FÍSICA GENERAL II GUÍA 5 - Conducción eléctrica y circuitos

Departamento de Fı́sica, UTFSM
Fı́sica General II / Prof: A. Brunel.
FÍSICA GENERAL II
GUÍA 5 - Conducción eléctrica y circuitos.
Objetivos de aprendizaje
Esta guı́a es una herramienta que usted debe usar para lograr los siguientes objetivos:
Conocer y analizar la corriente eléctrica y los fenómenos asociados al transporte de carga en
conductores.
Conocer el funcionamiento de distintos elementos eléctricos dentro de un circuito.
Resolver circuitos eléctricos.
Analizar los fenómenos asociados al ciclo de carga y descarga de un condensador.
I. Preguntas Conceptuales
Responda usando argumentos técnicos las siguientes preguntas. Apóyese en gráficos y ecuaciones
según corresponda. Sea preciso y claro en sus respuestas.
a) Las baterı́as siempre se rotulan con su fem; por ejemplo una baterı́a AA se rotula como de
“1,5 Volt”. ¿Serı́a apropiado también incluir un rótulo en las baterı́as que indique cuánta
corriente suministran? ¿porqué?
b) ¿Por qué las ampolletas se queman cuando uno las enciende, pero casi nunca cuando permanecen encendidas?
c) ¿En qué ampolleta de 220[V] tiene más resistencia el filamento: en una de 60[W] o en una de
100[W]? Si ambas ampolletas se conectan en serie a una lı́nea de de 220[V], ¿a través de cual
ampolleta habrá mayor caı́da de voltaje? ¿y si se conectan en paralelo?
d ) En un circuito RC, ¿de qué depende la carga máxima que puede acumular el condensador?
e) Describa el funcionamiento del circuito RC, ¿cómo funciona el circuito justo después de
conectar la baterı́a?, ¿luego de mucho tiempo?, ¿para un tiempo cualquiera?, ¿qué magnitudes
se pueden considerar como un tiempo infinito?
1
Departamento de Fı́sica, UTFSM
Fı́sica General II / Prof: A. Brunel.
II. Problemas
(1) Un cable, de material Óhmico conductor,
tiene resistencia R = 5[Ω], y está conectado a una fem ε = 100[V ].
a) La potencia PR ≡ dQR /dt de disipación de la energı́a por este cable es:
b) El cable de la pregunta anterior ahora
se funde y se hace de él un cable cuatro
veces más largo (nota: el cable se pone más delgado). Se conecta el nuevo
cable a la fuente de fem aludida. Entonces, la potencia de disipación de la
energı́a por este cable es:
(2) La figura muestra un circuito de tres resistencias y dos baterı́as.
R1=3Ω
(4) La intensidad de corriente que atraviesa un hilo conductor está dada por:
i(t) = 5 · cos(πt) [A], con t medido en segundos. Determine cuál es la carga neta
que atraviesa el hilo conductor en un intervalo de 10[s].
(5) Un cilindro homogéneo de material de resistividad ρ, área transversal A y largo L,
se conecta a una baterı́a, como muestra la
figura. Sabemos que como consecuencia de
la conexión, el cilindro disipa calor con una
potencia constante de dQ
dt = 0, 2[W ] ¿Cuál
es el valor de la f em de la baterı́a?
L
A
R2=4Ω
FIG.1
I1
I3
R3=10Ω
I2
+
--
ε
ε1 =11V
ε 2 =40 V
Datos: ε1 = 11[V ]; ε2 = 40[V ]; R1 = 3[Ω];
R2 = 4[Ω]; R3 = 10[Ω]
Determine:
a) La corriente I3 a través de R3 .
(△t)
b) El trabajo Wε1 de la baterı́a ε1 en un
intervalo de tiempo △t = 10 [s], y el
(△t)
calor QR2 disipado por la resistencia
R2 en el mismo intervalo de tiempo.
(3) Un resistor con forma de paralelepı́pedo
recto (lados a, a y 4a), se puede conectar a una baterı́a formando un circuito como muestra la figura, el resistor se conecta
a través de dos placas conductoras en dos
orientaciones distintas (figura a y b).
Figura a
+
--
ε
Figura b
+
Datos: ρ = 4 · 10−7 [Ωm], A = 1[cm2 ] y
L = 2[cm]
(6) La figura muestra un sistema de circuitos,
con cuatro ampolletas (es decir, resistencias) iguales, y dos baterı́as iguales. Ordene
cada ampolleta, según se produce de mayor
a menor “brillo”(brillo ⇔ (proporcional a
la) potencia)
FIG.2
A
+
ε
+
C
−
B
S
--
+
2
ε
(7) La figura muestra dos ampolletas iguales y
una baterı́a, todos en un circuito. Se conecta el cable (se cierra el interruptor S) como
mostrado en la Figura; el cable tiene resistencia cero. ¿Cómo cambia el brillo de las
ampolletas? (Recuerde: brillo ⇔ potencia.)
ε
Entonces, la relación entre las corrientes
que circulan por la resistencia en ambos
circuitos (ia /ib ), es:
−
D
ε
A
−
B
(t=0)
FIG.3
Departamento de Fı́sica, UTFSM
Fı́sica General II / Prof: A. Brunel.
(8) La figura muestra un sistema de circuitos.
¿Cual es el valor de las diferencias de potencial eléctrico |△VCj | en los capacitores
(condensadores) luego de que ha transcurrido mucho tiempo desde que se cerró el
interruptor S?
S
(t=0)
FIG.4
C1 =C
R
C2 =C3 =C/2
C2
ε
a) La corriente Ibat. (t1 ) a través de la
baterı́a en el instante t1 = 2[ms] =
2·10−3 [s] es aproximadamente (en unidades de A)
b) La corriente Ibat. (t2 ) a través de la baterı́a en el instante t2 = t0 − 0 (justo
antes de cerrar el S2 ) es aproximadamente (en unidades de A)
[0,t ]
c) El trabajo Wε 0 de la baterı́a en el
intervalo [0, t0 ], en unidades de J, es
aproximadamente
[Sugerencia: ¿Qué es Ibat. (t) como función de tiempo para 0 < t < t0 ? No
olvidar: qc (0) = 0, 18[C].]
d) La corriente Ibat. (t2 ) a través de la baterı́a en el instante t2 = t0 + 0 (justo
después de cerrar el S2 ) es aproximadamente (en unidades de A)
[Sugerencia: calcule primero △VC en
t2 = t0 +0.]
e. La corriente Ibat. (t3 ) a través de la baterı́a en el instante t3 = 2t0 es aproximadamente (en unidades de A)
C3
C1
(9) En el circuito de la figura, el interruptor
se cierra en el instante t = 0[s], cuando el
condensador se encuentra descargado.
Los valores de los elementos son: ε = 20[V ],
R1 = R4 = 2[Ω], R2 = R3 = 3[Ω] y
C = 5[µF ].
S
R2
R1
ε
+
C
-_-
R3
(11) La figura muestra un circuito compuesto
por tres resistencias y tres baterı́as.
R4
a) Luego de un tiempo largo, la potencia
entregada por la baterı́a es:
ε = 1 [V]
ε = 2 [V]
+
-_-
R =1 [Ω
Ω]
b) Luego de largo tiempo, la carga del
condensador es:
-_+
-_+
R =2 [Ω
Ω]
ε = 2 [V]
R =1 [Ω
Ω]
a) ¿Cuál es la corriente que circula por la
(10) En los circuitos mostrados en la figura, en
baterı́a ε3 ?
los instantes t < 0 los interruptores S1 y S2
b) ¿Cuál es la potencia disipada en las
están abiertos y el capacitor cargado con
tres resistencias?
qc (t) = 0, 18[C]. En el instante t = 0 se cierra S1 , pero S2 queda abierto. En el instan- (12) En el circuito de la figura, inicialmente el
te t0 = 0, 5[s] se cierra S2 , ası́ que para los
interruptor está abierto, y los condensadoinstantes t > t0 ambos interruptores están
res se encuentran descargados.
cerrados.
Datos: ε = 60[V ]; Rc = 4[Ω]; C = 5[mF ];
Ω
R = 6[Ω]; R′ = 2[Ω];
S
qc (0) = 0, 18[C]; t0 = 0, 5[s]
Ic
S1
ε =60V
R c=4Ω
(t=0)
IR
S2
(t=t 0)
C=5mF
R =2Ω
ε = 10[V]
t 0 =0,5s
q c(0) =0,18 C
FIG.5
qc
R =6Ω
3
+
-_-
Ω
µ
µ
Departamento de Fı́sica, UTFSM
Fı́sica General II / Prof: A. Brunel.
a) Se cierra el interruptor S1 . ¿cuál es la
carga acumulada en el condensador C1
en el instante t0 = 8 · ln2 · 10−3 [s]?
b) ¿cuál es la corriente que circula a
través de la baterı́a en el instante t0
mencionado en la pregunta anterior?
c) ¿cuál es la energı́a almacenada,
Uc1 (q0 ) + Uc2 (q0 ), en ambos condensadores en el instante t0 mencionado en
la pregunta anterior?
d) ¿cuál es la energı́a disipada en ambas
resistencias durante el perı́odo de tiempo entre t = 0 y t0 = 8 · ln2 · 10−3 [s]?
(13) Respuestas a ejercicios propuestos:
(1) a) P = 2000[W ] b) P = 125[W ]
(2) a) I3 = 2[A] b) Wε1 = −330[J] y
QR2 = 1000[J]
4
(3)
ia
ib
(4)
(5)
(6)
(7)
Qneta = 0
ε = 4 · 10−3 [V ]
B>C=D>A
B se apaga y A brilla con una potencial igual a 4 veces la inicial.
|∆VC1 | = |∆VC2 | = |∆VC3 | = 2ε
a) 160[W ] b) 20[µC]
a) ibat (t1 ) = 4[A] b) ibat (t2 − 0) =
0[A] c) Wε = 7, 2[J] d) ibat (t2 +
0) = 5, 5[A] e) ibat (t3 ) = 7, 5[A]
a) i3 = 1, 2[A]
b) Presistencias =
5, 4[W ]
a) q1 = 15[µC] b) ibat = 2, 5[mA]
c) Uq1 + Uq2 = 112, 5[µJ] d) Edis =
187, 5[µJ]
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
= 16
Departamento de Fı́sica, UTFSM
Fı́sica General II / Prof: A. Brunel.
III. Problemas resueltos.
(1) Un cable cilı́ndrico de cobre primero tiene una resistencia R = 5[Ω]. Después se funde el cable
(manteniendo sus propiedades) y se hace de él un nuevo cable cilı́ndrico más delgado, con el
radio igual a la mitad del radio anterior. Durante el proceso, no se pierde material. El nuevo
cable tiene una resistencia en [Ω] igual a:
Respuesta
La fundir el cilindro se mantiene las propiedades (ρ) y el volumen, luego.
Inicial:
L1
Radio r1 , largo L1 , resistencia R1 = ρ πr
2
1
Final:
L2
Radio r2 , largo L2 , resistencia R2 = ρ πr
2
2
Donde:
r2 = r1 /2 ∧ V ol1 = V ol2 ⇒ L1 · pir12 = L2 · pir22 ⇒ L2 = 4L1
Luego la resistencia es:
R2 = ρ
L2
4L1
=ρ
16R1
2
πr2
π(r1 /2)2
R2 = 80[Ω]
(2) Los protones que emergen desde un acelerador de partı́culas conforman un haz con simetrı́a
cilı́ndrica de radio R = 1[mm]. La corriente asociada a este flujo de carga es de 3[mA]. La
~
densidad de corriente del haz tiene dependencia radial y está dada por J(r)
= Jo (1 − Rr )ẑ.
donde el eje del cilindro está en la dirección del eje z. Entonces, la densidad de referencia J0
es aproximadamente igual a:
Respuesta
i =
Z
i =
Z
i =
i =
3 · 103 [A] =
Jo
≈
5
− −
→
→
J · dA
R
r
)2πrdr
R
0
R2
R3
Jo 2π[
−
]
2
3R
R2
Jo π
6
(10−3 [m])2
Jo 2π
6
A
3 · 103
m2
Jo(1 −
Departamento de Fı́sica, UTFSM
Fı́sica General II / Prof: A. Brunel.
(3) La figura muestra un circuito con dos baterı́as y tres resistencias, los valores de cada una se
disponen en la figura.
(a) Plantee las ecuaciones de Kirchhoff necesarias para resolver el circuito y calcule los valores
de las corrientes I1 , I2 e I3 (use la convención de signos para las corrientes, dada por las
fechas de la figura.)
Respuesta
Planteando la ley de nodo:
I1 + I2
=
I3
(1)
planteando la ley de malla (observación: sólo es necesario plantear dos (L.I) de estas tres
ecuaciones).
ε1 − R1 I1 − R3 I3
ε2 − R2 I2 − R3 I3
= 0
= 0
(2)
(3)
ε1 − R1 I1 + R2 I2 − ε2
= 0
(4)
Usando la ecuación (1) y dos de las ecuaciones (2), (3) ó (4), despejamos el valor de las
corrientes:
I1
=
−2[A]
(5)
I2
I3
=
=
4[A]
2[A]
(6)
(7)
(b) Determine el trabajo realizado por cada baterı́a en un intervalo de tiempo de 10[s], sea
riguroso en el signo de cada trabajo e interprete sus resultados.
Respuesta
R
El trabajo realizado por la baterı́a j es: Wj = εj Ij dt como la corriente es constante en el
tiempo: Wj = εj Ij ∆t, luego:
Wε1
Wε2
=
=
−80[J]
800[J]
(8)
(9)
Como la corriente I1 circula en el sentido contrario a la baterı́a ε1 esa baterı́a en vez de
entregar energı́a al sistema, está realizando un trabajo negativo impidiendo la circulación de
carga. La baterı́a ε2 entrega energı́a la sistema.
6
Departamento de Fı́sica, UTFSM
Fı́sica General II / Prof: A. Brunel.
(4) En el circuito de la F igura, se abre el interruptor en el instante t = 0[s], cuando el condensador
se encuentra completamente cargado.
a) Para el instante t = 0[s] ¿Cuál es la potencia entregada por la baterı́a?
Respuesta
2
2
Pbat = ε · ibat = Rεeq = 93 = 27[W ]
b) Justo antes de t = 0[s] la carga en el condensador es:
Respuesta
Cuando el circuito está cerrado y el condensador cargado, circula corriente por ambas ramas
del circuito, excepto por la lı́nea donde está el condensador, QC = CVC , usando un circuito
equivalente ibat = 3[A], luego por cada rama i1 = i2 = 1, 5[A]. Haciendo una ley de malla
que incluye al condensador, tenemos que:
VC + i1 R1 − i2 R2 = 0 ⇒ VC = 3[V ]
QC = 3 · 10−6 · 3 = 9 · 10−6 [C]
c) Justo después de t = 0[s] la corriente que circula por la resistencia, R2 es:
Respuesta
Se abre el interruptor y ya no circula corriente por la baterı́a, pero si por el resto del circuito
hasta que el condensador se descargue, luego:
VC + iR1 − iR2 = 0 ⇒ i =
7
VC
= 0, 5[A]
R1 + R2