Números complejos y ceros complejos

Números complejos y ceros complejos
20 de septiembre de 2009
Exprese los siguientes números complejos en la forma x + iy donde x y y
son números reales.
−1
1. (−1 + 3i)
Sea z = −1 + 3i. Entonces
z −1 =
z
2
(−1) + 32
=
−1 − 3i
1
3
=− + −
i.
1+9
10
10
2. (1 + i) (1 − i)
(1 + i) (1 − i) = 12 − i2
= 1 − (−1)
=1+1
= 2.
3. (1 + i) (2 − i)
(1 + i) (2 − i) = 1 (2 − i) + i (2 − i)
= 2 − i + 2i − i2
=2+1+i
= 3 + i.
4. (i − 1) (2 − i)
(i − 1) (2 − i) = i (2 − i) + (−1) (2 − i)
= 2i − i2 − 2 + i
= 1 − 2 + 3i
= −1 + 3i.
5. Pruebe que si z, w son números complejos, entonces
zw = z w,
z + w = z + w,
1
z=z
Supongamos que z = x + iy, w = u + iv, donde x, y, u, v son números
reales. Entonces
zw = (x + iy) (u + iv)
= x (u + iv) + iy (u + iv)
= xu + ixv + iyu + i2 yv
= xu − yv + (xv + yu) i,
por tanto, zw = xu − yv − (xv + yu) i. Por otro lado,
z w = (x − iy) (u − iv)
= x (u − iv) + (−iy) (u − iv)
= xu − ixv − iyu + i2 yv
= xu − yv − (xv + yu) i
Ası́, zw = z w.
Ya que
z + w = x + iy + u + iv = x + u + i (y + v) ,
entonces
z + w = x + u − i (y + v)
= x + u − iy − iv
= x − iy + u − iv
= z + w.
Finalmente, como z = x + yi, entonces z = x − iy = x + (−y) i. Por tanto,
z = x − (−y) i = x + yi = z.
6. Pruebe que para cualquier número complejo z = x + iy, con x, y reales,
tenemos
Im (z) ≤ |Im (z)| ≤ |z| ,
p
donde Im (z) = y y |z| = x2 + y 2 .
Si z = x + iy, entonces Im (z) = y. Ya que
y 2 ≤ x2 + y 2 ,
tomamos raı́z cuadrada en ambos lados de la desigualdad para obtener
p
|y| ≤ x2 + y 2 .
Pero y ≤ |y|, y por tanto
y ≤ |y| ≤
p
x2 + y 2 ,
y usando las definiciones,
Im (z) ≤ |Im (z)| ≤ |z| .
2
7. Evalúe i41 y escriba el resultado en la forma a + bi.
Ya que i41 = i40 i y 40 = 4 · 10, afirmamos que
i41 = 1 · i = i.
Esto es ası́ ya que
i40 = i4·10 = i2
2·10
= (−1)
2·10
10
2
= (−1)
= 110 = 1.
8. Encuentre todas las soluciones de la ecuación 3x2 −5x+4 = 0 y expréselas
en la forma a + bi.
Utilizamos la fórmula cuadrática:
a = 3,
b = −5,
c = 4.
Entonces el discriminante D es
2
D = b2 − 4ac = (−5) − 4 · 3 · 4 = 25 − 48 = 25 − 25 − 23 = 23.
Por tanto,
√
√
√
− (−5) ± −23
5 ± 23i
−b ± D
=
=
.
x=
2a
2·3
6
Las soluciones son
5
+
6
√
23
i y
6
5
−
6
√
23
i.
6
Factorize el polinomio completamente y encuentre todos los ceros. Establezca la multiplicidad de cada cero.
9. x3 + 1
x3 + 1 = (x + 1) x2 − x + 1 .
Utilizamos la fórmula cuadrática para el segundo factor,
b = −1,
a = 1,
c = 1.
Entonces el discriminante D es
2
D = b2 − 4ac = (−1) − 4 · 1 · 1 = 1 − 4 = −3.
Por tanto,
√
√
√
−b ± D
− (−1) ± −3
1 ± 3i
x=
=
=
.
2a
2·1
2
Por tanto,
√ !
√ !
1
3
1
3
x + 1 = (x + 1) x − +
x− −
.
2
2
2
2
3
Los ceros
son √−1, con multiplicidad 1, y los complejos conjugados
√
3
3
1
1
2 + 2 i, 2 − 2 i, con multiplicidad 1.
3
10. x4 − 16
x4 − 16 = x2 − 4
x2 + 4
= (x − 2) (x + 2) x2 − (−4)
= (x − 2) (x + 2) (x − 2i) (x + 2i) .
Los ceros −2, 2, 2i, −2i, todos ellos con multiplicidad 1.
11. 3x3 − x2 + 243x − 81
Los posibles ceros racionales del polinomio son
1
± , ±1, ±3, ±9, ±27, ±81.
3
Para empezar, evaluamos en x = 1,
3 − 1 + 243 − 81 = 164 > 0,
y en x = −1,
−3 − 1 − 243 − 81 < 0.
Ası́, si el polinomio tiene un cero racional, uno de ellos es 31 o − 13 .
Evaluando en x = 13 ,
3 2
1
1
1
1 1
−
+ 243
− 81 = − + 81 − 81
3
3
3
3
9 9
= 0.
Por tanto, 31 es un cero del polinomio. Aplicando división sintética,
o división de polinomios, obtenemos
1
3x2 + 243
3x3 − x2 + 243x − 81 = x −
3
1
=3 x−
x2 + 81
3
1
=3 x−
x2 − (−81)
3
1
=3 x−
(x + 9i) (x − 9i) .
3
Los ceros son 31 , −9i, 9i, todos ellos con multiplicidad 1.
12. x4 + 8x2 + 16
2
x4 + 8x2 + 16 = x2 + 4
2
= x2 − (−4)
= ((x − 2i) (x + 2i))
2
2
2
= (x − 2i) (x + 2i) .
Los ceros son −2i y 2i, cada uno de ellos con multiplicidad 2.
4
Encuentre un polinomio con coeficientes enteros que satisfaga las condiciones dadas.
13. P tiene grado 3, y ceros 2, 7i, −7i.
Sea
P (x) = (x − 2) (x − 7i) (x + 7i) .
Entonces,
P (x) = (x − 2) x2 + 49 = x3 − 2x2 + 49x − 98.
14. P tiene grado 4, y ceros i, −5i.
Ya que P tiene coeficientes enteros, −i y 5i también son ceros de P .
Por tanto,
P (x) = (x − i) (x + i) (x − 5i) (x + 5)
= x2 + 1 x2 + 25
= x4 + 26x2 + 25.
15. P tiene grado 3, ceros 2, i y P (1) = 4.
Suponga que
P (x) = a (x − 2) (x + i) (x − i) .
Entonces
P (x) = a (x − 2) x2 + 1
= a x3 − 2x2 + x − 2 .
Aplicamos ahora la condición
P (1) = a (1 − 2 + 1 − 2) = −2a = 4.
Por tanto, a = −2, y el polinomio resulta ser
P (x) = −2x3 + 4x2 − 2x + 4.
5