II Parcial - Web del Profesor

2do. Examen Parcial — Sem. B-01
Mecánica Cuántica
Un CCOC para el oscilador armónico isótropo 2-dimensional.
Sean ax y ay los operadores de aniquilación de un oscilador armónico isótropo 2-dimensional con
Hamiltoniano H:
H = h̄ω(a†x ax + a†y ay + 1),
(1)
[ax , a†x ] = 1,
[ay , a†y ] = 1
[ax , ay ] = [ax , a†y ] = [a†x , ay ] = [a†x , a†y ] = 0.
(2)
(3)
1. Pruebe
[a†x ax , (a†x )p ] = p(a†x )p ,
(4)
[a†y ay , (a†y )q ] = q(a†x )q ,
(5)
con p y q enteros positivos.
2. Definiendo los operadores
J1 ≡
J2 ≡
J3 ≡
T
≡
1 †
(a ay + a†y ax ),
2 x
i †
(a ax − a†x ay ),
2 y
1 †
(a ax − a†y ay ),
2 x
1 †
(a ax + a†y ay ),
2 x
(6)
(7)
(8)
(9)
demuestre
(a) [Ji , Jj ] = iεijk Jk ,
(b) J~2 = T (T + 1),
(c) [J~2 , T ] = 0,
(d) [J~2 , J3 ] = 0.
De (2a) se sigue que podemos utilizar todos los resultados de la teorı́a general del momentum
angular. En particular, denotando por j(j + 1) y m los autovalores de J~2 y J3 respectivamente,
tenemos que
1
3
j = 0, , 1, , 2, ..., ∞;
m = −j, −j + 1, ..., j.
(10)
2
2
3. Demuestre que los vectores
s
|nx = j + m, ny = j − m >=
1
(j + m)!
s
1
(a† )j+m (a†y )j−m |nx = 0, ny = 0 >,
(j − m)! x
(11)
donde |nx = 0, ny = 0 > es el estado base del oscilador, son autovectores de J~2 y J3 con
autovalores j(j + 1) y m respectivamente.
4. El espectro de energı́as del oscilador armónico isótropo 2-dimensional es degenerado: el grado
de degeneración del autovalor En = h̄ω(n + 1) del Hamiltoniano (1) es gn = n + 1 donde
n = nx + ny . Se desprende de lo anterior que H por si solo no constituye un CCOC. ¿Constituye
el conjunto {H, J~2 } un CCOC?. ¿Constituye el conjunto {H, J~2 , J3 } un CCOC?. Dé argumentos
que soporten su respuesta.
2do. Examen Parcial — Sem. A-02
Mecánica Cuántica
Una partı́cula cargada en un campo magnético constante.
Considérese una partı́cula de masa µ y carga q, sin espı́n, que se encuentra bajo la acción
~ =∇
~ × A.
~ El operador Hamiltoniano del sistema viene dado
de un campo magnético externo B
por
2
1 ~
~ .
P − qA
(1)
2µ
~ es uniforme y define al eje Z, entonces B
~ = B0 k̂
Considere el caso especial en el que el campo B
1~
~
y A = − 2 R × B0 k̂.
H=
1. Muestre que H puede ser factorizado como H = H|| + H⊥ , donde
1 2
P
2µ z
(2)
1
1
1
Px2 + Py2 ωc Lz + µωc2 X 2 + Y 2 ,
2µ
2
8
(3)
H|| ≡
H⊥ ≡
con ωc ≡ − µq B0 y donde Lz es la componente a lo largo del eje Z del operador momentum
~ ≡R
~ × P~ .
angular orbital L
2. Introduciendo los operadores
1
i
1
i
ax ≡ √ βX +
Px ,
ay ≡ √ βY +
Py ,
βh̄
βh̄
2
2
p c
donde β ≡ µω
, que es claro satisfacen el álgebra
2h̄
[ax .a†x ] = [ay .a†y ] = 1,
[ax , ay ] = [ax , a†y ] = [a†x , a†y ] = [a†x , ay ] = 0,
(4)
(5)
Muestre que
(a) Lz = ih̄ ax a†y − a†x ay
(b) H⊥ = 12 ωc Lz + a†x ax + a†y ay + 1 h̄ωc
3. Considere a continuación los operadores
1
ar ≡ √ (ax − iay ) ,
2
Muestre que
(a) [ar , a†r ] = [al , a†l ] = 1
(b) [ar , al ] = [ar , a†l ] = [a†r , a†l ] = [a†r , al ] = 0
1
1
al ≡ √ (ax + iay ) ,
2
(6)
4. Sean Nr y Nl los operadores hermı́ticos definidos por Nr ≡ a†r ar y Nl ≡ a†l al , muestre que
(a) Lz = h̄ (Nr − Nl )
(b) H⊥ = Nr + 12 h̄ωc
5. Usando el hecho de que H⊥ y Lz conmutan con Nr y Nl y denotando por |nr , nl i los
autovectores de Nr y Nl con autovalores nr = 0, 1, · · · y nl = 0, 1, · · · , respectivamente,
encuentre el espectro de autovalores de H⊥ y de Lz .
6. ¿Qué puede decir sobre la degeneración de los autovalores de H⊥ ? ¿Forman H⊥ y Lz un
C.C.O.C?
7. Sea
|αr , αl i ≡
∞
∞ X
X
cnr (αr )cnl (αl )|nr , nl i
(7)
nr =0 nl =0
donde
1
αn
2
cn (α) ≡ √ e− 2 |α| .
n!
(a) Muestre que hαr , αl |αr , αl i = 1
(b) Suponga que a t = 0 el estado de la partı́cula es |ψ⊥ (0)i = |αr = 0, αl i
i. Encuentre el estado |ψ⊥ (t)i al tiempo t.
ii. Muestre que al tiempo t se tiene hHi(t) = 12 h̄ωc y ∆H = 0.
2
(8)
2do. Examen Parcial — Sem. B-03
Mecánica Cuántica
Considere los observables definidos por
+
H ≡ h̄ω(a+
x ax + ay ay + 1),
+
L ≡ ih̄(ax a+
y − ax ay ),
(1)
(2)
+
donde los operadores ax , ay , a+
x y ay satisfacen
+
[ax , a+
x ] = [ay , ay ] = 1,
+ +
+
[ax , ay ] = [a+
x , ay ] = [ax , ay ] = [ax , ay ] = 0.
(3)
1. Demuestre que [H, L] = 0.
2. Introduzcamos a continuación los operadores
1
ar ≡ √ (ax − iay ),
2
1
al ≡ √ (ax + iay ).
2
(4)
(a) Verifique que se satisfacen las relaciones de conmutación
+
[ar , a+
l ] = [al , al ] = 1,
+
+ +
[ar , al ] = [a+
r , al ] = [ar , al ] = [ar , al ] = 0.
(5)
(b) Demuestre que los observables H y L definidos arriba pueden ser reescritos como
H = h̄ω(Nr + Nl + 1),
L = h̄(Nr − Nl ),
(6)
donde
N r ≡ a+
r ar ,
N l ≡ a+
l al .
(7)
(c) Demuestre que
+
i. [Nr , a+
r ] = ar , [Nr , ar ] = −ar ;
+
ii. [Nl , a+
l ] = al , [Nl , ar l] = −al ;
iii. [Nr , Nl ] = 0.
(d) Denotando por |nr , nl i los autovectores de Nr y Nl , de forma tal que
Nr |nr , nl i = nr |nr , nl i,
Nl |nr , nl i = nl |nr , nl i,
(8)
i. demuestre que nr ≥ 0 y nl ≥ 0. Para ello use el hecho de que k ar |nr , nl i k2 ≥ 0
y k al |nr , nl i k2 ≥ 0.
ii. demuestre, usando las relaciones de conmutación 2c, que
A. a+
r |nr , nl i y ar |nr , nl i son autovectores de Nr con autovalores nr + 1 y nr − 1,
respectivamente.
B. a+
l |nr , nl i y al |nr , nl i son autovectores de Nl con autovalores nl + 1 y nl − 1,
respectivamente.
(e) Demuestre que
(a+ )nr (a+
)nl
√l
|nr , nl i ≡ √r
|0, 0i.
nr !
nl !
Para ello utilice los resultados obtenidos en 2(d)ii.
1
(9)