E.P.E.T. N° 2 − Centenario 6° Año Construcciones

E.P.E.T. N° 2 − Centenario
6° Año Construcciones
Unidad N° 2 − TeorÃ-a de errores, precisión, tolerancia y compensación.
• Generalidades: Descripción y objetivo de la teorÃ-a de errores, tipos de mediciones, tipos de errores,
causa de los errores, notación.
2.2 Precisión: Definición y métodos para aumentar la precisión en las mediciones. 2.3 Tolerancia:
Definición, exigencias del Reglamento Nacional de Mensuras, exigencias impuestas por el valor económico
de la obra, por la seguridad que debe ofrecer, etc. 2.4 Compensación: Definición, cálculo de la
compensación. Apéndice.
2.1 Generalidades:
La teorÃ-a de errores es una ciencia fundamental para todas las materias donde se manejan y analizan grandes
volúmenes de datos provenientes de observaciones directas o mediciones realizadas en laboratorio o trabajos
de campo, tales como los que se desarrollan en topografÃ-a, geodesia, fÃ-sica, quÃ-mica y sobre todo
estadÃ-stica.
Esta ciencia, parte de la estadÃ-stica, fue desarrollada por el matemático alemán Karl Friedrich Gauss a
partir de sus estudios algebraicos y complementada luego por el inglés Sir Isaac Newton quien aplica su
teorÃ-a del análisis matemático a la estadÃ-stica y mas tarde por el francés Pierre Simon Laplace quien
con su teorÃ-a de las probabilidades le da a la estadÃ-stica y la teorÃ-a de errores carácter de ciencia.
Existen varios procedimientos para cumplir los objetivos de la teorÃ-a de errores, algunos incluyen
procedimientos propios del análisis matemático, como integrales, derivadas, logaritmos Neperianos, etc. no
parece ser necesario en estos apuntes tal profundización sobre un tema que no reviste capital importancia
para las prácticas topográficas, por lo que solo se verá una versión básica del tema, que se adecua al
tema predominante en el ámbito topográfico, la medición en todos sus aspectos. No obstante en el CD de
este apunte se puede encontrar una versión mas completa de esta teorÃ-a, para quien quiera profundizar en el
tema.
Cuando se efectúa la medición de una distancia para conocer su magnitud, solo se obtiene un valor
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aproximado de la misma, debido a variadas causas y efectos que afectan a todas las mediciones por lo que es
imposible conocer con certeza y perfección la verdadera magnitud medida y el error que se ha cometido al
hacerlo. Es objetivo de la teorÃ-a de errores hallar el valor mas cercano posible al verdadero de la
magnitud que medimos y el error que hemos cometido durante el trabajo de campo.
Para ello se efectúa una serie de n mediciones de la magnitud a medir (donde n es un número entero,
positivo y de un valor absoluto suficientemente grande como para alcanzar la precisión requerida por el
trabajo a realizar). Estas n mediciones, en general, nos proporcionan magnitudes que difieren entre si por
valores muy pequeños ya que los errores cometidos son, generalmente, pequeños y pasarÃ-an
desapercibidos sino fueran objeto de observación. Al estudiar estos pequeños errores podemos, por medio
de artificios matemáticos llegar a un valor tan aproximado al verdadero de la magnitud, y al error cometido,
como se quiera.
Tenemos entonces por razones fÃ-sicas, y también lógicas, dos premisas fundamentales obtenidas
empÃ-ricamente:
• El valor exacto de una magnitud no se llega a conocer nunca.
• Siempre que se mide se cometen errores, es imposible evitarlos.
ACLARACION: En el lenguaje técnico utilizado el término << error >> utilizado repetidamente en esta
unidad es sinónimo de vacilación o indeterminación, no de equivocación ya que estos sucesos, llamados
errores groseros, no serán considerados en este estudio por su absoluta impredecibilidad.
Causas de los errores
Son numerosas pero solo nombraremos las mas importantes:
• Indeterminación de los extremos de la magnitud a medir ( por ej. el ancho de una calle sin lÃ-neas
municipales perfectamente determinadas o el ángulo o la distancia determinada por dos señales
muy gruesas).
• Limitaciones de nuestros sentidos, principalmente el de la vista, cuya acuidad visiva es de
aproximadamente 00° 01' 00"; disminuyendo con la edad o enfermedades.
• Imperfección o inadecuación de los instrumentos utilizados, tanto por fabricación, malos
tratos, falta de mantenimiento, o razones económicas.
• Condiciones psicofÃ-sicas del operador como ser cansancio, estrés, enfermedades, apuro y por que
no falta de responsabilidad o experiencia.
• Imprecisión intrÃ-nseca de los métodos de cálculo, como cuando se utilizan calculadoras y la
cantidad de decimales no son suficientes para las precisiones requeridas.
• Condiciones atmosféricas adversas que puedan alterar los resultados de las mediciones.
Tipos de errores
Errores groseros o equivocaciones: Se deben a inexperiencia o irresponsabilidad del operador. En general su
valor absoluto es grande y por lo tanto fácil de localizar dentro de una serie de mediciones. Las
observaciones que han dado origen a estos valores se descartan ya que no pueden ser tenidas en cuenta para
el cálculo pues harÃ-an decaer estrepitosamente la precisión.
Errores sistemáticos: Tienen su origen en causas permanentes y por lo tanto actúan siempre con el mismo
signo y módulo. Son ocasionados por imperfecciones de los instrumentos, por factores meteorológicos o
por la llamada "ecuación personal del operador" tendencia de cada operador a redondear las mediciones
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hacia abajo o hacia arriba, también forma de posicionarse frente al instrumento, acuidad visiva individual y
formas caracterÃ-sticas de bisectar, nivelar, etc.
En general se los puede calcular con suficiente precisión y por lo tanto anular. Tampoco son tenidos en
cuenta para el cálculo.
Errores Accidentales: Son aquellos que responden únicamente a las leyes del azar, absolutamente fortuitos,
se encuentran presentes en todo tipo de mediciones, pueden ser tanto positivos como negativos, y en grandes
series tienden a anularse entre sÃ-.
Por su imponderabilidad se los denomina también casuales o irregulares, y de ellos se ocupa
fundamentalmente la teorÃ-a de errores.
No obstante su irregularidad cumplen con ciertas pautas como lo ha demostrado la experiencia, estas son:
• Los errores positivos y negativos de un mismo módulo se producen con igual probabilidad.
• Los errores pequeños se producen con mayor frecuencia que los errores grandes.
Objetivos de la teorÃ-a de errores
La teorÃ-a de errores, sobre la base de las n mediciones a ejecutar, nos permitirá determinar cuatro
cuestiones.
* Hallar el Valor Mas Probable de la magnitud ( VMP)
* Hallar el valor del error aparente de cada medición ( v )
* Hallar el valor del error del VMP. también llamado Error Medio Cuadrático (EMC.)
* Hallar el valor del error relativo de las mediciones (ï¥ï€©ï€®
VMP : Es la media aritmética (promedio) de una serie de n valores obtenidos mediante mediciones. Si
tenemos una serie de < n > valores l (lecturas) (l1 ; l2 ; l3 ;...;ln), el VMP (también
llamado
en estadÃ-stica) se obtiene mediante la siguiente fórmula:
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