TEORÍA DE JUEGOS

TEORÍA DE JUEGOS
La Teoría de Juegos consiste en la elaboración de recomendaciones sobre la forma razonable de las
acciones de cada uno de los contrincantes en el curso de una situación de conflicto; es prácticamente
una teoría matemática de las situaciones en conflicto. En un conflicto de juego los dos oponentes son
llamados jugadores y cada uno de ellos tendrá un numero finito o infinito de estrategias; a cada
estrategia se encuentra asociada una recompensa que un jugador paga a otro.
Estos juegos se conocen como juegos de suma cero entre dos personas debido a que la ganancia de un
jugador es igual a la pérdida del otro y los intereses de los jugadores son completamente opuestos, por
lo tanto, es suficiente con resumir el juego en términos del pago a solo uno de los dos jugadores, es
decir, al designar dos jugadores A y B con estrategias m y n, respectivamente, el juego se representa
mediante una matriz de pagos al jugador A, de la siguiente manera:
A1
A2
.
.
.
Am
B1
a11
a21
.
.
.
am1
B2
a12
a22
.
.
.
am2
B3
a13
a23
.
.
.
.
.
.
am3
Bn
a1n
a2n
.
.
.
amn
La anterior representación indica que si A usa la estrategia i y B la estrategia j, el pago a A es aij y el
pago a B es − aij.
En la teoría de juegos se denomina jugada a la elección de una de las estrategia dadas; estas jugadas
pueden ser personales, cuando la elección de la estrategia se hace conscientemente, o al azar, cuando la
elección de la estrategia es realizada por un mecanismo de elección casual y no por el jugador. Para que
el juego esté matemáticamente definido, se debe indicar para cada estrategia la distribución de
probabilidad.
Su objetivo principal es elaborar recomendaciones para elegir la estrategia óptima, definida como la
estrategia que garantiza al jugador la ganancia media máxima posible o la pérdida media máxima
posible a medida que el juego se repite reiteradamente, de cada uno de los jugadores
SOLUCIÓN OPTIMA DE JUEGOS DE SUMA CERO ENTRE DOS PERSONAS
Debido a que los juegos se concentran en conflictos de interés, la solución optima del problema elige
una o más estrategias para cada jugador de tal manera que cualquier cambio en las estrategias elegidas
no mejore el pago a cualquiera de los dos jugadores.
Estas soluciones pueden realizarse de dos formas: estrategia pura, con una sola estrategia, o estrategia
mixta, con varias estrategias que se mezclan de acuerdo con probabilidades predeterminadas.
Ejemplo 1
Dos compañías A y B venden dos marcas de antigripales, La compañía A se anuncia por radio (A1),
televisión (A2) y periódicos (A3). La compañía B, además de utilizar radio (B1), televisión (B2) y
periódicos (B3), también manda por correo folletos (B4). Dependiendo del ingenio y la intensidad de la
1
campaña de publicidad, cada compañía puede capturar una porción del mercado de la otra. La
siguiente matriz resume el porcentaje del mercado capturado o perdido por la compañía A:
A1
A2
A3
Máximo de la
columna
B1
8
6
−2
B2
−2
5
4
8
B3
9
6
−9
5
B4
−3
8
5
9
Mínimo de la fila
−3
5
Maximin
−9
8
Minimax
La solución del juego se basa en asegurar lo mejor de lo peor para cada jugador. Si la compañía A
selecciona la estrategia A1, entonces sin importar lo que haga B, lo peor que le puede suceder es que
pierda 3% de la participación del mercado a favor de B. Esto se encuentra representado por el valor
mínimo de las entradas de la fila 1. De manera similar, el peor resultado de la estrategia A2 es que
capture 5% del mercado de B y el peor resultado de la estrategia A3 es que pierda 9% de la
participación del mercado a favor de B. Los anteriores resultados se separan en la columna mínimo de
fila y, para lograr lo mejor de lo peor, la compañía A escoge la estrategia A2 debido a que a esta
corresponde el mayor valor de la columna mínimo de fila denominado Maximin.
Considerando ahora la estrategia de B se requiere escoger el valor mínimo Minimax de la columna
Máximo de la columna para lograr lo mejor de lo peor de B debido a que la matriz de pago esta dada
para A. Tenemos así que la estrategia a escoger es B2.
La solución optima del juego debe seleccionar las estrategias A2 y B2, es decir, ambas compañías deben
anunciarse en televisión Esto indica que el resultado estará a favor de A debido a que su participación
en el mercado aumentará un 5%, por lo tanto, decimos que el valor del juego es 5% y que A y B usan
una solución de punto de equilibrio. Esta solución garantiza que ninguna compañía está tentada a
seleccionar otra estrategia debido a que esto ocasionaría perdidas en la participación del mercado, es
decir, en caso de que B decida moverse a cualquiera de las otras estrategias, A puede escoger quedarse
con la elegida ocasionando así una perdida de participación de mercado para B del 6% u 8% según la
estrategia elegida por B, de igual manera, si A decide cambiar a la estrategia A3 , B puede moverse a B3
ocasionando así un incremento del 9% en la participación del mercado a favor de B.
Ejemplo 2
Dos jugadores A y B participan en un juego de lanzamiento al aire de una moneda. Cada jugador,
desconocido para el otro, elige cara (C) o cruz (Z). Ambos jugadores revelarán sus elecciones de forma
simultánea. Si concuerdan (CC o ZZ), el jugador A recibe 1 dólar de B, de otra forma, A paga 1 dólar a
B.
La siguiente matriz de pagos para el jugador A da los valores mínimo de la fila y máximo de la columna
que corresponden a las estrategias de A y B, respectivamente:
Ac
Az
Máximo de la
columna
Bc
1
−1
Bz
−1
1
Mínimo de la fila
−1
−1
1
1
2
Los valores máximo y mínimo del juego son −1 dólar y 1 dólar, respectivamente. Debido a que los
valores no son iguales, el juego no tiene una solución de estrategia pura ya que si A utiliza una
estrategia que ocasione perdidas a B, B puede moverse de tal forma que no le ocasione perdidas lo que
indica que los jugadores pueden cambiar de estrategias según conveniencia y por esto es que una
estrategia pura no es aceptable. Tenemos entonces que ambos jugadores deben usar mezclas aleatorias
apropiadas de sus respectivas estrategias.
En este caso, el valor óptimo del juego se dará en algún lugar entre los valores maximin y minimax , así:
Valor maximin (más bajo) " valor del juego " valor minimax (más alto)
Así, el valor del juego debe estar entre −1 dólar y 1 dólar.
SOLUCIÓN DE JUEGOS DE ESTRATEGIAS MIXTAS
Al emplear estrategias mixtas se puede obtener para cada juego finito una solución o un par de
estrategias que al ser empleadas por los dos jugadores originarán una ganancia igual al valor del juego
y en caso de que un jugador decida cambiar su estrategia la ganancia sólo cambiará desfavorablemente
para este.
Los juegos de estrategias mixtas se pueden resolver de forma gráfica o mediante programación lineal.
La solución gráfica es conveniente para juegos en los que al menos un jugador tiene exactamente dos
estrategias puras.
La ganancia obtenida como fruto de la solución se llama valor del juego, denotado como , el cual
siempre se encuentra entre los valores mínimo y máximo del juego.
SOLUCIÓN GRÁFICA DE JUEGOS
Comenzamos por el caso en que el jugador A tiene dos estrategias, (2xn)
x1 :
1 − x1 :
A1
A2
y1
B1
a11
a21
y2
B2
a12
a22
yn
Bn
a1n
a2n
En este juego el jugador A mezcla las estrategias A1 y A2 con sus respectivas probabilidades x1 y 1 − x1
con 0 " x1 " 1 y el jugador B mezcla las estrategias B1 a Bn con las probabilidades y1, y2, , y yn donde
yj " 0 para j = 1,2, , n y y1+y2 + + yn = 1. Para este caso el pago esperado de A que corresponde a la
j−ésima estrategia pura de B esta dada por:
(a1j − a2j ) x1 ± a2j , j = 1,2, , n (1)
El jugador A busca entonces determinar el valor de x1 que maximice los pagos mínimos esperados, es
decir:
Max min {(a1j − a2j ) x1 ± a2j }
x1 j
Ejemplo 3.
3
Considere el siguiente juego de 2 x 4. El pago es para el jugador A.
A1
A2
B1
2
4
B2
2
3
B3
3
2
Bn
−1
6
Este juego no posee una solución de estrategia pura, por lo tanto, las estrategias deben mezclarse.
Utilizando la fórmula (1) calculamos los pagos esperados de A correspondientes a las estrategias puras
de B, así:
Estrategia pura de B
1
2
3
4
Pago esperado de A
−2x1 + 4
− x1 + 3
x1 + 2
−7x1 + 6
Utilizando las ecuaciones obtenidas para los pagos esperados de A realizamos las gráficas
correspondientes, mostradas a continuación:
Esta gráfica presenta las cuatro líneas rectas asociadas con las estrategias puras de B. Para determinar
lo mejor de lo peor , la envolvente inferior representa el pago esperado mínimo, es decir lo peor, para A
sin tener en cuenta lo que haga B.
El máximo, o sea lo mejor, de la envolvente inferior corresponde al punto de la solución maximin en
x*1 = 0.5, que es el punto intersección entre las rectas 3 y 4. La solución óptima del jugador A pide
mezclar las estrategias A1 y A2 con probabilidades 0.5 y 0.5, respectivamente. El valor del juego se
determina sustituyendo x1 = 0.5 en cualquiera de las ecuaciones 3 y 4, así:
4
La mezcla óptima del jugador B se determina mediante las dos estrategias que definen la envolvente
inferior de la gráfica, por lo tanto B puede mezclar las estrategias B3 y B4 , en cuyo caso y1 = y2 = 0 y
y4 = 1 − y3 . Tenemos entonces que los pagos de B correspondientes a las estrategias puras de A están
dados como:
Estrategias puras de A
1
2
Pago esperado de B
4y3 − 1
− 4y3 + 6
La solución lo mejor de lo peor para B es el punto mínimo sobre la envolvente superior de las dos líneas
dadas. Este proceso es equivalente a resolver la ecuación
La solución de y3 = , que da el valor del juego como:
La solución del juego requiere que el jugador A mezcle A1 y A2 con probabilidades iguales y para el
jugador B mezclar B1 y B2 con probabilidades y .
SOLUCIÓN DE JUEGOS CON PROGRAMACIÓN LINEAL
La teoría de juegos tiene una fuerte relación con la programación lineal debido a que un juego de suma
cero entre dos personas se puede expresar como un programa lineal y viceversa. Incluso, J. von
Neuman, padre de la teoría de juegos, reconoció la relación entre esta teoría y la programación y
recalcó el concepto de dualidad en la programación lineal.
Tenemos entonces que las probabilidades óptimas del jugador A xi , con i = 1, 2,, m se puede
determinar resolviendo el siguiente problema máximin:
5
Para transformar el problema en un programa lineal, sea
La ecuación implica que
El problema del jugador A se puede escribir como:
Maximice z = v
Sujeta a:
El valor del juego no tiene restricciones debido a que su signo puede cambiar dependiendo del resultado
de este.
Las estrategias óptimas de B , y1 , y2 , .. , y yn se determinan resolviendo el problema
Mediante un procedimiento al requerido con el problema de A, resolvemos el de B obteniendo que:
Minimice w = v
6
Sujeta a:
Los dos problemas optimizan la misma variable v, el valor del juego, debido a que el problema B es el
dual del problema A, lo que significa que la solución optima de un problema automáticamente de la
solución del otro.
Ejemplo 4.
Resuelva el siguiente juego con programación lineal:
A1
A2
A3
Máximo de la
columna
B1
3
−2
−5
B2
−1
4
−6
B3
−3
−1
2
Mínimo de la fila
−3
−2
−6
3
4
2
Notamos que el valor del juego se encuentra entre los valores −2 y 2.
Tenemos entonces que el programa lineal del jugador A es:
Maximice z = v
Sujeta a:
7
La solución óptima es:
La solución dual asociada es:
La razón por la cual los resultados de las probabilidades de B son negativos es debido a que el problema
de A es una maximización con restricciones ", una condición que requiere que las variables duales
asociadas sean negativas.
El programa lineal de B esta dado por:
Minimice z = v
Sujeta a:
La solución óptima es:
La solución dual asociada es:
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BIBLIOGRAFÍA
• TAHA, Handy A., Investigación de Operaciones, Una Introducción, Sexta Edición, Prentice
Hall, México, 1998
• VÉNTSEL, E.S, Elementos de la teoría de los juegos, Editorial MIR, Moscú, 1977
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