Fórmulas, Resultados y Tablas

DEPARTAMENT D’ESTADÍSTICA I
INVESTIGACIÓ OPERATIVA
Fórmulas, Resultados y Tablas
Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática
A. Distribuciones de variables aleatorias.
1.
Descripción de una distribución univariante.
a)
b)
c)
2.
Función de distribución:
F (x) = P (X ≤ x), ∀x ∈ R.
Cumple: Es no decreciente, continua por la derecha, lı́mx→−∞ F (x) = 0 y lı́mx→+∞ F (x) = 1.
Caso discreto: Función de probabilidad.
f (x) = P (X = x) , ∀x ∈ R.
P
Debe cumplir: f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R, y i f (xi ) = 1.
Caso absolutamente continuo:
Función de densidad.
R
f (x) tal que P (X ∈ A) = A f (x)dx para todo A subconjunto de Borel de R.
R +∞
Debe cumplir: f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R, y −∞ f (x)dx = 1.
Descripción de distribuciones bivariantes.
a)
b)
Función de distribución conjunta.
F (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) ∀(x, y) ∈ R2 .
• Marginales: FX (x) = lı́my→∞ F (x, y), y FY (y) = lı́mx→∞ F (x, y).
• Independencia: X e Y son independientes si y sólo si F (x, y) = FX (x)FY (y) ∀(x, y) ∈ R2 .
Caso discreto: Función de probabilidad conjunta.
f (x, y) = P (X = x, Y = y).
P
Debe cumplir: f (x, y) ≥ 0 ∀ (x, y) ∈ R2 , y i,j f (xi , yj ) = 1.
P
P
• Marginales: fX (x) = j f (x, yj ), y fY (y) = i f (xi , y).
• Condicionales:
Para cada y tal que fY (y) > 0, se puede definir fX|Y =y (x) = ff(x,y)
∀x ∈ R.
Y (y)
Para cada x tal que fX (x) > 0, se puede definir fY |X=x (y) =
c)
f (y,x)
fX (x)
∀y ∈ R.
• Independencia: X e Y son independientes si y sólo si f (x, y) = fX (x)fY (y) ∀(x, y) ∈ R2 .
Caso absolutamente continuo:
R Función de densidad conjunta.
f (x, y) tal que P ((X, Y ) ∈ A) = A f (x, y)dxdy.
R +∞ R +∞
Debe cumplir: f (x, y) ≥ 0 ∀(x, y) ∈ R2 , y −∞ −∞ f (x, y)dxdy = 1.
R +∞
R +∞
• Marginales: fX (x) = −∞ f (x, y)dy, y fY (y) = −∞ f (x, y)dx.
• Condicionales:
Para cada y tal que fY (y) > 0, se puede definir fX|Y =y (x) = ff(x,y)
∀x ∈ R.
Y (y)
Para cada x tal que fX (x) > 0, se puede definir fY |X=x (y) =
f (y,x)
fX (x)
∀y ∈ R.
• Independencia: X e Y son independientes si y sólo si f (x, y) = fX (x)fY (y) ∀(x, y) ∈ R2 .
Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O.
3.
2
Distribución de una función de variables aleatorias.
a)
Caso univariante:
Sea X v.a. absolutamente continua con función de densidad fX (·), y sea S su soporte; esto es,
P (X ∈ S) = 1. Sea Y = r(X) y sea T = r(S) = {y ∈ R : ∃x ∈ S con y = r(x)}, siendo r una
función de S en T biyectiva. Sea x = s(y) la función inversa de r(·). Entonces:
¯
¯

¯d
¯

s(y)¯ si y ∈ T
 fX (s(y)) ¯ dy
fY (y) =


0
en otro caso.
b)
Caso multivariante:
Sea X = (X1 , . . . , Xn )0 un vector aleatorio cuya distribución es absolutamente continua y sea
fX (·) su función de densidad de probabilidad. Sea S el soporte de fX (·); esto es, P (X ∈ S) = 1.
Sea Y = r(X) una función biyectiva, con Yi = ri (X), y sea T = r(S). Si x = s(y) representa
la función inversa de r(·), entonces la función de densidad de probabilidad del vector aleatorio
Y viene dada por:

 |J|fX (s(y)) si y ∈ T
fY (y) =

0
en otro caso.
Donde |J| es el valor absoluto del jacobiano de la transformación. Esto es, J es el determinante
∂si
de la matriz cuyo elemento (i, j) es ∂y
.
j
B. Esperanzas y Momentos.
4.
5.
Esperanzas.
a)
Caso discreto:
P
P
Si x |x| f (x) < +∞, entonces E(X) = x x f (x).
P
P
Si x |g(x)| f (x) < +∞, entonces E(g(X)) = x g(x)f (x).
b)
Caso continuo:
R +∞
R +∞
Si −∞ |x| f (x)dx < +∞, entonces E(X) = −∞ x f (x)dx.
R +∞
R +∞
Si −∞ |g(x)| f (x)dx < +∞, entonces E(g(X)) = −∞ g(x)f (x)dx.
c)
Linealidad: E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y ) + c.
d)
Si X e Y son independientes, E(XY ) = E(X)E(Y ).
e)
Si P (a ≤ X ≤ b) = 1 ⇒ a ≤ E(X) ≤ b.
f)
Si P (X ≥ a) = 1 y E(X) = a ⇒ P (X = a) = 1.
g)
Si X ≤ Y ⇒ E(X) ≤ E(Y ).
h)
Desigualdad de Jensen: Si g(x) es convexa (por ejemplo g(x) = x2 ) ⇒ E(g(X)) ≥ g(E(X)).
Momentos.
a)
Momento de orden k : E(X k ), si existe esa esperanza.
b)
Momento de orden k respecto a la media: E((X − E(X))k ), si existe esa esperanza.
c)
Si existe E(X k ) ⇒ existen E(X j ) y E((X − E(X))j ) ∀j = 0, 1, . . . k.
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d)
Función generatriz de momentos: Ψ(t) = E(exp {tX} ), si existe ∀t en un intervalo abierto
de R que contenga el punto t = 0.
Si la función generatriz de momentos existe, entonces:
dk
• E(X k ) = dt
k Ψ(t), calculada en t = 0.
• Si Y = aX + b con a 6= 0 ⇒ ΨY (t) = exp{bt}ΨX (at).
• Si Z = X + Y con X, Y independientes ⇒ ΨZ (t) = ΨX (t)ΨY (t).
• Sean {X1 ,P
X2 , . . . , Xn } variables aleatorias independientes £e idénticamente
distribuidas, y
¤n
n
sea X n = n1 i=1 Xi su media muestral, entonces ΨX n (t) = ΨX ( nt ) .
e)
Función caracterı́stica: Φ(t) = E(exp {itX} ), que siempre existe.
• Φ(0) = 0, |Φ(t)| ≤ 1, y Φ(t) es uniformemente continua.
•
•
•
•
6.
3
Si
Si
Si
Si
k
d
k
k
existe E(X k ), entonces dt
k Φ(0) = i E(X ).
Y = aX + b ⇒ ΦY (t) = exp{ibt}ΦX (at).
Z = X + Y con X, Y independientes ⇒ ΦZ (t) = ΦX (t)ΦY (t).
£
¤n
{X1 , X2 , . . . , Xn } son variables aleatorias i.i.d. ⇒ ΦX n (t) = ΦX ( nt ) .
Varianzas, Covarianzas y Correlaciones.
Si las esperanzas involucradas en las siguientes expresiones existen, entonces:
7.
a)
Varianza: V (X) = E((X − E(X))2 ) = E(X 2 ) − E 2 (X).
b)
Covarianza: Cov(X, Y ) = E((X − E(X))(Y − E(Y ))) = E(XY ) − E(X)E(Y ).
c)
d)
V (aX + b) = a2 V (X).
Pn
Pn
P
V ( i=1 Xi ) = i=1 V (Xi ) + 2 i<j Cov(Xi , Xj ).
e)
X, Y indep. ⇒ Cov(X, Y ) = 0 ⇒ V (X + Y ) = V (X) + V (Y ).
f)
Desigualdad de Cauchy-Schwarz: [E(XY ) ]2 ≤ E(X 2 )E(Y 2 ).
g)
Coeficiente de correlación lineal de Pearson: ρ(X, Y ) = √Cov(X,Y ) .
h)
|ρ(X, Y )| ≤ 1 con igualdad si y sólo si Y = aX + b.
V (X)V (Y )
Esperanza y Varianza Condicional.
La esperanza y varianza condicionales, E(Y |X) y V (Y |X), son funciones de la variable aleatoria X
definidas, para cada valor x, como la esperanza y varianza de la distribución de la variable aleatoria
Y condicionada a X = x. Cumplen las siguientes propiedades:
8.
a)
E(Y ) = E[E(Y |X)].
b)
V (Y ) = E[V (Y |X)] + V [E(Y |X)].
Desigualdad de Chebyschev y Teorema Central del Lı́mite.
E(X)
t
a)
Desigualdad de Markov: P (X ≥ 0) = 1 ⇒ P (X ≥ t) ≤
∀t > 0.
b)
Desigualdad de Chebyschev: V (X) < +∞ ⇒ P (|X − E(X)| ≥ t) ≤
c)
Ley débil de los Grandes Números: Sean X1 , X2 , . . . variables aleatorias i.i.d. cuya esperanza existe, E(Xi ) = µ , y sea X n la media muestral de las n primeras variables aleatorias.
Entonces, la sucesión X 1 , . . . , X n , . . . converge en probabilidad a µ, esto es:
V (X)
t2
∀t > 0.
∀ε > 0, lı́m P (|X n − µ| < ε) = 1.
n→∞
d)
Teorema central del lı́mite de Lindeberg-Levy:
Si X1 , X2 , . . . son variables aleatorias
√
i.i.d. con E(Xi ) = µ y V ar(Xi ) = σ 2 , entonces n(Xσn −µ) converge en distribución a una
variable aleatoria Normal tı́pica. Esto es:
¸ Z x
·√
n(X n − µ)
≤x =
N (t|0, 1)dt.
lı́m P
n→∞
σ
−∞
En consecuencia, si n es suficientemente grande, la distribución de X n puede aproximarse
2
mediante una distribución Normal de media µ y varianza σn .
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4
C. Algunas distribuciones discretas:
9.
10.
Bernoulli Br(p).
a)
Función de probabilidad: f (x|p) = px (1 − p)1−x si x = 0, 1.
b)
Rango del parámetro: 0 ≤ p ≤ 1.
c)
Media y Varianza: E(X) = p;
V ar(X) = p(1 − p).
Binomial Bi(n, p).
a)
b)
Es la distribución del número de éxitos en n pruebas Bernoulli independientes e idénticamente
distribuidas.
µ
¶
n
Función de probabilidad: f (x|n, p) =
px (1 − p)n−x si x = 0, 1, . . . , n.
x
c)
Rango de los parámetros: 0 ≤ p ≤ 1 y n = 1, 2, . . ..
d)
Media y Varianza: E(X) = np;
e)
Función generatriz de momentos: Ψ(t) = (pet + 1 − p)n .
f)
Función caracterı́stica: Φ(t) = (peit + 1 − p)n .
g)
Sean X1 , . . . , Xn variables aleatorias independientes con Xi ∼ Bi(ni , p), entonces:
à n
!
n
X
X
Xi ∼ Bi
ni , p .
V ar(X) = np(1 − p).
i=1
h)
11.
i=1
Distribución Bernoulli: X ∼ Br(p) si y sólo si X ∼ Bi(1, p).
Hipergeométrica Hg(A, B, n).


a)
Función de probabilidad: f (x|A, B, n) =
A
x






B
n−x

A+B 
n
si x = 0, . . . , n.
b)
Rango de los parámetros: A, B y n deben ser enteros mayores que 0.
c)
Media y Varianza: E(X) =
d)
Si Xi , Xj son variables aleatorias Bernoulli representando las extracciones i, j (i 6= j) de una
prueba hipergeométrica, entonces:
nA
A+B ;
V ar(X) =
Cov(Xi , Xj ) = −
e)
nAB(A+B−n)
(A+B)2 (A+B−1) .
AB
.
(A + B)2 (A + B − 1)
Si X1 , X2 son dos variables aleatorias independientes con Xi ∼ Bi(ni , p), entonces:
X1 |(X1 + X2 = k) ∼ Hg(n1 , n2 , k).
f)
12.
´
³ ¯
¯
A
.
Si A + B es grande en comparación con n, entonces Hg(x|A, B, n) ≈ Bi x ¯n, A+B
Geométrica Ge(p).
a)
Es la distribución del número de fracasos antes del primer éxito en una sucesión de pruebas
Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas.
b)
Función de probabilidad: f (x|p) = p(1 − p)x si x = 0, 1, 2, . . .
c)
Rango del parámetro: 0 ≤ p ≤ 1.
d)
Media y Varianza: E(X) =
1−p
p ;
V ar(X) =
1−p
p2 .
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13.
Binomial Negativa Bn(r, p).
a)
b)
Es la distribución del número de fracasos antes del éxito r en una sucesión de pruebas Bernoulli
independientes e idénticamente distribuidas.
µ
¶
r+x−1
Función de probabilidad: f (x|r, p) =
pr (1 − p)x si x = 0, 1, 2, . . .
x
c)
Rango de los parámetros: 0 ≤ p ≤ 1 y r = 1, 2, . . ..
d)
Media y Varianza: E(X) =
e)
f)
g)
r(1−p)
;
p
V ar(X) = r(1−p)
p2 .
h
ir
³
´
p
1
Función generatriz de momentos: Ψ(t) = 1−(1−p)e
para t < log 1−p
.
t
ir
h
p
.
Función caracterı́stica: Φ(t) = 1−(1−p)e
it
Sean X1 , X2 , . . . , Xn v.a. independientes, Xi ∼ Bn(ri , p) i = 1, 2, . . . , n, entonces:
à n
!
n
X
X
Xi ∼ Bn
ri , p .
i=1
h)
14.
5
i=1
Distribución Geométrica: X ∼ Ge(p) si y sólo si X ∼ Bn(1, p).
Poisson P o(λ).
e−λ λx
x!
a)
Función de probabilidad: f (x|λ) =
b)
Rango del parámetro: λ > 0.
c)
Media y Varianza: E(X) = V ar(X) = λ.
d)
Función generatriz de momentos: Ψ(t) = eλ(e
it
t
−1)
.
e)
Función caracterı́stica: Φ(t) = eλ(e
f)
Si X1 , X2 , . . . , Xn son variables aleatorias independientes, Xi ∼ P o(λi ), entonces:
à n
!
n
X
X
λi .
Xi ∼ P o
i=1
−1)
si x = 0, 1, . . .
.
i=1
g)
Si X1 , X2 son variables aleatorias independientes con Xi ∼ P o(λi ) i = 1, 2, entonces:
µ
¶
λ1
X1 |(X1 + X2 = k) ∼ Bi k,
.
λ1 + λ2
h)
Si n tiende a infinito y p tiende a cero, permaneciendo np = λ constante, entonces:
Bi(x|n, p) converge a P o(x|λ).
i)
Si n tiende a infinito y (1 − p) tiende a cero, permaneciendo n(1 − p) = λ constante, entonces
la función de probabilidad Bn(x|r, p) converge a la función de probabilidad P o(x|λ).
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6
D. Algunas distribuciones absolutamente continuas:
15.
16.
Uniforme U n(α, β).
1
β−α
a)
Función de densidad: f (x|α, β) =
b)
Rango de los parámetros: −∞ < α < β < +∞.
c)
Media y Varianza: E(X) =
d)
Si X se distribuye U n(α, β), entonces Y =
α+β
2 ;
si α < x < β.
V ar(X) =
X−α
β−α
√1
σ 2π
2
n
¡
¢2 o
exp − 12 x−µ
∀x ∈ R.
σ
a)
Función de densidad: f (x|µ, σ 2 ) =
b)
c)
d)
e)
f)
Rango de los parámetros: µ ∈ R y σ > 0.
Media y Varianza: E(X) = µ; V ar(X) = σ 2 .
Función generatriz de momentos: Ψ(t) = exp{µt + 12 σ 2 t2 }.
Función caracterı́stica: Φ(t) = exp{iµt − 12 σ 2 t2 }.
Si X1 , X2 , . . . , Xn son variables aleatorias independientes, Xi ∼ N (µi , σi2 ), entonces:
!
Ã
n
n
n
X
X
X
2 2
b+
ai X i ∼ N b +
ai µi ,
ai σi .
i=1
a)
R +∞
Función Gamma de Euler: Γ(α) = 0 xα−1 exp{−x}dx, que existe y es finita ∀α > 0.
√
Algunas de sus propiedade: Γ(1) = Γ(2) = 1; Γ(0,5) = π, y Γ(α + 1) = αΓ(α) ∀α > 0.
b)
Función de densidad: f (x|α, β) =
c)
d)
Rango de los parámetros: α > 0 y β > 0.
Media y Varianza: E(X) = α
V ar(X) =
β,
e)
Función generatriz de momentos: Ψ(t) =
³
´α
β
Función caracterı́stica: Φ(t) = β−it
.
g)
βα
α−1 −βx
e
Γ(α) x
h)
α
β2 .
³
β
β−t
si x > 0.
´α
si t < β.
Si X1 , . . . , Xn son variables aleatorias independientes, Xi ∼ Ga(αi , β), entonces:
à n
!
n
X
X
Xi ∼ Ga
αi , β .
i=1
i=1
Si X ∼ Ga(α, β), entonces: aX ∼ Ga(α, β/a).
Exponencial Ex(λ).
a)
b)
c)
19.
i=1
Gamma Ga(α, β).
f)
18.
se distribuye U n(0, 1).
Normal N (µ, σ 2 ).
i=1
17.
(β−α)2
12 .
X ∼ Ex(λ) si y sólo si X ∼ Ga(1, λ).
Falta de memoria. Si X ∼ Ex(λ), entonces P (X > h + s|X > h) = P r(X > s), ∀h > 0 y
∀s > 0.
Sean X1 , . . . , Xn variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas de manera
que Xi ∼ Ex(λ). Sean Y1 , . . . , Yn los estadı́sticos de orden de la muestra aleatoria anterior.
Entonces Y1 ∼ Ex(nλ) e Yi+1 − Yi ∼ Ex((n − i)λ), para i = 1, . . . , n − 1.
Ji-Cuadrado χ2 (ν).
a)
b)
c)
d)
X ∼ χ2 (ν) si y sólo si X ∼ Ga( ν2 , 12 ).
X ∼ Ga(α, β) si y sólo si Y = 2βX ∼ χ2 (2α).
X ∼ N (0, 1), entonces X 2 ∼ χ2 (1).
Pn
2
2
Sean X1 , . . . , Xn variables aleatorias i.i.d. N (0, 1), entonces
i=1 Xi ∼ χ (n).
Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O.
20.
21.
22.
7
Beta Be(α, β).
Γ(α+β) α−1
(1
Γ(α)Γ(β) x
a)
Función de densidad: f (x|α, β) =
b)
Rango de los parámetros: α > 0 y β > 0.
c)
Media y Varianza: E(X) =
− x)β−1 si 0 < x < 1.
d)
V ar(X) = (α+β)2αβ
(α+β+1)
P∞ ³Qk−1 α+r ´ tk
Función generatriz de momentos: 1 + k=1
r=0 α+β+r
k! .
e)
Si X ∼ Be(α, β), entonces: 1 − X ∼ Be(β, α).
f)
Si X e Y son dos variables aleatorias independientes, con X ∼ Ga(α1 , β) e Y ∼ Ga(α2 , β),
X
entonces X+Y
y (X + Y ) son variables aleatorias independientes con distribuciones Be(α1 , α2 )
y Ga(α1 + α2 , β) respectivamente.
g)
Distribución Uniforme: X ∼ U n(0, 1) si y sólo si X ∼ Be(1, 1).
α
α+β ;
Cauchy Ca(µ, σ).
a)
£ ¡
¢¤
2 −1
Función de densidad: f (x|µ, σ) = π 1 + ( x−µ
∀x ∈ R.
σ )
b)
Rango de los parámetros: µ ∈ R y σ > 0.
c)
Momentos: No existe ningún momento.
d)
Si X1 y X2 son variables aleatorias independientes con distribución N (0, 1) entonces su cociente, X1 /X2 , sigue una distribución Ca(0, 1).
t-Student t(ν).
a)
Función de densidad: f (x|ν) =
b)
Rango del parámetro: ν > 0.
c)
Momentos E(X k ) =
Γ( ν+1
2 )
√
νπΓ( ν2 )
ν−k
Γ( k+1
2 )Γ( 2 ) k/2
√
ν
πΓ( ν2 )
³
1+
x2
ν
´− ν+1
2
∀x ∈ R.
si k es par y menor que ν.
k
E(X ) = 0 si k impar y menor que ν.
E(X k ) no existe si k ≥ ν.
23.
V ar(X) =
ν
ν−2
d)
Media y Varianza: E(x) = 0 si ν > 1,
si ν > 2.
e)
Si Z ∼ N (0, 1) e Y ∼ χ (ν) son independientes, entonces: X = √Z
f)
Distribución Cauchy: X se distribuye Ca(0, 1) si y sólo si X ∼ t(1).
2
Y /ν
∼ t(ν).
F-Snedecor F (m, n).
Γ( m+n
xm/2−1
m/2 n/2
2 )
n (mx+n)
n m
(m+n)/2
Γ( m
)Γ(
)
2
2
a)
Función de densidad: f (x|m, n) =
b)
Rango de los parámetros: m > 0 y n > 0.
c)
Momentos: E(X k ) =
E(X k ) no existe para
Γ( m+2k
)Γ( n−2k
) n k
2
2
(m)
n
Γ( m
2 )Γ( 2 )
n
k ≥ 2.
n
(n−2)
para k <
n
2.
V ar(X) =
2n2 (m+n−2)
m(n−2)2 (n−4)
d)
Media y Varianza: E(X) =
e)
Sean Y ∼ χ2 (m) y Z ∼ χ2 (n) dos variables aleatorias independientes, entonces X =
una distribución F (m, n).
f)
Si X ∼ t(ν) entonces X 2 ∼ F (1, ν).
g)
Si X ∼ F (m, n), entonces Y = 1/X ∼ F (n, m).
h)
Si X ∼ F (m, n), entonces
mX
mX+n
si n > 2,
si x > 0.
∼ Be(m/2, n/2).
si n > 4.
Y /m
Z/n
tiene
Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O.
8
E. Algunas tablas1 estadı́sticas:
24.
Tabla de dı́gitos aleatorios.
53
00
94
20
10
31
51
07
64
34
80
38
62
32
61
21
67
39
47
16
38
02
95
85
84
18
49
47
31
53
82
83
66
48
17
43
43
70
41
76
58
99
89
68
14
61
98
99
20
49
14
24
06
50
47
88
43
97
70
77
58
78
95
46
50
66
71
68
95
67
36
61
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97
1 Estas tablas se han construido con ayuda de las funciones del SPSS8.0, excepto la tabla de dı́gitos aleatorios. Para esa
tabla se ha utilizado el algoritmo de Wichmann y Hill, por lo que en realidad es una tabla de pseudodı́gitos aleatorios.
Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O.
25a. Función de distribución Binomial.
n
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Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O.
25b. Función de distribución Binomial. (Continuación)
n
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20
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24
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19
20
21
22
23
24
Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O.
27.
Función de Distribución de la Normal Tı́pica.
z
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0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
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0.9973
0.9980
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
Algunos cuantiles de la Normal Tı́pica.
α
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
qα
0.126
0.253
0.385
0.524
0.674
α
0.80
0.85
0.90
0.91
0.92
qα
0.842
1.036
1.282
1.341
1.405
α
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
qα
1.476
1.555
1.645
1.751
1.881
α
0.9800
0.9900
0.9950
0.9990
0.9995
qα
2.054
2.326
2.576
3.090
3.291
α
0.999900
0.999950
0.999990
0.999995
0.999999
qα
3.719
3.891
4.265
4.417
4.753
0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
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0.9986
0.9990
0.9993
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0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O.
29.
Cuantiles de la distribución t-Student.
g.l.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
40
45
50
60
70
80
90
100
120
∞
13
.55
0.158
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0.129
0.129
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0.128
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0.128
0.128
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0.127
0.127
0.127
0.127
0.127
0.127
0.127
0.127
0.127
0.127
0.127
0.127
0.127
0.127
0.127
0.127
0.127
0.126
0.126
0.126
0.126
0.126
0.126
0.126
0.126
0.126
0.126
.60
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0.260
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0.259
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0.258
0.258
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0.257
0.257
0.257
0.257
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0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.255
0.254
0.254
0.254
0.254
0.254
0.254
0.253
.65
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0.393
0.392
0.392
0.392
0.391
0.391
0.391
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0.390
0.390
0.390
0.390
0.389
0.389
0.389
0.389
0.389
0.389
0.389
0.389
0.388
0.388
0.388
0.388
0.387
0.387
0.387
0.387
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0.386
0.385
.70
0.727
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0.535
0.534
0.534
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0.533
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0.532
0.532
0.531
0.531
0.531
0.531
0.530
0.530
0.530
0.530
0.530
0.530
0.529
0.529
0.529
0.528
0.528
0.527
0.527
0.526
0.526
0.526
0.526
0.524
Orden de
.75
.80
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0.686 0.858
0.685 0.858
0.685 0.857
0.684 0.856
0.684 0.856
0.684 0.855
0.683 0.855
0.683 0.854
0.683 0.854
0.682 0.853
0.682 0.853
0.682 0.853
0.682 0.852
0.682 0.852
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0.677 0.846
0.677 0.845
0.677 0.845
0.674 0.842
los cuantiles
.85
.90
1.963 3.078
1.386 1.886
1.250 1.638
1.190 1.533
1.156 1.476
1.134 1.440
1.119 1.415
1.108 1.397
1.100 1.383
1.093 1.372
1.088 1.363
1.083 1.356
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1.074 1.341
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1.063 1.323
1.061 1.321
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1.058 1.315
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1.055 1.310
1.054 1.309
1.054 1.309
1.053 1.308
1.052 1.307
1.052 1.306
1.050 1.303
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1.047 1.299
1.045 1.296
1.044 1.294
1.043 1.292
1.042 1.291
1.042 1.290
1.041 1.289
1.036 1.282
.95
6.314
2.920
2.353
2.132
2.015
1.943
1.895
1.860
1.833
1.812
1.796
1.782
1.771
1.761
1.753
1.746
1.740
1.734
1.729
1.725
1.721
1.717
1.714
1.711
1.708
1.706
1.703
1.701
1.699
1.697
1.696
1.694
1.692
1.691
1.690
1.684
1.679
1.676
1.671
1.667
1.664
1.662
1.660
1.658
1.645
.975
12.706
4.303
3.182
2.776
2.571
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
2.201
2.179
2.160
2.145
2.131
2.120
2.110
2.101
2.093
2.086
2.080
2.074
2.069
2.064
2.060
2.056
2.052
2.048
2.045
2.042
2.040
2.037
2.035
2.032
2.030
2.021
2.014
2.009
2.000
1.994
1.990
1.987
1.984
1.980
1.960
.99
31.821
6.965
4.541
3.747
3.365
3.143
2.998
2.896
2.821
2.764
2.718
2.681
2.650
2.624
2.602
2.583
2.567
2.552
2.539
2.528
2.518
2.508
2.500
2.492
2.485
2.479
2.473
2.467
2.462
2.457
2.453
2.449
2.445
2.441
2.438
2.423
2.412
2.403
2.390
2.381
2.374
2.368
2.364
2.358
2.326
.995
63.657
9.925
5.841
4.604
4.032
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
3.106
3.055
3.012
2.977
2.947
2.921
2.898
2.878
2.861
2.845
2.831
2.819
2.807
2.797
2.787
2.779
2.771
2.763
2.756
2.750
2.744
2.738
2.733
2.728
2.724
2.704
2.690
2.678
2.660
2.648
2.639
2.632
2.626
2.617
2.576
Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O.
14
30a. Cuantiles de la distribución Ji Cuadrado2 .
g.l.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
50
60
70
80
90
100
0.005
0.0000
0.0100
0.0717
0.2070
0.4117
0.6757
0.9893
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1.7349
2.1559
2.6032
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3.5650
4.0747
4.6009
5.1422
5.6972
6.2648
6.8440
7.4338
8.0337
8.6427
9.2604
9.8862
10.520
11.160
11.808
12.461
13.121
13.787
14.458
15.134
15.815
16.501
17.192
17.887
18.586
19.289
19.996
20.706
27.991
35.535
43.275
51.172
59.196
67.328
0.01
0.0002
0.0201
0.1148
0.2971
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1.2390
1.6465
2.0879
2.5582
3.0535
3.5706
4.1069
4.6604
5.2293
5.8122
6.4078
7.0149
7.6327
8.2604
8.8972
9.5425
10.196
10.856
11.524
12.198
12.878
13.565
14.257
14.953
15.656
16.362
17.073
17.789
18.509
19.233
19.960
20.691
21.426
22.164
29.707
37.485
45.442
53.540
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70.065
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0.0010
0.0506
0.2158
0.4844
0.8312
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1.6899
2.1797
2.7004
3.2470
3.8157
4.4038
5.0088
5.6287
6.2621
6.9077
7.5642
8.2307
8.9065
9.5908
10.283
10.982
11.689
12.401
13.120
13.844
14.573
15.308
16.047
16.791
17.539
18.291
19.047
19.806
20.569
21.336
22.106
22.878
23.654
24.433
32.357
40.482
48.758
57.153
65.647
74.222
Orden
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0.0039
0.1026
0.3518
0.7107
1.1455
1.6354
2.1673
2.7326
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3.9403
4.5748
5.2260
5.8919
6.5706
7.2609
7.9616
8.6718
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10.117
10.851
11.591
12.338
13.090
13.848
14.611
15.379
16.151
16.928
17.708
18.493
19.281
20.072
20.867
21.664
22.465
23.269
24.075
24.884
25.695
26.509
34.764
43.188
51.739
60.391
69.126
77.929
2 Para
de los cuantiles
0.10
0.20
0.0158 0.0642
0.2107 0.4463
0.5844 1.0052
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1.6103 2.3425
2.2041 3.0701
2.8331 3.8223
3.4895 4.5936
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4.8652 6.1791
5.5778 6.9887
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7.0415 8.6339
7.7895 9.4673
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9.3122 11.152
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10.865 12.857
11.651 13.716
12.443 14.578
13.240 15.445
14.042 16.314
14.848 17.187
15.659 18.062
16.473 18.940
17.292 19.820
18.114 20.703
18.939 21.588
19.768 22.475
20.599 23.364
21.434 24.255
22.271 25.148
23.110 26.042
23.952 26.938
24.797 27.836
25.643 28.735
26.492 29.635
27.343 30.537
28.196 31.441
29.051 32.345
37.689 41.449
46.459 50.641
55.329 59.898
64.278 69.207
73.291 78.558
82.358 87.945
0.25
0.1015
0.5754
1.2125
1.9226
2.6746
3.4546
4.2549
5.0706
5.8988
6.7372
7.5841
8.4384
9.2991
10.165
11.036
11.912
12.792
13.675
14.562
15.452
16.344
17.240
18.137
19.037
19.939
20.843
21.749
22.657
23.567
24.478
25.390
26.304
27.219
28.136
29.054
29.973
30.893
31.815
32.737
33.660
42.942
52.294
61.698
71.145
80.625
90.133
0.30
0.1485
0.7133
1.4237
2.1947
2.9999
3.8276
4.6713
5.5274
6.3933
7.2672
8.1479
9.0343
9.9257
10.821
11.721
12.624
13.531
14.440
15.352
16.266
17.182
18.101
19.021
19.943
20.867
21.792
22.719
23.647
24.577
25.508
26.440
27.373
28.307
29.242
30.178
31.115
32.053
32.992
33.931
34.872
44.313
53.809
63.346
72.915
82.511
92.129
0.40
0.2750
1.0217
1.8692
2.7528
3.6555
4.5702
5.4932
6.4226
7.3570
8.2955
9.2373
10.182
11.129
12.078
13.030
13.983
14.937
15.893
16.850
17.809
18.768
19.729
20.690
21.653
22.616
23.579
24.544
25.509
26.475
27.442
28.409
29.376
30.344
31.313
32.282
33.252
34.222
35.192
36.163
37.134
46.864
56.620
66.396
76.188
85.993
95.808
mayores grados de libertad puede utilizarse el Teorema Central del lı́mite: Si X es Ji-cuadrado con n grados de
√
libertad, n suficientemente grande, entonces Z = X−n
sigue, aproximadamente, una distribución Normal Tı́pica.
2n
Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O.
15
30b. Cuantiles de la distribución Ji Cuadrado3 . (Continuación).
g.l.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
50
60
70
80
90
100
0.50
0.4549
1.3863
2.3660
3.3567
4.3515
5.3481
6.3458
7.3441
8.3428
9.3418
10.341
11.340
12.340
13.339
14.339
15.339
16.338
17.338
18.338
19.337
20.337
21.337
22.337
23.337
24.337
25.337
26.336
27.336
28.336
29.336
30.336
31.336
32.336
33.336
34.336
35.336
36.335
37.335
38.335
39.335
49.335
59.335
69.335
79.334
89.334
99.334
0.60
0.7083
1.8326
2.9462
4.0446
5.1319
6.2108
7.2832
8.3505
9.4136
10.473
11.530
12.584
13.636
14.685
15.733
16.779
17.824
18.868
19.910
20.951
21.992
23.031
24.069
25.106
26.143
27.179
28.214
29.249
30.282
31.316
32.349
33.381
34.413
35.444
36.475
37.505
38.535
39.564
40.593
41.622
51.892
62.135
72.358
82.566
92.761
102.95
0.70
1.0742
2.4079
3.6649
4.8784
6.0644
7.2311
8.3834
9.5245
10.656
11.781
12.899
14.011
15.119
16.222
17.322
18.418
19.511
20.601
21.689
22.774
23.858
24.939
26.018
27.096
28.172
29.246
30.319
31.391
32.461
33.530
34.598
35.665
36.731
37.795
38.859
39.922
40.984
42.045
43.105
44.165
54.723
65.227
75.689
86.120
96.524
106.91
Orden de los cuantiles
0.75
0.80
0.90
0.95
1.3233 1.6424 2.7055 3.8415
2.7726 3.2189 4.6052 5.9915
4.1083 4.6416 6.2514 7.8147
5.3853 5.9886 7.7794 9.4877
6.6257 7.2893 9.2364 11.071
7.8408 8.5581 10.645 12.592
9.0371 9.8032 12.017 14.067
10.219 11.030 13.362 15.507
11.389 12.242 14.684 16.919
12.549 13.442 15.987 18.307
13.701 14.631 17.275 19.675
14.845 15.812 18.549 21.026
15.984 16.985 19.812 22.362
17.117 18.151 21.064 23.685
18.245 19.311 22.307 24.996
19.369 20.465 23.542 26.296
20.489 21.615 24.769 27.587
21.605 22.760 25.989 28.869
22.718 23.900 27.204 30.143
23.828 25.038 28.412 31.410
24.935 26.171 29.615 32.671
26.039 27.302 30.813 33.924
27.141 28.429 32.007 35.173
28.241 29.553 33.196 36.415
29.339 30.675 34.382 37.653
30.435 31.795 35.563 38.885
31.528 32.912 36.741 40.113
32.620 34.027 37.916 41.337
33.711 35.139 39.088 42.557
34.800 36.250 40.256 43.773
35.887 37.359 41.422 44.985
36.973 38.466 42.585 46.194
38.057 39.572 43.745 47.400
39.141 40.676 44.903 48.602
40.223 41.778 46.059 49.802
41.304 42.879 47.212 50.999
42.383 43.978 48.363 52.192
43.462 45.076 49.513 53.383
44.540 46.173 50.660 54.572
45.616 47.269 51.805 55.758
56.334 58.164 63.167 67.505
66.981 68.972 74.397 79.082
77.577 79.715 85.527 90.531
88.130 90.405 96.578 101.88
98.650 101.05 107.57 113.15
109.14 111.67 118.50 124.34
0.975
5.0239
7.3778
9.3484
11.143
12.833
14.449
16.013
17.535
19.023
20.483
21.920
23.337
24.736
26.119
27.488
28.845
30.191
31.526
32.852
34.170
35.479
36.781
38.076
39.364
40.646
41.923
43.194
44.461
45.722
46.979
48.232
49.480
50.725
51.966
53.203
54.437
55.668
56.896
58.120
59.342
71.420
83.298
95.023
106.63
118.14
129.56
0.99
6.6349
9.2103
11.345
13.277
15.086
16.812
18.475
20.090
21.666
23.209
24.725
26.217
27.688
29.141
30.578
32.000
33.409
34.805
36.191
37.566
38.932
40.289
41.638
42.980
44.314
45.642
46.963
48.278
49.588
50.892
52.191
53.486
54.776
56.061
57.342
58.619
59.893
61.162
62.428
63.691
76.154
88.379
100.43
112.33
124.12
135.81
0.995
7.8794
10.597
12.838
14.860
16.750
18.548
20.278
21.955
23.589
25.188
26.757
28.299
29.819
31.319
32.801
34.267
35.718
37.157
38.582
39.997
41.401
42.796
44.181
45.558
46.928
48.290
49.645
50.993
52.336
53.672
55.003
56.328
57.648
58.964
60.275
61.581
62.883
64.181
65.476
66.766
79.490
91.952
104.21
116.32
128.30
140.17
3 Para mayores grados de libertad puede utilizarse el Teorema Central del lı́mite: Si X es Ji-cuadrado con n grados de
√
libertad, n suficientemente grande, entonces Z = X−n
sigue, aproximadamente, una distribución Normal Tı́pica.
2n
Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O.
31.
16
Cuantiles 0.95 de las distribuciones F con k y m grados de libertad.
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
90
120
∞
1
161.4
18.51
10.13
7.709
6.608
5.987
5.591
5.318
5.117
4.965
4.844
4.747
4.667
4.600
4.543
4.494
4.451
4.414
4.381
4.351
4.325
4.301
4.279
4.260
4.242
4.225
4.210
4.196
4.183
4.171
4.085
4.001
3.947
3.920
3.842
2
199.5
19.00
9.552
6.944
5.786
5.143
4.737
4.459
4.256
4.103
3.982
3.885
3.806
3.739
3.682
3.634
3.592
3.555
3.522
3.493
3.467
3.443
3.422
3.403
3.385
3.369
3.354
3.340
3.328
3.316
3.232
3.150
3.098
3.072
2.996
3
215.7
19.16
9.277
6.591
5.410
4.757
4.347
4.066
3.862
3.708
3.587
3.490
3.411
3.344
3.287
3.239
3.197
3.160
3.127
3.098
3.072
3.049
3.028
3.009
2.991
2.975
2.960
2.947
2.934
2.922
2.839
2.758
2.706
2.680
2.605
k,
4
224.6
19.25
9.117
6.388
5.192
4.534
4.120
3.838
3.633
3.478
3.357
3.259
3.179
3.112
3.056
3.007
2.965
2.928
2.895
2.866
2.840
2.817
2.796
2.776
2.759
2.743
2.728
2.714
2.701
2.690
2.606
2.525
2.473
2.447
2.372
grados
5
230.2
19.30
9.014
6.256
5.050
4.387
3.971
3.688
3.482
3.326
3.204
3.106
3.025
2.958
2.901
2.852
2.810
2.773
2.740
2.711
2.685
2.661
2.640
2.621
2.603
2.587
2.572
2.558
2.545
2.534
2.450
2.368
2.316
2.290
2.214
de libertad del numerador
8
12
15
20
238.9 243.9 245.9 248.0
19.37 19.41 19.43 19.45
8.845 8.745 8.703 8.660
6.041 5.912 5.858 5.802
4.818 4.678 4.619 4.558
4.147 4.000 3.938 3.874
3.726 3.575 3.511 3.444
3.438 3.284 3.218 3.150
3.230 3.073 3.006 2.937
3.072 2.913 2.845 2.774
2.948 2.788 2.719 2.646
2.849 2.687 2.617 2.544
2.767 2.604 2.533 2.459
2.699 2.534 2.463 2.388
2.641 2.475 2.403 2.328
2.591 2.425 2.352 2.276
2.548 2.381 2.308 2.230
2.510 2.342 2.269 2.191
2.477 2.308 2.234 2.155
2.447 2.278 2.203 2.124
2.421 2.250 2.176 2.096
2.397 2.226 2.151 2.071
2.375 2.204 2.128 2.048
2.355 2.183 2.108 2.027
2.337 2.165 2.089 2.007
2.320 2.148 2.072 1.990
2.305 2.132 2.056 1.974
2.291 2.118 2.041 1.959
2.278 2.105 2.027 1.945
2.266 2.092 2.015 1.932
2.180 2.003 1.924 1.839
2.097 1.917 1.836 1.748
2.043 1.861 1.779 1.688
2.016 1.834 1.750 1.659
1.938 1.752 1.666 1.571
30
250.1
19.46
8.617
5.746
4.496
3.808
3.376
3.079
2.864
2.700
2.570
2.466
2.380
2.308
2.247
2.194
2.148
2.107
2.071
2.039
2.010
1.984
1.961
1.939
1.919
1.901
1.884
1.869
1.854
1.841
1.744
1.649
1.586
1.554
1.459
60
252.2
19.48
8.572
5.688
4.431
3.740
3.304
3.005
2.787
2.621
2.490
2.384
2.297
2.223
2.160
2.106
2.058
2.017
1.980
1.946
1.916
1.889
1.865
1.842
1.822
1.803
1.785
1.769
1.754
1.740
1.637
1.534
1.465
1.429
1.318
∞
254.3
19.50
8.526
5.628
4.365
3.669
3.230
2.928
2.707
2.538
2.405
2.296
2.206
2.131
2.066
2.010
1.960
1.917
1.878
1.843
1.812
1.783
1.757
1.733
1.711
1.691
1.672
1.654
1.638
1.622
1.509
1.389
1.302
1.254
1.000
Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O.
32.
17
Cuantiles 0.90 de las distribuciones F con k y m grados de libertad.
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
90
120
∞
1
39.86
8.526
5.538
4.545
4.060
3.776
3.589
3.458
3.360
3.285
3.225
3.177
3.136
3.102
3.073
3.048
3.026
3.007
2.990
2.975
2.961
2.949
2.937
2.927
2.918
2.909
2.901
2.894
2.887
2.881
2.835
2.791
2.762
2.748
2.705
2
49.50
9.000
5.462
4.325
3.780
3.463
3.257
3.113
3.007
2.924
2.859
2.807
2.763
2.727
2.695
2.668
2.645
2.624
2.606
2.589
2.575
2.561
2.549
2.538
2.528
2.519
2.511
2.503
2.496
2.489
2.440
2.393
2.363
2.347
2.303
3
53.59
9.162
5.391
4.191
3.619
3.289
3.074
2.924
2.813
2.728
2.660
2.605
2.560
2.522
2.490
2.462
2.437
2.416
2.397
2.380
2.365
2.351
2.339
2.327
2.317
2.307
2.299
2.291
2.283
2.276
2.226
2.177
2.146
2.130
2.084
k,
4
55.83
9.243
5.343
4.107
3.520
3.181
2.961
2.806
2.693
2.605
2.536
2.480
2.434
2.395
2.361
2.333
2.308
2.286
2.266
2.249
2.233
2.219
2.207
2.195
2.184
2.174
2.165
2.157
2.149
2.142
2.091
2.041
2.008
1.992
1.945
grados
5
57.24
9.293
5.309
4.051
3.453
3.108
2.883
2.726
2.611
2.522
2.451
2.394
2.347
2.307
2.273
2.244
2.218
2.196
2.176
2.158
2.142
2.128
2.115
2.103
2.092
2.082
2.073
2.065
2.057
2.049
1.997
1.946
1.912
1.896
1.847
de libertad del numerador
8
12
15
20
59.44 60.71 61.22 61.74
9.367 9.408 9.425 9.441
5.252 5.216 5.200 5.185
3.955 3.895 3.870 3.844
3.339 3.268 3.238 3.207
2.983 2.905 2.871 2.836
2.752 2.668 2.632 2.595
2.589 2.502 2.464 2.425
2.469 2.379 2.340 2.298
2.377 2.284 2.243 2.201
2.304 2.209 2.167 2.123
2.245 2.147 2.105 2.060
2.195 2.097 2.053 2.007
2.154 2.054 2.010 1.962
2.118 2.017 1.972 1.924
2.088 1.985 1.940 1.891
2.061 1.958 1.912 1.862
2.038 1.933 1.887 1.837
2.017 1.912 1.865 1.814
1.998 1.892 1.845 1.794
1.982 1.875 1.827 1.776
1.967 1.859 1.811 1.759
1.953 1.845 1.796 1.744
1.941 1.832 1.783 1.730
1.929 1.820 1.771 1.717
1.919 1.809 1.760 1.706
1.909 1.799 1.749 1.695
1.900 1.789 1.740 1.685
1.892 1.781 1.731 1.676
1.884 1.773 1.722 1.667
1.829 1.715 1.662 1.605
1.775 1.657 1.603 1.543
1.739 1.620 1.564 1.503
1.722 1.601 1.545 1.482
1.670 1.546 1.487 1.421
30
62.26
9.458
5.168
3.817
3.174
2.800
2.556
2.383
2.255
2.155
2.076
2.011
1.958
1.912
1.873
1.839
1.809
1.783
1.759
1.738
1.719
1.702
1.686
1.672
1.659
1.647
1.636
1.625
1.615
1.607
1.541
1.475
1.432
1.409
1.342
60
62.79
9.475
5.151
3.790
3.140
2.762
2.514
2.339
2.208
2.107
2.026
1.960
1.904
1.857
1.817
1.782
1.751
1.723
1.699
1.677
1.657
1.639
1.622
1.607
1.593
1.581
1.569
1.558
1.547
1.538
1.467
1.395
1.346
1.320
1.240
∞
63.33
9.491
5.134
3.761
3.105
2.722
2.471
2.293
2.159
2.055
1.972
1.904
1.846
1.797
1.755
1.718
1.686
1.657
1.631
1.607
1.586
1.567
1.549
1.533
1.518
1.504
1.491
1.478
1.467
1.456
1.377
1.291
1.228
1.193
1.000