calculo_de_volumenes_mediante_cortezas_cilindricas

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(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
CÁLCULO DE VOLÚMENES
MEDIANTE CORTEZAS CILÍNDRICAS
Este método se basa en utilizar anillos cilíndricos de poco
grosor llamados cortezas y que se ilustra en la siguiente
figura:
r
r2
r1
Δr
h
El volumen de una corteza cilíndrica de radio exterior
radio interior
r1 y altura h está dado por:
r2 ,
V = volumen del cilindro exterior menos
volumen del hueco
V = π r2 2 h − π r12 h
que también se puede escribir como:
⎛r +r ⎞
V = π (r2 2 − r12 )h = π (r2 + r1)(r2 − r1)h = 2π ⎜ 2 1 ⎟ h(r2 − r1)
⎝ 2 ⎠
En el primer paréntesis de la expresión obtenida se tiene el
radio medio de la corteza, denotado con r en la figura, es
decir, que
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
2
r=
r2 + r1
2
Y en el segundo paréntesis de dicha expresión se tiene el
grosor de la corteza, denotado en la figura con Δr y que
equivale a:
Δr = r2 − r1
Luego entonces, tomando en consideración esto, el volumen
de la corteza cilíndrica se puede escribir como:
V = 2π r h Δr
Por lo que.
Vcorteza = 2π (radio medio)(altura)(grosor)
Sea f una función continua y no negativa en el intervalo
cerrado ⎡⎣ a, b ⎤⎦ , donde 0 ≤ a < b . Y sea R la región
acotada por la gráfica de la función, el eje de las abscisas y
las rectas de ecuaciones x = a y x = b , tal como se
muestra en la figura siguiente:
y
y = f(x)
R
a
b
Si se gira la región R alrededor del eje
de revolución mostrado en la figura:
x
" y " se forma el sólido
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
3
y
a
b
x
Nótese que si a > 0 , entonces el sólido de revolución tiene
un agujero cilíndrico de radio " a " .
⎡⎣ a, b⎤⎦ y se
considera el rectángulo de base ⎡⎣ xn−1, xn ⎤⎦ y altura f(wn ),
donde wn es el punto medio del subintervalo ⎡⎣ xn−1, xn ⎤⎦ .
Cuando este rectángulo gira alrededor del eje " y " , entonces
se obtiene una corteza cilíndrica con radio medio wn , altura
f(wn ) y espesor Δxn = xn − xn−1
Se construye ahora una partición del intervalo
y
Δxn
f(wn )
a x w xn b
n
n−1
x
El volumen de esta corteza cilíndrica es.
Vn = 2π wnf(wn )Δxn
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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Si se suman todos los volúmenes de los subintervalos de la
partición se llega a:
V ≈ ∑ 2wnf(wn )Δxn
n
que es una suma que da un valor aproximado al volumen del
sólido de revolución. Una figura para ilustrar el volumen
correspondiente a esta sumatoria se muestra a continuación,
considerando una partición con pocos subintervalos.
y
x
a
b
Es evidente que mientras menor sea la norma
Δ de la
partición, mayor será la aproximación de la sumatoria con el
volumen del sólido de revolución, objeto del problema en
estudio.
De acuerdo con lo ya estudiado del límite de una sumatoria,
es posible establecer la siguiente definición:
DEFINICIÓN.
Sea f una función continua y valuada
positivamente en el intervalo ⎡⎣ a, b ⎤⎦ para el que se cumple
que 0 ≤ a < b . Entonces, el volumen V del sólido de
revolución que se genera al girar alrededor del eje " y " , la
región limitada por la gráfica de f , el eje de las abscisas y las
rectas x = a y x = b , es igual a:
b
V = lim ∑ 2π wn f(wn )Δxk = ∫ 2π x f(x)dx
Δ →0
n
a
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
5
Como se observa, el volumen se obtiene con una integral
definida.
A manera de resumen, considerando las dos posibilidades de
ejes de revolución, los ejes " x " y " y " , se tiene que:
Se considera una misma región y
i) Si el eje de revolución es el eje vertical, entonces,
b
p(x)
∴ V = 2π ∫ p(x)q(x)dx
a
q(x)
eje de revolución
a
ii)
Δx
b
Si el eje de revolución es el eje horizontal, entonces,
q(y)
d
d
∴ V = 2π ∫ p(y)q(y)dy
c
Δy
c
p(y)
eje de revolución
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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Ahora se resolverán algunos ejercicios de aplicación de este
método para calcular volúmenes de sólidos de revolución.
Ejemplo. Se construye un depósito de combustible cuya
forma se obtiene al hacer girar alrededor del eje de las
abscisas, el segmento de la parábola
x2
y =2−
8
;
−4≤ x≤4
¿Cuál es su volumen? (las magnitudes " x " y " y " en
metros). Utilizar para el cálculo los dos métodos, el de las
cortezas cilíndricas y el de los discos.
Solución.
Lo primero que se hará es presentar una gráfica del depósito,
x2
mediante el giro de la gráfica de la parábola y = 2 −
8
alrededor del eje de las abscisas.
y
x
4m
8m
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
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Método de las cortezas
y
2
Δy
y
−4
x
4
x = 2 4 − 2y
De acuerdo con lo tratado, la expresión a utilizar es la
siguiente:
d
V = 2π ∫ p(y)q(y)dy
c
donde
Luego,
q(y) = 2 x = 2 8(2 − y) = 4 4 − 2y
2
V = 2π ∫ y(4 4 − 2y )dy
0
⇒
;
p(y) = y
2
V = 8π ∫ y 4 − 2y dy
0
Se resuelve primero la integral indefinida y,
∫ y 4 − 2y dy; u = 4 − 2y
⇒
du = −2 dy;
y=
4 −u
2
1 4 −u
1
u
du
=
−
(4 u − u u )du
∫
∫
2
2
4
3
⎞
1 ⎛ 21
= − ∫ ⎜ 4u − u 2 ⎟ du
4 ⎝
⎠
5 ⎞
⎛ 3
1 ⎜ 4u 2 u 2 ⎟
2 32 1 25
=− ⎜
−
⎟+C= − u + u +C
3
5
4⎜
3
10
⎟
2 ⎠
⎝ 2
−
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
8
3
5
2
1
= − (4 − 2y)2 + (4 − 2y)2 + C
3
10
2
5
3
⎡ 2
⎤
1
V = 8π ⎢ − ( 4 − 2y ) 2 + (4 − 2y)2 ⎥
10
⎣ 3
⎦0
⎡ 2 32 1 25 ⎤
= 8π ⎢ (4) − (4) ⎥
10
⎣3
⎦
⎛ 16 32 ⎞
3
∴
≈
V = 8π ⎜ −
V
53.62
m
⎟
⎝ 3 10 ⎠
Método de los discos
y
2
Δx
−4
x2
y =2−
8
x
4
Como se estudió, la integral definida con la que se calcula el
volumen es la siguiente:
2
2
4 ⎛
4⎛
x ⎞
x ⎞
V = π ∫ ⎜ 2 − ⎟ dx = 2π ∫ ⎜ 2 − ⎟ dx
0
−4
8 ⎠
8 ⎠
⎝
⎝
2
2
Se resuelve la integral indefinida y se llega a:
2
⎛
⎛
x2 ⎞
x2 x4 ⎞
x3
x5
∫ ⎜⎝ 2 − 8 ⎟⎠ dx = ∫ ⎜⎝ 4 − 2 + 64 ⎟⎠ dx = 4 x − 6 + 320 + C
Por lo que el volumen buscado es igual a:
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
9
4
⎡
x
x ⎤
64 1024 ⎞
⎛
V = 2π ⎢ 4 x −
π
2
16
+
=
−
+
⎥
⎜
6 320 ⎦ 0
6
320 ⎟⎠
⎝
⎣
3
5
∴ V ≈ 53.62 m3
Ejemplo. Calcular el volumen que se genera al girar,
alrededor de la recta x = 2 , la región limitada por la curva
x3
y=
+ 1 y las rectas x = 2
4
y
y = 1. Graficar la región
dada y el volumen requerido.
Solución. Se grafica de manera aproximada la curva dada y
la región que gira y se tiene:
eje de giro
y
x3
y=
+1
4
3
x=2
Δx
⎛x
⎞
⎜ + 1⎟ − 1
⎝ 4
⎠
1
y =1
3
2−x
2
x
No es posible calcular el volumen pedido mediante el
método de los discos, ya que no se puede despejar a la
variable " x " . Luego este problema tiene que ser resuelto por
el método de cortezas cilíndricas con un elemento
diferencial rectangular vertical, como se muestra en la figura.
Como el eje de revolución es vertical, para determinar el
volumen se utiliza la expresión:
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
10
b
V = 2π ∫ p(x)q(x)dx
a
donde
p(x) = 2 − x
y
⎛ x3
⎞
x3
q(x) = ⎜ + 1⎟ − 1 =
4
⎝ 4
⎠
Luego el volumen equivale a:
x3
V = 2π ∫ (2 − x) dx
0
4
2
Se resuelve la integral indefinida y
x3
∫ (2 − x) 4 dx = ∫
⎛ x3 x4 ⎞
x4 x5
−
+C
⎜ − ⎟ dx =
4 ⎠
8 20
⎝ 2
2
⎡ x4 x5 ⎤
⎛ 16 32 ⎞
⎛ 160 − 128 ⎞
V = 2π ⎢ −
2
2
=
π
−
=
π
⎥
⎟
⎜
⎟
⎜
8
20
80
⎝ 8 20 ⎠
⎝
⎠
⎣
⎦0
4π 3
∴ V=
u
5
La gráfica de este volumen es:
y
eje de giro
3
1
2
x
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
11
Ejemplo. Determinar el volumen que se genera al hacer girar
la región limitada por las parábolas
y − 4 = − x2
alrededor del:
y = (x − 2)2
y
i) Eje " x "
;
ii) Eje " y "
Solución.
Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones de las
parábolas y se realiza una gráfica de las dos parábolas. Así,
⎧ y = 4 − x2
;
⎨
2
⎩y = (x − 2)
4 − x 2 = (x − 2)2
2 x2 − 4 x = 0
⇒
⇒
2 x(x − 2) = 0
4 − x2 = x2 − 4 x + 4
⎧x = 0
⎨
⎩x = 2
⇒
⇒
y=4
⇒
y=0
i) Eje " x "
y =4−x
2
y
q(y)
4
y = (x − 2)2
Δy
p(y)
−2
x
2
En este caso, la expresión que se utiliza es
d
V = 2π ∫ p(y)q(y)dy
c
en la que
p(y) = y
y
q(y) = 4 − y − (2 − y ) = 4 − y − 2 + y
Luego,
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
12
4
V = 2π ∫ y( 4 − y − 2 + y )dy
0
4
= 2π ∫ (y 4 − y − 2y + y y )dy
0
Se resuelve primero la integral indefinida y para ello se divide
ésta en tres integrales. Así,
∫y
4 − y dy . u = 4 − y
⇒
1
2
du = −dy
3
2
− ∫ (4 − u) u du = − ∫ 4u du + ∫ u du = −
;
3
2
y = 4−u
5
2
4u
u
+
+C
3
5
2
2
3
5
8
2
∫ y 4 − y dy = − 3 (4 − y)2 + 5 (4 − y)2 + C
−2 ∫ y dy = − y 2 + C
3
2
∫ y y dy = ∫ y dy =
Luego,
5
2
5
2
y
2y
+C=
+C
5
5
2
4
⎡ 8
2
2 ⎤
V = 2π ⎢ − (4 − y) + (4 − y) − y 2 + y ⎥
5
5 ⎦0
⎣ 3
3
2
5
2
5
2
⎡⎛
64 ⎞ ⎛ 64 64 ⎞ ⎤
− ⎜−
+
V = 2π ⎢⎜ −16 +
⎟
⎟⎥
5
3
5
⎝
⎠
⎝
⎠⎦
⎣
64 64 64 ⎞
64 ⎞
⎛
⎛
π
= 2π ⎜ −16 +
+
−
=
−
+
2
16
⎜
5
3
5 ⎟⎠
3 ⎟⎠
⎝
⎝
∴ V=
32
π u3
3
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
13
i) Eje " y "
y
y = 4 − x2
4
Δx
q(x)
y = (x − 2)2
p(x)
−2
x
2
En este caso, la expresión que se utiliza es
d
V = 2π ∫ p(x)q(x)dx
c
en la que:
p(x) = x
y
q(x) = (4 − x 2 ) − (x − 2)2
2
V = 2π ∫ x ⎡⎣4 − x 2 − (x − 2)2 ⎤⎦ dx
0
2
= 2π ∫ (4 − x 2 − x 2 + 4 x − 4)dx
0
2
⎡ 2 x3
⎛ 16
⎞
2
2⎤
= 2π ∫ (−2 x + 4 x)dx = 2π ⎢ −
+ 2 x ⎥ = 2π ⎜ − + 8 ⎟
0
⎝ 3
⎠
⎣ 3
⎦0
16
∴ V = π u3
3
2
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ