Ecuaciones Coticchia-Surace A

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la mayor colección de recurso
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Ejemplo sobre el vértice de Llatías sobre elipsoide Hayford:
Datos elipsoide Hayford
Semieje mayor (a) = 6378388,0
Longitud: l = 3º 48' 06,7439'' W
Semieje menor (b) = 6356911,946130 Latitud: j = 43º 29' 18,2670'' N
1. CÁLCULOS PREVIOS:
1. a) Sobre la geometría del elipsoide:
Sobre el elipsoide de Hayford, sería:
a² + b²
a
e=
6378388² + 6356911,94613²
= 0,08199189
6378388
Excentricidad:
e’ =
6378388² + 6356911,94613²
= 0,08226889
6356911,94613
Segunda excentricidad: e’ =
e=
a²
b
Radio Polar de Curvatura: c =
c=
a² + b²
b
1. b) Sobre la longitud y latitud:
e’² = 0,08226889² = 0,00676817
La longitud (3,801873306), pasaría a ser
en radianes = 3,801873306 · p /180 = 0,066355207
La latitud (43,4884075), pasaría a ser
en radianes = 43,4884075 · p /180 = 0,759015897
{
6378388²
= 6399936,608
6356911,94613
Conversión a grados decimales
(sexagesimales expresados
en notación decimal):
Grados decimales = grados + minutos/60 + segundos/60/60
Conversión de grados decimales a radianes:
Grados decimales · p
Radianes =
{
La longitud (3º 48' 06,7439''), pasaría a ser en sexadecimales expresados
en notación decimal = 3+48/60+6,7439/60/60 = 3,801873306
La latitud (43º 29' 18,2670'), pasaría a ser en sexadecimales expresados
en notación decimal = 43+29/60+18,2670/60/60 = 43,4884075
180
Si la longitud está referida al Oeste del meridiano de Greenwich,
entonces la longitud es negativa ( - )
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{
Como la longitud está referida al oeste del meridiano
de Greenwich, entonces pasa a ser negativa, quedando
en radianes = - 0,066355207 y en grados
decimales = -3,801873306
Cálculo del signo de la longitud:
Si la longitud está referida al Este del meridiano de Greenwich,
entonces la longitud es positiva ( + )
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]
[
]
[
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1.c) Sobre el huso:
Cálculo del huso:
l0 = 30 · 6 - 183 = -3°
Dl = -0,066355207 - (-3 · p /180) = -0,013995329
Huso = entero de
Cálculo del merdiano
central del huso:
Grados decimales
+ 31
6
-3,801873306
+ 31 = 30,36635445
6
Truncamos la parte entera,
luego Huso = 30
Huso =
l0 = Huso · 6 -183
Desplazamiento del punto a calcular
con respecto al meridiano central del huso:
Dl = l - l0
* Los valores han de ser introducidos en radianes.
2. ECUACIONES DE COTICCHIA-SURACE PARA EL PASO DE GEOGRÁFICAS A UTM
(PROBLEMA DIRECTO):
2.a) Cálculo de Parámetros:
A = Cos 0,759015897 · sen -0,013995329 = -0,01015347
x=
(
h = arc tan
n=
1·
ln
2
( -0,01015347)
[ 11 -+ (-0,01015347)
] = -0,01015382
)
tan 0,759015897
- 0,759015897 = 4,89009E-05
cos -0,013995329
6399936,608
· 0’9996 = 6386011,466
(1 + 0,00676817 · cos² 0,759015897 )1/2
x=
1·
ln
2
[ 11 -+ AA ]
(
h = arc tan
n=
0,998608275
= 1,258320035
2
3 · 1,258320035 + 0,525637464
J4 =
= 1,075149392
4
A
J2 = j + 1
2
3 · J2 + A 2
J4 =
4
A = cos j · sen Dl
tan j
-j
cos Dl
)
c
· 0’9996
(1 + e’² · cos² j)1/2
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J2 = 0,759015897 +
J6 =
5 · J4 + A2 · cos² j
3
J6 =
a=
3 · e’²
4
a=
3 · 0,00676817 = 0,005076128
4
b=
5 · a²
3
b=
5
· 0,005076128² = 4,29451E-05
3
g=
35 · a ³
27
g=
35
· 0,005076128³ = 1,69552E-07
27
5 · 1,075149392 + 0,525637464 · cos² 0,759015897
= 1,884142255
3
* 0’9996 es el factor de escala de la Proyección UTM.
z = 0,00676817 · -0,01015382² · cos² 0,759015897 = 1,8365E-07
2
z = e’²· x²· cos² j
2
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A1 = sen (2 · 0,759015897 ) = 0,998608275
A1 = sen (2 · j )
A2 = 0,998608275 · cos² 0,759015897 = 0,525637464
A2 = A1 · cos² j
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BF = 0’9996 · c · ( j - a · J2+ b · J4 - g · J6 )
BF = 0,9996 · 6399936,608 · ( 0,759015897 - 0,005076128 · 1,258320035 + 4,29451E-05 · 1,075149392 - 1,69552E-07 · 1,884142255 ) = 4815141,345
2.b) Cálculo Final de Coordenadas UTM:
1,8365E-07
) + 500000 = 435157,5872
X = -0,01015382 · 6386011,466 · ( 1 +
3
Solución de la X UTM
Y = 4,89009E-05 · 6386011,466 · ( 1 + 1,8365E-07 ) + 4815141,345 = 4815453,627
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z
X = x · n · (1 + ) + 500.000
3
* 500.000 es el retranqueo que se realiza en cada huso sobre el origen de coordenadas en el eje X (meridiano central
automecoico del huso) con el objeto de que no existan coordenadas negativas.
Y = h · n · (1 + z ) + B F
* En el caso de latitudes situadas al sur del ecuador, se sumará al valor de Y 10.000.000 para evitar coordenadas negativas.
Solución de la Y UTM
Ejemplo sobre el vértice de Llatías sobre elipsoide Hayford:
Datos elipsoide Hayford
Semieje mayor (a) = 6378388,0
Semieje menor (b) = 6356911,946130
UTM X = 435157,59
UTM Y = 4815453,64
Huso (Zona UTM) = 30
1. CALCULOS PREVIOS:
1. a) Sobre la geometría del elipsoide:
Sobre el elipsoide de Hayford, sería:
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a² + b²
a
e=
6378388² + 6356911,94613²
= 0,08199189
6378388
Excentricidad:
e’ =
6378388² + 6356911,94613²
= 0,08226889
6356911,94613
Segunda excentricidad: e’ =
e=
Radio Polar de Curvatura: c =
a²
b
c=
6378388²
= 6399936,608
6356911,94613
a² + b²
b
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1.b) Tratamiento previo de X e Y y cálculo del meridiano central del huso:
e’² = 0,08226889² = 0,00676817
X = 435157,59 - 500000 = -64842,41
Como la Y está al norte del ecuador, no se modifica
l0 = 6 · 30 - 183 = -3°
* 500.000 es el retranqueo que se realiza en cada huso sobre el origen de
coordenadas en el eje X (meridiano central automecoico del huso) con el
objeto de que no existan coordenadas negativas. Se realiza en todos los casos.
Eliminación del retranqueo en las abscisas: X = X - 500.000
Eliminación, si procede, del
retranqueo en las ordenadas:
{
Si las coordenadas UTM pertenecen al norte del ecuador
(hemisferio norte), entonces Y no se modifica.
* 500.000 es el retranqueo que se realiza
en cada huso sobre el origen de coordenadas
en el eje X (meridiano central automecoico
del huso) con el objeto de que no existan
coordenadas negativas.
Si las coordenas UTM pertenecen al sur del Ecuador
(hemisferio sur), entonces Y = Y - 10.000.000
* 10.000.000 es el retranqueo que se realiza
a las coordenadas UTM del hemisferio sur
con el objeto de que no existan coordenadas
negativas.
Cálculo del meridiano central del huso
en el que caen las coordenadas UTM:
* El número de huso ha de ser conocido como un valor
más de las coordenadas UTM a convertir.
l0 = 6 · huso - 183
2. ECUACIONES DE COTICCHIA-SURACE PARA EL PASO DE UTM A GEOGRÁFICAS
(PROBLEMA INVERSO):
2.a) Cálculo de Parámetros:
Y
6.366.197’724 · 0’9996
* 0’9996 es el factor de escala de la Proyección UTM.
‘
X
a= n
‘
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Internet y la mejor comunidad de usuarios.
‘
‘
5 · 1,073867353 + 0,527800236 · cos² 0,756712374
= 1,882789648
3
J6 =
5 · J4 + A2 · cos² j
3
3 · 0,00676817 = 0,005076128
4
a=
3 · e’²
4
5
· 0,005076128² = 4,29451E-05
3
b=
5 · a²
3
35
· 0,005076128³ = 1,69552E-07
27
g=
35 · a ³
27
b=
g=
z
3
]
[
x = -0,010153899 · 1 -
h = b·( 1 -z )+j
e x e- x
sen h x = 2
sen h x
Dl = arc tan cos
h
1,84456E-07
= -0,010153898
3
]
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h = 0,002344241 · ( 1 - 1,84456E-07 ) + 0,756712374 = 0,759056614
* en este caso e no es la excentricidad, sino e (2’71828182845905)
elevado a la potencia de x y de - x .
Dl = arc tan
t = arc tan ( cos Dl · tan h )
sen h x =
-0,010153898
2’71828182845905
-0,010154072 = -0,013995329
cos 0,759056614
-
2’71828182845905
2
-(-0,010153898)
= -0,010154072
t = arc tan ( cos -0,013995329 · tan 0,759056614 ) = 0,759007713
2.b) Cálculo Final de Coordenadas Geográficas:
Longitud: l = Dl + l0
‘
a=
[
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z = 0,00676817 · -0,010153899² · cos² 0,756712374 = 1,84456E-07
2
z = e’² · a² · cos² j
2
x= a· 1-
4815453,64 - 4800483,409
= 0,002344241
6385961,938
[
* Dl ha de ser pasada a grados sexagesimales en notación decimal, puesto
que el cálculo hasta ahora lo tenemos en radianes. Para ello, dividimos
por p y multiplicamos por 180. l0 está ya en grados.
‘
A2 = A1 · cos² j
A
J2 = j + 1
2
·
3 J2 + A2
J4 =
4
b=
‘
A2 = 0,998354702 · cos² 0,756712374 = 0,527800236
0,998354702
= 1,255889725
J2 = 0,756712374 +
2
3 · 1,255889725 + 0,527800236
J4 =
= 1,073867353
4
Y - BF
n
‘
A1 = sen (2 · j )
‘
J6 =
A1 = sen ( 2 · 0,756712374 ) = 0,998354702
b=
‘
-64842,41
a=
= -0,010153899
6385961,938
c
· 0’9996
n=
(1 + e’² · cos² j ) 1/2
]
l = ( -0,013995329 / p · 180 ) + ( -3 ) = -3,801873264
‘
‘
GabrielOrtiz.com
6399936,608
n=
· 0’9996 = 6385961,938
(1 + 0,00676817 · cos² 0,756712374 )1/2
‘
j=
‘
4815453,64
= 0,756712374
6366197,724 · 0,9996
‘
j=
Latitud: j = j + 1 + e’² · cos² j - 3 · e’² · sen j · cos j · ( t - j ) · ( t - j )
2
3
j = 0,756712374 + 1 + 0,00676817 · cos² 0,756712374 - · 0,00676817 · sen 0,756712374 · cos 0,756712374 · (0,759007713 - 0,756712374) · (0,759007713 - 0,756712374) = 0,759015899
2
‘
BF = 0’9996 · c · ( j - a · J2+ b · J4 - g · J6 )
BF = 0,9996 · 6399936,608 · ( 0,756712374 - 0,005076128 · 1,258320035 + 4,29451E-05 · 1,075149392 - 1,69552E-07 · 1,884142255 ) = 4800483,409
[
Paso de radianes a grados sexagesimales en notación decimal
(sólo para la latitud. La longitud ya está en grados):
Grados decimales =
radianes ·
180
p
j = 0,759015899 · 180 = 43,48840762
p
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Paso de grados sexagesimales en notación decimal a grados, minutos y segundos:
Grados ( ° ) = entero de [grados decimales]
Minutos ( ‘ ) = entero de [(grados decimales - Grados °) · 60]
Segundos ( ‘‘ ) = ((grados decimales - Grados °) · 60 - Minutos’) · 60
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Solución de la longitud ( l ): -3° -48’ -6.74375’’
Solución de la latitud ( j ): 43° 29’ 18.26745’’
Ecuaciones planteadas por Alberto Cotticia y Luciano Surace en el “Bolletino di Geodesia e Science Affini”, Num. 1.
Ejemplo por Gabriel Ortiz. Más información y hoja de cálculo con conversor en http://recursos.gabrielortiz.com
]