Movimiento de Fluidos en conductos: Porosidad.

Movimiento de Fluidos en
conductos: Porosidad.
Física Ambiental. Tema 7.
Tema7. FA (prof. RAMOS)
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Tema 7.-Movimiento de Fluidos en
conductos: Porosidad.
• Movimiento de fluidos viscosos en cilindros:
distribución de velocidades.
• Ley de Poiseuille: velocidad media, caudal y
potencia disipada.
• Aplicaciones: viscosímetro de OSTWALD.
Circulación sanguínea.
• Medios porosos: porosidad e índice de poros.
• Permeabilidad: ley de Darcy.
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Movimiento de fluidos viscosos en cilindros.
Distribución de velocidades en un tubo en el caso de un fluido ideal.
η=0 ⇒
V ( z ) = cte
Distribución de velocidades en un tubo en el caso de un fluido real.
Régimen laminar:
η≠0
Régimen turbulento:
V ( z) ∝ z 2
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Tipos de flujo en un tubo.
Para una geometría cilíndrica la longitud característica Lc, es equivalente al
diámetro del tubo.
Re =
ρvLc ρv 2 R
=
η
η
Nº de Reynolds
Tipo de régimen
Re< 2000
Laminar
Re > 3000
Turbulento
2000 < Re < 3000
Inestable o Mixto
Problemas 1y 2. Hoja FA7
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Distribución de velocidades (laminar).
ρv 2 R
< 2000
η
Re =
En régimen estacionario:
r
∑F =0
r
∑ F = P πz
2
1
⇒
− P2πz 2 − 2πlzτ = 0
τ = −η
z ( P1 − P2 ) + 2ηl
dv
dz
dv
=0
dz
⇓
dv =
− z ( P1 − P2 )
dz
2ηl
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Ley de Poisseuille: velocidad media.
dv =
− z ( P1 − P2 )
dz
2ηl
∫ dv = ∫
Integrando:
− z ( P1 − P2 )
dz
2ηl
Ley de Poisseuille.
v(z)- es máxima en z=0.
v( z ) =
v(z)- se anula en z=R
( P1 − P2 ) 2
(R − z 2 )
4lη
Velocidad media:
v( z ) =
1 R ( P1 − P2 ) 2
( R − z 2 )dz
R ∫0 4lη
v( z ) =
⇒
( P1 − P2 ) 2
R
8ηl
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v( z ) ∝
∆P
l
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Caudal en el interior del tubo.
dφ = vdS
⇒
dφ = 2πzvdz
dS = 2πzdz
Integrando:
∫
R
0
R
R
0
0
dφ = ∫ 2πzv( z )dz = ∫ 2πz
⇓
φ=
Fórmula de
Hagen-Poiseuille:
Problema 3. Hoja FA7
∆P 2
( R − z 2 )dz
4lη
π ( P1 − P2 ) 4
∆P
R ⇒φ ∝
8lη
l
R 2 ∆P
φ= vS⇒ v =
8ηl
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Potencia disipada por las fuerzas viscosas.
El trabajo que hay que realizar para mantener el fluido en movimiento en
régimen estacionario, es equivalente a la energía disipada por las fuerzas
viscosas.
rr
W& = F .v
F = S ∆P
La fuerza y la velocidad son paralelas:
W& = F .v
⇒ W& = Sv∆P = φ∆P
W& = ∆P (πR 2 ) v
Problema 4. Hoja FA7
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Aplicaciones: Circulación sanguínea I.
La circulación sanguina en los mamíferos
se realiza en régimen laminar en el interior
de venas, arterias y capilares con simetría
cilíndrica. El transporte del fluido se realiza
mediante un gradiente de presiones
generado por el corazón.
El corazón humano bombea unos ¡8400 litros de sangre al día!
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Aplicaciones: Circulación sanguínea II.
A partir de la ley de HagenPoiseuille, podemos definir el parámetro
denominado resistencia al flujo, RF.Para
mantener el caudal,φ, de sangre circulando a
través del sistema circulatorio hay que realizar
un trabajo mecánico exterior, W, generado por
el músculo cardiaco proporcional al caudal y
la diferencia de presión.
φ=
W = φ∆P = φ 2 RF
π ( P1 − P2 ) 4 ( P1 − P2 )
R =
8lη
RF
RF =
8lη ∆P
=
πR 4 φ
[RF ] = Pas m3
La anastómosis es la contracción muscular para reducir el radio, R, de
venas, arterias y capilares haciendo aumentar, RF, que supondrá un aumento de la
presión arterial para un mantenimiento del caudal.
Una presión arterial alta en reposo supone una resistencia al flujo elevada
con una disminución del radio arterial y un aumento de la fatiga cardiaca para el
mismo caudal.
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Aplicaciones: viscosímetro de OSTWALD.
Dispositivo experimental para medir la
viscosidad de un fluido. Utiliza un tubo
cilíndrico a través del que se deja circular el
fluido, a partir de la medida del caudal, φ,
durante la experiencia, y conocidas los
parámetros geométricos (R- radio del tubo, L- longitud del mismo) e hidrodinámicos (P1
y P2), del dispositivo, se puede determinar
la viscosidad, η, utilizando la ley de
Poiseuille.
φ=
π ( P1 − P2 ) 4
π ( P1 − P2 ) 4
R
R ⇒η =
8 Lη
8 Lφ
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Medios porosos.
La estructura de los suelos está determinada por
la forma de los granos que forman su matriz y las
fuerzas de adherencia entre ellos. La división más
general es:
GRANULAR.- Suelos formados por
granos individuales acomodados aleatoriamente
formando poros en los espacios vacíos, con
fuerzas de adherencia débiles. (Arenas).
FLOCULAR: Formadas por granos
guesos y granos en forma de láminas muy
pequeños, donde la relación entre su superficie y
volumen es muy grande. Dominan las fuerzas de
adherencia (fuerzas electroquímicas de
superficie), en estos últimos, manteniendo en
cohesión macroscópica del suelo. (Arcillas).
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Granular.
Flocular.
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Suelos: clasificación.
Denominación de los suelos en
función de la talla de sus granos:
Arcilla (Clay)
D < 0.002 mm.
Arena (Silt)
0.002 mm < D < 2 mm.
Arena (Sand)
D > 2mm.
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Porosidad. Índice de poros.
Un suelo poroso está constituido por la matriz sólida que forma el edificio principal
del mismo, los espacios formados entre los granos acomodados se denominan
poros del suelo y pueden estar completa o parcialmente llenos de aire, agua líquida
o hielo. La porosidad de un medio se define como el volumen de huecos respecto
del volumen total del suelo en tanto por ciento.
n=
Vv
100
V
Índice de poros: relación entre el volumen
de los huecos respecto del volumen de la
matriz sólida.
e=
Vv
Vs
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Permeabilidad.
Al existir en la superficie del suelo precipitaciones líquidas, el agua se filtra a
través de los poros del mismo. El caudal o velocidad de filtrado de este agua
depende de la diferencia de presión hidrostática y de la estructura del suelo,
fundamentalmente su porosidad, la superficie específica y la tortuosidad del
sistema. Todos estos factores se engloban en la permeabilidad, K, del suelo que
indica su capacidad de drenaje para que circule el agua a través de sus poros.
m3s
[K ] =
Kg
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Ley de Darcy I.
Expresa la velocidad de filtración del agua a través del suelo, ésta es
proporcional a la diferencia de presión y al espesor del suelo. La constante de
proporcionalidad es la permeabilidad del sistema.
v- velocidad media del agua a través de los poros (m/s).
∆P
v=K
L
K- permeabilidad (m3s/Kg).
∆P- variación de la presión (Pa).
L- espesor de la capa de suelo en la dirección de la
circulación del fluido (m).
El caudal del agua filtrada será el producto de la velocidad de filtración por el
área de la sección transversal del suelo.
φ = vA = KA
∆P
L
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Ley de Darcy II.
Suponiendo que los poros del suelo puedan considerarse como conductos
cilíndricos, en la ley de Poiseuille encontrarnos información acerca de la
dependencia de la permeabilidad del suelo con sus características.
Ley de Poiseuille:
v( z ) =
( P1 − P2 ) 2
R
8ηL
φ=
∆P
π ( P1 − P2 ) 4
R ⇒φ ∝
8 Lη
L
En este caso el flujo es también proporcional al gradiente de presiones y la
constante depende de la geometría del tubo y de la viscosidad del fluido.
Valores típicos de la permeabilidad:
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