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CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS EN LA MATERIA
Prof. O. Contreras
Al considerar campos dentro de materiales, el campo Eléctrico induce a nivel atómico, Dipolos
de Momento Dipolar Eléctrico p
⃗ = q ⃗⃗⃗
∆l. Si el número de átomos polarizados por unidad de
⃗ como el
volumen es n ( concentración ), se define a nivel macroscópico, la Polarización P
⃗ = n⃗⃗⃗p. Dentro del material la densidad de
Momento Dipolar Eléctrico por unidad de Volumen P
carga  constará de dos términos: La densidad de carga inducida por la Polarización ( POL ) y la
densidad de carga “normal” o carga libre ( L ), es decir:
 = L + POL.
Se puede demostrar 1 que
ρPOL = - ⃗∇ °⃗⃗⃗P.
Similarmente los efectos magnéticos inducen, a nivel atómico, Dipolos de Momento Dipolar
⃗⃗ definida como
Magnético m
⃗⃗⃗ = I ⃗⃗⃗⃗⃗
∆A , que macroscópicamente producen una Magnetización ⃗M
⃗⃗ = n⃗⃗⃗⃗
el Momento Dipolar Magnético por unidad de volumen ⃗M
m. Adicional a las corrientes
“normales”, llamadas corrientes de conducción o corrientes libres ( JL ), se pueden asociar los
efectos de la Magnetización a una Densidad de Corriente de Magnetización ( JMAG ), que se
calcula 2 según la ecuación:
⃗ ×M
⃗⃗⃗ .
JMAG = ∇
Si la Polarización eléctrica varía con el tiempo se inducen efectos magnéticos asociados a una
Densidad de Corriente de Polarización, cuya expresión2 es:
JPOL =
⃗
∂P
∂t
Es decir,
J = JL + JMAG + JPOL .
Los efectos de Polarización y Magnetización debemos considerarlos, a partir de las ecuaciones
de Maxwell:
ρ
ϵ0
⃗ °⃗⃗⃗B = 0
∇
⃗
∂B
⃗ ×E
⃗ =∇
∂t
⃗ °E
⃗ =
∇
⃗∇ ×B
⃗ = μ0 J+ μ0 ϵ0
1
2
⃗
∂E
∂t
Ver Guía de Polarización (en proceso).
Ver Guía de Magnetización.
1
Dentro de la materia, dos de ellas se convierten en:
⃗∇ ° (E
⃗+
⃗P
ρL
)=
ϵ0
ϵ0
⃗∇ ×(B
⃗ − μ0 ⃗M
⃗⃗ ) = μ0 JL + μ0 ϵ0
⃗P
∂
⃗+ )
(E
∂t
ϵ0
⃗ = ϵ0 E
⃗ +P
⃗ , tradicionalmente llamado Desplazamiento (?) Eléctrico, y el
Definiendo el vector D
⃗ = ⃗B − μ0 ⃗M
⃗⃗ , que para distinguirlo del Campo magnético ⃗B, llamaremos Campo
vector ⃗H
⃗⃗ , obtenemos:
magnético H
⃗∇ ° ⃗D = ρL
⃗∇ ×H
⃗⃗ =JL +
⃗
∂D
∂t
Esta última ecuación indica que para campos estáticos o que varían lentamente con el tiempo
⃗⃗ está relacionado directamente con las corrientes de conducción, que
el Campo magnético H
⃗ se usa mucho más que el
son muy fáciles de medir con un amperímetro y por lo tanto ⃗H
⃗ . Sin embargo, se considera a B
⃗ un campo magnético fundamental y no a
Campo magnético B
⃗⃗ por que la no existencia de monopolos magnéticos, lo cual es una ley fundamental en la
H
Física, hace que la divergencia de ⃗B sea siempre cero, aún dentro de la materia. Por otra parte
⃗⃗ puede ser diferente de cero.
la divergencia de H
No sucede lo mismo con ⃗D ya que medir densidades de carga es mucho más difícil y el campo
⃗ se puede relacionar con el voltaje que es más fácil de medir con un voltímetro,3 por eso se
E
usa mas el Campo eléctrico ⃗E que el ⃗D.
Por comparación entre los dos últimos términos de la anterior ecuación se define la corriente
de desplazamiento JD =
⃗⃗
∂D
.
∂t
Es solo una definición y no corresponde físicamente con ningún
movimiento de cargas.
Solo estudiaremos materiales simples, es decir materiales homogéneos (su respuesta a los
campos dentro del material no depende de la posición), isotrópicos (su respuesta a los campos
dentro del material no depende de la dirección) y lineales (su respuesta es proporcional a la
magnitud de los campos). En dichos materiales la Polarización es proporcional al campo
Eléctrico y la Magnetización al Campo Magnético:
⃗ = ϵ0 χe E
⃗
P
⃗⃗⃗ = χm H
⃗⃗
M
3
Aunque es costumbre llamar al Voltaje la Tensión, el voltímetro y el tensiómetro miden magnitudes
diferentes.
2
Las constantes adimensionales e y m se conocen como las susceptibilidades eléctrica y
magnética respectivamente y su valor depende del material. Con estas definiciones podemos
eliminar la Polarización y la Magnetización de las ecuaciones de Maxwell, ya que:
⃗D = ϵ0 ⃗E + ⃗P = (1 + χe )ϵ0 ⃗E = ϵE
⃗
y
⃗ = μ0 (H
⃗⃗ + M
⃗⃗⃗ ) = (1 + χm )μ0 H
⃗⃗ = μH
⃗⃗
B
Los nuevos parámetros ϵ y μ se llaman la permitividad y la permeabilidad del material. En el
vacío e y m son cero y por lo tanto
ϵ = ϵ0
μ = μ0 .
También para materiales lineales la corriente de conducción cumple la ley de Ohm:
⃗
JL = σE
Usando estas definiciones, los Campos Eléctrico y Magnético dentro del material simple se
obtienen a partir de las siguientes ecuaciones de Maxwell:
ρL
ϵ
⃗∇ °⃗⃗⃗B = 0
⃗
∂B
⃗ ×E
⃗ =∇
∂t
⃗ °E
⃗ =
∇
⃗∇ ×B
⃗ = μσE
⃗ +μϵ
⃗
∂E
∂t
Para resolver estas ecuaciones supongamos que los Campos Eléctrico y Magnético
corresponden con una onda plana viajando hacia +z:
⃗ = E0 ej(ωt−kz) î = Ex î
E
⃗B = B0 ej(ωt−kz) ĵ = By ĵ
Así de la tercera ecuación ( ⃗∇ × ⃗E ) obtenemos: k Ex = ω By
Y de la cuarta ( ⃗∇ × ⃗B ), usando el anterior resultado, obtenemos la Relación de Dispersión:
k 2 = ω2 μ ϵ − j ω μ σ.
En general, k = √k 2 , es un número complejo y su parte imaginaria será el coeficiente de
amortiguamiento α=-im{k}.
Por lo tanto la solución de las ecuaciones de Maxwell en medios materiales corresponde con
una onda viajera amortiguada:
⃗ = E0 e−∝z ej(ωt−kr z) î
E
⃗B = B0 e−∝z ej(ωt−kr z) ĵ
3
DIELÉCTRICOS.
Un material es considerado un Dieléctrico si el término de la corriente de Desplazamiento es
mucho mayor que el de conducción:
|JD | ≫ |JL |
ω2 μ ϵ ≫ ω μ σ
En este caso la relación de dispersión queda:
k = ω √μ ϵ
Y la velocidad de la onda en el dieléctrico:
v=
ω
1
=
k √μ ϵ
La impedancia del medio se define como:
𝐙=
By
By
H
ϵ
=
= ω
=√
E μ Ex μ By
μ
k
Y la Impedancia del vacío será:
ϵ0
𝐙0 = √ = 376,7 Ω
μ0
En general para dieléctricos la permeabilidad es prácticamente igual a la del vacío µ0 y de la
relación de dispersión para dieléctricos observamos que solo puede haber absorción si la
permitividad es compleja:
ϵ = ϵ′ − j ϵ′′
Y se llama tangente de pérdidas a la relación:
Tg δ =
ϵ′′
ϵ′
CONDUCTORES.
Para conductores
|JD | ≪ |JL |
ωμϵ≪ μσ
4
y la relación de dispersión queda4:
k 2 = −j ω μ σ
Usando que √−j =
1−j
,
√2
la relación queda:
k = (1 − j)√
ωμσ
2
La parte imaginaria de esta ecuación permite definir una distancia característica de
penetración de la onda en un conductor, llamada profundidad de penetración o profundidad
de piel:
δ=
1
2
=√
α
ωμσ
Nótese que mientras mayor la frecuencia menor es la penetración de la onda (más absorción)
y por eso a frecuencias visibles los conductores son opacos, excepto en láminas muy delgadas
de espesores comparables con .
Note que para frecuencias muy altas ( Como es el caso de rayos  ) la inecuación deja de cumplirse y un
“conductor a frecuencias normales” se comportará como un dieléctrico a muy alta frecuencia.
4
5