Geometría

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
1.- Sabiendo que sen α =
1
hallar, razonadamente y sin calculadora cos α y tagα.
3
3
hallar razonadamente y sin calculadora sen α y cosα .
4
3.-Sabiendo que cosα = 0´82. Calcular razonadamente y sin calculadora senα y tagα.
2.-Si tgα =
4.- Resolver los siguientes triángulos, rectángulos en A:
a) b=30 cm, B=32º b) c=15 cm, B=57º c) a=50 cm, b=35 cm d)b=12 dm, c=13 cm
5.-Resuelve los siguientes triángulos, no necesariamente rectángulos:
a) a = 78 cm , Â = 101º , B̂ = 32º .
b) a= 8 cm, b= 10 y c= 7 cm
6.-Deduce razonadamente las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 45º
7.-La cestilla flotaba sobre el Nilo movida por una ligera brisa en medio de los juncales. La
hija del faraón había bajado al río para bañarse acompañada de sus doncellas y sirvientes, que
caminaban a orillas del río.
Cuando vio la cestilla, se preguntó cuál podía ser en ese punto la profundidad del Nilo para
que uno de sus sirvientes la cogiera. Vio que una flor de loto sobresalía 10 cm sobre la
superficie del agua; un soplo de aire providencial inclinó el loto hasta hacerlo desaparecer a
unos 30 cm del lugar en que emergía el tallo antes de que soplara el viento.
Envió entonces a uno de sus criados a buscar la cestilla, y de esa manera M oisés fue salvado
de las aguas. ¿Cuál era la profundidad de las aguas en ese lugar? (Sol: 40 cm).
8-Se quiere medir la altura de una torre situada en el centro de un lago circular. Para ello se
mide el ángulo de elevación desde el borde del lago, que resulta ser de 50º; nos alejamos 50
metros y lo volvemos a medir: 35º. Averigua la altura de la torre. ¿Cuál es la superficie del
lago? (Sol: Altura torre= 84,88 m. Superficie lago: 15929 m2).
9-El campesino Floro Cebollines desea comprar un terreno en forma de trapecio rectángulo.
Para ello mide los lados paralelos obteniendo 150 y 200 m, respectivamente. Con un teodolito
mide un ángulo del trapecio de 60º. Si la hectárea de tierra cuesta 10000 euros, ¿cuánto cuesta
la finca? (Sol: 1515’54 euros).
10-Averigua la longitud de un puente en una carretera
que transcurre por la falda de una montaña por la que
baja un río de 15 m de ancho. (Sol: 15’82 m)
11-Un empleado de una agencia de publicidad quiere
medir la altura de un cartel que se encuentra al otro lado de una autopista. Comprueba que el
ángulo de observación del cartel desde el lugar en que se encuentra es de 30º y, al acercarse
10 m en linea recta, el ángulo es de 40º. ¿Cuál es la altura del cartel? ¿A qué distancia del
cartel se encontraba? (Sol: Altura cartel; 18’5 m; Distancia: 22 m)
12.-Para el lanzamiento de un penalty, la pelota se encuentra a 10’8 m de la portería y la
altura de ésta es de 2’4 m. ¿Cuál es el máximo ángulo de elevación que puede llevar la pelota
para que pueda pasar por debajo del travesaño, si el disparo se hace en línea recta
perpendicular a la portería? (Sol: 12’5º)
13.-¿Cuál es la profundidad de un pozo si su anchura es
de 1’5 m y al alejarse 0’5 m del borde una persona que
mide 1’7 m ve el borde y la línea de fondo en una misma
recta? (Sol: 5’1 m)
14.-Desde los extremos de la pista de un aeropuerto se ve un mismo punto de una nube que
está situada sobre la parte central de la pista, con ángulos de 50º y 60º respectivamente. El
aeropuerto tiene la norma de que un helicóptero sólo puede despegar si las nubes están por
encima de los 1800 m de altura. Sabiendo que la pista mide un total de 2500 m, ¿podrán volar
los helicópteros en esas condiciones? (Sol: SI)
15.-La figura representa dos secciones de una puerta
plegable y corredera. Encuentra el ángulo que forman las
dos partes de la sección de la puerta. (Sol: 94’33º).
16.-Cuando un satélite pasa por la vertical de un oasis en
el desierto del Sahara fotografía una caravana que se
dirige hacia allí. El ángulo entre la vertical y la línea de enfoque de la foto es de 15º, y la
distancia de la caravana al oasis es de 5400 m. Calcular la altura a la que está el satélite y su
distancia a la caravana en el momento de hacer la foto. (Sol: altura 20.000 m ; distancia:
21.000 m)
17.-La banda de los cuatro prepara una fuga.
Desde su celda deben cavar un túnel hasta lograr
rebasar la tapia y la alambrada que rodean la
cárcel. Según el plano, robado al director de la
cárcel, ¿qué longitud tendrá el túnel? ¿hasta qué
profundidad han de penetrar? (Sol: 50 m
aproximadamente. Profundidad: 5’82 m)
18.-Desde una nave espacial se ve la
Tierra bajo un ángulo de 20º. Siendo el
radio de la Tierra de 6370 Km, halla la
distancia de la nave a la superficie
terrestre. (Sol: 30313 Km)
19.-Desde un faro colocado a 40 m sobre
el nivel del mar se ve un barco bajo un
ángulo de 55º. ¿A qué distancia de tierra se halla el barco? (Sol; 57’125 m)
20.-La anchura de la calle M ayor es de 30
m. Colocándote en el centro de la misma
puedes ver los edificios de ambos lados
bajo ángulos de 70º y 42º respectivamente.
¿Cuáles son las respectivas alturas de
ambos edificios? (Sol: 13’5 m y 41’21 m)
En los aleros de ambos edificios hay sendas
palomas. Desde uno de los edificios tiran
un trozo de pan a la calle y ambas palomas
se lanzan a por él en el mismo instante y a la misma velocidad. Llegan simultáneamente al
lugar donde se encuentra el trozo de pan. ¿A qué distancia del edificio de la izquierda se lanzó
el trozo de pan y con qué inclinación voló cada paloma? (Sol: imposible)
21.-Dados los vectores a(-2,4) y b(1,-3). Calcular gráfica y analíticamente a+b; a-b; ½ a-2b
22.- Halla la ecuación de la recta en todas las formas posibles en los siguientes casos:
a) Recta que pasa por los puntos A( -1, 5) y B( 3, -7)
b) Recta que pasa por el punto A( -5, 9) y tiene por vector director u = (− 2, 6)
x+2 y−4
c) Recta cuya ecuación en forma continua es
=
3
−5
23.- Halla el vector director y un punto de cada una de las siguientes rectas:
x = − 1 + 3t
a) 3x-2y+5=0
b)
y = 3 − 4t
24.- Averigua la posición relativa de los siguientes pares de rectas, en caso de que se corten di
el punto de corte.
x −3 y +5
3x + 2y − 1 = 0
x + 3 y −1 = 0
=
a)
b)
c)
2
−
2
x+y =0
2x + 6 y − 2 = 0
2x + 2y − 9 = 0
25.- Halla la recta perpendicular a la recta 3x-2y+5=0 que pasa por el punto (3,-3).
x = − 1 + 3t
26.- Halla la recta paralela a la recta
que pasa por el punto (2,1).
y = 3 − 4t
27.-a) Dados los puntos A( -2, -8) y B(6, -3) Hallar :
a) Coordenadas del punto medio
b) Distancia entre A y B
x + 3 y −5
28.-Dada la recta
=
Hallar su pendiente y su ordenada en el origen
7
−3
29.- Dados los puntos A(-1,3), B (-3,-1), C(6, 5) .Halla las coordenadas de D sabiendo que
ABCD es un paralelogramo. Halla el centro del paralelogramo.
30.- Escribe las ecuaciones de la rectas paralela y perpendicular a 4x +5y-6 =0 , que pasen
por el punto A(-2, 3/10).