olimpiada estatel de matemáticas 2012

OLIMPIADA ESTATEL DE MATEMÁTICAS 2012
QUINTA ETAPA
PRIMERA LISTA DE PROBLEMAS
1. Las medidas de los lados de un triangulo rectángulo son 60 cm, 80 cm y 100 cm.
Determina la medida del segmento que parte del ángulo recto y divide al triángulo en
dos triángulos con el mismo perímetro.
2. Una escuela tiene menos de 400 estudiantes en sexto grado divididos en diferentes
salones. Seis de estos salones tienen el mismo número de alumnos, y juntos, tienen más
de 150 alumnos. En los salones restantes hay 15% más de estudiantes que en estos seis
salones juntos. Encuentra el número de estudiantes de sexto grado en la escuela.
3. ¿Cuántos enteros n entre 1 y 100 satisfacen que n2 +4 y n+4 tienen divisor común
mayor que 1?
4. Encuentra todas las parejas (x, y) de números reales que satisfacen
5. Si a, b, c son números tales que
y
, encuentra el valor de
6. Un club tiene tres disciplinas: atletismo, natación y ciclismo. Cada mes, los socios
pagan $490 por una disciplina, y si practican dos pagan $400 por cada una. La
recaudación en un mes fue de $11,980 en atletismo, $12,690 en natación y $15,720 en
ciclismo. Si hay 78 miembros y ninguno práctica las tres disciplinas, ¿Cuántos hay en
cada disciplina?
7. Sea ABC un triangulo rectángulo inscrito en una circunferencia de centro O y diámetro
BC. Las perpendiculares al diámetro de la circunferencia, trazadas desde O y A,
intersecan a la circunferencia en los puntos D y P respectivamente (del mismo lado de
CB). Si el ángulo DCP es igual a 15°, calcula la medida del ángulo ABC.
8. Sea ABD un triangulo y sea C ta que DC || AB. Sea E la intersección de AD con BC y F
la intersección de BD y la paralela a DC que pasa por E. Demostrar que
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9. Encuentre todas las tripletas de enteros positivos a<b<c para los cuales se cumple que
10. En un torneo de basquetbol compiten 16 equipos. En cada ronda los equipos se dividen
en grupos de 4. En cada grupo cada equipo juega una vez contra cada uno de los
equipos restantes. De cada grupo los dos mejores equipos califican para la siguiente
ronda y los dos peores son eliminados. Después de la última ronda quedan dos equipos
que se enfrentan en un partido para determinar al ganador del torneo ¿Cuantos partidos
se jugaran a lo largo de todo el torneo?
11. Pruebe que entre cualesquiera seis personas hay tres tales que se conocen todas entre si
o tres tales que ninguna conoce a alguna de las otras dos.
12. Sea n un entero positivo. Si
y
¿Por qué a y b no pueden ser primos relativos?
13. Hallar el menor número natural que es suma de 9 naturales consecutivos, es suma de 10
naturales consecutivos y además es suma de 11 naturales consecutivos.
14. Encuentra todos los enteros n tales que
es un cuadrado perfecto.
15. Demuestra que el producto de 4 enteros positivos consecutivos no puede ser igual al producto
de 2 enteros positivos consecutivos.
16. Sea s un entero mayor que 6. A un cubo sólido de lado s se le hace un agujero de lado x<6 ,
sobre una de las caras, de tal manera que el agujero remueve un paralelepípedo. El volumen
del solido obtenido es numéricamente igual al área de la superficie de dicho solido. Determine
todos los valores enteros posibles para x.
17. Sea
la función que devuelve el número de divisores positivos del entero n. Formamos la
secuencia
n,
de tal manera que cada término a partir del segundo es el número de divisores del anterior.
Por ejemplo,
100, 9, 3, 2, 2, …
Determina cómo debe ser n para que ningún término de la secuencia sea un cuadrado
perfecto
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18. Demuestra que
no puede ser representado como la suma de un cubo perfecto y una
potencia de 4 perfecta
19. Encuentra todos los enteros positivos que satisfacen la ecuación
20. Determinar todos los números N de tres dígitos que tienen las siguientes propiedades: N
es divisible por 11, y N/11 es igual a la suma de los dígitos de N.
21. Demostrar que la fracción
es irreducible para toda n natural.
22. Se escoge punto arbitrario M sobre segmento un segmento AB. Los cuadrados AMCD y
MBEF se construyen en el mismo lado de AB con los segmentos AM y MB en sus
respectivas bases. Los círculos circunscritos de estos cuadrados, con centros P y Q, se
interceptan en M y en algún otro punto N. Sea N'' el punto de intersección de las rectas
AF y BC. a) Demostrar que N y N'' coinciden, b) Demostrar que todas las líneas MN
pasan por un punto fijo S independiente de la posición de M, c) Encuentre el lugar
geométrico que genera el punto medio de PQ cuando M se mueve de A a B.
23. Sean a, b y c los lados de un triángulo y sea T su área. Demostrar que:
24. Considere un triángulo isósceles. Sea r el radio del círculo circunscrito y p el radio del
círculo inscrito. Probar que la distancia d entre los centros es igual a
25. a) Encontrar todos los enteros positivos n para los que
Probar que no hay ninguna n entera y positiva para la cual
es divisible por 7. b)
es divisible por 7.