Tarea 6 – Matemáticas Discretas

Tarea 6 – Matemáticas Discretas
1. Una moneda balanceada (resulta cara ó sello con igual probabilidad 1/2) se lanza 10 veces.
(a) Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 5 caras ?
(b) Cuál es la probabilidad de obtener a lo más 5 caras ?
(c) Cuál es la probabiliad de obtener exctamente 5 caras dado que se obtiene al menos un sello ?
(d) Cuál es la probabiliad de obtener al menos una cara dado que se obtiene al menos un sello ?
(e) Cuál es la probabilidad de obtener al menos 2 caras ó al menos 2 sellos ?
2. Se tienen 10 monedas en el bolsillo: 2 de $500, 3 de $200, 1 de $100 y 4 de $50. Tres veces se saca una
moneda al azar (cada una de las que está en el bolsillo con igual probabilidad) sin reposición (la moneda que
se saca no se vuelve a colocar en el bolsillo).
(a) Cuál es la probabilidad de que la seguna moneda sea de $500 ?
(b) Cuál es la probabilidad de que la suma total de las tres monedas sea $600.
(c) Cuál es el valor esperado del valor de la segunda moneda ?
(d) Cuál es el valor esperado de la suma de valores de las tres monedas ?
3. Se tienen tres cajas A, B, C cada una con 100 bolas de ping-pong entre azules y rojas. El número de
azules/rojas en A, B, C es respectivamente 80/20, 20/80, 50/50. Se escoge una de las tres cajas aleatoriamente
con probabilidades respectivas 0.6, 0.2 y 0.2 y de la caja escogida se saca una bola también aleatoriamente
(cada una con igual probabilidad). Si la bola que se saca es roja, cuál es la probabilidad de que se haya
escogido cada una de las cajas ?
4. Un borracho da un paso adelante ó un paso atrás con igual probabilidad (1/2). Tomando la coordenada
x como su posición, con igual probabilidad 1/2, su posición cambia +1 ó −1. El borracho comienza en
la posición x = 0 y da n pasos, cada paso independientemente de los anteriores. Sea Zi una variable
aleatoria con valor 1 ó −1 que indica si el i-ésimo paso es hacia adelante (+1) ó hacia atrás (−1). Sea
Xn = Z1 + Z2 + · · · + Zn . Ası́ que Xn es igual a la posición x después de n pasos.
(a) Cuál es la probabilidad de Xn = n ? De Xn = −n ? De Xn = 0 (para n par) ?
(b) Cuál es la probabilidad de Xn = k, para k entero con −n ≤ k ≤ n ? Sugerencia: El avance neto k es
igual al número A de pasos hacia adelante menos el número B de pasos hacia atrás, y A + B = n.
(c) A qué es igual E(Zi ) y E(Xn ) ?
(d) Verifique que E(Z2n ) = 1 y que para i < n, E(Zi Zn ) = 0.
(e) Use (d) para obtener que E(X2n ) = E(X2n−1 ) + 1.
(f) Use (e) para obtener que E(X2n ) = n.
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