Aplicación del criterio LM al contraste de la independencia entre

..
ESTADISTICA ESPANOLA
Núm. 1 1 5, 1987, p^gs. 41 a 62
Aplicación del criterio LM al contraste de la
i ndependencia entre reg resiones.
Un experimento de simulación ^^^.
por
PEDRO GARCIA CASTRiLLO
Centro de Cálculo de la Universidad de Zaragoza.
Y
CAR LOS MARTI N EZ MONGAY
Departamento de Análisis Económico.
Facultad de CC. Económicas.
Universidad de Zaragoza
RESUI^IEN
En este artículo aplicamos el criterio LM al contraste de la independencia entre regresiones en los sistcmati de ecuaciones aparentemente no relacionados definidos por "Z_ellner ( 1962), Parks (19f^7), Schmidt (1977) y
Martínez Mongay ( I 984). La comparación de los estadísticas ohtenidos en
los modelos de Zellncr y Schmidt con los ohtenidos en Parks y Martínez
Mongay nos permite analizar la posible influencia dc no tcncr cn cucnta la
existencia de correlación serial. EI experimento de simulación construído al
efecto posibilita afirmar que en las situaciones más comunes, el ^rit^rio LM
aplicado en los modelos crróneamente especi^cados no decide peor que
cuando sc aplica a lo^^ modclos que tienen en cuenta la autc^correlación.
Pu^uhrcl.^^ c^^u^^c^: Sistcmas dc Fc,•uacioncs Aparcntcmcnte Nc^ Rclacionadas.
C'ontraste de hip^tesis. t'c^rre.•I^tci^n contemporánca. ('orrelacidn seritil.
C'ritcrio LM.
(*) lJna vcr^ión rr^lin^in<<r dc c^t^ tr^ih^^jc^ t^u^• ^rc^^•nt^icl^i ^•n ^•I IX ^in^pc^^ic^ c^c T^^c^rí^^ y
Economctrra. 13cllatcrra, ^^•rti^•mhr^• I^)K4. l.t^ c^u^• ^tuuí sc nrc^^.•ntri h^^ ^idc^ ^i^nilicativam^•nic.•
mcjorada con la^ ^;u^^•rcn^i^i^ ^fc.•I ^^^ilu.^^lc^r. ^I^c ^ ^Ic^ ^•rrc^r ^'ti c1c nu^•titr^i ^•xclu^iv^i r^•ti^x^nsahilidac^.
4^
i.
rs-r.^r7is1 ic^.^ FsN.Atic^t_.a
t^^T1^cc^DL^C^e^c^^
Zellner (19b2) define los Sistemas de Regresiones Aparentemente Na Relacianadas
(en lo sucesivo SRANR) como aquellos modelos econométricos que incluyen un conjunto de N regresiones con T observaciones cada una y K; (i = 1, 2,..., N} regresores no
estocásticas por regresión. Supane que en cada una de ellas la perturbación cumple las
hipótesis clásicas (ruido blanco), mientras que admite que las perturbaeiones entre dos
regresiones cualesquiera puedan estar correiacionadas. ^oncretamente, si t=(1, 2,..., T)
indica la observación, la distribu^ión de las perturbaciones en el sistema puede representarse por: EUt^ = 0 bi,t; EU^ ^ = Q;; ^dt; EU;rU,, = d,, ^t; y EU;,U,,^ = 0 ^t ^ t' . Es
claro, pues, que tal estructura de covarianzas exige una ordenación unívoca de la
muestra en cada regresión; razón por la que estos modelos entrocan directamente con la
problemática de los datos tipo panel. Entonces, t es el tiempo y se dice que las
perturbaciones están contemporáneamente correlacionadas.
Este rnadelo básico ha sido extendido en distintas direcciones: Parks (1967} incluye la
carrelación serial medíante perturbaciones AR(1); Guilkey-Schmidt { 1973) consideran
vectores de procesos autorregresivos; Gallant (1975) introduce las no linealidades; GuillCey (1975) los regresores estocásticos; y Schmidt (1977} analiza un SRANR en el que
los tamaños muestrales difieren de una regresión a otra. Por otro lado, y dedicados más
específicamente al problema de la estimación de los SRANR podemos citar, entre otros,
a Zellner (19ó3) y(1971), Zellner-Huang (19b2}, Kmenta-Gilbert ( l 9b8) y{ 1970),
Oberhofer-Kmenta ( l 974), Swamy--Mehta (1975), Magnus (1978), Dwivedi-Srivastava
(1978) y Doran-Grif^iths (1983).
E1 conjunto de trabajos citados en el párrafo anterior abarca desde Ia propia definición de los estimadores para los distintos modelos hasta el análisis de sus propiedades
asintóticas y para muestras Fnitas pasando par comparaciones entre ellos que incluyen
experimentos de Monte Carlo. Sin embargo, en lo que se refiere al problema del
contraste el cuacíro ya no es tan completo. Podemos citar a Zellner (19b2) que se ocupa
del contraste del sesgo de agregación (identidad estructural de la parte sistemática entre
regresiones) en base al estadístico de la F(asintótica) para modelos con matriz de
covarianzas no escalar; por atro lado Parks { 19f^7), Guilkey (1974) y atros se han
ocupado de contrastes sobre la correlación serial utilizando alguna variante del
Durbin-Watson a el criterio de la Razón de Verosimilitud; finalmente Breusch y Pagan
(1980) han aplicado e) criterio del Multiplic;ador de Lagrange (LM) para cl contraste de
la independencia entre regresiones (^;; = 0).
La mayoría de estos trabajos son no específicos de los SRANR y se detienen en la
mera definición del estadístico correspondiente sin analizar sus propiedades. Canectando con esta crítica y en la línea del trabajo de Breusch y Pagan, en este artículo vamos a
APLICAC'ION DEL CRITERIO LM AL CONTRASTE DE LA INDEPE;^+DENC.'lA E^NTRE REC;RESI(:>NES
43
estudiar el comportamiento del criterio LM para el contraste de la independencia entre
regresiones cuando la correlación serial no se tiene en cuenta.
Entre todos los estadísticos y análisis posibles éste parece el más interesante por dos
razones fundamentales. En primer lugar porque del cumplimiento de la hipótesis
H^ = Q;; = 0 di ^^j depende la posibilidad de estimar eficientemente el modelo SRANR
por métodos uniecuacionales, bien por mínimos cuadrados ordinarios cuando no exista
autocorrelación o par otros métodos bien conocidos cuanda exista (ver Judge et. al.
(1980), cap. 5). Sin embargo, si a^; ^ 0, el modelo deberá estimarse por algún método de
los específieos para los SRANR, la mayoría de los cuales implican ciertas dif cultades
de cálculo. Es, pues, conveniente disponer de algún estadístico que permita llevar a
cabo el contraste de la hipótesis ^^; = 0 sin necesidad de estimar el modelo no restringido; en este sentido, la elección del criterio LM es obvia.
En segundo lugar, el interés en determinar el comportamiento de ciertos estadísticos
ante la autocorrelación no tenida en cuenta queda justificado por el tipo de datos que
suelen manejar los SRANR. En efecto, si la base de datos es un panel, la muestra en
cada regresión consistirá en series cronológicas de las distintas variables, con la consiguiente asociación con perturbaciones serialmente correlacionadas. Una salida posible
consistiría en diseñar un estadístico que incluyera algún esquema de correlación serial
entre las perturbaciones, y estimar cada regresión por separado por alguno de los
métodos correspondientes a los modelos con matriz de covarianzas no escalar. La
cuestión es que en este punto topamos de nuevo con costes de cálculo. Entonces, es
interesante averiguar si existe algún estadístico de cálculo más sencillo que conduzca a
decisiones acertadas respecto de H^ aún en presencia de ciertos errores de especificación.
Para cubrir el objetivo propuesto hemos diseñado un experimento de Monte Carlo en
el que se comparan los estadísticos para el contraste de la independencia con y sin e: ror
de especificación. Tales estadísticos se diseñan en Martínez Mongay (1984) a partir de
un SRANR general que combina las extensiones de Parks { 1967) y Schmidt (1977). En
esencia es un sistema de dos regresiones con T y T+H observaciones y correlación serial
y contemporánea. En lo que se refiere a la correlación serial en 1Vlartínez Mongay (op.
cit.) se introduce una modificación respecto de Parks consistente en el tratamiento de la
primera observación. Mientras que éste impone la condición de estacionariedad en los
procesos autorregresivus en aquél se utiliza la especificación de Magnus (1978} que
simplifica extraordinariamente el análisis y los cálculos, sin variar los resultados asintóticamente.
Este modelo mixto así como los distintos estadísticos objeto de estudio se analizan en
la sección 2. En la sección 3 describimos el experimento de simulación y presentamos
los resultados más interesantes. Por último, en la sección 4 exponemos las conclusiones.
44
2.
ESTADISTIC'A ESPAÑOLA
F^STADIS"I'ICOS PARA EI. Co^1"i'RASTE DF^ LA INDEPFNDPNCIA
El modelo especificado en Martínez Mongay (op. cit.) puede expresarse como sigue:
t = l, 2,... T
^i ^!
= ^; ^ + ^^ ^ x. ; ^, + . . . + f^;k ^;k r + U ^r
t-. l, 2,... T+H j= 2
U^, _ p^Ur,_, +^;t
U;r =^;, Cj - 1, 2),
,
E F; ,= r^;, b t;
E E; t = o b. j, t;
E E, ^
Cl = l, 2; t> 1)
= a, ^ b t
(1)
E E,, E^,• = o
E E^r ^^r• = E^^, E^,• -
Si mediante un "*" subindicamos las observaciones de la segunda regresión correspondientes {contemporáneas) can la prirnera y mediante un "H" las no correspondientes,
utilizando una notación matricial obvia tenemos
x,
o
Y.,
Y„
0
U,
iR^,^i
Y=
X^
X ^t
= X^f3 + U
+
(2)
U ^.
U^r
y en ocasiones utílizaremos
UM
X^=
Y ^ -Y„
U,=
X„
Por otro lado, sustituyendo reiter^^damente en
U;, _
U;, = 1^, U;,_ f+ F„ , se verifica,
t f:, ^ + /^^ ^, - ^,; , + . . . + /^; ^,, r + r:,^
-i
(4)
tcnemos quc
U;--A,^:,
( .i=l,?)
donde ^; es la rnatriz tiuhtri^^ngutar d^^ c^rden T(j-! ) c^ cie orden T+H (j=?) ruy^i t- ^ sim^^
fi la cs
^ /^; ^ ^
/^,' - ^
... 1
(^
...
()^
( f^ )
APLICACION DEL CRITERIO LM AL CONTRASTE DE LA 1NDEPENDENCIA ENTRE REGRESIONES
45
y, por tanto, el vector l1 se podrá escribir como
U,
A,
E,
= P^
U=
0
(7)
Az
Además
Q^^ I ^-
EE=O;
E^E'=Vt-
^
0
^r^, I70
Q^^ ^ I H
(g)
y como V^ es definida positiva, existirá una matriz d subtriangular tal que
d t^' = VF,
siendo
Oll
0
0^ ^
0,^
0/ i
^?3
0
h
^/lIT
^I f^^
0
033
1T
^Í
17-
QI1
d/l
^
^
^
Q» 1//
(9)
con h=(a,^ ^„-a;,}^
Si ahora representamos mediante
^ _ ^ ^J^ ^ ^ ^ ' _ ^ rl i ^l ^^ rl ^i ^ ,
una normal reducida 2T + H variante, tendremos que
E = dr^
^1
N (0 , 1 ^ i+^^)
( iQ)
Las expresiones (7) y(10) permiten reescribir (2) de la siguiente manera
Y=^C ^+ P ^1 r^
(1 1)
Expresión general que permite obtener de forma directa la log-verosimilitud, el ^radiente y la matriz de información de un SRANR general, tal y como se muestra en
Martínez Mongay (op. cit.).
lntroduciendo restricciones en (1 1) pueden obtenerse sin diticultades los SRAN R más
comunes en la literatura. Así, si P= 1 obtenemos el modelo de Schmidt (1977); si H= 0
obtenemos una variante del modelo de Parks (1 yó7) quc se diferencia de éste en el
4^
ESTA[^[STICA ESPAÑOI...A
tratamiento dado a la primera observación; y, finalmente, si H= 0 y P= 1 obtenemos el
rnodelo de ^eilner { 19E^2},
Por otro lado, las propiedades del criterio LM hacen que los estadísticos obtenidos en
base a( I I) gocen del mismo nivei de generalidad que éste. En efecto, si representamos
por 8 al vector pararnétrieo de un modelo, y por (1* la estimación maximoverosímil de
f^, obtenida asumiendo la certeza de una hipótesis nula que introduce s restrícciones en
^, es bien conocido que el Mul^tiplicador de Lagrange adopta la expresión:
LM = DL (f^*)' [ ^^,,,•^ ]
^
DL {^^*} - ,^-,,,
(12
)
donde DL{. ) y F(. ) son, respectivamente, el vector de primeras derivadas y 1a matriz de
información correspondiese al modelo no restringido (hipótesis alternativa) evaluadas en
f^ = f^*. Tal y eomo se demuestra en Martínez Mongay ( op. cit.), la apiicación de (12) al
contraste de la independencia entre regresiones (^1,^ i ^) conduce al estadistico
(^% ^*) ^
LMPS = (T+H)
(E j F, ) (É i t1 ^)
^
Xi 1,
(13)
^
donde los ^'s^ representan los vectores de residuos obtenidos al estimar por máxima
verosimilitud dos madelos lineales con perturbaciones AFL(1). Si ahora calculamos ( l 2)
cuando p, _^^, = 0, obtenemos el estadístico correspondiente al modelo de Schmidt
(I977)
(^,I C,*)^.^
LMS = (T+H)
(í4)
donde los e'.^^ representan los vectores de residuos minimo-cuadráticos en cada regresión, estimada independientemente de la otra. Análogamente, al introducir la restricción
H= 0 en ( 13) obtenemos el estadístico del modelo de Parks (19fi7)
{^,
f., ^)z
^
LMP= T
(15)
^ Xí` i ^
( ^:^
t:,) {F:^ f'^}
mientras que H = 0 junto con j^, _ ^,^^ _() conducen al estadístico para el modelo cie
Zellner (19ó2>
(^^^ ^'^)^
L !V^ 1: = T
(L^; c^i) (c'^ c^^)
En estc^s tios últirnos casC^ti el suhinciicc 2 coincicíe con lo quc hemoti venido suhindicando mediante e! "* ", pues ahc^ra n© cxisien observaciones no c;ontem poráneas.
APLIC'^('iC)N DEL, C'RITERtC) LM AL CONTRASTE DF C_A 1NDEPENDENC'IA EN`TKE REC;RESIONES
47
Centrándonos por el momento en ( l 5) y(16), obsérvese yue ambos son T veces el
cuadrado de un coeficiente de correlación entre vectores dc.^ residuos de la primera y
segunda regresión. El primero lo es entre los residuos generalizados y el segundo entre
los mínimo-cuadráticos. Por otra parte (ver apéndice 1) asintóticamente se cumple que
(!^^ - p^)^
LMZ = [ 1 -
, ] LMP
(1 - P^ P^)^
(17)
expresión a partir de la cual podríamos determinar formalmente, sin recurrir a experimento de simulación alguno, la robustez (asintótica) del criterio LM ante el error de
especificación que supone la existencia de autocorrelación no tenida en cuenta. Para
ello basta con considerar diferentes valores de p^ 1 y^^, en (17). Concretamente, podernos
compr^bar que {a) LMZ nunca será superior a LM P, (b) LMZ tiende a cero conforme
^^, y p, tienden a uno y son de signos contrarios y(c) que para valores iguales o rnuy
similares de pl y p,, LMZ será igual o muy similar a LMP. Consecuentemente, en el
nivel asintótico, ya que LMP es el estadístico correcto, podemos afirmar que LMZ es
robusto en tanto que para el mismo nivel de significación aceptará la hipótesis ^r,, = 0 al
menos en el mismo número de casos que LMP, aún en presencia de autocorrelación. Y
ésto ocurrirá tanto si la h i pótesis +^^ ,= 0 es cierta como si no, por él lo la potencia de
LMZ será inferior a la de LMP,
Sin embargo, en muestras finitas la situación ya no es tan clara. Definamos las
matrices
M; = 1- X; (}{^ }{^)- r}^^
{.i = 1, ^)
^
M;=1-B;X;(X'B;B;X;)-^ X^E3,'
donde B; = A;^ . Además, si detinimos
r = ^r^ , 1 ( J rr i ^ ^ +rr , , )
y particionamos M,, M, y A, en cuatro bloques scgún
M^
M, _
M f^.^
^
M^^^
Mj,^
M ^^
^
M ^^*
A*
0
A^r*
Afi
(18)
A,=
M ^^
48
ESTADtSTiCA ESPAÑ(JLA
podemos comprobar que
e^ = al, M^ A^ r^ f
^« = o^^^ [ r (M.A,. + A^.) r^^ + (1-r^)^ (M.A. + MÑ.AN,.) r^. + MÑ• AH ^lN ^
^N ` Q2Z [ r (MH+Ar + 1'ViHAH.) rl! + (1-r^)^ (MH.Aw + MNAN^) r^. + MNAN ^lH ]
(19)
( e^ ^ I e: e^ I')
^
^^ _ ^^^Mf ^l!
^^ = a^12 [ rM. r^^ +(1-r'^)^ M. r^. + M ^ • rlH ]
(20)
^H = ^^2 [ rMH^ ^lr + (1 -r`')^ MH^^ r^^ + MH ^iN
N 'y
( ^ 2 ^ ^ ^: ^'
Así, en el caso H= 0 tenemos
LMZ = T
^(rli Ni^ nf)^ + i 1-r`') (rlr N^z rl^)`' -±` 2r(1-r=)^ (n^ N^^ rlt) (rlt Ni^ rl^)
(^1 N1
r^^j [ r'{r^^ N, t^^) +( i-rz) (r^; N, r^^) + 2r(1-r )(r^^ N^^?) ]
(N! -- A^ M^ Al ,
LMP = T
N, i A; M, A,
y
i2 ^)
N1, = A^ M^ M, A,)
r`^(^l1MiM?^lr)? + (l -r`) (rI^M^M^r^^) + 2r(I -r)^ (^11MrM^^1^) (^1^M^M^^^)
,
(rlrM^^lr) I ^`^ (^liM^r^f) + (1-rr) (r1?M^r^^) + 2r(1-r`)- (^I^M?^1^) ^
(22)
LJn análisis muy somero de las expresiones (21 } y(22) nos va a permítir detectar
ciertas cuestiones de interés a la hora de asignar valares de los parámetras en el
experimento de Mante Carlo. En primer lugar, es de destacar que lo relevante no son
los valores concretos que puedan adoptar cr,,, rr,^ y cr f, sino la relacicín entre ellos por
medio de r que estará acotado entre -1 y 1. Por atro lado, las expresiones (21) y(22)
muestran que, caeteris paribus, los efectos finales dependerán de las estructuras de las
matrices de datos X, y X ,, ya que tanto los vectores c^; coma los É; se generan como
APL1CACiON DEI. CRITERIO LM AL CONTRASTE DE LA INDEPENDENCIA ENTRE REGRESIONES
49
transformaciones de vectores N(0, I) mediante matrices que involucran a X^, A^ o B^
EÍ=1,2)•
Lo anterior significa que en principio podría parecer conveniente repetir el experimento considerando estructuras alternativas para las matrices X^, muchas de 1as cuales
estarian realmente alejadas de la situación más frecuente en el análisis empírico. En
primer lugar, los individuos que componen el panel se encontrarán inmersos en una
misma realidad económica y, por tanto, podemos suponer que los mecanismos que
generan el regresor X^ en la unidad 1 y en la 2 son similares, aunque no necesariamente
conduzcan a valores idénticos. En segundo lugar, las series económicas pueden corresponder a mecanismos de generación muy diversos (ver Dubbelman, Louter y Abrahamse
(1978) y Granger y Morris (1976}, entre otros), pero independientemente de éstos la
mayoría de las series analizadas resultan no estacionarias y, más concretamente, muestran tendencias claras. Por otra parte, no es frecuente que con caracter general las series
económicas presenten variaciones elevadas de un año a otro, ni tan siquiera las variables de control o aquéllas sometidas a intervenciones. Con todo, el abanico de estructuras de generación de series económicas seria suficiente amplio como para renunciar a la
experimentación. Sin embargo, este escollo puede sup^erarse sin que por ello renunciemos a un nivel de generalidad razonablemente alto. Como hacen muchos autores, y
concretamente en el marco de los SRANR, Doran y Griffiths (1983), podemos recoger
las características más relevantes de las series económicas rnediante series smooth, es
decir, tales que X^ - X^_ 1 sea de menor orden que X t_ ^, o bien que
Xr ' Xr- ^ _ (1-P) Xi
Bajo estas condiciones, M1 M2 se compc,rtará como una matriz idempotente, o bien
M^ ^ M2 - M. Tendremos, entonces que si p^ i p2, A^ ^ A2 y por (19)
e! = a, l MA rl,
e2 = a22
Por otro lado,
rel + (1-rz)^ MA r^Z ]
^ p1 -pZ ^^ 2 A^ será muy diferente de Az y
e^ ^ ^zz ^ r MA2 ^li + (1-rz)^ MAz ^1z l
Es claro, pues, que la correlación entre e, y ez será much© menor cuand0 p, y p2 sean
grandes en valor absoluto pero con signos contrarios.
50
FSTAnI^^[^it`A ESPAÑOiA
Si r - 0, tendremos
pl = pa
er =^ MA ^1^
Y
e^^ _ ^ ^^a M A ^l ^^
^ P1 -pa i -^
er = ^ ^e ^ MAi ^l r
Y
ea = ^ ^aa MAa r!a
los peligros de correlación espúrea entre e, y e^ son mayores cuando p j= pa. Podemos
concluir que LMZ( ^ p, - pz ^--^ 0) < LMZ(p^ = pa}. A,demás, obviamente,
©1 = Pa = U ^ LMP = LMZ.
En cuanto a LMP, si los regresores son smooth, se cumplirá que en (19)
B^X^ - (l -p;) X*
donde X* es una matriz cuya primera f la es la primera de X^ dividida por (1 - p^),
mientras que cualquier otra f la será idéntica a su correspondiente en X^. Podemos
concluir que en el caso smooth la influencia de los p^ será escasa pues
M^ = 1 - }^* (^{* s X,^ }-1 .`,,^*I
y será menos importante cuanto mayor sea T.
Hay que destacar que tai afirmación no tiene por qué cumpiirse para valores extrernos de p^. En efecto, la aproximación anterior implicaria que X^ - Xt_1 = 0 en p= 1 y
que .^i^^ + X^+, =^ Xt en p=-1, lo cual no es una característica de las series smooth sino
que, más bien, estaría indicando variaciones infinitesimales independientemente del
orden de Xt_1. Asi pues, podemos esperar comportamientos anómalos de LMP para
valores altos de p, y/o p2.
Finalmente, en cuanto la influencia de H es evidente que el caso H^0 significa una
mayor cantidad de inf©rrnación frente a H= 0. Por tanto, es de esperar que todo lo
dicho hasta ahora se mantenga cuando consideremos LMS ó LM PS, excepto porque
observaremos una convergencia más rápida hacia las distribuciones asintóticas correspondientes.
3.
H;XP^^ R1^1EN'I'^
Para analizar el camportamiento de los distintos estadisticos considerados hemos
diseñacío el siguiente modelo:
^^,,=a;+j^,X,,+^,^
.^= l, 2
APLIC'ACION DEL CRITERIO LM AL CONTRASTE DE LA INDEPENDENCIA ENTRE REGRESIONES
.I = 1, 2
U^^ = Eil ^ Uir = PiUir-1 + Ei! (t > 2)
'/^^
^ /, _ ^ « I 1 ^Í I r
51
^
^2r - ^ ^Z? t ri l, + t 1- r` ) >72r ^
= 1, 2,...,T
t >T
E^r = ^ a^ ^ rl^^
De todos los parámetros que aparecen en el modelo, c^l^, Q22, a^, ^3^, a2 y^2 no figuran
en las expresiones de LMZ y/o LM P, por lo cual su valor ha perrnanecido inalterado a
lo largo de todo el experimento. Para relacionar directamente a a1z con r, hemos hecho
Clil - Q^2 = l.
En cuanto a[os parámetros de la parte sisternática hemos elegido los siguientes
valores que no responden a regla o criterio alguno:
a^ = 32
^z = 0,75
^31 = 0,85
a2 = 35
Con el fin de no alterar la hipótesis de regresores fijos en los SRANR, Ias series de los
regresores han permanecido inalterados para cualesquiera valores de pl, p2, r, T y H.
La única muestra de esos regresores responde al esquema:
%{Ir = X ^r-1 +^, U(0,1)
X10 = 100
.^ 1= 10
X,^ = X,5_, +^, U(0,1)
X20 = 1 10
^, ,= 1 1
donde U(0,1) es la distribución uniforme. Las series asi generadas cumplen al menos
aproximadamente las condiciones del apartado anteríor.
Mediante la subrutina GGNML de la Librería [MSL generamos 100 vectores_ aleatorios de 252 elementos en la N(0,1). LJtilizando la matriz d de (9) reformulada en
términos de r
h
^r, ^
--_ ^--^- _ ^ c^» r
y vll
--^-^--^
--- =
^ ull
a ^_^
^
(1- r- )-
se obtuvie^-on las l 00 muestras de E f y E, para cada uno de los 1 1 valores siguientes de r
y=0,^0.05 ,
±0.1 ,
^0.4 ,
±0.5 ,
A continuación considerando el conjunto de valores para pl y p^
U,
±0.2 , ±0.4, ±0.6 , ±0.8 , ±0.95
±0.8
52
ESTADISTIC A E5PAÑOLA
y su producto cartesiano obtuvimos los 121 pares ( p,, p2 ) a partir de los cuales se
generaron las 100 x 121 muestras de U, y U, para cada r y cada uno de los siguientes
tamaí^os muestrales:
T= 20, ^0, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 1 10, 120
A fin de evitar que el posible efecto de las observaciones no contemparáneas (H) se
elirnine al aumentar T, estos once tamaños muestrales han sido combinados con la
función de T, H= T/ 10, y con H= 0.
En resumen, dado un r, un ( pl, p^ ), un T y el valar de H, dispondremos de las l00
muestras para U, y U1, y dados a,, rxz, QI y^, pademos generar las 100 realizaciones de
Y, e Y2. Tenemos así las 10^0 modelos de la forma {Y1, X,) y los otros 100 {Yz, X2),
estimados por m.c.o. separadamente obtendremos los 100 valores de LMZ {H = 0) cí
LMS (H = T/ 10). En esta primera fase el cáiculo de LMP ó LMPS se ha realizado
mediante la estimacián de cada regresián por mínimos cuadrados generalizados, es
decir, suponiendo que los p`s son conocidos. En definitiva para cada combinación (r, p,,
pz, T) obtendrem©s los 100 valares de los estadisticos LMZ, LMS, LMP y LMPS.
Cada uno de estos 100 valores se han comparado con el cuantil de la ,^^„ al nivel del
S°lo y se ha anotado el número de veces que el estadistico es menor que ese cuantii. Es
evidente que dicho núrnero coincide con el porcentaje de veces que hubiéramos aceptado la hipótesis a^,, = 0(r-0).
En el vaciado de resu ltados se han agrupado esos porcentajes para cada T, H y r
abteniéndose unas tablas que nos dan el número de veces que aceptamos la hipátesis
nula d, ^= 0 para todos y cada uno de los 121 pares { p,, p, ) dados el valor de r y los
tamaños muestrales)''. Es decir, para cada estadístico hemos estimado un total de 121 x
i 21 x 100 x 2= 2.928.200 modelos uniecuacionales.
E1 análisis de esas tablas nos permite resumir los efectos sobre los estadísticos LM
provocados por cambios en
1) El valor absoluto de r,^ r(
2} E 1 signo de r
agrupados en los siguientes intervalos
p,
p^
y
3} Variaciones en
rectangulares.
(valores bajos de ^ p, ^ y ^ p2 ^)
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I2: pl = p2 # 0
(valores altos de ^ p, ^ y ^ p^ ^ con el mismo signo}
I3: -p, = p2 # 0
(valores altos de ^ p1 ^ y ^ p2 ^ c©n signos contrarios)
4) Cambios en H
(1)
Evidentemente por razones de espacio, sól© se incluyen aquí algunas de las más representativas.
APLICAC1CiN DEI. CRITERIO LM AL CONTRASTE DE LA INDEPENDENC[A ENTRE REGRESIONES
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APLICACION DEL CRITERIO LM AL CONTRASTE DE LA INDEPENDENCIA ENTRE REGRESI©NES
Si
Por razones que apuntaremos al relatar los efectos de 4) vamos a estudiar 1) a 3) para
H= 0(estadísticos LMZ y LMP), realizando las matizaciones oportunas en su momento
para H= 0. En primer lugar veamos el caso r= 0, es decir, bajo la certeza de la
hipótesis nula, en base a las tablas 1 y 2 podemos comprobar que:
a)
En I, LMZ -^ LM P y la aproximación aumenta conforme T aumenta.
b) En IZ LMP tiene un comportamiento asimétrico, es mayor conforme p,, p2 -> l.
Algo similar se observa en LMZ pero cuando p^, pZ -> -1. Estas asimetrías tienen a
decrecer con T pero, con todo, en los valores extremos de ^ p^ ( y^ pz ^ el número de
casos aceptados es inferior al nivel de confianza. Con todo parece evidenciarse que
LMZ > LM P, cuando p! y p2 son elevados y del mismo signo.
c)
En Ij es claro que LMZ < LMP. A1 igual que ocurre asintóticamente, se deduce
que LMZ -> 0.
Si la hipótesis nula es falsa podemos concluir que para:
1)
Cambios en ^ r ^
Como era de esperar, los valores bajos de ^ r ^ en ambos estadísticos son equiparados a
r= 0, aunque parece que LM P decide algo mejor que LMZ. Si los valores de ^ r ^ son
moderados las decisiones a las que conducen ambos estadísticos son erróneas para T
pequeño, y mejoran sensiblemente a partir de valores moderados de T. No obstante,
LMP es superior a LMZ, excepto en I^ (ver tablas 3 y 4).
Por último, si los valores de ^ r^ son altos (v.gr. ± 0.8), el comportamiento de LMP es
óptimo incluso para T pequeño, excepto en los valores muy extremos de pr y/o p^. En
cuanto a LMZ, su comportamiento es muy aceptable comparativamente con LMP, a
excepción de los extremos en I j.
2)
Cambios en el signo de r
En valores moderados de r se aprecian diferencias poco significativas que tienden a
desaparecer conforme aumenta T, y/o aumenta ^ r j.
3)
Cambios en p, y p,
Reordenando lo dicho hasta ahora, podemos afirmar que las variaciones provocadas
por aumentos en p^ y p, llevan direcciones similares en LMZ y LMP, es decir,
conducen a decisiones erróneas en ambos, aunque de forma más evidente en LMZ,
sobre tado en I^. En cualquier caso, es claro que si excluimos casos muy extremos en p^
y pz la influencia de los procesos autorregresiv©s es relativamente escasa, sobre todo en
LMP, siendo Ir^ y T los factores determinantes en el funcionamiento de ambos contrastes.
ESTAC)IS^^^I I^ .^ ESF'r^!^+t?l..A
5$
4)
C'ambios en H
Dado H^t^, las relaciones entre LMS y L^IPS son similares a las deducidas para
LMZ y LMP, por ello y por cuestión de espacio no se han incluído tablas para H^ 0,
(Los autores las pondrán a disposición del lector interesado). La única diferencia
consiste en que la asimetría observada en LM P se amortigua en LM PS. Este hecho tiene
una explicación lógica que surge cuando comparamos LMZ con LMS o LM P con
LM PS dados r, T y(p,, ^,): los estadísticos con H^ 0 funcionan algo mejor que los
estadisticos con H= U, pues, evidentemente, manejan e incorporan más información
muestral para cada T. Con todo, só3o podemos utilizar expresiones como "la simetría ...
se amortigua"o "funcionan algo mejor" porque las diferencias en muchas ocasiones
rayan lo sutil.
En toda esta parte del experi mento los estadísticos LM P y LM PS han sido calculados
estimando cada regresión por mínimos cuadrados generalizados, considerando los verdaderos valores de ^, y p,. No siendo ésta la situación real en el análisis aplicado pareció
conveniente, en principio, rediseñar el experirnento a fin de calcular LMP cuando ^^, y
p^ no se conocen y deben ser estirnados.
Ello comporta la maximización de la logverosimilitud de los modelos con perturbaciones AR(1) o, equivalentemente en nucstro caso, por ser r^„ y rr„ conocidos, la
minimización de sendas funciones del tipo
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(23)
Los valores á,, ^3, y ^^; (j = 1,2) que minimizan esta función se utilizaron para calcular
los fi^ en LM P. En lo sucesivo el estadístico resultante se denotará mediante LM P*.
Basándonos en la información obtenida en el primer experimento, se restringieron loti
pares de f>'.s^ a(U,U}, ( U , 0, 5), (-U, 5, 0), {U, 5, U, 5), (-U, 5 ,-U, 5}, (-0, 5 , 0, 5), (U,9 , 0,9 ) y
(0,9 ,-U,9}, consicierándose los tamaños muestrales T= 1 U, 2U, 50 y 120, sicmprc con F^
= 0 y^,, _(^. Como cahía esperar, las di ferencias cntre LM P* y LM N son m í n i m^Y^ ^ y
sólo son aprcciablcs pard tamaños muestrales hajo^ ( 10 y 2()), rY^icntr^is quc pttr^t "[' = 5()
y T= 120 no existen variaciones significativas de LMP* rc;spcc;to de LMP. nc hccho,
para T> SU y en todo el rango dc variación de ^^, y^^,, lo^ cst^idístic^oti par^^ la honciaci
del ajuste (v.gr. Kolmogorov-Smirnov, ver Siegcl, 19^0) mostrahan quc podir^ accptartic
la hipótesi^; de distrihución Chi-Cuadrado al cinco por cicnto par<< I.ME'*.
Estos resultddos no son cn ahsoluto sorprencientes y, por cllo, no vicncn :^usicntacio^
en este artículo por las salidas cie c^rden^^clor corre^;pc^ndicntcs. La rarón eti que lc^^;
APLIC'AC'ION [JEL C'RITERIO LM AL C'C)NTRASTE DE LA ItiDE:PEN[)F:^^t'[:^ L`yTRf:: RE_t;RE:41()tiE:S
59
estimadores obtenidos en (23) son idénticos a los maximoverosímiles. Son, por tanto,
consistentes, pues no hay errores de especiticación. Entonces, en el límite LM P*
^ LMP. Es claro, pues, que las similitudes y divergencias detectadas entre LMP y LMZ
son aplicables a LMP*.
4.
CONCI,U^IONFS
En este trabajo hemos Ilevado a cabo un estudio del comportamiento del criterio LM
para el contraste de la independencia en un Sistema de Regresiones Aparentemente No
Relacionadas en el que la autocorrelación no ha sido tenida en cuenta. Para ello, hemos
presentado los resultados proporcionados por un experimento de Monte Carlo.
Los resultados obtenidos en la sección 3 permiten afirmar que la relación entre LMZ
y LMP y, por tanto, el comportamiento de LM"L para muestras finitas es muy similar a
la relación asintótica establecida en (17), incluso para tamaños muestrales moderados o
bajos. De hecho los siguientes resultados deducidos en la sección 3 concuerdan de forma
muy aproximada con sus equivalentes en { 17).
En primer lugar, si ^^, = o es cierta, los resuitados presentados en la tabla 1 muestran
que para valores absolutos de n^ y^a^ no próximos a la unidad, LMZ, el estadístico que
incluye un error de especificación, no trabaja mucho peor que LM P, el estadístico sin
error de especificación. De hecho, asintóticamente las diferencias tienden a desaparecer,
y si, además, lo comparamos con LMP*, es decir, con el estadístico correcto en el que
^^i y p^ se estiman por máxima verosimilitud, podemos concluir que no existen ventajas
en la utilización del estadístico que tiene en cuenta la correlación serial. Cuando ésta es
fuerte y del mismo signo en ambas regresiones, lo cual puede ser la situación nlás
común, ambos estadísticos deciden deficienten^entc, aunque el correcto (LMP, LMP* ó
LM PS) mejora conforme aumenta el tamaño muestral, mientras que LM7.__ opera mejor
para tamaños muestrales moderados. Por otro lado, para c.^orrelaciones seriales elevadas
pero de signo contrario (situación más bien rara) LMZ es claramente robusto, pues
muestra una tendencia clara a aceptar cr,, = 0 siendo cicrta.
Este comportamic:nto de LMZ respecto de LMP tic 111^illtit•nc cuando ^,. =(^ c.^s #{ils^^.
Es decir, si excluímos el caso de elevada correlación s^^rial coc^ signo dit^rcnt^•, ^imhos
cstadísticos muestran un comportamiento similar. Amhc)s ticnden << r^•l`llwl"L^lr la l^ipótesis nula en todas las extracciones cuanto mayor ^^s ^^I t^^n^^lñ^^ n^u^•str^il y ptira ^^^ilor^^s
no extremos de los coeficientes de autocorrelación. A11^hc^s present^ii^ un m^^l l'C)[1l^ol"tamicnto para tamaños r^^ucstralcs bajos. EI est^^dítitico l_Míl_ sólo ^^^ cl^^r^>»>^^ntc i^lt^rior ^i
LM P cuando la corr^•I^YCión ticrial cs clevacía y dc signc) cont r^irio.
Pucsto que cst^t situ^ición nc) parccc.• I^t m^íti l'OI11Un cn ^•1 ^^n^ílisiti ^^plic^t^lc^, pc^dc.•mc^s
concluir que las vcnt^ijas proporcionad^^s por c.•c^ntr^ist^ir I^i hipótcsis dc ind^^pcndcn^•ia
60
ESTADISl IC A ESPAf^OLA
teniendo en cuenta la correlación serial no superan los costos de cálculo. Por tanto, en
la situación más común en el análisis empirico, no será erróneo conirastar la independencia aplicando directarnente el criterio LM al modelo de Zellner o al de Schmidt,
según los casos. La robustez del criterio ha quedado demostrada tanto asintóticamente
como para muestras finitas. Sin embargo, la potencía del contraste no es elevada cuando
los tamaños muestrales son muy bajos o cuand© la correlación serial es elevada y de
signo contrario, pues, independientemente del tamaño muestral, LMZ ^ 0.
Apéndice 1.
Relsción asintótica entre LMZ Y LMP
^onsideremos el modelo
(Al.l)
Y1=XiIQ+Ur ^ Ur=oUr-t+Er
Suponiendo que p es conocido y que los regresores son estocásticamente independientes
de la perturbación, es bien conacido que se cumpie que: (a) el estimador m.c.o. de p es
consistente y los residuos m.^c.o. convergen en probabilidad a U y(b) el estimador
mínimo cuadrático generalizado de j3 es consistente y los residuos generalizados convergen en probabilidad al ruido.
Por otra parte, dados dos procesos AR(1)
U;^ = P; U;^- i
E;^
,j = l,2
2
E E?r = ^?1
(A1.2)
E ^1i^?r - Q1?
la covarianza contemporánea entre U, y U, será igual a
E(U,,U ^,) = a, ^ 1 (1-p,p,)
(A1.3}
Def namos ahora la siguiente expresión
(E
U; U, ^
T )-
SZ^=T
(1-pi) (1-t'j3)
_
T
tl, , t7` ,
U^ U,
Uz U^
,r
(E
)
){E
.r
( 1-p^ f^,),
( ^- p%)( ^- p^)
F
( EF I 2)I
T
,
f;^
(1 - /^ ^p2)^
(E
l:,
.^,
,
f; .
) { E .^..
1;^
)
(A I .4)
APLIt'AC'ION DEL C'RITERICi LM AL C`4NTRASTE DE LA 1NDEPENDENCIA ENTRE REC;RESIUNES
b1
Además
t 1 - P^) (1 ' P^)
1_
^
(
P1 Pz)
! 1_
^
Pr - o^ ^
1_
^
P! P ^
Finalmente, combinada (A l.4) y(A 1. 5) y tenienda en cuenta ( a) y(b) se obtiene el
resultado asintótico establecido en (17).
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SUM]VIARY
A PPI.YI NG TH E LM CRITERION TO TES`I' TH E I N DEPEN DENCE
BE"TWEEN REGRESSIONS. A Simulation Experiment.
In this paper the Lhji criterion is applied to test the hypothesis of
independence between regressions in several SURE models (Zellner (1962),
Parks ( l 9ó7), Schrr^ idt (1977) and Martínez Mongay (1984)). Comparing
the statistics obtained in Zellner and Schmidt models with the ones in
Parks and Martínez Mongay, we can analyze the influence of the misspecification in serial correlation on the LM-criterion. For that, a simulation
experiment has been carried. We have conclude that, in the most common
situations, the LM criterion applied to misspecified SU RE models works as
well as the LM appiied to models which take in account the serial correlation.
l^ey ^lt^rcl.^^. SURE models. Hypothesis testing, Contemporaneous carrelation. Serial Correlatian. LM Criterion.
AMS 1980. Subject classification: b2P20.