla la matriz X dada por AXA−1 = B.
538. Considera las matrices:


1 1 0
A =  1 0 1
−1 1 1

1
B = 0
0
1
1
0

1
1
0
a) Determina si A y B son inversibles y, si lo son, calcula la matriz inversa.
b) Resuelve la ecuación matricial BA − A2 = AB − X.
539. Resuelve la ecuación matricial B(2A + I) = AXA + B, siendo:




1 −1 2
3 −2 −1
B = −1 0 −1
A = −4 1 −1
0 −1 1
2
0
1
540. Halla las matrices simétricas de orden 2 tales que A2 = A.
541. Resuelve
x
x
x
x
la ecuación:
x x x
1 0 x
=0
0 x 1 x 1 0
542. Calcular AB y BA siendo A y B las matrices:
 
3
1
[
]

A = 1 −3 −1 2
B=
0
−2

1
543. Calcular An siendo A = 0
0
1
1
0

1
0.
1
21 MATRICES Y DETERMINANTES
[
544. Dadas las matrices A =
52
]
[
]
4 −6
4 −3
yB=
, hallar una matriz P simétrica y regular tal que
3 −5
6 −5
P B = AP .
545. Se considera la

0
A = 0
0
matriz:

2 −1
0 1
0 0
Probar que B = I + A + A2 es la matriz inversa de I − A.
546.

1 0
a) Averiguar para qué valores del parámetro t, la matriz A = 0 t
4 1
b) Calcular, si es posible, la matriz inversa de A para t = 2.
547. Sin desarrollar el
a 1 1
1 a 1
1 1 a
1 1 1

−1
3  no tiene inversa.
−t
determinante probar la igualdad:
1
1
= (a + 3)(a − 1)2
1
a
548. Calcular el siguiente determinante:
3 x x x
x 3 x x
x x 3 x
x x x 3 549. Hallar el rango de la matriz A según los valores del parámetro a:


1 a2 − 1
a
A = 1 2a2 − 2 2a − 1
1
0
a2
550. Calcular el valor del

1 0
A = 2 −1
4 k
parámetro k para que el rango de la matriz A sea igual a 2:

−2 3 1
3 0 2
−1 6 4
551.
qué valores del parámetro k admite inversa la matriz A:

2 −1
0 1
2 k
a) Averiguar para

1
A = 2
3
b) Hallar la inversa de A para k = 1.
552. Dada la identidad matricial:


[
]
1 2
2 1
X
= 3 4
3 1
5 6
a) ¿Cuáles son las dimensiones de las matrices soluciones e la identidad anterior?
b) Calcula una solución.
553.
a) Halla razonadamente los valores del parámetro p para los que la matriz A tiene inversa:


p
0
0
1 
A = 1 p + 1
1
0
p−1
b) Halla la inversa para p = 2.
22 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: MATRICES Y SISTEMAS.
22.
53
Problemas de selectividad: Matrices y Sistemas.
554. Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace 14 años la edad de la
madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento, que dentro de 10 años la
edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento y que cuando el
hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 42 años.
555. Calcular el rango de la matriz A según los diferentes valores del parámetro real a:


2
0
a
2
0
−1
3
A = −1
5 a + 4 −4 − 3
556. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:


x − y = 2
ax + y + 2z = 0


x − y + az = 1
(a) Discutir el sistema según los valores de a.
(b) Resolver el sistema para a = −1.
(c) Resolver el sistema para a = 2.
557. Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real λ:

2

x + y + λz = λ
y−z =λ


x + λy + z = λ
(a) Discutir el sistema según los valores del parámetro λ.
(b) Resolver el sistema en los casos en que sea posible.
(c) En el caso λ = 2, indicar la posición relativa de los tres planos cuyas ecuaciones forman el
sistema.
558. Para cada valor del parámetro real a se consideran los tres planos siguientes:
π1 : x + y + az = −2 ;
π2 : x + ay + z = − − 1 ;
π3 ; ax + y + z = 3
Se pide:
(a) Calcular los valores de a Para los cuales los tres planos anteriores contienen una recta común.
(b) Para los valores de a calculados, hallar unas ecuaciones cartesianas de dicha recta común.
559. Sea A una matriz real cuadrada de orden n que verifica la igualdad A2 = I, siendo I la matriz
identidad de orden n. Se pide:
(a) Calcular A−1 en términos de A.
(b) Expresar An en términos de A e I, para cualquier número natural n.
(c) Calcular A para que A2 = I, siendo A la matriz:
[
]
1 1
A=
0 a
560. Se considera el sistema de ecuaciones:


(m + 2)x + (m − 1)y − z = 3
mx − y + z = 2


x + my − z = 1
Se pide:
22 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: MATRICES Y SISTEMAS.
54
(a) Resolverlo para m = 1.
(b) Discutirlo para los distintos valores de m.
561. Comprobar aplicando las propiedades de los determinantes la propiedad:
2
a
ab
b2 2a a + b 2b = (a − b)3
1
1
1
562. Encontrar un número real λ ̸= 0 y todas las matrices B de dimensión 2 × 2 (distintas de la matriz
nula) tales que:
[
]
[
]
λ 0
3 0
B·
=B·
3 1
9 3
563. Se considera el sistema lineal de ecuaciones:


3x + 4y + 3z = 9
mx + 2y + z = 5


x+y+z =2
Se pide:
(a) Determinar los valores de m para que el sistema tenga solución única.
(b) Resolverlo para m = 1.
564. (a) Sean A y B dos matrices invertibles que verifican la igualdad A + B = AB. Comprobar que
entonces se tiene la fórmula:
(I − B)−1 = −B −1 A
donde I denota la matriz identidad.
(b) Dada la matriz:
[
]
−1 1
A=
2 −1
hallar la matriz B para la cual se verifica A + B = AB.
565. Dado el sistema:


(1 − a)x − 2y + 4z = 0
x − (1 + a)y + z = 0


−x + ay − z = 0
(a) Estudiar la compatibilidad según los valores del parámetro real a.
(b) Resolver el sistema lineal anterior en el caso en que sea compatible indeterminado.
566. Dadas las matrices:


1
0
0
A = −3 1 −1
5 −1 2

1
B = 0
0

0 0
−1 0
0 0
se pide:
(a) Hallar A−1 .
(b) Hallar la matriz X tal que:
AXAt = B
donde At significa la traspuesta de A.
22 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: MATRICES Y SISTEMAS.
55
567. (a) Dado el sistema:
{
x + 2y = 1
3x − y = 2
escribir una tercera ecuación de la forma ax + by = c, distinta de las anteriores, de manera
que el sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas resultante siga siendo compatible.
(b) Dado el sistema:
{
2x + 2y − z = 1
x + y + 2z = 1
escribir una tercera ecuación de la forma αx + βy + γz = 1 distinta de las dos anteriores, de
manera que el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas resultante sea compatible indeterminado.
568. Dadas las matrices:


1 2 0
A = 0 1 2
0 2 3

1 1
B = 1 1
0 1

2
−1
3
(a) Determinar la matriz inversa de B.
(b) Determinar una matriz X tal que A = BX.
[
]
0 0
2
569. (a) Si A es una matriz tal que A =
, ¿cuál es el valor del determinante de A?
0 0
(b) Calcular un número k tal que:
([
]
[
])2 [
3 −4
1 0
0
−k
=
1 −1
0 1
0
0
0
]
570. (a) Discutir según los valores del parámetro real λ el sistema:


λx + 3y + z = λ
x + λy + λz = 1


x+y−z =1
(b) Resolverlo para λ = 2.
571. Dado el sistema de ecuaciones:


(m − 1)x + y + z = 3
mx + (m − 1)y + 3z = 2m − 1


x + 2y + (m − 2)z = 4
(a) Discutirlo según los valores de m.
(b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.
572. (a) Resolver el sistema de ecuaciones:
{
x + 2y + 3z = 1
2x + y − z = 2
(b) Hallar dos constantes α y β de manera que al añadir al sistema anterior una tercera ecuación
5x + y + αz = β
el sistema resultante sea compatible determinado.
22 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: MATRICES Y SISTEMAS.
56
573. Hallar una matriz X tal que
A−1 XA = B
[
]
[
3
1
1
siendo A =
yB=
−2 −1
2
]
−1
.
1
574. Discutir según los valores del parámetro real λ la posición relativa de los planos:


π1 : x + z = λ
π2 : 4x + (λ − 2)y + (λ + 2)z = λ + 2


π3 : 2(λ + 1)x − (λ + 6)z = −λ
575. Dadas las matrices:
[
]
1 2
A=
,
0 1
[
I=
1 0
0 1
]
(a) Hallar dos constantes α y β tales que A2 = αA + βI.
(b) Calcular A5 utilizando la expresión obtenida en el apartado anterior.
(c) Hallar todas las matrices X que satisfacen (A − X)(A + X) = A2 − X 2 .
576. Dadas las matrices:


0 k t
A = 0 0 k 
0 0 0

1
B = 0
0
k
1
0

t
k
1
(a) Hallar A10 .
(b) Hallar la matriz inversa de B.
(c) En el caso particular k = 0, hallar B 10 .
577. Dado el sistema homogéneo:


x + ky − z = 0
kx − y + z = 0


(k + 1)x + y = 0
averiguar para qué valores de k tiene soluciones distintas de x = y = z = 0. Resolverlo en esos
casos.
[
]
1 2
578. Dada la matriz A =
, encontrar todas las matrices:
0 1
[
a b
P =
c d
]
tales que AP = P A.
579. Dada la matriz:

2
M = 2a
2

1 −a
1 −1
a 1
(a) Determinar el rango de M según los valores del parámetro a.
(b) Determinar para qué valores de a existe la matriz inversa de M . Calcular dicha matriz inversa
para a = 2.
22 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: MATRICES Y SISTEMAS.
580. Dadas las matrices
]
[
3 1
A=
−8 3
[
1 0
I=
0 1
y
57
]
(a) Comprobar que det A2 = (det A)2 y que det (A + I) = det A + det I.
(b) Sea M una matriz cuadrada de orden 2. ¿Se puede asegurar que det M 2 = (det M )2 ?. Justifica
la respuesta.
(c) Encontrar todas las matrices cuadradas M de orden 2 que verifican det (M +I) = det M +det I.
[
]
[
]
a a
0 0
581. (a) Hallar todas las matrices A =
distintas de
tales que A2 = A.
0 b
0 0
(b) Para una cualquiera de las matrices calculadas en el apartado anterior calcular:
A + A2 + A3 + · · · + A10
582. (a) Resolver el sistema de ecuaciones:
{
x + y − 3z = 0
2x + 3y − z = 5
(b) Hallar la solución del sistema anterior tal que la suma de los valores correspondientes a cada
una de las tres incógnitas sea igual a 4.
583. Estudiar el rango de la matriz


m m − 1 m(m − 1)

1
m
A = m
m
1
m−1
según los valores del parámetro m.
584. Sean las matrices:
[
]
2 0
A=
0 −1
[
B=
]
8 −9
6 −7
Hallar una matriz X tal que XAX −1 = B.
585. Dadas las matrices:


5 2 0
A = 2 5 0
0 0 1

a b
B = c c
0 0

0
0
1
(a) Encontrar las condiciones que deben cumplir a, b y c para que se verifique AB = BA.
(b) Para a = b = c = 1 calcular A10 .
586. Dado el sistema de ecuaciones lineales


x + (k + 1)y + +2z = −1
kx + y + z = k


(k − 1)x − 2y − z = k + 1
se pide:
(a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro k.
(b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones.
22 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: MATRICES Y SISTEMAS.
58
587. Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica XA2 + BA = A2 . siendo




0
0 −1
0
0 −2
A =  0 −1 0 
B =  0 −2 0 
−1 0
0
−2 0
0
588. Dado el sistema de ecuaciones
{
x + 2y − 3z = 3
2x + 3y + z = 5
se pide:
(a) Calcular a y b de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma ax + y + bz = 1 el
sistema resultante tenga las mismas soluciones que el sistema original.
(b) Calcular lacalle gobernadors soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de
las incógnitas sea igual a 4.
589. Dado el sistema de ecuaciones lineales:
{
x − ay = 2
ax − y = a + 1
se pide:
(a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. Resolverlo cuando la solución sea única.
(b) Determinar para qué valor o valores de a el sistema tiene una solución en la que y = 2.
590. Dada la siguiente

1
−1

An = 
−1
· · ·
−1
matriz de orden n:
1
9
−1
···
−1
1
1
9
···
−1
···
···
···
···
···

1
1

1

· · ·
9
se pide:
(a) Calcular el determinante de la matriz A2 .
(b) Calcular el determinante de la matriz A3 .
(c) Calcular el determinante de la matriz A5 .
591. Dada la matriz

2
A = 2a
2
a+1
0
0

1
1 
a+1
se pide:
(a) Calcular el rango de A según los valores del parámetro A.
(b) Decir cuándo la matriz A es invertible. Calcular la inversa para a = 1.
592. Resolver el siguiente sistema:

x − 2y + z − 3u = −4



x + 2y + z + 3v = 4

2x − 4y + 2z − 6v = −8



2x + 2z = 0
22 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: MATRICES Y SISTEMAS.
59
593. El cajero automático de una cierta entidad bancaria solo admite billetes de 50, de 20 y de 10 euros.
Los viernes depositan en el cajero 225 billetes por un importe total de 7000 euros. Averiguar el
número de billetes de cada valor depositados, sabiendo que la suma del número de billetes de 50 y
de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20 euros.
594. Dado el sistema:


4x + 4λy + 2z = 2λ
λx + y − λz = λ


4λx + 4λy + λz = 9
se pide:
(a) Discutir el sistema según los valores de λ.
(b) Resolver el sistema para λ = −1.
595. Dado el sistema:


2x − y = λ
λx − 2y = 4


3x − y = 2
se pide:
(a) Discutir el sistema según los valores del parámetro.
(b) Resolver el sistema cuando sea posible.
596. Dada la matriz:


a 1 1
A = 1 a 1
1 1 a
se pide:
(a) Estudiar el rango de la matriz según los valores del parámetro a.
(b) Obtener la inversa de A para a = −1.
597. Dada la matriz:


m 1 2m
M = m 1 2 
0 1 1
se pide:
(a) Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M es invertible.
(b) Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M 25 es invertible.
(c) Para m = −1 calcular, si es posible, la matriz inversa M −1 de M .
598. Dado el sistema:


λx + 2y + z = 0
λx − y + 2z = 0


x − λy + 2z = 0
se pide:
(a) Obtener los valores del parámetro λ para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de
x = y = z = 0.
22 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: MATRICES Y SISTEMAS.
60
(b) Resolver el sistema para λ = 5.
599. Dadas las matrices:
[
]
4 −2
A=
1 1
[
B=
]
4 −2
−3 1
obtener una matriz cuadrada X de orden 2 que verifique la ecuación matricial AXB = A + B.
600. Dado el sistema homogéneo de ecuaciones:


x + ky − z = 0
2x − y + 2z = 0


x − 4y + kz = 0
se pide:
(a) Determinar para qué valores del parámetro k el sistema tiene soluciones distintas de x = y =
z = 0.
(b) Resolverlo para el caso k = 3.
601. Dadas las matrices:
[
]
1 1
A=
1 −2
I=
[
1
0
0
1
]
se pide:
(a) Hallar dos constantes a y b, tales que A2 = aA + bI.
(b) Sin calcular explı́citamente A3 y A4 , y utilizando sólo la expresión anterior, obtener la matriz
A5 .
602. Dado el sistema de ecuaciones:


x + ay − z = a
ax + 2z = −2


x + z = −2
se pide:
(a) Discutirlo según los valores del parámetro a.
(b) Resolverlo en el caso a = 0.
603. Dada la matriz:


m−1
1
m
1
m−1 m
1 
A= 1
1
1
2 m−1
se pide:
(a) Estudiar el rango de A según los valores del parámetro m.
(b) En el caso m = 0, resolver el sistema
 
 
x
0
y 
 = 0
A
z 
0
t
22 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: MATRICES Y SISTEMAS.
61
604. Dado el sistema:
{
x + 2y − z = 0
2x − y + z = 3
se pide:
(a) Estudiar la compatibilidad del sistema.
(b) Añadir una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Razonar la respuesta.
(c) Añadir una ecuación para que el sistema sea incompatible. Razonar la respuesta.
605. Dada la matriz:


−a
0
a
0 
A= a a−1
0
a
a+2
se pide:
(a) Estudiar el rango de A según los valores del parámetro a.
(b) Para qué valores de a existe la matriz inversa A−1 ? Calcular A−1 para a = 1.
606. Dadas las matrices:


0
1 2
A = −2 −1 0 ;
1
a 1

4
−1
B = −2 −3
3 2−a
1
−7
3+a

−2
−8
3
se pide:
(a) Estudiar el rango de la matriz B en función de a.
(b) Para a = 0, calcular la matriz X que verifica AX = B.
607. Calcular el valor
x 1 1
1 y 1
1 1 z
1 1 1
del determinante:
1
1
1
1
608. Dadas las matrices:


k
k k2
A =  1 −1 k  ;
2k −2 2
 
12
B =6 ;
8
 
3
C = 3 ;
3
 
x
X = y 
z
se pide:
(a) Hallar el rango de A en función de los valores de k.
(b) Para k = 2, hallar, si existe, la solución del sistema AX = B.
(c) para k = 1, hallar, si existe, la solución del sistema AX = C.
609. Sabiendo
x
1
2
que
y
1
3
z 0 = 1
5
calcular los siguientes determinantes:
22 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: MATRICES Y SISTEMAS.
3
(a) 3x
6
1
y
3
0 2z 10
x + 1
(b) 2 − x
3
62
y+1
2−y
4
610. Dado el sistema de ecuaciones lineales:


 3x + 2y + (a − 1)z = 1
−x + ay +
z =0


2x + y −
2z = 3
se pide:
(a) Discutir las soluciones según los valores de a.
(b) Hallar la solución del sistema para a = 1
611. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

3x +
ay + 4z = 6


x + (a + 1)y + z = 3


(a − 1)x −
ay − 3z = − 3
se pide:
(a) Discutir el sistema según los valores de a.
(b) Resolverlo para a = −1.
612. Sean ⃗a, ⃗b,⃗c, d⃗ ∈ R3 , vectores columna. Si
⃗ = −1,
det (⃗a, ⃗b, d)
⃗ = 3,
det (⃗a, ⃗c, d)
⃗ = −2
det (⃗b, ⃗c, d)
calcular razonadamente el determinante de la siguientes matrices:
⃗ ⃗b).
(a) det (⃗a, 3d,
⃗
(b) det (⃗a − ⃗b, ⃗c, −d).
⃗
⃗ ⃗b − 3⃗a + d).
(c) det (d⃗ + 3⃗b, 2a,
613. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

− 2z = 2

 x
ax − y + z = − 8


2x
+ az = 4
se pide:
(a) Discutir el sistema según los valores de a.
(b) Resolverlo para a = −5.
614. Dado el sistema de ecuaciones lineales:


 ax + 7y + 5z = 0
x + ay + z = 3


y + z = −2
se pide:
(a) Discutirlo según los valores de a.
(b) Resolverlo en el caso a = 4.
(c) Resolverlo en el caso a = −2.
z −z 5
22 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: MATRICES Y SISTEMAS.
615. Dadas las matrices:


1 λ 0
A = 1 1 2 ;
0 −1 1

0 1
B = 1 0
2 1
63

1
−1
0
se pide:
(a) Hallar el valor de λ para el cual la ecuación matricial XA = B tiene solución única.
(b) Calcular la matriz X para λ = 4. Calcular el determinante de la matriz A2 B en función de λ.
616. Dadas las matrices:

1 1 a
a 1 1
A=
a a 1
a a a

a
a
 ;
1
1
 
x
y 

X=
z  ;
t
 
0
0

0=
0
0
se pide:
(a) Calcular el determinante de A. Calcular el rango de A según los valores de a.
(b) Resolver el sistema homogéneo AX = 0 en el caso A = 1.
(c) Resolver el sistema homogéneo AX = 0 cuando a = −1.
617. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

2x + λy +
λz = 1 − λ


x + y + (λ − 1)z = − 2λ


(λ − 1)x + y +
z =λ−1
se pide:
(a) Discutirlo según los valores del parámetro λ.
(b) Resolverlo para el caso λ = 1.
(c) Resolverlo para el caso λ = −1.
618. Dadas las matrices:


α β γ
A =  γ 0 α ;
1 β γ
 
x
X = y  ;
z
 
1
B = 0 ;
1
 
0
0 = 0
0
se pide:
 
1
(a) Calcular α, β, γ, para que 2 sea solución de AX = B.
3
(b) Si α = γ = 1 ¿qué condición o condiciones debe cumplir α para que el sistema homogéneo
AX = 0 sea compatible determinado?
(c) Si α = −1, β = 1 y γ = 0, resuelve el sistema AX = B.
619. Dada la matriz

−1 −1
A = −3 2
0
a

a
a
−1
se pide:
(a) Hallar el valor o valores de a para que la matriz A tenga inversa.
(b) Calcular la matriz inversa A−1 de A, en el caso A = 2.
23 GEOMETRÍA
23.
64
Geometrı́a
620. Para cada uno de los siguientes casos, calcula las coordenadas del vector de origen el punto A y de
extremo el punto B:
a) A(3, 0, −2), B(1, −3, 5).
(
)
(
)
b) A 21 , −2, 1 , B −1, 53 , 2 .
−−→
621. Del vector P Q = (−2, 0, 3) se sabe que el origen tiene coordenadas P (1, −2, 3). Calcula las coordenadas del extremo Q.
−−→
622. Del vector P Q = (4, −1, 2) se sabe que el extremo tiene coordenadas Q(2, −3, −4). Calcula las
coordenadas de P .
623. Calcula las coordenadas de los puntos A y B que dividen el segmento de extremos P (2, 2, −1) y
Q(5, −4, −7) en tres segmentos iguales.
624. Calcula las coordenadas de tres puntos A, B y C que dividen el segmento de extremos
(
)
(
)
1 2
3 2
P 1, , −
,
Q −3, ,
2 3
2 3
en cuatro segmentos de igual longitud.
625. Escribe las ecuaciones paramétricas y la ecuación implı́cita del plano:
→
→
a) Que pasa por el punto A(−1, 3, 1) y lleva la dirección de los vectores −
u = (1, −1, 3) y −
v =
(−1, −1, 4).
b) Que pasa por los puntos A(1, −1, 2), B(2, 0, −1) y C(−3, 1, 0).
c) Que contiene el triángulo de vértices A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) y C(0, 0, 1).
626. Calcula dos puntos de cada uno de los siguientes planos:


x = 1 + λ + µ
;
ρ : 2x + y − 3z = 1
π : y = 2 + 2λ − µ


z = 3 − 3λ − 2µ
627. Calcula un punto, dos vectores directores linealmente independientes y un vector normal de cada
uno de los siguientes planos.


x = −1 − λ
π : y = 3λ − 2µ
;
ρ : 3x − y − 2z = 0


z = 1 − 2λ − µ
628. Escribe unas ecuaciones paramétricas para el plano de ecuación implı́cita π : x − 2y + 3z = 1.
629. Escribe las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por A(1, 3, −2) y tiene como vector normal
−
→
n = (1, −2, 0).
630. Escribe la ecuación implı́cita del plano de ecuaciones paramétricas:


x = −2 − 2λ + 3µ
π : y = 1 − 2λ − 2µ


z = 1 + 2λ − 2µ
631. Comprueba se los puntos P (−1, 3, 5) y Q(2, −1, −1) pertenecen o no a los siguientes planos:


x = 1 + 2λ + µ
π : y = 2 − 3λ − µ
ρ : x − 2y + 3z = 1


z = 1 + 2λ + 3µ
23 GEOMETRÍA
65
632. Escribe las ecuaciones paramétricas, la ecuación continua y las ecuaciones implı́citas de la recta:
a) Que pasa por los puntos A(1, −2, 0), y B(2, −3, −1).
−
b) Que pasa por el punto A(−2, −2, 0) y tiene la dirección del vector →
u = (−1, −1, 4).
633. Dados los puntos A(1, −1, 2) y B(−1, −2, 0), calcula las ecuaciones implı́citas para la recta que pasa
−−→
por el origen de coordenadas y tiene la dirección de AB.
634. Calcula dos puntos de cada una de las siguientes rectas:


x = −2 + 2λ
x−1
y+2
z
r : y = −1 + λ
;
r:
=
=
;

−1
2
−2

z = −1 + 2λ
{
x − 2y + z = 0
r:
2x − y − z = 0
635. Calcula un punto y un vector de dirección de cada una de las siguientes rectas:

{

x = −3λ
2x + y = 3
x
y−2
z+2
r : y = −2 + 3λ ;
r:
=
=
r:

−2
1
3
2x − z = 1

z = 1 − 4λ
636. Calcula la ecuación en forma continua y las ecuaciones implı́citas de la recta de ecuaciones paramétricas:


x = 1 − λ
r : y = 2 + 2λ


z = 3 − 3λ
637. Calcula las ecuaciones paramétricas y la ecuación en forma continua de la recta de ecuaciones
implı́citas:
{
3x − y − z − 1 = 0
r:
x+y−z−3=0
638. Escribe las ecuaciones de los ejes y los planos coordenados.
639. Escribe las ecuaciones en forma continua de las rectas que se dan a continuación:
r:
x
2y − 2
z−1
=
=
;
2
3
−3
s:
−x + 1
2y − 4
3z − 2
=
=
3
2
−4
640. Se considera la recta que pasa por el punto A(−1, 2, −3) y tiene como dirección la del vector
−
→
u = (2, −1, 2):
a) Escribe las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones continuas de la recta.
b) Decide cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta y cuáles no:
(
)
3
P (5, −1, 3); Q(−3, 3, −4); R 0, , −2
2
641. Escribe la ecuación del haz de planos paralelos, tal que uno de ellos pase por los puntos A(−2, 1, 1),
B(3, 0, −3) y C(−2, 1, 4).
642. Escribe la ecuación del haz de planos secantes en las rectas:

{

x = 1 − λ
2x + y + 3z = 3
x−1
y+2
z
r : y = −2 + λ ;
s:
=
= ;
t:

2
−1
3
2x − 2y + z = 1

z = 1 − 2λ
23 GEOMETRÍA
66
643. Calcula el valor de a para que los puntos A(2, 0, −1), B(1, 2, −2) y C(1, a, a) pertenezcan a una
misma recta.
644. Calcula todos los valores de m que hacen que los puntos del espacio A(0, 2, 2), B(1, 1, m2 − 1) y
C(2, 0, 2m) pertenezcan a una misma recta. Escribe las ecuaciones implı́citas de esta recta.
645. Calcular el valor de m para que los puntos A(0, 1, 2), B(1, 0, 3), C(1, m, 1) y D(m, −1, 2m) pertenezcan a un mismo plano.
646. Dado el plano π : 6x + 4y − 3z − d = 0:
a) Calcular el valor de d para que el plano pase por el punto P (2, 0, 0).
b) Calcular las coordenadas de A, B y C, puntos de corte de los ejes de coordenadas con el plano
π.
c) Calcula las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices A, B y C.
647. Calcular el valor de a para que los puntos A(3, 0, 2), B(0, a, a), C(1, 2, 2) y D(−1, −1, 0) sean
coplanarios. Para este valor hallado, calcula la ecuación del plano que contiene a los cuatro puntos.
648. Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos A(3, 1, −1) y B(2, −1, 4) y es paralelo a la
recta de ecuaciones:
r:
x−2
y+1
z−3
=
=
1
3
4
649. Determina la ecuación del plano que pasa por el punto P (−2, −3, 2) y es paralelo a las rectas:


x = 2 + 3t
x+2
y−1
z−3
r:
=
=
;
s: y = t

−1
3
−4

z = −1 − t
650. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, −3, 0) y es paralela a la recta determinada
por la intersección de los planos:


x = 1 + t + s
π : 2x − 3y + z = 0;
π′ : y = t − s


z = 2 + 2t + s
651. Determina la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1, −1, 1) y B(0, 3, −2) y es paralelo al
eje Z.
652. Determina la ecuación del plano paralelo a los ejes de coordenadas X e Y , y que pasa por el punto
de intersección de la recta r y el plano π, siendo:


x = 2 + t
r: y = 1 − t ;
π : x − 2y − 2z + 3 = 0


z = 3t
653. Dadas las rectas:
{
x − kz = 2
r:
y − z = −3
;
s:
x−1
=y+1=z
2
¿Existe algún valor de k que haga que estas rectas sean secantes?
654. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P (−1, 2, 3) y que toca a los ejes de coordenadas
X y Z.
23 GEOMETRÍA
67
→
655. Se considera la recta r que pasa por el punto A(3, 0, 0) y que tiene como dirección la del vector −
u =
′
(1, 1, −1). Se consideran también los planos paralelos de ecuaciones π : 2x+y = 0 y π : 2x+y+3 = 0.
La recta r corta a los planos en los puntos P y Q. Calcular las coordenadas del punto medio de
P Q.
656. Estudia la posición relativa del plano π : x − y + 2z = 1 y las rectas siguientes:




x = 1 + t
x = 1 + 2t
y
z−1
x
;
t : y = 4t
r : y = −2t
;
s: = =


2
4
1


z = 3t
z=t
657. Estudia la posición relativa de los planos π y π ′ en los siguientes casos:
π : 2x − y + z = 0
π ′ : − 2x + y + z = 0
π : 2x − y + z = 0
π ′ : − 4x + 2y − 2z = 3
π : 2x − y + z = 0
π ′ : − 4x + 2y − 2z = 0
658. Estudia la posición relativa de los planos π, π ′ y π ′′ en los siguientes casos:
π : 2x − y + z = 0
π ′ : 3x + y + 4z = 0
π : 2x − y + z = 0
π ′ : x − 2y + 3z = 1
π : 2x + y + z = 0
π′ : x + y − z = 0
π ′′ : x + y − z = 3
π ′′ : 3x − 3y + 4z = 1
π ′′ : x + 2z = 1
659. Estudia la posición relativa de las rectas:
r:
x−2
y
z+1
= =
;
−1
2
1
s:
x+2
y+8
=
=z+5
1
2
660. Estudia la posición relativa de las rectas:


x = 2t
x
y+1
z
r:
=
= ;
s : y = −2t

−2
2
3

z = −3t
661. Estudia la posición relativa de las rectas:


x = −t
r : x = −y = z
s: y = t


z = −t
662. Dadas las rectas:
{
x + y − z = −6
r:
2x − z = −2
;
s:
x+2
y−2
z+1
=
=
2
m
2
Estudia sus posiciones relativas según los valores de m.
663. Estudia la posición relativa de las rectas r y s y obtén, si es posible, el ángulo que forman siendo:

{

x = 1 + 2λ
x=1
r: y = 0
;
s:

z =y+2

z = 2λ + 2
664. Considera las rectas:
{
x+y+z+3=0
r:
x−y−z−1=0
;
s:
z+d
x+1
=y+1=
2
−2
Halla el valor de d para que las rectas sean secantes. Para ese valor de d determina el ángulo que
forman r y s.
23 GEOMETRÍA
68
665. Estudia la posición relativa de las siguientes rectas:
{
{
x + y − 2z + 1 = 0
2x + y − z − 1 = 0
r1 :
;
r2 :
2x − y + z − 1 = 0
x − y − 2z + 1 = 0
666. Estudia la posición relativa de las rectas r y s y calcula el ángulo que forman:


x = 3 + λ
x−1
y
z
r:
= = ;
s : y = 3 + 2λ

2
3
4

z = 4 + 3λ
667. Halla el ángulo que forman los planos π1 y π2 , donde π1 es el plano determinado por los puntos
(0, 0, 8), (−5, 1, 2) y (0, −2, 0) y π2 es el plano perpendicular a la recta
x−1=y−2=
z
6
que pasa por el punto (0, 0, 1).
668. Halla el ángulo que forman el plano determinado por las rectas:


x = 1 + λ
y
3−z
r: x = =
;
s: y = λ − 1

3
2

z =3−λ
con el plano de ecuación 2x − y + z = 1.
669. Halla el ángulo que forman la recta r de ecuación
{
x = −z
r:
y=0
con el plano que contiene la recta
s: − x = y − 2 = 1 − z
y el punto A(3, 1, 6).
670. Calcula la proyección ortogonal del punto P (0, 0, 0) sobre el plano π : x + y + z = 1.
671. Dados la recta:
r:
x−1
y+1
z
=
=
2
1
1
y el plano π : x + y + z − 4 = 0, halla la ecuación de la recta s, proyección ortogonal de r sobre π.
672. Halla la ecuación continua de la proyección ortogonal de la recta (x, y, z) = (2, 1, 1) + t(−1, 0, 2)
sobre el plano 2x + y − z = 0.
673. Halla el punto del plano π : x + y + z = 1 que equidista de los puntos A(1, −1, 2), B(3, 1, 2) y
C(1, 1, 0).
674. Determina la distancia que hay desde el origen de coordenadas al plano que contiene las rectas:
{
x = 3 − 2y
2z − 6
x−1
=2−y =
;
s:
r:
2
4
z = 2y − 2
23 GEOMETRÍA
69
675. Calcula los puntos de la recta
{
x−z =1
r:
x+y =2
que equidistan de los planos:
α : 2x + y − 2z = 0;
β : x − 2y + 2z − 1 = 0
676. Calcula la distancia del punto P (1, 0, 3) a la recta:
{
x+y =0
r:
2x − z = 0
677. En cada caso, estudia si las rectas dadas se cruzan y, en caso afirmativo, calcula su distancia:

{

x = t
2x − y = 0
a) r1 : y = 1 − t
;
r2 :

x+z−3=0

z = 1 + 2t

{

x = t − 1
2x − y = 0
b) r1 : y = t + 1 ;
r2 :

3y − 2z = 0

z=t
678. Determina la perpendicular común a las rectas:
{
{
x+y =z+4
x−2=0
r:
s:
x + 2y = 7
y+3=0
679. Demuestra que las rectas:
{
{
y=0
x − ay = 0
r:
s:
z=0
z=5
se cruzan, cualquiera que sea el valor del parámetro a. Calcula la recta perpendicular común a r y
s.
680. Determina el plano π que pasa por los puntos de coordenadas A(0, 0, 3), B(2, 0, −3) y C(2, −2, 0).
Calcula el área del triángulo que forman los puntos en que el plano π corta a los tres ejes de
coordenadas.
681. Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1) los tres vértices de un triángulo. Se pide:
a) Calcular la ecuación del plano que contiene al triángulo.
b) Calcular el coseno de cada uno de los tres ángulos del triángulo.
c) Calcular el área del triángulo.
682. Los planos π : x + y + z = 4, π ′ : x − z = 0 y π ′′ : x + y = 3, tienen un único punto en común. Se
pide:
a) Determinarlo.
b) Hallar las ecuaciones de las rectas en que cada uno de los planos corta al plano x = 0.
c) Volumen del tetraedro limitado por cada uno de esos tres planos y el plano x = 0.
683. Considera un cuadrado cuyo centro es el punto P (1, 1, −1) y tiene uno de sus lados en la recta:
{
x−2=y−1
r:
z=1
23 GEOMETRÍA
70
a) Calcula la ecuación del plano en el que se encuentra el cuadrado.
b) Calcula la longitud del lado del cuadrado.
684. Halla el punto P ′ simétrico de P (3, 4, 0) respecto al plano π : x + y + z = 0.
685. Halla las coordenadas del punto simétrico de P (−2, −2, 3) respecto del plano de ecuación general
2x + y + z − 3 = 0.
686. Se consideran las rectas de ecuaciones:
{
{
x−1=0
x−z−2=0
r:
;
s:
2y + z − 1 = 0
y−z−2=0
y el plano π que pasa por los puntos A(1, 0, 2), B(2, 1, 2) y C(1, 0, 1).
a) Calcula la ecuación general o implı́cita de π.
b) Una de las dos rectas corta a π. Determı́nala y halla el punto de corte con π.
c) Calcula el seno del ángulo que forman dicha recta y el plano π.
d ) Comprueba que la otra recta es paralela a π y calcula la ecuación general del plano que la
contiene y es paralelo a π.
687.
a) Demuestra que los planos π : 2x + 3y − 4z = 6 y π ′ : − 3x + 4y − 2z = −2 no son paralelos y
calcula sus planos bisectores.
b) Calcula el ángulo que forman entre sı́ ambos planos bisectores.
688. Sean los puntos P1 (1, 2, 1), P2 (2, 3, 1), P3 (−1, 4, 3) y P4 (0, 5, 3).
a) Demuestra que los cuatro puntos están en el mismo plano.
b) Verifica que el polı́gono que tiene como vértices esos cuatro puntos es un rectángulo.
c) Calcula el área de ese rectángulo.
689. Considérese la recta r de vector director (1, 1, 0) que pasa por el origen. escriba las ecuaciones
paramétricas de todas las rectas que pasan por el origen, que están contenidas en el plano x − y = 0
y que forman, además, un ángulo de 60o con r.
690. Calcula la distancia entre las rectas r y s siendo:
y − 1
z+3

=
x−1
y+1
z
1
2
s:
r:
=
=

1
−1
3
x=0
Obtén la ecuación de la perpendicular común a ambas.
691. Sea el plano π de ecuación x + 2y + 3z = 5.
a) Encuentra la ecuación de un plano paralelo a π y cuya distancia al origen sea 3. ¿Cuántas
soluciones hay?
b) Calcula el punto P del plano π que está más próximo del origen.
c) Sea Q el punto (1, 1, 1). Se sabe que los segmentos OP y OQ son dos lados de un paralelogramo.
Halla los vértices y el área de dicho paralelogramo.
Soluciones:
(
(620) (a) (−2, −3, 7) (b) − 32 ,
13
,1
5
)
(621) (−1, −2, 6)
(622) (−2, −2, −6)
(623) A(3, 0, −3), B(4, −2, −5)
(
)
(
)
(624) A 0, 34 , − 13 , B(−1, 1, 0), C −2, 54 , 31
23 GEOMETRÍA
71
(625) (a) x + 7y + 2z − 22 = 0 (b) 2x + 7y + 3z − 1 = 0 (c) x + y + z − 1 = 0
(626) (a) (1, 2, 3), (0, 4, 0) (b) (0, 1, 0), (0, 4, 1)
(627) (a) P (−1, 0, 1), ⃗
u(−1, 3, −2), ⃗v (0, −2, −1), ⃗
n(7, 1, −2) (b) O(0, 0, 0), ⃗
u(1, 3, 0), ⃗v (0, −2, 1), ⃗
n(3, −1, −2)
(628) x = 1 + 2λ − 3µ, y = λ, z = µ
(629) x = −5 + 2λ, y = λ, z = µ
(630) 4x + y + 5z + 2 = 0
(631) (a) P ∈ π, Q ∈
/ π (b) P ∈
/ ρ, Q ∈ ρ
(632) (a) x = 1 + t, y = −2 − t, z = −t;
x+2
−1
=
y+2
−1
=
z
;
4
x−1
1
=
y+2
−1
=
x − y = 0, 4x + z + 8 = 0
z
;
−1
x + y + 1 = 0, x + z − 1 = 0 (b) x = −2 − t, y = −2 − t, z = 4t;
(633) x − 2y = 0, x − z = 0
(634) (a) A(−2, −1, −1), B(0, 0, 1) (b) A(1, −2, 0) B(0, 0, −2) (c) A(0, 0, 0) (d) 1, 1, 1
(635) (a) P (0, −2, 1) ⃗v (−3, 3, −4) (b) P (0, 2, −2) ⃗v (−2, 1, 3) (c) P (0, 3, −1) ⃗v (1, −2, 2)
(636)
x−1
−1
=
y−2
2
=
z−3
,
−3
2x + y − 4 = 0, 3x − z = 0
(637) x = t, y = 1 + t, z = −2 + 2t,
x
1
=
y−1
1
=
z+2
2
(638) y = 0, z = 0, x = 0, z = 0, x = 0, y = 0, x = 0, y = 0,z = 0
(639)
x
2
=
y−1
=
3
2
z−1 x−1 y−2
, −3 1
−3
=
z− 2
3
−4
3
(640) (a) x = −1 + 2t, y = 2 − t, z = −3 + 2t (b) P sı́, Q no, R sı́
(641) x + 5y + D = 0
(642) (a) λ(x + y + 1) + µ(2x − z − 1) = 0 (b) λ(x + 2y + 3) + µ(3x − 2z − 3) = 0 (c) λ(2x + y − 3z − 3) + µ(2x − 2y + z − 1) = 0
(643) No tiene solución.
(644) (a) m = 2, m = −1 (b) x + y = 2, 2x + z = 2
(645) m = 2, m = −2
(646) (a) d = 12 (b) A(2, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, −4) (c) G
(647) (a) a =
4
3
(2
3
, 1, − 43
)
(b) 2x + 2y − 5z + 3 = 0
(648) 8x − 4y + z − 19 = 0
(649) x − 13y − 10z − 17 = 0
(650) x = 2 + 5λ, y = −3 + 7λ, z = 11λ
(651) 4x + y − 3 = 0
(652) z = 3
(653) No
(654) x = λ, y = 2λ, z = 3λ
)
(
(655) 12 , − 52 , 25
(656) (a) Se cortan (b) Recta paralela al plano (c) Recta contenida en el plano
(657) (a) Se cortan (b) Paralelos (c) Coincidentes
(658) (a) Se cortan en un punto (b) Se cortan en una recta (c) Forman un prisma
(659) Secantes
(660) Paralelas
(661) Coincidentes
(662) m = −14 se cortan, m ̸= −14 se cruzan
(663) Secantes, 60o
(664) d = 1, 45o
(665) Se cruzan
(666) Secantes, 6o 58′ 57′′
(667) 90o
(668) 60o
(669) 60o
(
)
(670) 13 , 13 , 13
(671) y − z + 1 = 0, x + y + z − 4 = 0
(672) x =
y+1
2
=
z+1
4
(673) P (4, −2, −1)
24 GEOMETRÍA: TÉCNICAS BÁSICAS
72
(674) Las rectas no son coplanarias.
(
)
(
)
(675) P 11
, 1 , 5 , Q 34 , 54 , − 41
6 6 6
√
66
6
(676)
√
3
3
(677) (a) Se cruzan,
(678)
x−2
1
=
y+3
2
=
√
6
2
(b) Se cruzan,
z− 8
5
0
(679) La p.c. es el eje OZ, es decir x = 0, y = 0
(680) 6x + 3y + 2z − 6 = 0,
(681) (a) x − 2z + 3 = 0
7
2
(b) 11
, 19 , − 19
21 21
√
(c) 4 5
(682) (a) P (1, 2, 1) (b) r : x = 0, y = λ, z = 4 − λ; s : x = 0, y = λ, z = 0; t : x = 0, y = 3, z = λ (c)
√
(683) (a) 2x − 2y − z − 1 = 0 (b) 3 2
( 5
)
(684) Q − 3 , − 23 , − 14
3
1
6
(685) P ′ (2, 0, 5)
(686) (a) x − y − 1 = 0 (b) x = 1, y = −λ, z = 1 + 2λ, (1, 0, 1) (c) 18o 26′ 6′′ (d) x − y = 0
(687) (a) 5x − y − 2z − 8 = 0, −x + 7y − 6z − 4 = 0 (b) 90o
√
(688) (a) x − y + 2z − 1 = 0 (b) (c) 2 6
(689)
x
1
=
y
1
=
z
√
, x
6 1
=
y
1
=
z
√
− 6
(b) x − 2y + z + 5 = 0, 5x − 16y − 7z − 21 = 0
√
( 5 10 15 )
(691) (a) x + 2y + 3z + k = 0, k = ±3 14 (b) P 14
, 14 , 14 (c)
(690) (a)
24.
√2
30
√
5 6
14
Geometrı́a: técnicas básicas
692. Calcular la ecuación de la recta perpendicular al plano 2x − 3y + 5z − 2 = 0 por el punto P (1, 2, −3).
693. Calcular la ecuación del plano perpendicular a la recta
y+7
z
x−1
=
=
3
2
−1
por el punto P (3, −1, 5).
694. Calcular la ecuación del plano perpendicular a la recta:
{
2x − 3y + 5z − 2 = 0
x + y − 2z + 3 = 0
por el punto P (1, −1, 2).
695. Calcular la ecuación del plano que contiene al punto P (1, 1, 1) y a la recta:
y−1
z+4
x−1
=
=
3
7
2
696. Calcular la ecuación del plano que contiene a la recta:
{
2x − y + z − 1 = 0
x+y−z−3=0
y pasa por el punto P (1, 3, −1).
697. Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y es paralelo a 2x − 3y + 6z − 7 = 0.
698. Calcular la ecuación de la recta paralela a
x−1
y+2
z−3
=
=
3
−1
1
por el punto P (1, −1, 2).
24 GEOMETRÍA: TÉCNICAS BÁSICAS
73
699. Calcular la ecuación de la recta paralela a:
{
x+y−z+3=0
2x + 3y − z + 7 = 0
por el punto P (0, 1, 2).
700. Calcular la ecuación de la recta paralela a los planos:
π : 2x + y − z − 3 = 0 ;
π ′ : x + y + 2z − 1 = 0
que pasa por el punto P (−1, 2, 0).
701. Calcular la ecuación del plano paralelo a las rectas:


x = 1 + t
y−3
z
x−1
=
=
;
r′ : y = 2 − t
r:

2
3
−1

z = 4 + 2t
que pasa por el punto P (0, 1, 0).
702. Calcular la ecuación del plano que contiene a la recta:


x = 1 − t
r : y = 3t


z = 3 + 2t
y es paralelo a:
x−1
y+3
z+5
r′ :
=
=
2
−1
3
703. Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto P (3, 2, 1) y es perpendicular a los planos:
π : ; x − y + 2z − 3 = 0 ;
π ′ : 2x − 3y + z − 1 = 0
704. Calcular la ecuación del plano que contiene a la recta:
x+3
y
z−1
= =
−1
3
2
y es perpendicular a x + y − 2z = 0.
705. Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto P (3, 1, 2), es paralelo a la recta:
x−1
y−3
z
=
=
2
−1
−1
y perpendicular al plano 3x − y + z − 1 = 0.
Soluciones:
y−2
−3
(692)
x−1
2
(693)
(694)
(695)
(696)
(697)
3x + 2y − z − 2 = 0
x + 9y + 5z − 2 = 0
7x − 3y − 4 = 0
7x + y − z − 11 = 0
2x − 3y + 6z − 5 = 0
(698)
x−1
= y+1
= z−2
3
−1
1
y−1
z−2
x
=
=
2
−1
1
y−2
x+1
z
=
=
3
−5
1
(699)
(700)
(701)
(702)
(703)
(704)
(705)
=
=
z+3
5
x−y−z+1=0
11x + 7y − 5z + 4 = 0
5x + 3y − z − 20 = 0
2x + z + 5 = 0
−2x − 5y + z + 9 = 0
25 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: GEOMETRÍA.
25.
74
Problemas de selectividad: Geometrı́a.
706. Hallar una ecuación cartesiana de plano que contiene a la recta r :
x=1+t;
y = 1 + 2t ;
z=t
y es perpendicular al plano π:
2x + y − z = 2
707. Los puntos A(1, 1, 1), B(2, 2, 2) y C(1, 3, 3) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Se pide:
a) Calcular las coordenadas del cuarto vértice y el área del paralelogramo.
b) Clasificar el paralelogramo por sus lados y sus ángulos.
708. Se consideran las rectas:
r :
y−1
z−3
x
=
=
;
1
−2
2
s :
x−2
y
z+1
= =
3
1
−1
a) Calcular la distancia entre r y s.
b) Hallar unas ecuaciones cartesianas de la recta perpendicular común a r y s y que corta a
ambas.
c) Hallar unas ecuaciones cartesianas de la recta que corta a r y s y pasa por P (1, 0, 0).
709. Para cada valor del parámetro real a se consideran los planos siguientes:
π1 : x + y + az = −2 ;
π2 : x + ay + z = −1 ;
π3 : ax + y + z = 3
Se pide:
a) Calcular los valores de a para los cuales los tres planos anteriores contienen una recta común.
b) Para los valores de a calculados, hallar unas ecuaciones cartesianas de dicha recta común.
710. Dadas las rectas en el espacio:
r≡
x−2
y−1
z
=
= ;
3
−2
1
s≡
x+1
y+2
z−1
=
=
2
−1
2
a) Hallar la distancia entre las dos rectas.
b) Determinar las ecuaciones de la perpendicular común a r y s
711. Dados el plano:
π ≡ x + 3y − z = 1
y la recta
r≡
x+2
y−1
z
=
=
6
2
1
se pide:
a) Hallar la ecuación general del plano π ′ que contiene a r y es perpendicular a π.
b) Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos π y π ′ .
712. Dados los puntos A(1, 0, 1) y B(0, 2, 0), y el plano π ≡ x − 2y − z − 7 = 0, determinar el plano que
es perpendicular al plano π y pasa por los puntos A y B.
713. Dadas las rectas
y+1
z−k
x−1
=
=
;
r≡
−1
1
1
{
x−y+z =3
s≡
3x + z = 1
25 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: GEOMETRÍA.
75
a) Hallar el valor de k para que las dos rectas estén contenidas en el mismo plano.
b) Para el valor de k obtenido en el apartado anterior, determinar la ecuación general del plano
que las contiene.
714. Dado el plano π ≡ x + y + z = 0, y la recta r ≡
x−1
1
=
y
2
=
z+1
2 ,
se pide:
a) Calcular el punto Q en que se cortan el plano π y la recta r.
b) Encontrar un plano π ′ , paralelo a π, tal que el punto Q′ en el que se cortan el plano π ′ y la
recta r esté a distancia 2 del punto Q hallado en el apartado anterior.
715. Se consideran la recta y los planos siguientes:


x = 2 − 3λ
r ≡ y = 1 + 2λ
; π1 ≡ 2 − 3x + 2y − z = 0 ;


z =4−λ
π2 ≡ 3 + 2x + 2y − 2z = 0
Se pide:
a) Determinar la posición relativa de la recta respecto a cada uno de los planos.
b) Determinar la posición relativa de los planos.
c) Calcular la distancia de r a π2 .
716.
a) Determinar la posición relativa de los siguientes planos según los valores del parámetro k:
π1 ≡ 2x + 3y + kz = 3
π2 ≡ x + ky − z = −1
π3 ≡ 3x + y − 3z = −k
b) En los casos en que los tres planos anteriores se corten a lo largo de una recta común, hallar
un vector director de dicha recta.
717. Sea el plano π ≡ x + 2y + 3z = 6:
a) Hallar el punto simétrico de (0, 0, 0) respecto de π.
b) Hallar el plano perpendicular a π que contiene al eje OZ.
c) Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen y los puntos de intersección de π
con los ejes coordenados.
718.
a) Hallar el conjunto formado por los puntos del plano z = 0 que distan 3 unidades del plano de
ecuación 2x − y + 2z = 4.
b) Describir dicho conjunto.
719. El plano π ≡ 2x − 2y + z = −2 determina un tetraedro con los tres planos coordenados. Se pide:
a) Calcular la longitud de la altura del tetraedro que parte del origen.
b) Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene dicha altura.
c) Calcular el área de la cara del tetraedro que está contenida en el plano π.
720. Dado el punto P (1, 3, −1), se pide:
a) Escribir la ecuación que deben verificar los puntos X(x, y, z) cuya distancia a P sea igual a 3.
b) Calcular los puntos de la recta:


x = 3λ
y =1+λ


z = 1 − 4λ
cuya distancia a P sea igual a 3.
25 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: GEOMETRÍA.
76
721. Dadas las rectas:
r :
x−1
y−1
z−1
=
=
:
2
3
4
s :
x+1
y−2
z
=
=
1
−1
2
a) Hallar la ecuación de la recta t que corta a las dos y el perpendicular a ambas.
b) Calcular la mı́nima distancia entre r y s.
722. Discutir según los valores del parámetro real λ la posición relativa de los planos:
π1 : x + z = λ
π2 : 4x + (λ − 2)y + (λ + 2)z = λ + 2
π3 : 2(λ + 1)x − (λ + 6)y = −λ
723. Se consideran las rectas:
{
x−y =3
r :
x+y−z =0
{
s :
x−z =4
2x − y = 7
a) Hallar la recta t, perpendicular a r y a s, que pasa por el origen.
b) Hallar las coordenadas del punto de intersección de la recta s con la recta t obtenida en el
apartado anterior.
724. Se considera la familia de planos:
mx + (m − 2)y + 3(m + 1)z + (m + 1) = 0
siendo m un parámetro real:
a) Determinar la recta común a todos los planos de la familia.
b) Determinar el plano de esta familia que pasa por el punto P (1, 1, 0).
c) Determinar el plano de esta familia que es paralelo a la recta:
{
x − 2z + 1 = 0
r :
−y + z + 1 = 0
725. Sean las rectas:
r:
x+1
y−2
z
=
=
−2
2
−4
s:
x−2
y+1
z+2
=
=
3
1
1
a) Hallar la ecuación de la recta t que pasa por el origen y corta a las dos rectas anteriores.
b) Hallar la recta perpendicular común a las rectas r y s.
726. Sea r la recta que pasa por el origen de coordenadas O y tiene como vector director ⃗v = (4, 3, 1).
Hallar un punto P contenido en dicha recta, tal que si se llama Q a su proyección sobre el plano
π : z = 0, el triángulo OP Q tenga área 1.
727. Determinar la posición relativa de las rectas:
{
x + 2y − 5z − 5 = 0
y−7
z
x+4
=
=
s:
r:
−3
4
1
2x + y + 2z − 4 = 0
728. Se consideran los puntos A(0, 1, 0) y B(1, 0, 1). se pide:
a) Escribir la ecuación que deben verificar los puntos X(x, y, z) que equidistan de A y B.
b) Determinar la ecuación que verifican los puntos X(x, y, z) cuya distancia a A es igual que la
distancia de A a B.
25 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: GEOMETRÍA.
77
c) Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta formada por los puntos C(x, y, z) del plano
x + y + z = 3 tales que el triángulo ABC es rectángulo con el ángulo recto en el vértice A.
729. Un plano corta a los ejes de coordenadas en los puntos A(1, 0, 0), B(0, λ, 0), C(0, 0, 4). se pide:
a) Hallar el valor de λ > 0 de manera que el volumen del tetraedro OABC (donde O es el origen)
sea 2.
b) Para el valor de λ obtenido en el apartado anterior, calcular la longitud de la altura del
tetraedro OABC correspondiente al vértice O.
{
x+y+1=0
730. Dados el punto A(1, −2, −3), la recta r :
y el plano π : x − 2y − 3z + 1 = 0, se
z=0
pide:
a) Ecuación del plano que pasa por A, es paralelo a r y perpendicular a π.
b) Ecuación de la recta que pasa por A, corta a r y es paralela a π.
731. Sean los puntos A(λ, 2, λ), B(2, −λ, 0), C(λ, 0, λ + 2).
a) ¿Existe algún valor de λ para el que los puntos A, B y C estén alineados?
b) Comprobar que si A, B y C no están alineados el triángulo que forman es isósceles.
c) Calcular la ecuación del plano que contiene al triángulo ABC para el valor de λ = 0 y hallar
la distancia de este plano al origen de coordenadas.
732. Hallar los puntos de la recta r :
es igual a 1.
733. Se consideran las rectas:
{
x−y =3
r:
x+y−z =0
x−3
1
=
y−5
1
=
z+1
−1
cuya distancia al plano π : 2x − y + 2z + 1 = 0
{
x−z =4
s:
2x − y = 7
Hallar la ecuación continua de la recta que contiene al punto P (2, −1, 2) y cuyo vector director es
perpendicular a los vectores directores de las dos rectas anteriores.
734. Sean las rectas:
x
y−1
z−2
r:
=
=
1
−1
2
{
x − 3y − 5 = 0
s:
x − 3z − 8 = 0
a) Hallar la ecuación del plano π que contiene a r y es paralelo a s.
b) Calcular la distancia entre el plano π y la recta s.
735. Dadas las rectas:
{
x − ay = 2
r≡
ay + z = 1
{
s≡
x−z =1
y+z =3
se pide:
a) Discutir la posición relativa de las dos rectas según los valores del parámetro a.
b) Si a = 1, calcular la distancia mı́nima entre las rectas r y s.
736. Dados los puntos A(0, 0, 1), B(1, 0, −1), C(0, 1, −2) y D(1, 2, 0), se pide:
a) Demostrar que los cuatro puntos no son coplanarios.
b) Hallar la ecuación del plano π determinado por los puntos A, B y C.
c) Hallar la distancia del punto D a plano π.
25 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: GEOMETRÍA.
78
737. Dados los puntos P (1, 1, 3), Q(0, 1, 0), se pide:
a) Hallar todos los puntos R tales que la distancia entre P y R sea igual a la distancia entre Q
y R. Describir dicho conjunto de puntos.
b) Hallar todos los puntos S contenidos en la recta que pasa por P y Q que verifican
dist(P, S) = 2 · dist(Q, S)
donde “dist” significa distancia.
738. Dadas las rectas:
r≡
x+1
y−2
z
=
= ;
1
2
3
s≡
x
y−1
z
=
=
2
3
4
hallar la ecuación de la recta t perpendicular común a ambas.
739. Dados el plano:
π1 ≡ x + y + z = 1
y la recta:
r≡
x−1
y+1
z
=
=
2
3
−4
se pide:
a) Hallar el punto P determinado por la intersección de r con π1 .
b) Hallar un plano π2 paralelo a π1 y tal√ que el segmento de la recta r comprendido entre los
planos π1 y π2 tenga una longitud de 29 unidades.
740. Dado el plano π : x + 3y + z = 4, se pide:
a) Calcular el punto simétrico P del punto O(0, 0, 0) respecto del plano π.
b) Calcular el coseno del ángulo α que forman el plano π y el plano x = 0.
c) Calcular el volumen del tetraedro T determinado por el plano π, y los planos x = 0, y = 0 y
z = 0.
741. Dadas las rectas:
r≡
x−1
y−2
z
=
= ;
2
3
1
s≡
x+2
y
z−2
= =
2
1
1
se pide:
a) Hallar la ecuación del plano π que contiene a r y es paralelo a s.
b) Determinar la distancia entre las rectas r y s.
c) Estudiar si la recta t paralela a r y que pasa por O(0, 0, 0) corta a la recta s.
742. Dadas las rectas:
r≡
y
z
x
= = ;
1
2
a
s≡
x−3
y
z−3
= =
b
1
−1
determinar los valores de los parámetros a y b para los cuales las rectas r, s se cortan perpendicularmente.
743. Dado el plano π ≡ 2x − y + 2z + 1 = 0, hallar las ecuaciones de los planos paralelos a π que se
encuentran a 3 unidades de π.
25 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: GEOMETRÍA.
79
744. Dada la recta:
r≡
x−1
y
z
=
=
1
−1
1
y el plano π : x + y − 2z + 1 = 0, hallar la ecuación de la recta s simétrica de la recta r respecto
del plano π.
745. Dadas las rectas:
r≡
x
y−1
z+4
=
=
;
2
3
−1
s≡
x
y
z
= =
1
1
4
se pide:
a) Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a r y s.
b) Calcular la mı́nima distancia entre las rectas r y s.
746. Dadas las rectas:
{
y−1
z+1
r≡x=
=
;
2
−1
s≡
y+z =3
2x − y = 2
se pide:
a) Hallar la ecuación del plano π determinado por r y s.
b) Hallar la distancia desde el punto A(0, 1, −1) a la recta s.
747. Sea π el plano que contiene a los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 2, 0) y R(0, 0, 3). Se pide:
a) Hallar el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos P , Q
y R.
b) Calcular las coordenadas del punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano π.
748. Dadas las rectas:
{
y=1
r1 ≡
z=3
{
r2 ≡
x=0
y−z =0
se pide:
a) Hallar la ecuación de la recta t que corta a r1 y r2 y es perpendicular a ambas.
b) Hallar la mı́nima distancia entre r1 y r2 .
749. Dados el plano
π1 ≡ 2x − 3y + z = a
y el plano π2 determinado por el punto P (0, 2, 4) y los vectores u⃗1 = (0, 2, 6) y u⃗2 = (1, 0, b), se
pide:
a) Calcular los valores de a y b para que π1 y π2 sean paralelos.
b) Para a = 1 y b = 0 determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de π1 y π2 .
c) Para a = 4 y b = −2 determinar los puntos que están a igual distancia de π1 y π2 .
750. Los puntos P (1, 2, 1), Q(2, 1, 1) y A(a, 0, 0) con a > 3, determinan un plano π que corta a los
semiejes positivos de OY y OZ en los puntos B y C respectivamente. Calcular el valor de a para
que el tetraedro determinado por los puntos A, B, C y el origen de coordenadas tenga volumen
mı́nimo.
25 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: GEOMETRÍA.
751.
80
a) Hallar el volumen del tetraedro que tiene un vértice en el origen y los otros tres vértices en las
intersecciones de las rectas:
{
{
x=0
y=0
r1 ≡ x = y = z , r2 ≡
, r3 ≡
z=0
z=0
con el plano π ≡ 2x + 3y + 7z = 24.
b) Hallar la recta r que corta perpendicularmente a las rectas:
r4 ≡
x+1
y−5
z+1
=
=
;
1
2
−2
s≡
x
y+1
z−1
=
=
2
3
−1
752. Dados los planos
π1 ≡ 2x + y − 2z = 1 ,
π2 ≡ x − y + 2z = 1
se pide:
a) Estudiar su posición relativa.
b) En caso de que los planos sean paralelos hallar la distancia entre ellos; en caso de que se corten,
hallar un punto y un vector de dirección de la recta que determinan.
753.
a) Hallar la ecuación del plano π1 que pasa por los puntos A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 1).
b) Hallar la ecuación del plano π2 que contiene al punto P (1, 2, 3) y es perpendicular al vector
⃗v (−2, 1, 1).
c) Hallar el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y P .
754. Dados los planos
π1 ≡ 2x + 3y + z − 1 = 0 ,
π2 ≡ 2x + y − 3z − 1 = 0
y la recta:
r≡
x−1
y+1
z+2
=
=
2
1
2
se pide:
a) El punto o puntos de r que equidistan de π1 y π2 .
b) El volumen del tetraedro que π1 forma con los planos coordenados XY , XZ e Y Z.
c) La proyección ortogonal de r sobre el plano π2 .
755. Dado el punto P (0, 1, 1) y las rectas:
x−1
y+1
z
r≡
=
=
,
2
1
−1
{
x=0
s≡
y=0
se pide:
a) Determinar las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r.
b) Determinar la recta que pasa por el punto P , tiene dirección perpendicular a la recta r y corta
a la recta s.
Solución del segundo apartado:
(i) Plano perpendicular a r por P :
2x + 1(y − 1) − 1(z − 1) = 0
=⇒
2x + y − z = 0
25 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: GEOMETRÍA.
81
(ii) Plano que contiene a s y P : el haz de planos de s es:
λx + µy = 0
Si el plano debe pasar por P (0, 1, 1):
λ·0+µ·1=0
=⇒
µ=0
El plano buscado es x = 0.
(iii) La recta que nos piden es la intersección de los dos planos, es decir:
{
2x + y − z = 0
x=0
756. Dados los puntos P1 (1, 3, −1), P2 (a, 2, 0), P3 (1, 5, 4) y P4 (2, 0, 2), se pide:
a) Hallar el valor de a para que los cuatro puntos estén en el mismo plano.
b) Hallar el valor de a para que el tetraedro con vértices P1 , P2 , P3 y P4 tenga volumen igual a
7.
c) Hallar la ecuación del plano cuyos puntos equidistan de P1 y de P3 .
757. Dadas las rectas:
r1 ≡
x−2
y−1
z
=
= ;
3
−5
2


x = −1 − λ
s≡ y =3+λ


z=5
se pide:
a) Estudiar su posición relativa.
b) Hallar la mı́nima distancia de r1 a r2 .
758.
a) Dados los puntos P (2, 1, −1), Q(1, 0, 2) y la recta:


x = 2 + 2λ
r ≡ y =1−λ


z=3
determinar los puntos de r que equidistan de P y Q.
b) Determinar la ecuación del plano π que pasa por el punto Q y es perpendicular a r.
759. Una de las caras del paralelepı́pedo H tiene vértices en los puntos A(4, 2, 8), B(6, 4, 12), C(6, 0, 10)
y D(8, 2, 14).
a) Si el punto E(6, 8, 28) es otro de los vértices, hallar el volumen de H.
b) Hallar el punto E ′ simétrico de E respecto del plano que contiene a la cara ABCD.
760. Dadas la recta r y la familia de rectas s, mediante:
{
{
x + 2y = −3
2x + 2y + z = a
r≡
;
s≡
z=1
x+z =0
se pide:
a) Hallar el valor de a para que ambas rectas se corten. Calcular el punto de corte.
b) Hallar la ecuación del plano determinado por ambas rectas cuando ambas se cortan.
761. Se dan la recta r y el plano π, mediante:
r≡
y−1
z−2
x−4
=
=
,
2
−1
3
π ≡ 2x + y − 2z − 7 = 0
Obtener los puntos de la recta cuya distancia al plano es igual a 1.
25 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: GEOMETRÍA.
762. Dadas las rectas:
x−1
y−2
z
r≡
=
=
,
2
2
−2
82
{
x+y =4
s≡
2x + z = 4
se pide:
a) Hallar la ecuación del plano que pasa por A(2, 3, 4) y es paralelo a las rectas r y s.
b) Determinar la ecuación de la recta que pasa por B(4, −1, 2) y es perpendicular al plano hallado
anteriormente.
763. Dado el punto P (2, 1, −1) se pide:
a) Hallar el punto P ′ simétrico de P respecto del punto Q(3, 0, 2).
b) Hallar el punto P ′′ simétrico de P respecto de la recta r ≡ x − 1 = y − 1 = z.
c) Hallar el punto P ′′′ simétrico de P respecto del plano π ≡ x + y + z = 3.
764. Dado el punto P (−1, 0, 2) y las rectas:

{

x = 1 + λ
x−z =1
r≡
s≡ y=λ

y − z = −1

z=3
se pide:
a) Determinar la posición relativa de r y s.
b) Determinar la ecuación de la recta que pasa por P y corta a r y s.
c) Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a r y s
765.
a) Hallar los puntos de corte de la recta de dirección (2, 1,
√1) y que pasa por el punto P (4, 6, 2),
con la superficie esférica de centro C(1, 2, −1) y radio 26.
b) Hallar la distancia del punto Q(−2, 1, 0) a la recta:
r≡
x−1
z−3
=y+2=
2
2
766. Dados el punto P (1, 0, −1), el plano π ≡ 2x − y + z + 1 = 0, y la recta:
{
−2x + y − 1 = 0
r≡
3x − z − 3 = 0
se pide:
a) Determinar la ecuación del plano que pasa por P , es paralelo a la recta r y perpendicular al
plano π.
b) Hallar el ángulo entre r y π.
767. Dados los puntos A(2, −2, 1), B(0, 1, −2), C(−2, 0, −4), D(2, −6, 2), se pide:
(a) Probar que el cuadrilátero ABCD es un trapecio (tiene dos lados paralelos) y hallar la distancia
entre los dos lados paralelos.
(b) Hallar el área del triángulo ABC.
768. Dados el punto P (1, 2, −1) y el plano π ≡ x + 2y − 2z + 2 = 0, sea S la esfera que es tangente al
plano π en un punto P ′ de modo que el segmento P P ′ es uno de sus diámetros. Se pide:
(a) Hallar el punto de tangencia P ′ .
(b) Hallar la ecuación de S.
25 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: GEOMETRÍA.
83
769. Sean rA la recta con vector de dirección (1, λ, 2) que pasa por el punto A(1, 2, 1), rB la recta con
vector de dirección (1, 1, 1) Que pasa por B(1, −2, 3), y rC la recta con vector de dirección (1, 1, −2)
que pasa por C(4, 1, −3). Se pide:
(a) Hallar λ para que rA y rB se corten.
(b) Hallar λ para que la recta rA sea paralela al plano definido por rB y rC .
(c) Hallar el ángulo que forman rB y rC .
Soluciones:
(706) x − y + z = 0
(707) (a) D(0, 2, 2) (b) rombo
(b) 4x + y − z + 2 = 0, 2x − 3y + 3z − 1 = 0 (c) 8x + 5y + z − 8 = 0, x − 2y + z − 1 = 0
√5
2
(708) (a)
(709) (a) a = −2 (b) x + y − 2z + 2 = 0, x − 2y + z + 1 = 0
√22
26
(710) (a)
(b) x − 3y − 9z + 1 = 0, 7x − 8y − 11z + 2 = 0
(711) (a) 5x − 7y − 16z + 17 = 0 (b) x = −2 + 5λ, y = 1 − λ, z = 2λ
(712) 2x + y − 2 = 0
(713) (a) k = 4 (b) x + 2y − z + 5 = 0
(714) (a) Q(1, 0, −1) (b) 3x + 3y + 3z − 10 = 0, 3x + 3y + 3z + 10 = 0
(715) (a) se corta perpendicularmente con π1, paralela a π2 (b) se cortan (c)
1
√
2 3
(716) (a) k = 13 dos paralelos y otro que los corta, k = −2 se cortan en una recta, demás casos: se cortan en un punto
(b) ⃗
u = (1, 0, 1)
(
)
(717) (a) O′ 67 , 12
, 18
(b) 2x − y = 0 (c) 6
7
7
(718) (a) 2x − y + 2z + 5 = 0, z = 0, 2x − y + 2z − 13 = 0, z = 0 (b) son dos rectas paralelas
2
3
(719) (a)
(b) x = 2t, y = −2t, z = t (c)
3
2
(720) (a) (x − 1)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 9 (b) (0, 1, 1), (3, 2, −3)
(721) (a) 3x − 10y + 6z + 1 = 0; x + 5y + 2z − 9 = 0 (b)
√3
5
(722) λ =
̸ 2, λ ̸= 4: los planos se cortan en un punto; λ = 2: dos planos paralelos y otro que los corta; λ = 4: los planos se
cortan en rectas paralelas.
(723) (a) x = −3t, y = t, z = t (b) (3, −1, −1)
(724) (a) −2y + 3z + 1 = 0, x − y + 6z + 2 = 0 (b) x − 5y + 12z + 4 = 0 (c) x + 13y − 15z − 5 = 0
(725) (a) 4x + 2y − z = 0, x − 8y + 5z = 0 (b) 7x + 5y − z − 3 = 0, x + 15y − 18z − 23 = 0
( √
√
√ ) (
√
√
√ )
(726) 4√ 2 , 3√ 2 , √2 , − 4√ 2 , − 3√ 2 , − √2
5
5
5
5
5
5
(727) paralelas
(728) (a) 2x − 2y + 2z − 1 = 0 (b) x2 + (y − 1)2 + z 2 = 3 (c) x = 1 − t, y = 2, z = t
(729) (a) λ = 3 (también −3) (b)
12
13
(730) (a) 3x + 3y − z = 0 (b) x + y + 1 = 0, x − 2y − 3z − 14 = 0
(731) (a) no (b) (c)
√2
3
(732) (6, 8, −4), (0, 2, 2)
(733)
x−2
−3
=
y+1
1
=
z−2
1
(734) (a) −3x + 5y + 4z − 13 = 0 (b)
32
√
5 2
(735) (a) (b) a = 0 se cortan, a ̸= 0 se cruzan (c)
(736) (a) 2x + 3y + z − 1 = 0 (b)
√
2
√
√7
2
(737) (a) plano mediador x + 3z − 5 = 0 (b) (−1, 1, −3), ( 13 , 1, 1)
(738) 4x + y − 2z + 2 = 0, 11x + 2y − 7z − 2 = 0
(739) (a) (3, 2, −4) (b) x + y + z = 0, x + y + z − 2 = 0
( 8 24 8 )
(740) (a) 11
, 11 , 11 (b) √1 (c) 32
9
11
(741) (a) x − 2z − 1 = 0 (b)
√7
5
(c) no
(742) a = 1, b = −1
(743) 2x − y + 2z − 8 = 0, 2x − y + 2z + 10 = 0
25 PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD: GEOMETRÍA.
(744)
x−2
5
=
y+1
−1
=
84
z−1
−1
(745) (a) 12x + 11y + 57z + 217 = 0, 35x + 53y − 22z = 0 (b)
√5
251
(746) (a) 2x − y + 1 = 0 (b) 3
)
(
(747) (a) 1 (b) 72
, 36 , 24
49 49 49
(748) (a) x − 2y − z + 2 = 0, 2x − y + z = 0 (b)
√1
3
(749) (a) b = −2, a ̸= 2 (si a = 2 son coincidentes) (b) x =
(750) a =
3
,
2
y = t, z = −2 + 3t (c) 2x − 3y + z − 3 = 0
9
2
(751) (a) 32 (b) 8x + 7y + 11z − 16 = 0, 3x + y + 9z − 8 = 0
(
)
(752) (a) se cortan (b) P 23 , − 13 , 0 , ⃗
u = (0, 2, 1)
y
2
= 1 (b) −2x + y + z − 3 = 0 (c) 43
(
)
1
(754) (a) P1 (3, 0, 0), P2 12 , − 54 , − 52 (b) 36
(c) x−13
=
6
(4
)
10
2
(755) (a) 3 , − 3 , − 3 (b) 2x + y − z = 0, x = 0
(753) (a)
x
1
+
(756) (a) a =
4
3
+
z
1
(b) a =
10
,
3
4
√
3
y−5
3
=
z−10
5
o bien x − 2y − 3 = 0, 2x + y − 3z − 1 = 0
a = − 23 (c) 4y + 10z − 31 = 0
(757) (a) se cruzan (b)
(
)
, 3 (b) 2x − y − 2 = 0
(758) (a) 15, − 11
2
(759) (a) 112 (b) (18, 12, 20)
(760) (a) a = −3 (b) x + 2y + 3 = 0
(
) (
)
(761) 14
, 2 , 3 , 23 , 83 , −3
3 3
(762) (a) 3x − y + 2z − 11 = 0 (b)
x−4
3
(
=
y+1
−1
=
)
1
z−2
2
(763) (a) (4, −1, 5) (b) (0, 1, 1) (c) − 83 , 53 , − 3
(764) (a) se cruzan (b) −x + 4y − 3z + 5 = 0, −x + y + 2z − 5 = 0 (c) x + y − 2z = 0, z − 3 = 0
√
(
)
(765) (a) (−4, 2, −2), 10
, 17
, 5 (b) 3 2
3
3 3
(766) (a) x + y − z − 2 = 0 (b) arsen
√3
2 21
Si se advierten errores en estas soluciones agradecerı́amos que se comunicase a [email protected].
26 CONJUNTOS
26.
85
Conjuntos
770. Dados los conjuntos E = {2x | x ∈ N} y F = {3x | x ∈ N}, hallar E ∩ F .
771. Dibujar un diagrama de Venn de tres conjuntos A, B y C de los que sabemos que A y B son
disjuntos y C ⊂ B. Representar A ∪ B ∪ C y A ∩ B ∩ C.
772. Sabiendo que A y C son dos conjuntos disjuntos, calcular [A ∪ (B ∩ A)] ∩ [C ∩ (C ∪ B)].
773. Sean los conjuntos A = {x = 3n | n ∈ N, x < 20} y B = {x = 4n | n ∈ N, x < 30}. Calcular A − B,
B − A y A △ B.
774.
a) Comprobar con un diagrama de Venn la propiedad distributiva de la intersección de conjuntos
respecto de la unión.
b) Demostrar la propiedad anterior.
775. Estudia si se verifican las siguientes igualdades y en caso afirmativo demuéstralas:
a) A − B = A − (A ∩ B)
b) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − C
c) A ∪ (B − C) = (A ∪ B) − C
d ) A ∪ (B − C) = (A ∪ B) − (A′ ∩ C)
e) (A ∪ B) − C = (A − C) ∪ (B − C)
f ) (A − B) − C = A − (B ∪ C)
g) (A − B)′ = B ∪ A′
h) A △ B = (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)′
776. Lo mismo:
a) A ∩ (B △ C) = (A ∩ B) △ (A ∩ C)
b) A ∪ (B △ C) = (A ∪ B) △ (A ∪ C)
c) A ∪ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = A
d ) (A ∪ B) − C = (A − C) ∪ (B − C)
e) A − (B ∪ C) = (A − B) − C
f ) (A △ B) △ C = A △ (B △ C)
g) A − B = A △ (A ∩ B)
h) (A △ B)′ = A′ △ B = A △ B ′
777. Definir producto cartesiano de dos conjuntos A y B. Si |A| = m y |B| = n, ¿cuántos elementos
tiene A × B?
778. Demostrar con un ejemplo que A × B no tiene que ser igual a B × A. ¿Qué se tiene que cumplir
para que A × B = B × A?
779. Conocidos los siguientes cardinales:
|A| = 54 ;
|B| = 42 ;
|C| = 81 ;
|A∩B| = 21 ;
se pide:
(a) |A ∩ C|
(b) |C − B|
(c) (B ∩ C) − (A ∩ B ∩ C)
780. Demostrar que
(a) A × (X ∩ Y ) = (A × X) ∩ (A × Y )
|B∩C| = 25 ;
|A∪C| = 96 ;
|A∩B∩C| = 18
27 RELACIONES Y APLICACIONES
86
(b) A × (X ∪ Y ) = (A × X) ∪ (A × Y )
781. Simplificar las expresiones:
(a) [B ′ ∩ (A′ ∪ C) ∩ D] ∪ [(A ∪ B) ∩ B]′
′
(b) ([(A ∪ B) ∩ C]′ ∪ B ′ )
27.
Relaciones y aplicaciones
782. En el conjunto A = {a, b, c, d} se definen las relaciones:
R = {(bb), (b, c), (a, d), (d, b){
S = {(a, b), (c, a), (d, a)}
y
calcular matriz, multigrafo, dominio e imagen de cada una de ellas.
783. Sean R y S relaciones en N definidas por:
⇐⇒
⇐⇒
xRy
xSy
2x + y = 16
3x + y − 25 = 0
Determinar el dominio y la imagen de cada una de ellas.
784. Sea R = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (b, c)} una relación en el conjunto A = {a, b, c, d}. Añadir elementos a R para que sea:
(a) Reflexiva
(b) Simétrica
(c) Antisimétrica
(d ) Transitiva
785. En R2 se define la relación:
⇐⇒
(x1 , y1 )R(x2 , y2 )
x1 y1 = x2 y2
Comprobar que es de equivalencia y obtener el conjunto cociente R2 /R.
786. Una relación R definida en un conjunto A se dice que es circular si verifica:
aRb ∧ bRc
=⇒
cRa
Demostrar que una relación es de equivalencia si y solo si es circular y reflexiva.
787. Determinar cuáles de las siguientes relaciones R son de equivalencia en A:
(a) A = {a, b, c, d} y R = {(a, a), (b, a), (b, b), (c, c), (d, d), (d, c)}
(b) A = {1, 2, 3, 4, 5}
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (2, 3), (3, 3), (4, 4), (3, 2), (5, 5)}
(c) A = S × S donde S = {1, 2, 3, 4, 5} y la relación R está definida por:
(a, b)R(a′ , b′ )
(d ) A = R y xRy
(e) A = Z y nRm
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
ab′ = a′ b
|x − y| ≤
1
2
n = 2k m con k entero
788. Lo mismo:
(a) A = Z+ y nRm
⇐⇒
n | m (n divide a m)
(b) A = Z × Z y (a, b)R(c, d)
+
+
⇐⇒
b=d
27 RELACIONES Y APLICACIONES
87
(c) A = R2 y (x1 , y1 )R(x2 , y2 )
(d ) A = R
2×2
⇐⇒
∃P | Y = P −1 XP
⇐⇒
y XRY
(e) A = R2 y (a, b)R(a′ , b′ )
x1 < x2 ∨ (x1 = x2 ∧ y1 ≤ y2 )
⇐⇒
ab′ = a′ b
789. Sea R una relación de equivalencia definida en un conjunto A. El conjunto de todas las clases de
equivalencia (el conjunto cociente) es una partición del conjunto A:
(a) Enunciar las condiciones que debe cumplir una partición.
(b) Determinar la partición del conjunto A por la relación definida por A = S × S donde S =
{1, 2, 3, 4, 5} y la relación R está definida por:
(a, b)R(a′ , b′ )
ab′ = a′ b
⇐⇒
790. Sea R la relación definida en R por:
⇐⇒
xRy
E(x) = E(y)
donde x significa parte entera de x.
[ ]
(a) Describir la clase 12 .
(b) Describe la partición de R en clases de equivalencia.
791. Sea S = {1, 2, 3, 4} y A = S × S. Definimos la relación:
(a, b)R(a′ .b′ )
⇐⇒
a + b = a′ + b′
Demostrar que R es una relación de equivalencia y determinar el conjunto cociente.
792. Si {{a, c, e}, {b, d, f }} es una partición de A = {a, b, c, d, e, f }. Determina la relación de equivalencia R.
793. Si (x, y)R(a, b)
⇐⇒
a, b, x, y ∈ R, describir la partición en el plano.
x + y = a + b;
794. En el conjunto Z+ ∪ {0} se define la relación de congruencia:
a≡b
(mód n)
⇐⇒
m | (a − b)
Demostrar que:
(a) a ≡ b (mód m)
⇐⇒
∃k ∈ Z | a = b + km
(b) a ≡ b (mód m),
c ≡ d (mód m)
=⇒
a + c ≡ b + d (mód m)
(c) Demostrar que se trata de una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia de esta
relación se llaman las clases de congruencia módulo m y se representan por [p]m .
(d ) Demostrar que si:
[a] = [a′ ] ∧ [b] = [b′ ]
=⇒
[a + b] = [a′ + b′ ],
795. Dado A = {2, 3, 6, 12} se definen las relaciones:
xRy
⇐⇒
2|(x − y),
aSb
⇐⇒
3|(a − b)
Determinar R ∩ S, R ∪ S y S −1 .
796. Dadas las relaciones R y S definidas en R mediante:
R = {(x, y) | x ≤ 2y} ;
S = {(y, z) | y ≤ 3z}
(a) ¿Pertenece (2, 3) a S ◦ R? ¿Y (5, 1)?
(b) Describir S ◦ R.
[ab] = [a′ b′ ]
28 GRUPOS
88
797. Dadas las funciones f (x) = e2x ; x ≥ 0 y g(x) = ln(x2 ) ; x > 0, calcular f ◦ g, g ◦ f , f −1 , g −1 y sus
respectivos dominios.
798. A partir de la siguiente matriz
a
b
c
d
a
1
0
1
1
b
0
1
0
1
c
1
0
1
0
d
1
0
1
1
trazar el grafo directo y explicar qué propiedades de la relación de equivalencia se cumplen.
799. Dada la función f (x) = 2 ln(x − 3), calcular f −1 (x).
800. Dada f : R+ −→ R+ definida por:
f (x) =
3x2 + 5
5x2 + 3
(a) Demostrar que se trata de una aplicación inyectiva.
(b) Determinar dónde es una biyección.
801. Sean A y B dos conjuntos finitos de n elementos cada uno y sea f una aplicación de A en B.
Demostrar que f es inyectiva si y solo si es suprayectiva.
802. Estudiar si la función dada por f (x) = x2 + x + 1 es inyectiva y suprayectiva. En caso contrario encontrar el mayor conjunto de R en el que f es una biyección, indicando el correspondiente
recorrido.
803. Dada f : R2 −→ R2 dada por f (x, y) = (2x − y, x − 4y). Demostrar que es una biyección y calcular
f −1 .
28.
Grupos
804. Estudiar cuáles de estas operaciones son asociativas:
ab − 1
a+b
√
(c) a ∗ b = a2 + b2
(a) a ∗ b =
(b) a ∗ b =
a+b
2
(d ) a ∗ b =
ab
a+b
805. Lo mismo:
(a) a ∗ b = a + b + 5ab
(b) a ∗ b = a + b + 2
(c) (x1 , y1 ) ⊗ (x2 , y2 ) = (x1 + y1 x2 , y1 y2 )
(d ) (a1 , a2 ) ⊗ (b1 , b2 ) = (a1 b1 − a2 b2 , a1 b2 + a2 b1 )
806. Establecer cuáles de los siguientes conjuntos, con las operaciones dadas, son grupos. En caso afirmativo, determinar los subgrupos:
(a) En C, las raı́ces cuartas de la unidad con el producto.
(b) El conjunto Z∗5 con la multiplicación módulo 6.
(c) El conjunto {1, 5, 7, 11} con la multiplicación módulo 12.
(d ) El conjunto {2n | n ≥ 0, n ∈ N} con la suma.
(e) El conjunto de matrices reales 2 × 2 menos la matriz cero, con el producto.
28 GRUPOS
89
(f ) El conjunto
{[
] [
] [
]}
1 0
2 7
3 −7
,
,
0 1
−1 3
1 2
con el producto de matrices.
807. Determinar el orden de los elementos del grupo (Z∗7 , ·).
808. Demostrar que si G es un grupo que tiene más de 10 elementos y q ∈ G es de orden 10, entonces,
el subgrupo generado por q es un subgrupo propio de G.
809. Sea (G, ◦) un grupo y a un cierto elemento de G. Se define f : G −→ G como f (x) = a ◦ x.
Demostrar que f es una biyección.
810. Sea (G, ◦) un grupo. Se denota por x2 = x ◦ x. Demostrar que G es abeliano si y solo si (a + b)2 =
a2 ◦ b2 .
811. Sea (G, ◦) un grupo, e su elemento neutro y a, b, c ∈ G tales que a ◦ b ◦ c = e. Demostrar que
b ◦ c ◦ a = e. Señalar cuáles de los siguientes elementos es igual al elemento neutro:
a◦c◦b;
b◦a◦c;
c◦a◦b;
c◦b◦a
812. Sea S = {a, b, c, d, e} un conjunto con la operación binaria ∗ dada por la siguiente tabla:
∗
e
a
b
c
d
e
e
a
b
c
d
a
a
e
e
b
c
b
b
c
d
d
a
c
c
b
c
e
b
d
d
d
a
a
e
(a) Simplificar a ∗ (b ∗ c), (a ∗ b) ∗ c, b ∗ (d ∗ c) y (b ∗ d) ∗ c.
(b) ¿Existe elemento neutro?
(c) Encontrar, si existe, el simétrico de cada elemento.
(d ) Demostrar dando dos razones que (S, ∗) no tiene estructura de grupo.
813. Sea (G, ◦) un grupo abeliano. En G se define una nueva operación mediante
a∗b=a◦b◦k
donde k es un elemento fijo de G. Demostrar que (G, ∗) es un grupo conmutaativo.
814. En el conjunto Z se define la operación x ∗ y = x + y + 1. Demostrar que (Z, ∗) es un grupo.
815. Demostrar que las raı́ces complejas del polinomio z 4 −1 forman un grupo con el producto de números
complejos. Escribir la tabla.
816. En R3 se define la siguiente operación:
(x, y, z) ∗ (x′ , y ′ , z ′ ) = (x + x′ , y + y ′ , z + z ′ + xy ′ )
(
)
Demostrar que R3 , ∗ es un grupo.
817. Sea U6 el subconjunto de C formado por las raı́ces sextas de la unidad:
(a) Hallar las raı́ces.
(b) Demostrar que (U6 , ·) es un grupo.
(c) Demostrar que es un grupo cı́clico y calcular su orden.
28 GRUPOS
90
(d ) Hallar los subgrupos propios de U6 .
818. Establecer un isomorfismo entre las raı́ces sextas de la unidad con la multiplicación y Z∗ /(9).
(
)
819. Demostrar que Z2 × Z3 , + es un grupo cı́clico.
820. Se considera un cuadrado del plano y el conjunto M de todos los movimientos que lo dejan invariante.
Se pide:
(a) Hallar todos los elementos de M .
(b) Demostrar que el conjunto M con la operación composición de movimientos es un grupo no
conmutativo.
(c) Hallar los subgrupos de M .
821. Sea S3 el conjunto de todas las permutaciones de tres elementos. Demostrar que S3 con la operación
de composición o producto de permutaciones tiene estructura de grupo. Escribir la tabla.
822. Demostra que el siguiente conjunto de matrices:

 
 
 
0 1 0
1 0 0
0 0
 1 0 0
0 1 0 , 1 0 0 , 0 0 1 , 0 1

0 0 1
0 0 1
0 1 0
1 0
 
1
0
0 , 1
0
0
0
1
 
1
0
0 , 0
0
1
1
0
0

0 
1

0
con la operación de producto de matrices es un grupo isomorfo al S3 del problema anterior.
823. Se designa

a
↓
b
por (a, b) el ciclo definido por:

b
↓
a
(a) Considerar las siguientes permutaciones del conjunto {1, 2, 3, 4}. Sean
p1 = (1),
p2 = (1, 2)(3, 4),
p3 = (1, 3)(2, 4),
p4 = (1, 4)(2, 3)
cuatro de esas permutaciones. Escribir la tabla del conjunto {p1 , p2 , p3 , p4 } con la composición
de permutaciones.
(b) Demostrar que es un grupo conmutativo.
(c) Estudiar si este grupo es isomorfo a Z4 , el grupo aditivo de los enteros módulo 4.
824. Sean S y T subgrupos distintos de G. Demostrar que S ∩ T es también un subgrupo de G. ¿Es
S ∪ T subgrupo de G?
825. Sea H un subgrupo de G tal que ∀a, b ∈ G, aRb
relación de equivalencia.
⇐⇒
ab−1 ∈ H. Demostrar que R es una
826. Demostrar por inducción que:
−1
−1
−1
(a) ∀ai ∈ G, (a1 ∗ a2 ∗ a3 ∗ . . . ∗ an )−1 = a−1
n ∗ . . . ∗ a3 ∗ a2 ∗ a1
(b) (an )−1 = (a−1 )n . A partir de este resultado, demostrar que el orden de un elemento coincide
con el orden de su inverso.
827. (a) Demostrar que el conjunto de giros alrededor del origen puede representarse por la matriz
(
)
cos α − sen α
sen α
cos α
Demostra que este conjunto de matrices forma grupo respecto al producto de matrices.
28 GRUPOS
91
(b) Demostrar que las simetrı́as respecto a una recta que pasa por el origen y = mx, puede
representarse mediante la matriz
(
)
cos 2φ − sen 2φ
sen 2φ
cos 2φ
siendo m = tg φ. Demostrar que este cnjunto de matrices tiene estructura de grupo respecto
al producto.
828. Demostrar que las raı́ces cúbicas de la unidadforman un grupo cı́clico de orden 3.
829. Demostrar que si G es un grupo y a, b ∈ G entonces (ab)−1 = b−1 a−1 .
830. Demostrar que un grupo G es abeliano si y solo si (ab)−1 = a−1 b−1 .
831. Demostrar que si un elemento x de un grupo G verifica que x2 = x, entonces, x = e.
832. Resolver la siguiente ecuación a · b · x2 · c = c · x · a en un grupo abeliano.
833. Resolver la siguiente ecuación a · x · b · c · x = a · b · x en un grupo. ¿Es necesario que el grupo sea
conmutativo?
834. Demostrar que si G es un grupo finito de orden par, el número de elementos distintos del neutro
que coinciden con su inverso es impar.
835. Demostrar que la aplicación f : (R, +) −→ (C, ·) dada por f (x) = eix es un homomorfismo de
grupos.
836. Sean G, H y K tres grupos multiplicativos y f : G −→ H, h : H −→ K, dos homomorfismos.
Demostrar que g ◦ f es un homomorfismo de G en K.
29 MÁS PROBLEMAS DE CONJUNTOS, RELACIONES Y GRUPOS
29.
92
Más problemas de conjuntos, relaciones y grupos
837. Usar un diagrama de Venn para demostrar que para conjuntos cualesquiera A, B ∈ U , los tres
conjuntos A △ B, A′ ∩ B ′ y A ∩ B forman una partición de U .
838. Mediante un diagrama de Venn, demostrar que:
(a) A ∪ (B ∩ A′ )′ = A ∪ B ′ .
839. Demostrar que la diferencia simétrica es distributiva respecto de la intersección de conjuntos.
840. Si el conjunto A contiene n elementos, demostrar que el conjunto de todos los subconjuntos de A
contiene 2n elementos.
′
841. ((A ∩ B)′ ∪ B) = ∅
842. En el conjunto C se define la siguiente relación:
wRz
⇐⇒
w3 |z|3 = z 3 |w|3
(a) Demostrar que es una relación de equivalencia.
(b) Dibujar en el plano de Argand la clase de equivalencia de −i.
843. En R \ {1} se define la siguiente relación:
xDy
⇐⇒
xy = x + y
Demostrar que es una función en R \ {1}.
844. En Z+ se define la siguiente relación:
xRy
⇐⇒
x2 ≡ y 2
(mód 10)
(a) Demostrar que es una relación de equivalencia en Z+ .
(b) Identificar las clases de equivalencia.
845. Sea S = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. En S se define la siguiente relación:
aRb
⇐⇒
a2 ≡ b2
(mód 6)
(a) Demostrar que R es una relación de equivalencia.
(b) Encontrar todas las clases de equivalencia.
846. Considérese el conjunto Z × Z+ . Sea R la relación definida por
(a, b)R(c, d)
⇐⇒
ad = bc
(a) Demostrar que R es una relación de equivalencia.
(b) Determinar cómo se divide Z × Z+ en clases de equivalencia.
847. Considérense las siguientes funciones:
f : R+ −→ R+ donde f (x) = x2 + 3x + 2.
g : R × R −→ R × R donde g(x, y) = (3x + 2y, 2x + y).
h : R+ × R+ −→ R+ × R+ donde h(x, y) = (x + y, xy).
(a) Explicar por qué f no es suprayectiva.
(b) Explicar por qué g tiene inversa y calcular g −1 .
(c) Determinar si h es (i) inyectiva (ii) suprayectiva.
848. Sea S = Z \ {1}. Se define en este conjunto la siguiente relación:
mRn
⇐⇒
mcd(m, n) > 1
29 MÁS PROBLEMAS DE CONJUNTOS, RELACIONES Y GRUPOS
93
(a) Demostrar que R es reflexiva.
(b) Demostrar que R es simétrica.
(c) Demostrar, mediante un contraejemplo, que R no es transitiva.
849. Se define la función f mediante:
f : R −→ R
y
f (x) = 1 + ecos x
(a) Calcular el recorrido de f .
(b) Explicar por qué f no es inyectiva.
(c) Explicar si f es o no suprayectiva.
(d ) Si la función se define en el intervalo [−k, k] −→ A donde k > 0, calcular el valor más grande
de k para el que f es una biyección.
(e) Para el valor de k obtenido en el apartado anterior obtener una expresión de g −1 (x).
(f ) Calcular el dominio de g −1 .
850. La operación ∗ se define en Q+ mediante:
x∗y =
min(x, y)
máx(x, y)
La función f : Q+ × Q+ −→ Q+ está dada por:
f (x, y) = x ∗ y
(a) El recorrido R de f está dado por R = {q ∈ Q | a < q ≤ b}. Determinar los valores de a y b.
(b) La función fK : K −→ R se define por
fK (x, y) = x ∗ y
donde K ⊂ Z+ × Z+ . Para
K = {(x, y) | x < y, mcd(x, y) = 1}
demostrar que fK es una biyección.
851. Se define la operación ∗ entre los conjuntos A y B mediante:
A ∗ B = A′ ∪ B ′
Demostrar algebraicamente que:
(a) A ∗ A = A′
(b) (A ∗ A) ∗ (B ∗ B) = A ∪ B
(c) (A ∗ B) ∗ (A ∗ B) = A ∩ B
852. Demostrar que el conjunto {3n | n ∈ Z} forman un grupo para la suma.
853. Considérense los conjuntos G = {1, 9, 11, 19} y H = {1, 3, 7, 9} bajo la multiplicación módulo 20.
(a) Hacer una tabla de Cayley para cada conjunto.
(b) Calcular el inverso de 9 en cada uno de los dos conjuntos.
(c) Decidir si H y G son isomorfos.
854. Sea F = {1, 2, 3, 4} con la multiplicación módulo 5.
(a) Demostrar que es un grupo y calcular el orden de cada uno de sus elementos.
(b) Razonar que (F, ·) es un grupo cı́clico.
29 MÁS PROBLEMAS DE CONJUNTOS, RELACIONES Y GRUPOS
94
855. En R2 se define la operación:
(a, b) ∗ (x, y) = (a + x − by, b + y)
Demostrar que (R2 , ∗) es un grupo.
856. Demostrar que un grupo cı́clico de 3 elementos o más tiene al menos dos generadores.
857. Sea {p, q, r, s} un conjunto de funciones definidas en R \ {1}, y
p(x) = x
q(x) =
x−2
x−1
r(x) = 2 − x
(a) Suponiendo que {p, q, r, s} es un grupo con la composición de funciones, calcular s.
(b) Demostrar que q 2 = p y que q y r conmutan.
(c) Escribir la tabla del grupo.
858. La relación R se define en C \ {0} mediante:
wRz
⇐⇒
arg(w) = arg(z)
(a) Demostrar que R es una relación de equivalencia y las clases de equivalencia Aφ son:
{
}
Aφ = a(cos φ + i sen φ) | a ∈ R+
(b) En el conjunto de loa números complejos se define la operación:
(
)
arg(w) + arg(z)
arg(w) + arg(z)
w ∗ z = |wz| cos
+ i sen
2
2
Demostrar que Aφ , ∗ es un grupo.
(c) Encontrar la imagen de Aφ bajo la función f : z 7−→
entre los dos grupos.
1
z
y demostrar que f es un isomorfismo
859. En el grupo {G, ∗} se considera el subconjunto
H = {g ∈ G | g ∗ a = a ∗ g, ∀a ∈ G}
Demostrar que H es un subgrupo de G.
860. El grupo G es de orden 8 y tiene elementos {e, p, p2 , p3 , q, qp, qp2 , qp3 }. Se sabe que p2 = q 2 = (qp)2 .
(a) Demostrar que p4 = e.
(b) Demostrar que p = qpq y q = pqp.
(c) Decidir si G es abeliano.
861. Sean a, b y p elementos de un grupo (G, ∗) con elemento unidad e.
(a) Si el elemento a es de orden n y el elemento a−1 es de orden m, demostrar que m = n.
(b) Si b = p−1 ∗ a ∗ p, demostrar por inducción que bm = p−1 ∗ am ∗ p donde m = 1, 2, . . .
862. Consideremos las siguientes tablas de dos grupos isomorfos G y H:
∗
a
b
c
d
a
d
a
b
c
b
a
b
c
d
c
b
c
d
a
d
c
d
a
b
◦
2
4
6
8
2
4
8
2
6
4
8
6
4
2
6
2
4
6
8
8
6
2
8
4
29 MÁS PROBLEMAS DE CONJUNTOS, RELACIONES Y GRUPOS
95
(a) La función f es un isomorfismo de G en H. Dar todos los posibles valores de f (a), f (b), f (c)
y f (d).
(b) Dar una operación posible representada por ◦.
863. El conjunto G es un grupo cı́clico de orden 12 con elemento identidad e y r ∈ G es tal que r4 es de
orden 3.
(a) Escribir los posibles valores del orden de r.
(b) Suponiendo que el orden de r12 es menor que el orden de r6 , escribir en función de r los
elementos de un subgrupo H de G de orden 4.
864. Un elemento g de un grupo G se llama asimétrico si
g∗x=x∗g
=⇒
x = g, x = e o g = e
Demostrar un grupo cuyos elementos son todos asimétricos es de orden menor o igual que 2.
865. Considérese el conjunto {1, 3, 5, 9, 11, 13} con la multiplicación módulo 14
(a) Demostrar que (3 ∗ 9) ∗ 13 = 3 ∗ (9 ∗ 13)
(b) Demostrar que (U, ∗) es un grupo.
(c) (i) Definir grupo cı́clico (ii) demostrar que (U, ∗) es cı́clico y encontrar todos sus generadores.
(d ) Demostrar que hay únicamente dos subgrupos no triviales y encontrarlos.
866. Sea G = {e, a, a2 , a3 , b, b ∗ a, b ∗ a2 , b ∗ a3 } un grupo no abeliano de orden 8 con la operación ∗.
(a) Demostrar que a es de orden 4.
(b) Demostrar que b2 = a2 o b2 = e.
(c) Si b2 = e, demostrar que G es isomorfo a D4 .
(d ) Suponiendo b2 = a2 (i) Demostrar que b ∗ a3 = a ∗ b (ii) Encontrar tres subgrupos de G de
orden 4.
867. Sean
}
{
nπ
nπ
+ i sen
| n ∈ {0, 1, 2, 3}
B = cos
2
2
(a) Demostrar que B forma un grupo para la multiplicación.
A = {2n (mód 15) | n ∈ N},
(b) Escribir la tabla de la multiplicación en el conjunto A.
(c) Escribir el orden de cada elemento de A.
π
(d ) Sea f (x) = ei 2
868. Sea G el conjunto
(
1 2
A=
4 3
(
1 2
C=
3 1
log2 x
. Demostrar que f es un isomorfismo de A en B.
de permutaciones {A, B, C, D}, donde
)
(
)
3 4
1 2 3 4
;
B=
2 1
1 2 3 4
)
(
)
3 4
1 2 3 4
;
D=
4 2
2 4 1 3
(a) Escribir la tabla de Cayley de este conjunto con la operación ∗ (composición de permutaciones)
y mostrar que (G, ∗) forma un grupo.
(b) Identificar un conjunto S ⊂ Z y una operación ◦ de tal manera que (G, ∗) y (S, ◦) sean
isomorfos.
√
869. Demostrar que el conjunto T = {a + b 3 | a, b ∈ Z} forma un grupo con la adición.
870. En el conjunto de los números complejos, se define la relación:
z1 Rz2
⇐⇒
|z1 | = ||z2 |
29 MÁS PROBLEMAS DE CONJUNTOS, RELACIONES Y GRUPOS
96
(a) Demostrar que R es una relación de equivalencia.
(b) Sea Ci la clase de equivalencia que contiene a i. Describir Ci en un diagrama de Argand.
(c) Demostrar que Ci forma un grupo con la multiplicación.
871. Considérese el conjunto G = {1, 3, 5, 9, 11, 13} con la multiplicación módulo 14.
(a) Escribir la tabla de Cayley para G.
(b) Supuesto que G es un grupo, (i) Calcular el orden de cada elemento (ii) Encontrar el inverso
de 9 (iii) Encontrar un subgrupo de orden 3
872. Sea U el conjunto universal y M el conjunto de todos los subconjuntos de U .
(a) Para un A ∈ M escribir A ∩ U y A ∩ ∅.
(b) Comprobar mediante un diagrama de Venn que la operación ∩ es asociativa.
(c) Explicar que {M, ∩} no es un grupo estableciendo cuál de los axiomas de grupo no se cumplen.
873. En R se define la operación x ∗ y = x + y − a donde a es un número real constante.
(a)
(b)
(c)
(d )
Probar que R con la operación ∗ forma un grupo.
Demostrar que el grupo es abeliano.
Demostrar que no hay elementos de orden 2.
Demostrar que R+ no forma grupo con ∗.
874. En R se define la operación ∗ mediante:
x ∗ y = x|y|
(a) Demostrar que ∗ es no conmutativa.
(b) Demostrar que ∗ es asociativa.
(c) Determinar si R forma grupo con ∗.
875. Para cada uno de los siguientes grupos establecer el orden mı́nimo que deben tener:
(a) El grupo A es cı́clico y tiene un subgrupo propio.
(b) El grupo B tiene un subgrupo propio de orden 3.
(c) El grupo C tiene tres subgrupos propios.
876. Un grupo G con elemento unidad e contiene dos elementos a y b distintos de e tales queda
a7 = e ;
a−1 ba = a5 b
(a) Demostrar que b = aba.
(b) Probar que b = an ban para todo n ∈ N.
877. En R \ {0, 1, k} se define la siguiente función:
f :x−
7 →
1
2 − 2x
y la función g(x) = f (f (x)).
(a) Calcular g(x) y g (g(x)).
(b) Determinar para qué valor de k f es biyectiva. sobre R \ {0, 1, k}.
(c) Sea K un grupo de orden 4 formado por funciones sobre R \ {0, 1, k} con la operación de
composición de funciones y f, g ∈ K. Encontrar los otros dos elementos e y h de K y escribir
la tabla del grupo.
878. Sea Rn la relación de congruencia módulo n en Z.
(a) Demostrar que Rn es una relación de equivalencia.
(b) Demostrar que Rn genera una partición de Z en n clases distintas.
(c) Sea Zn el conjunto de las clases de equivalencia encontradas en el apartado anterior. Definir
una operación ∗ en Zn de forma que (Zn , ∗) sea un grupo aditivo.
(d ) Sea (G, ◦) un grupo cı́clico de orden n. Demostrar que (G, ◦) es isomorfo a (Zn , ∗).
30 EXAMEN 2013
30.
97
Examen 2013
1. La operación binaria ∗ se define sobre N del siguiente modo:
a ∗ b = 1 + ab
Determine si ∗:
(a) Es cerrada.
(b) Es conmutativa.
(c) Es asociativa.
(d ) Tiene elemento neutro.
2. Considere el conjunto
S = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}
con la operación binaria de multiplicación módulo 14 denotada por ×14 .
(a) Copie y complete la siguiente tabla de Cayley para esta operación binaria:
×14
1
3
5
7
9
11
13
1
1
3
5
7
9
11
13
3
3
5
5
13
5
11
3
13
9
7
7
9
9
13
3
11
11
5
13
13
13
11
9
(b) Dé una razón que explique por qué {S, ×14 } no es un grupo.
(c) Compruebe que se puede formar un nuevo conjunto G eliminando uno de los elementos de S
de modo que {G, ×14 } sea un grupo.
(d ) Determinar el orden de cada uno de los elementos de {G, ×14 }.
(e) Halle los subgrupos propios de {G, ×14 }.
3. La función f : R −→ R se define del siguiente modo:
{
2x + 1
si x ≤ 2
f (x) =
2
x − 2x + 5 si x > 2
(a) (i) Dibuje aproximadamente la gráfica de f (ii) Haciendo referencia a la gráfica que ha dibujado,
compruebe que f es una aplicación biyectiva.
(b) Halle f −1 (x).
4. La relación R se define sobre {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} de la siguiente manera:
aRb
⇐⇒
a(a + 1) ≡ b(b + 1)
(mód 5)
(a) Compruebe que R es una relación de equivalencia.
(b) Compruebe que la equivalencia que define R se puede escribir de la forma:
aRb
⇐⇒
(a − b)(a + b + 1) ≡ 0 (mód 5)
(c) A partir de lo anterior o de cualquier otro modo determine las clases de equivalencia.
5. H y K son subgrupos de un grupo G. Considerando los cuatro axiomas de grupo, demuestre que
H ∩ K también es un subgrupo de G.
31 EXAMEN 2012
31.
98
Examen 2012
1. (a) Dos de las cinco condiciones que tiene que cumplir un conjunto S con respecto a la operación
binaria ∗ para ser un grupo abeliano son la asociatividad y la conmutatividad. Indique las
otras tres condiciones.
(b) A continuación se muestra la tabla de Cayley para la operación binaria ⊙ definida en el
conjunto T = {p, q, r, s, t}.
⊙
p
q
r
s
t
p
s
t
q
p
r
q
r
s
t
q
p
r
t
p
s
r
q
s
p
q
r
s
t
t
q
r
p
t
s
(i) Compruebe que se cumplen exactamente tres de las condiciones necesarias par que {T, ⊙}
sea un grupo abeliano, pero que ni la asociatividad ni la conmutatividad se cumplen.
(ii) Halle los subgrupos propios de T que son grupos de orden 2, y comente el resultado en el
contexto del teorema de Lagrange.
(iii) Halle las soluciones de la ecuación (p ⊙ x) ⊙ x = x ⊙ p.
2. Los elementos de los conjuntos P y Q se toman del conjunto universal {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
P = {1, 2, 3} y Q = {2, 4, 6, 8, 10}.
(a) Sabiendo que R = (P ∩ Q′ )′ , enumere los elementos de R.
(b) Para un conjunto S, sea S ∗ el conjunto de todos los subconjuntos de S, (i) Halle P ∗ (ii) Halle
n(R∗ )
3. La relación R se define sobre el conjunto N de manera tal que, para a, b ∈ N, aRb si y solo si a3 ≡ b3
(mód 7).
(a) Comprueba que R es una relación de equivalencia.
(b) Halle la clase de equivalencia a la que pertenece el 0.
(c) Denote como Cn la clase de equivalencia a la que pertenece el número n. Enumere los seis
primeros elementos de C1 .
(d ) Demuestre que para todo n ∈ N,
Cn = Cn+7 .
4. (a) La función f : Z −→ Z viene dada por g(n) = |n| − 1 para n ∈ Z. Compruebe que g no es ni
sobreyectiva ni inyectiva.
(b) El conjunto S es finito. Si la función f : S −→ S es inyectiva, compruebe que f es sobreyectiva.
(c) Utilizando el conjunto Z+ como dominio y como recorrido, dé un ejemplo de función inyectiva
que no sea sobreyectiva.
5. El grupo G tiene un único elemento h de orden 2.
(a) (i) Compruebe que para todo g ∈ G, ghg −1 tiene orden 2.
(ii) Deduzca que para todo g ∈ G, gh = hg.
(b) Considere el grupo G para la multiplicación de matrices, que consta de cuatro matrices 2 × 2
y contiene un único elemento de orden 2, siendo
(
)
−1 0
h=
0 1
(i) Compruebe que G es cı́clico.
(ii) Dado el elemento neutro e = I2 , halle un par de matrices que representen a los dos
elementos restantes de G, donde cada elemento es de la forma
(
)
a b
,
a, b, c, d ∈ C
c d
32 EXAMEN 2011
32.
99
Examen 2011
1. Se define la operación binaria ∗ como la multiplicación módulo 14 en el conjunto S = {2, 4, 6, 8, 10, 12}.
(a) Copiar y completar la siguiente tabla:
∗ 2 4
6
8 10 12
2
4 8 2 10 4 12 6
6
8
10 6 12 4 10 2
8
12
(b) (i) Demostrar que {S, ∗} es un grupo.
(ii) Calcular el orden de cada elemento de {S, ∗}.
(iii) A partir del resultado anterior, demostrar que {S, ∗} es cı́clico y encontrar todos sus
generadores.
(c) El conjunto T se define por {x ∗ x | x ∈ S}. Demostrar que {T, ∗} es un subgrupo de
{S, ∗}.
2. El conjunto universal contiene todos los enteros positivos menores que 30. El conjunto A
contiene los números primos menores que 30 y el conjunto B contiene los enteros positivos de
la forma 3 + 5n (n ∈ N) que son menores que 30. Determinar los elementos de
(a) A \ B
(b) A △ B
3. La relación R está definida para a, b ∈ Z+ de tal manera que aRb si y solo si a2 − b2 es divisible
por 5.
(a) Demostrar que R es una relación de equivalencia.
(b) Identificar las tres clases de equivalencia.
4. La función f : R+ × R+ −→ R+ × R+ se define mediante:
(
)
2 x
f (x, y) = xy ,
y
Demostrar que f es una biyección.
5. (a) Suponiendo que p, q y r son elementos de un grupo, demostrar la propiedad de simplificación
pq = pr
=⇒
q=r
La solución debe indicar qué propiedades del grupo se aplican en cada paso de la demostración.
(b) Considere el grupo de orden 4 formado por el elemento neutro e y los elementos a, b y c:
(i) Dar una razón en cada caso por la que ab no puede ser igual a a ni a b.
(ii) Suponiendo que c es autoinverso determinar las dos posibles tablas de Cayley para G.
(iii) Determinar cuál de los dos grupos definidos por las dos tablas de Cayley es isomorfo
al grupo definido por el conjunto {1, −1, i, −i} bajo la multiplicación de números complejos. Su solución debe incluir una correspondencia entre {a, b, c, e} y {1, −1, i, −i}.