Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013

Ejercicios GEOMETRIA I, 2012-2013
Angel Montesdeoca
Lunes, 1 de Octubre del 2012
1 Dados los planos π1 ≡ 3x − 2y − 4z + 8 = 0, π2 ≡ x + 5y − 6z − 4 = 0. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el
punto A(3, 5, −2) y es paralela a los dos planos. (Applet JavaView)
2 Estudiar la posición relativa de las rectas r ≡
JavaView)
x−1
y+2
z−2
y−4
z+8
=
=
y s ≡ x+3 =
=
.
2
3
5
2
3
(Applet
3 Sobre los catetos AB y AC de un triángulo rectángulo ABC, se construyen exteriormente dos cuadrados ABDE y
ACF G. Probar que las rectas CD y BF y la altura correspondiente a la hipotenusa son concurrentes. (GeoGebra)
4 Estudiar la posición relativa de los planos siguientes: ax + y + z = 1, x + ay + z = 1, x + y + az = 1.
5 Consideremos el plano π ≡ x − 2y − z = 1 y la recta r ≡ x − 1 = 2 − y, z = 2x − 2. Hallar:
1. Ecuación de la recta perpendicular a r contenida en π y en coplanaria con r.
2. Ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre el plano π.
3. Ángulo que forma la recta r con su proyección ortogonal.
4. Punto simétrico del (0, 2, −1) respecto a la recta r.
(Applet JavaView)
6 Se proyecta la recta r, intersección de los planos x+2y −z −1 = 0, x−y −2z = 0, sobre el plano π ≡ 2x−y −3z +6 = 0,
paralelamente al vector ~v = (1, 2, 1). Determinar dicha proyección. (Applet JavaView)
7 Ecuación de la proyección ortogonal sobre el plano x − 2y + z − 1 = 0 de la recta x = 2 − 2y = 2z − 4. (Applet
JavaView)
8 Considerar la recta: ` : (x − 1)/2 = (y + 5)/(−5) = (z + 3)/4 y el plano π : 2x + 4y + 4z = 5
a) Estudiar la posición relativa de ` y π
b) Calcular la ecuación implı́cita de un plano π1 que es perpendicular a π y contiene a `. (Applet JavaView)
9 Hallar las ecuaciones de la recta r coplanaria con la recta AB, A(2, −1, 0), B(1, 3, −1) y con la recta intersección de
los planos 2x + 2y − z + 1 = 0, −x + y + 4z − 2 = 0, y que pasa por el punto P (2, 4, 5). (Applet JavaView)
10 Dadas las rectas r ≡ x = t, y = 2t, z = 3t y s ≡ x = 1 − t, y = 2t, z = 3t. Encontrar un punto P sobre r y otro Q
sobre s, tales que la distancia entre P y Q sea 10.
11 Ecuación del plano paralelo a la recta r ≡ 2x − y + 3z − 5 = 0, 4x − y − 2z = 0 y que pasa por los puntos P (2, 0, −3)
y Q(1, 4, 0).
12 Verificar que las rectas r ≡ x = 2 + z, y = −1 − 3z y r0 ≡ x + 2y + z − 4 = 0, 3x + 3y + 2z − 7 = 0 son concurrentes.
Ecuación del plano que ellas de terminan.
13 En el espacio afı́n real IR3 se consideran los puntos P (0, 0, 0), Q(0, 0, 2), R(2, 0, 0), S(0, 2, 0). Demostrar que los
puntos medios A, B, C, D de los puntos P y Q, Q y R, R y S, S y P , respectivamente, forman un paralelogramo y
determinar la ecuación del plano que lo contiene.
14 Dadas las rectas en el plano r1 ≡ x − 2y − 2 = 0 y r2 ≡ x + y − 3 = 0 y el vector ~v = (2, 5), encontrar un punto P1
−−−→
en r1 y un punto P2 en r2 , tales que P1 P2 = ~v .
15 Hallar la ecuación del plano π paralelo a la recta r ≡ (x + 2)/3 = (y − 3)/2 = z y que pasa por la recta
s ≡ x = −2z + 1, y = z − 2.
Si la ecuación de π es x − 5y + 7z − 11 = 0, obtener la ecuación del plano perpendicular a π y que pasa por la misma
recta r.
1
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16 En el espacio euclı́deo ordinario, y respecto a una referencia ortonormal, se consideran las rectas r ≡ x − y + z =
1, 2x + y − z = 2 y s ≡ (x − 2)/3 = (y + 1)/2 = z/2. Hállese a ∈ IR para que exista un plano que contenga a r y sea
perpendicular a s; ecuación, en tal caso, de dicho plano y su punto de intersección con la recta s.
17 Recta paralela a los planos x + 2y − 5z = 0,
2x + y = 1 y que pasa por el punto (1, 1, 0).
18 Determinar las ecuaciones de los tres planos que pasan por los puntos (1, −1, 1) y (1, 2, 4) y son paralelos a los ejes.
(Applet JavaView)
19 Dados tres puntos P, Q y R, trazar por R una recta equidistante a P y Q.
20 Se consideran la recta r, el plano π y un punto P , dados por:
½
3x + y + z = 1
r:
,
π : 2x + y − 3z = 0,
x+y+z =2
P (1, −1, 3).
Hallar las ecuaciones de la recta perpendicular a r, paralela a π y que pasa por P .
21 Hállese la ecuación del plano que pasa por el punto (4, 2, 3) y por la recta 2x + 3y − 4z = 1,
5x − y + 2z = 3.
22 Determinar la ecuación del plano que pasa por (1, −2, 3), es perpendicular a 3x + 2y + 5z = 1 y paralelo a la recta
4x − 3y + 2z = 7, 5x + 2y + 3z = 6.
23 Hallar la posición relativa de la recta y el plano siguientes y si se cortan hallar el punto de corte.
` ≡ (x − 1)/3 = y + 2 = (z − 1)/(−4),
π ≡ x + 2y − 3z = 11.
(Applet JavaView)
24 Dada la recta ` : 2x − 5y − 1 = 0, x + 5z + 7 = 0 y el plano π : x − 3y − z + 6 = 0, hallar la ecuación del plano
paralelo a π y que dista 3 de la recta `. (Applet JavaView)
25 En el espacio ordinario se consideran las rectas
½
x−y+z =1
`1 :
2x + y − z = 2
`2 :
x−2
y+1
z
=
= .
3
2
a
Hallar a ∈ IR para que exista un plano π que contenga a `1 y sea perpendicular a `2 . Calcular la ecuación del plano
π que lo verifica.
Resp. a = −2 y π : 3x + 2y − 2z = 3.
26 En un espacio ordinario hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(1, 0, −1), es perpendicular al plano
π : x − y + 2z + 1 = 0 y es paralelo a la recta ` dada por las ecuaciones x − 2y = 0; z = 0.
Resp. 2x − 4y − 3z = 5.
27 Considerar la familia de planos 2λx + (λ + 1)y − 3(λ − 1)z + 2λ − 4 = 0 en el espacio ordinario. Determinar el plano
de esta familia que es paralelo a la recta ` : x + 3z − 1 = 0, y − 5z + 2 = 0.
Resp. 4x + 3y − 3z = 0.
28 Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 1, 1), es paralela al plano π : x − y + z − 3 = 0 y corta la recta
` : x = 1, y = 3.
Resp. x = 1, y = z.
29 Consideremos el plano ampliado deducido del plano afı́n ordinario. Hallar las coordenadas homogéneas de los puntos
impropios definidos por las siguientes rectas:
a) 3x − y + 1 = 0
b) x = 2
c) 2y + 3 = 0
d) x − 2y − 3 = 0.
Resp. a) (0 : 1 : 3), b) (0 : 0 : 1), c) (0 : 1 : 0), d) (0 : 2 : 1).
30 En el espacio ampliado deducido del espacio afı́n ordinario, hallar las coordenadas homogéneas del punto impropio
de las rectas
a)
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x = 3z + 1,
y = −z + 4.
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b)
3
2x − y + 3z = 1,
x + 3y − z = 2.
Resp. a) (0 : 3 : −1 : 1), b) (0 : −8 : 5 : 7).
31 En el espacio cuatridimensonal IR4 un punto tiene coordenadas (x, y, z, t). Consideremos los hiperplanos:
x + y + z + t = 0,
x + 2y + 3z + 4t = 0.
Encontrar dos puntos impropios distintos que pertenezca a la intersección de los dos hiperplanos.
Resp. Puntos de la recta λ(0 : 2 : −3 : 0 : 1) + µ(0 : 1 : −2 : 1 : 0)
32 Determinar las ecuaciones de la homografı́a que transforma los puntos A(0 : 0 : 1), B(0 : 1 : 0), C(1 : 0 : 0), D(1 : 1 : 1)
respectivamente en los puntos B, C, D, A. Hallar los elementos dobles de la misma.
/ Applet CabriJava
 0 
 00  
1 −1
0
x
x
0 −1   x1 . Pto. doble (1 : 0 : 1). Recta doble [1 : −1 : 1].
Resp. ρ  x01  =  1
x2
x02
1
0
0
33 Una afinidad (homografı́a en el plano afı́n ampliado que conserva la recta impropia) variable tiene al origen de
coordenadas como doble; hace corresponder al punto del infinito del eje “x” el del eje “y” y recı́procamente; al punto
U (1, 1) le corresponde el punto U 0 variable a lo largo de la recta x + y = 0. Se pide:
1) Qué forman las homólogas de la recta x + y + 1 = 0.
2) Ecuación de la proyectividad subordinada en el origen.
Resp. x0 = ty, y 0 = −tx, 1) x − y − 1/t = 0, 2) y = mx 7→ y = −mx.
34 En coordenadas no homogéneas, hallar al ecuación de la homografı́a que tiene por puntos dobles el origen y los
impropios de cada uno de los ejes OX y OY , teniendo además como puntos homólogos (1, 1) 7→ (2, −3).
Resp. x0 = 2x, y 0 = −3y.
35 Hallar la ecuación de la afinidad determinada por los pares de puntos homólogos (1, 0, 0) 7→ (1, −1, 0), (1, 1, 0) 7→
(1, 0, 0), (1, 0, 1) 7→ (1, 1, 1)
Resp. x0 = x + 2y − 1, y 0 = y.
36 Se dan dos puntos P y Q y dos rectas r y s del plano, tales que los puntos no están en las rectas y que las tres rectas
P Q, r y s no son concurrentes. A cada punto X se le hace corresponder el punto X 0 tal que P X y QX 0 se cortan en r
y P X 0 y QX en s. Probar que se trata de una homografı́a y hallar los elementos dobles.
37 Encontrar la condición necesaria y suficiente para que mediante una transformación afı́n a cualquier recta le
corresponda una recta paralela a ella. ¿De qué transformaciones particulares se trata?
38 Sean 4 puntos A, B, C y D sobre una circunferencia C. Se trazan las rectas ABy CD, que se cortan en un punto P .
Probar que los triángulos P AC y P BD son semejantes.
39 Sea ABC un triángulo y sea P sobre AC. Sean M y N los puntos medios de AP y BC respectivamente. Sabiendo
\ = BM
\
que BAC
N , demostrar que los triángulos P BM y BM C son semejantes.
/ Applet CabriJava
40 Se dan, en el plano, dos rectas paralelas a y b y dos puntos P y Q. Se proyecta un punto A de a sobre b desde P y
Q, obteniéndose, respectivamente, los puntos B y C. Demostrar que las medianas del triángulo ABC, cuando A varı́a,
cortan a la recta P Q en tres puntos fijos. / Applet CabriJava
41 Grupo de movimientos en IR2 que dejan fijo cada uno de los siguientes conjuntos:
A) Un triángulo equilátero. B) Un cuadrado. C) Dos rectas que se cortan. D) Una recta y un punto no contenida
en ella.
42 Inscribir un cuadrado en un triángulo, de tal modo que un lado del cuadrado esté sobre la base del triángulo y los
otros dos vértices en los otros lados del triángulo. / Applet CabriJava
43 Dada la recta x = a, un punto M (ξ, η) se proyecta ortogonalmente sobre x = a en D y se traza OM que corta a
x = a en C. Una paralela a OX por C corta a OD en N . Hallar las ecuaciones de la transformación M 7→ N . ¿Cuál
es la ecuación del lugar geométrico de N cuando M describe la circunferencia (x − b)2 + y 2 = b2 ? / Applet CabriJava
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44 Se conocen los simétricos de un segmento respecto a los lados de un triángulo, determinar éste sin conocer la
ubicación del segmento original. / Applet CabriJava
45 Se considera el conjunto G de los movimientos del plano que transforman cualquier punto de un triángulo equilátero
ABC en otro punto del mismo triángulo. Demostrar que G tiene estructura de grupo respecto a la composición de
aplicaciones.
Obtener las ecuaciones de tales movimientos respecto a la referencia cartesiana rectangular con origen O en el centro
−→
del triángulo y vector unitario en el eje de abscisas el OA.
46 En el espacio afı́n real ordinario se considera el plano π ≡ 2x + y + 3z − 4 = 0, y el vector ~v = (2, −1, 1). Hallar las
ecuaciones de la simetrı́a con relación al plano π y al vector direccional ~v .
47 Dado en el plano dos rectas r y r0 y un punto M , se determinan los puntos P y P 0 en r y r0 , respectivamente, tales
que M es el punto medio de ellos. Se proyectan ortogonalmente P y P 0 sobre r0 y r, respectivamente, obteniéndose los
puntos Q0 y Q y sea M 0 el punto medio de éstos.
Demostrar que la correspondencia σ : M 7−→ M 0 es una semejanza, composición de una homotecia de centro en el
punto de corte de las rectas r y r0 y la simetrı́a axial respecto a una de sus bisectrices. / Applet CabriJava
48 En el plano afı́n real ordinario se considera la aplicación
(x, y) 7→ f ((x, y)) = (x0 , y 0 ) = ((1 + a)x − y + 1, abx + (1 − b)y + b).
−−−−→
Determinar el conjunto de puntos invariantes por f . Mostrar que la dirección P f (P ) es fija cuando P varia Para
que valores de a y b f es biyectiva. Aplicación lineal asociada (si es afı́n). Baricentro de los puntos f ((0, 0)) y f ((0, 2)).
49 En el plano afı́n real euclı́deo, respecto a la referencia ortogonal {O, e~1 , e~2 }, se considera la aplicación afı́n f definida
por las ecuaciones:
1
1
x0 = (−3x + 4y + 4),
y 0 = (4x + 3y − 2)
5
5
Demostrar que f es una isometrı́a. ¿Cuál es el conjunto de puntos invariantes por f ?
50 En el plano afı́n euclı́deo, respecto a una referencia ortogonal {O, e~1 , e~2 }, se considera la aplicación (x, y) 7→
f ((x, y)) = (x − y, x + y).
¿De qué transformación geométrica se trata? Indicar los elementos invariantes.
Si A es un punto fijo, determinar el conjunto de puntos M tales que A, M y f (M ) estén alineados.
51 Sean (x, y) las coordenadas de un punto en el plano afı́n euclı́deo ordinario, respecto a la referencia ortogonal
{O, e~1 , e~2 }, r1 , r2 , r3 los giros de centros respectivos, A1 (2, 0), A2 (0, 2), A3 (−2, 0) y cuyos ángulos son π/2, π, π/2, respectivamente; sean además, s1 , s2 , s3 las simetrı́a s ortogonales con respecto a las rectas de ecuaciones respectivas
y = 0, x + y = 2, −x + y = 2.
Definir analı́ticamente las aplicaciones r1 , r2 , r3 , s1 , s2 , s3 .
Determinar las aplicaciones s1 ◦ s2 , s2 ◦ s3 , s1 ◦ s1 .
Determinar la aplicación r1 ◦ r2 ◦ r3 .
52 Sea f una aplicación afı́n biyectiva de un espacio afı́n A en si mismo y h una homotecia de razón k. Establecer que
f ◦ h ◦ f −1 es una homotecia. ¿Cuál es su centro? ¿Cuál es su razón?
53 Demostrar que en un espacio afı́n de dimensión 2, toda aplicación afı́n queda determinada por tres puntos no
alineados y sus imágenes.
Determinar en el plano afı́n real ordinario la aplicación afı́n que lleva los puntos A(0, 0), B(1, 0) y C(0, 1) en los
puntos A0 (0, 0), B 0 (1, 1) y C 0 (−1, −1).
54 Dadas en el plano afı́n real ordinario, respecto referencia {O, e~1 , e~2 }, la aplicación afı́n f , definida por (x, y) 7→
f ((x, y)) = (2x + 1, y − 2), y la homotecia h de centro O(0, 0) y razón 3. Comprobar que f ◦ h ◦ f −1 es una homotecia.
Determinar su centro y su razón.
55 Dado en endomorfismo en IR2 , (x, y) 7→ f˜(x, y) = (x − y, 2x), encontrar la aplicación afı́n del plano afı́n A2 (IR) en
sı́ mismo asociada a f˜ que lleva el punto A(1, 2) en A0 (3, 5).
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56 Sea hace girar la recta r ≡ x = az + p, y = bz + q alrededor del eje OZ, un ángulo θ, en sentido positivo. Determinar
θ de manera que después del giro la recta que perpendicular a su posición original.
57 Construir un triángulo equilátero cuyos vértices estén en cada una de tres rectas paralelas.
58 Construir un cuadrado tal que uno de sus vértices esté en un punto dado y los dos vértices adyacentes a aquél estén
en dos rectas dadas.
¿Cuál es el área del cuadrado en función de las distancias del punto dado a las dos rectas y del ángulo entre éstas?
59 Construir un triángulo rectángulo isósceles, con el vértice del ángulo recto en un punto fijo, y los otros dos vértices
en dos rectas dadas, respectivamente.
60 Lugar geométrico de las imágenes del punto (1, 1) por todos los giro s en el plano euclı́deo ordinario de ángulo
θ = π/2 y centro sobre la recta x + y = 1. / Applet CabriJava
61 Consideremos la familia de afinidades en IR2 , de ecuaciones x0 = cy + p, y 0 = x + q. Determinar los valores de los
parámetros para los cuales estas afinidades son movimientos y estudiarlos.
62 Encontrar las ecuaciones del movimiento que lleva el triángulo ABC, de la figura, en el triángulo A0 B 0 C 0 .
Las ecuaciones que se obtienen corresponden a un movimiento inverso sin puntos fijos; es pues la composición de
una simetrı́a axial compuesta con una traslación. Encontrar el eje de simetrı́a y el vector de traslación.
Obtener el movimiento que llega un triángulo en otro como producto de un giro por una simetrı́a axial. ¿Cuáles son
las ecuaciones de ambos?
63 Encontrar el centro de la semejanza directa que lleva dos triángulos rectángulos ABC y A0 B 0 C 0 , situados de tal
forma que sus hipotenusas están en dos rectas que se cortan según un ángulo de 30◦ y dispuesto de forma que las
distancias al punto de corte de las rectas de B es 1, de C es 6, de B 0 es 2 y de C 0 es 4.5.
Si además las longitudes de los catetos del triángulo ABC son 3 y 4, obtener los vértices A y A0 uno del otro.
64 Considérese un triángulo y trácese la circunferencia circunscrita al mismo (que pasa por los tres vértices) y la
circunferencia que pasa por los pies de las medianas. Demostrar que dichas circunferencias son homotéticas. ¿Cuál es
el centro y la razón de homotecia? ¿Qué posición tienen los centros de las circunferencias, respecto al baricentro?
65 Un rı́o (de márgenes paralelas) y dos puntos en tierra, uno a cada lado. Trazar un puente, perpendicular a los
márgenes,
1) para que el recorrido de un punto a otro sea mı́nimo,
2) para que las trayectorias en tierra sean perpendiculares,
3) para que las distancias de cada punto al comienzo del puente sea la misma.
Idem, para el caso en que el punte el puente esté trazado según una dirección dada.
66 Se consideran dos segmentos AB y A0 B 0 en sendas rectas perpendiculares a y a0 , respectivamente, que se cortan en
el punto O, tales que distan de O, A(1), B(2), A0 (2), B 0 (4). Encontrar la ecuación de la semejanza directa que lleva el
segmento AB en el A0 B 0 . ¿Cuál es su punto fijo y razón de semejanza? Encontrar un punto P en a y otro P 0 en a0 que
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se correspondan en la semejanza y que estén alineados con la intersección de la recta perpendicular a a por B con la
recta perpendicular a a0 por A0 .
67 Construir un cuadrado conociendo la diferencia k entre la diagonal y un lado.
68 Dados dos puntos A y B y una recta r, determinar sobre ésta un punto C tal que el recorrido AC + CB sea el
menor posible.
69 La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide el triángulo en dos triángulos directamente semejantes,
cada uno de los cuales es inversamente semejante al triángulo dado. Describir estas tres semejanzas como producto de
un movimiento y una homotecia y determinar su centro (punto fijo).
70 Sea H el conjunto de las homotecias con centro en un punto fijo. Determinar el lugar geométrico de los centros de
las homotecias de los conjuntos:
1) η0 ηη0−1 , donde η0 es una homotecia dada y η pertenece al conjunto H.
2) τ ητ −1 , donde τ es una traslación dada y η pertenece al conjunto H.
71 Dados una circunferencia y un triángulo, construir un triángulo inscrito en la circunferencia que sea semejante al
primero.
72 Sean A y B dos puntos del plano. A un punto P se le asigna el punto P 0 tal que P, P 0 y A estén alineados, y que
BA sea bisectriz de P\
BP 0 . ¿Qué transformación es la ası́ definida?
73 Dados en el plano dos puntos A y B y una recta r, que no pasa por ninguno de los dos, se asigna al punto M el
M 0 , transformado de A en la homotecia cuyo centro está en r (o una traslación) que convierte M en B. Probar que la
−−→
transformación σ resultante (σ(M ) = M 0 ) es el producto de una homologı́a de centro A y la traslación de vector AB.
74 Si ABC es un triángulo y r es una recta que corta a sus lados BC, AC y AB en O1 , O2 y O3 , respectivamente, se
tiene el teorema de Menelao:
O1 C O2 A O3 B
·
·
= 1.
O1 B O2 C O3 A
Probarlo, usando el producto de las homotecias η1 , η2 y η3 de centros O1 , O2 y O3 y que transforman B en C, C en
A y A en B, respectivamente.
75 Dadas dos rectas en el plano no paralelas, hacemos corresponder a cada punto P el punto medio P 0 de las proyecciones
ortogonales de P sobre cada una de las rectas dadas. Obtener la correspondencia P 7→ P 0 . ¿Cómo han de ser las dos
rectas para que la correspondencia sea una homotecia? / Applet CabriJava
76 Dados un cuadrilátero ABCD, M un punto en la recta BD y N un punto en la recta AC, tales que la recta BN
es paralela al lado AD y la recta AM , paralela al lado BC. Demostrar que las recta M N y DC son paralelas.
77 Determinar qué transformación es el producto de las simetrı́as respecto a los cuatro lados, tomados consecutivamente,
de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia.
78 Hallar las ecuaciones de las tangentes desde el origen a la cónica y 2 − 2xy + 2y − 4x − 2 = 0.
Resp. 2x − 3y = 0, tang. en (−3/2, −1); 2x − y = 0, ası́ntota.
79 Dada la cónica 2x2 − 2xy + y 2 + 2x − 8y + 21 = 0, obtener la ecuación de la tangente en el punto (3, 5).
Resp. x − y + 2 = 0.
80 Encontrar las tangentes a la cónica x2 − 2xy + y − 4 = 0 desde el punto (1, −2).
81 En el plano ampliado considérense la cónica que admite por ecuación 2(x0 )2 + (x1 )2 − (x2 )2 + 2x1 x2 = 0 y el punto
P (1, 1, 1). Se pide: polar de P respecto de la cónica y tangentes desde P a la cónica.
Resp. Tangentes desde (1, 1, 1), 2x − y = 1, y = 1. Polar: x = −1.
82 Hallar el polo de la recta x + 2y + 7 = 0 en relación a la cónica x2 − xy + y − 3x − 1 = 0.
Resp. (3, 4).
83 Hallar la ecuación del diámetro polar del punto impropio (0, 1, 4) en la cónica: 4y 2 − 5xy − 2x + 3y + 1 = 0.
Resp. 20x − 27y − 10 = 0.
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84 Determinar los polos de los ejes de coordenadas respecto de la cónica, 7x2 − y 2 + 4xy − 3x + 3 = 0.
Resp. Polo de OX: (2, 4). Polo de OY : (2, −25/4).
85 Hallar el polo de la recta x + y − 2 = 0 respecto de la cónica x2 − 2xy + 1 = 0.
Resp. (1/2, 1).
86 Hallar el polo de la recta x + 5y + 6 = 0 respecto de la cónica x2 + y 2 − 2x + 4y + 2 = 0.
Resp. (2, 3). Circunferencia de centro (1, −2).
87 Hallar la polar del punto (1, 2) respecto a la cónica dada por x2 + y 2 − 2xy + 2x − 1 = 0.
Resp. y = 0.
Parábola de eje 2x − 2y + 1 = 0 y vértice (7/8, 3/8).
88 Lugar geométrico de los polos de la recta x + y + 1 = 0 con respectos a todas las cónicas del haz:
x2 + 2λxy + λy 2 − 2λx + 1 = 0.
Resp. La hipérbola: 2x2 + xy − x − 1 = 0.
89 ¿Qué valor hay que dar al parámetro λ para que la cónica x2 + 2y 2 − λxy − x − 2 = 0 esté formada por dos rectas?
Obtener además las rectas.
Resp. λ = 3 : (x − 2y − 2)(x − y + 1) = 0; λ = −3 : (x + y + 1)(x + 2y − 2) = 0.
90 Considérese la cónica de ecuación x2 + 2axy + 2y 2 − 2x + 2 = 0
a) Obténgase los valores de a para los que es totalmente imaginaria.
b) Obténgase los valores de a para los que es una cónica degenerada.
Resp. Si a ∈] − 1, 1[ elipses imaginarias. Si a = ±1 rectas imag., con punto real (∓2, ∓1)
91 Determinar la hipérbola equilátera que pasa por los puntos (2, 0), (−1, 0), (0, −1) y (1, 1). / Applet CabriJava
Resp. x2 − y 2 + 6xy − x − 3y − 2 = 0
92 Hallar el valor de k para que la cónica x2 + ky 2 + 4xy − 6x − 12y + 9 = 0 sea una recta doble.
Resp. k = 4, (x + 2y − 3)2 = 0.
93 Dada la cónica x2 + y 2 − 2xy − 1 = 0, demostrar que es degenerada y descomponerla en producto de dos rectas.
Resp. (x − y − 1)(x − y + 1) = 0.
94 Encontrar la cónica cuyas tangentes son la familia de rectas λx + λ2 y + 3λ2 − 1 = 0.
Resp. x2 + 4y + 12 = 0.
95 Consideremos el haz de rectas paralelas al eje OX y el haz de rectas pasando por el origen. Sea la recta del primer
haz, de ordenada en el origen λ, y la recta del segundo que tiene por pendiente λ/(1 − λ). Encontrar la ecuación de la
cónica intersección de ambas rectas, cuando λ varı́a.
/ Applet CabriJava
Resp. y(x + y − 1) = 0.
96 Justificar el siguiente método de conDH
C
strucción de una elipse (ver figura). Los
¿ ¡
HH
©©
lados AD y DC de un rectángulo son
¡
¿
©
HH ¡
©
¿
divididos en un mismo número de segHH
©©
¡
¿
©
mentos de igual longitud. Unir B y A
P
HH
X X ¿¡
©©
a los puntos de división empezando por
X
H
©
XXX©
` ``
¿¡
``
XXX HH
©
A y D, respectivamente. Estas rectas
`
¿¡ © ```XX HH
```
X`
se cortan en el arco AP de la elipse de
X`
¡©©
¿
XH
XH
©
`
XH
`
X
¡
`
¿
©
semiejes QA y QP .
A0
Q
B
0
97 Entre las rectas µde los¶dosµhaces λx
+
µ(y
−
1)
=
0
y
λ
(x
+
y)
+
µ
(y
−
1)
=
0
está
establecida
una
relación
¶µ
¶
0
λ
1 1
λ
por las ecuaciones ρ
=
. Encontrar el lugar geométrico de los puntos de intersección de rectas
µ0
0 1
µ
correspondientes.
Resp. x2 − y 2 + xy + y = 0.
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98 Las ecuaciones λ0 = 2λ − µ, µ0 = λ + µ, establecen una correspondencia entre los puntos (0, λ, µ) y (λ0 , 0, µ0 )
de las rectas x0 = 0 y x1 = 0. Encontrar la ecuación de la cónica cuyas tangentes son las rectas que unen puntos
correspondientes.
/ Applet CabriJava
Resp. 4x2 − 4xy + y 2 + 8x + 2y + 1 = 0.
99 Dadas dos cónicas con cuatro puntos de intersección, probar que los cuatro puntos quedan en un circunferencia si
y sólo si los ejes de las cónicas son perpendiculares.
100 Sean A, B, C, D puntos sobre una cónica C y las tangentes a C en A y C se cortan en P sobre la recta BD.
Demostrar que las tangentes a C en B y D se cortan en un punto Q sobre AC.
Resp. La polar de P es AC, recta en la está el polo de BC, que es Q.
101 Sean cuatro puntos A, B, C y D sobre una cónica C, AD y BC se cortan en P y AC y BD se cortan en Q.
Demostrar que las tangentes a C en A y B se cortan en un punto R sobre la recta P Q.
Resp. Teorema de Pascal, aplicado al cuadrilátero ABCD y las tangentes en A y B.
102 Sea una cónica no degenerada tangente a los lados BC, CA y AB de un triángulo ABC en los puntos P, Q y R,
respectivamente, demostrar que las rectas AP, BQ y CR son concurrentes.
Resp. Caso lı́mite teorema de Brianchon.
103 Por un punto M (a, 0) sobre el eje de una parábola y 2 = 2px se trazan paralelas a las tangentes. ¿Qué lugar
describe el punto en que cada una de estas rectas corta a las rectas que pasan por el origen de coordenadas y por el
punto de contacto de la tangente correspondiente? / Applet CabriJava
Resp. La polar de M respecto a la parábola.
104 Establecer el siguiente resultado y enunciar su dual:
”Dada una cónica y un punto P de su plano no perteneciente a ella, todos los cuadrivértices inscritos en la cónica
que tienen en P un punto diagonal tienen los dos restantes puntos diagonales sobre una misma recta”.
105 Establecer: ”En todo triángulo circunscrito a una cónica las rectas que unen los vértices con los puntos de contacto
de los lados opuestos, concurren en un punto”. Enunciar el resultado dual.
(http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejco1507.pdf)
106 Clasificar las cónicas: a) 3x2 + 2y 2 + 6xy − 4x − 2y + 1 = 0
b) 4x2 + 9y 2 + 12xy − 4x − 6y = 0.
Resp. a) Hipérbola, b) Rectas paralelas: (2x + 3y)(2x + 3y − 2) = 0.
107 Dada la familia uniparamétrica de cónicas: Cα ≡ x2 + y 2 − 2x cos α − 4y sen α − 3 cos2 α = 0. Se pide:
a) Clasificar dichas cónicas. b) Determinar y clasificar el lugar geométrico de los centros de dichas cónicas.
Resp. a) Elipses. b) 4x2 + y 2 = 4, elipse.
108 En el plano afı́n, clasifı́quense las cónicas que admiten por ecuaciones:
αx2 + αy 2 + 2βxy + (α + β)(x + y) + 1 = 0,
(α, β ∈ IR)
/ Applet CabriJava
109 Se da la familia de cónicas x2 + 2λxy − 2y 2 + 2λx − 1 = 0. Hallar el lugar geométrico de los polos de la recta
x + y = 0 respecto a ellas.
Resp. La hipérbola: x2 + 2yx − x + y + 1 = 0.
110 Determinar el lugar geométrico de los polos de la recta x + y + 1 = 0 respecto de la familia de cónicas
λy 2 − 2xy + 2y + (2 − λ) = 0.
/ Applet CabriJava
Resp. La parábola: 2y 2 + 3y − x + 1 = 0.
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111 En el plano afı́n considérese la cónica C que admite por ecuación x2 − 2y 2 + 2xy + 2x − 4y + 1 = 0. Hállese un
paralelogramo circunscrito a C cuyos lados tengan las direcciones de los vectores ~a(1, 0) y ~b(1, 1).
Resp. Limitado por las rectas: y = 0, y = −2, x = y, x − y = 2.
112 Hallar los ejes de la cónica x2 − y 2 + 2y + 2 = 0.
Resp. x = 0, y = 1.
113 Determinar el lugar geométrico de los vértices de las familia de cónicas de ecuación y 2 + 2kx(y − 1) − k 2 (y − 1)2 = 0.
/ Applet CabriJava
Resp. x2 y(2 − y) = y 2 (y 2 − 2y + 1).
114 Clasificar las siguientes cónicas:
1) 4x2 − 4xy + y 2 + 12x − 6y + 3 = 0,
3) 8x2 + 6xy − 9y 2 − 24x − 36y + 9 = 0,
2) 5x2 − 4xy + 4y 2 − 16y − 80 = 0,
4) x2 − 2xy + y 2 − 3x + 5y = 0.
En cada caso calcular, cuando exista, el centro, ejes y ası́ntotas.
Resp. 1) Rectas paralelas; 2) Parábola, eje: 5x − 10y + 16 = 0; 3) Hipérbola; 4) Parábola, x − y = 2
115 Clasificar las cónicas:
1) 3y 2 − xy + x − 4y + 1 = 0,
2) x2 + y 2 − 2xy + 2x − 2y + 1 = 0,
2
2
3) x − y + x + 1 = 0,
4) x2 + y 2 − 2xy + 6x − 6y + 9 = 0.
Resp. 1) (x − 3y + 1)(y − 1) = 0. 2) (x − y + 1)2 = 0. 3) Hipérbola. 4) (x − y + 3)2 = 0.
116 Hallar las ecuaciones reducidas en el plano euclı́deo de las siguientes cónicas:
1) 9x2 + y 2 − 6xy − 4x + y = 0. 2) 6x2 + 6y 2 + 4xy − 16x − 16y = 0. 3) x2 − y 2 − 2xy − 4x + 4y − 3 = 0.
√
√
√
Resp. 1) 50y 2 + 10x = 0; 2) x2 + 2y 2 = 4; 3) 2x2 − 2y 2 = 7.
117 Determinar centro, ejes y ası́ntotas si las tiene, de las cónicas:
1) x2 + 2y 2 + 2xy − 6x − 2y + 9 = 0, 2) x2 − y 2 − 2xy + 8x − 6 = 0,
Resp. Elip:(5, −2), m = (1 ±
√
5)/2. Hip:(−2, 2), m = 1 ±
√
2, m = −1 ±
√
3) x2 + 9y 2 + 6xy + 2x − 6y = 0.
2. Pa:5x + 15y = 4
2
118 Hallar las ecuaciones de los ejes de la cónica dada por la ecuación 3x − 2y 2 + 12xy − 3x + y − 2 = 0.
Resp. Hipérbola de centro (0, 1/4) y ejes 6x + 4y − 1 = 0, 8x − 12y + 3 = 0.
119 Determinar los focos de la cónica: 16x2 − 24xy + 9y 2 − 80x − 140y + 100 = 0.
Resp. Foco: (1, 2).
120 Hallar el diámetro de la cónica x2 − y 2 + 6xy + 4x − 6y + 8 = 0 paralelo a la recta 4x − 2y + 3 = 0.
Resp. 7x + y = 4.
121 Hallar el lugar geométrico de los polos de las normales a la parábola y 2 = 2px.
/ Applet CabriJava
Resp. 2xy 2 + 2py 2 + p3 = 0.
122 En el plano euclı́deo, y respecto de una referencia rectangular, considérese la cónica que admite por ecuación:
2x2 − y 2 + 4xy − 12x + 12y + 3 = 0.
Se pide: Clasificar la cónica. Hallar el centro. Hallar sus ejes y vértices. Hallar sus ası́ntotas si las tiene.
√
Resp. Hipérbola. Centro: (−1, 4). Ejes: 2x + y = 2, x − 2y + 9 = 0. Ası́ntotas: m = 2 ± 6.
x2
y2
123 En el vértice (a, 0) de la elipse 2 + 2 = 1 se ha trazado la tangente. Por cada uno de los puntos de esta
a
b
tangente se ha trazado la perpendicular a su polar correspondiente. Hallar el lugar geométrico de los pies de estas
perpendiculares. / Applet CabriJava
Resp. Circunferencia: a2 x2 + a2 y 2 + a(b2 − 2a2 )x + a2 (a2 − b2 ) = 0.
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124 En un plano se dan: una circunferencia fija C de centro O y radio r, y una recta ` que dista d del punto fijo O.
La tangente en un punto T de la circunferencia encuentra a ` en M . Hallar el lugar geométrico de los puntos donde la
perpendicular a OM en O encuentra a la tangente T M cuando T varı́a. Describir el lugar.
/ Applet CabriJava
Resp. Cónica bitangente a C en la intersección con la perpendicular a ` por O.
x2
y2
125 Se considera la elipse: 2 + 2 = 1 (a 6= b). Se pide determinar el lugar geométrico de los puntos X del plano
a
b
cuya polar es perpendicular a la recta XP donde P es un punto fijo del plano de coordenadas (α, β). Estudiar el lugar
resultante.
/ Applet CabriJava
Resp. Hipérbola: (a2 − b2 )xy + βb2 x − αa2 y = 0.
126 Ecuación de la cónica con centro en (1, 1), tal que y = 1 es un eje y la polar del punto (2, 2) es la recta x + y − 3 = 0.
Resp. Elipse: (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1.
127 Dado el triángulo determinado por las rectas x = 0, y = 0 y x + 2y − 2 = 0, hallar el lugar geométrico de los
puntos P tales que sus proyecciones ortogonales sobre los tres lados determinan un triángulo de área constante igual a
k. Estudiar el lugar obtenido.
Resp. Circunferencia: x2 + y 2 − 2x − y = 5k.
128 Se da la parábola y 2 = 2px y un punto A(a, b). Por el vértice O de la parábola se traza una cuerda variable OB.
Se proyecta el punto B sobre la tangente en el vértice, obteniéndose un punto C, y se une C con A. Se pide:
a) Lugar geométrico de los puntos de encuentro de las rectas OB y AC.
b) Discutir el lugar haciendo variar la posición del punto A en el plano.
/ Applet CabriJava
Resp. Cónica: 4px2 + (2a + p)y 2 − 2bxy − 4apx − bpy = 0.
129 Desde un punto cualquiera de la directriz de la parábola y 2 = 2px, se traza la perpendicular a su polar
correspondiente. Lugar geométrico del punto de intersección de estas dos rectas.
/ Applet CabriJava
Resp. El foco de la parábola.
130 En el plano euclı́deo y respecto de una referencia rectangular, obténgase la ecuación general de las cónicas que
tienen como foco y vértice, correspondientes a un mismo semieje, a dos puntos dados.
131 Determinar una hipérbola tangente a la cónica 3x2 − 2xy + 5y 2 − x + y = 0, en los los puntos de intersección con
la recta x − 2y + 1 = 0, teniendo además una ası́ntota paralela al eje OX. Hallar la dirección de la otra ası́ntota.
Resp. Haz bitangente. 7y 2 − 10xy + 7x − 13y + 3 = 0. Ası́ntotas: m = 0, m = 10/7.
132 Cónica determinada por los puntos de intersección de los pares de rayos homólogos de dos haces proyectivos que
desde V (0, 0) y V 0 (punto impropio de la recta y − 2x + 3 = 0) proyectan A(1, 1), B(1, 0) y C, punto variable de la recta
y = 3. / Applet CabriJava
Resp. Si C(t, 3), (12t − 24)x2 − (4t2 − 4t − 6)xy + (2t2 − 5t + 3)y 2 − (12t − 24)x + (2t2 + t − 9)y = 0
133 Si dos cónicas tienen un punto común en el que sus tangentes son distintas, entonces ellas tienen al menos otro
punto común.
134 Haz de cónicas con cuatro puntos de contacto con la circunferencia (x − 1)2 + y 2 − 4 = 0 en el punto (1, 2).
¡
¢
Resp. (2y − 4)2 + λ (x − 1)2 + y 2 − 4 = 0.
135 Hallar la ecuación de la cónica C que pasa por: A(1, 0, −1), B(1, 0, 1), C(1, 2, 1), D(1, 2, −1) y E(1, 3, 0).
Resp. Elipse x2 + 3y 2 − 2x − 3 = 0. Centro (1, 0). Ejes paralelos a los de coordenadas.
136 Hallar la ecuación de la cónica tangente a tA : x − 3y = 0 en A(3, 1) que pasa por los puntos B(1, 2), C(−1, 2) y
D(2, 0).
Resp. tA .BB + λAB.AC = (x − 3y)(2 − y) + λ(x + 4y − 7)(x + 2y − 5) = 0, λ = −4/15.
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137 Hallar la ecuación de la cónica que es tangente a las rectas: r1 ≡ x + y = 0, r2 ≡ y + 1 = 0, r3 ≡ x + y + 1 = 0,
r4 ≡ x + 1 = 0 y r5 ≡ 6x + 5y + 2 = 0.
Resp. 49x2 + 4y 2 + 44xy + 58x + 28y + 25 = 0.
138 Hallar la ecuación de la cónica que es tangente a las rectas: r ≡ x + y + 2 = 0 en A(−1, −1), a s ≡ x + 2y − 2 = 0
en B(0, 1) y a u ≡ x + 2y = 0.
Resp. Hipérbola: 86x2 + 182y + 274xy + 179y 2 − 4x − 361 = 0.
139 Encontrar la cónica que es tangente a las rectas r ≡ y − x + 1 = 0 en A(2, 1) y a s ≡ x − y + 1 = 0 en B(0, 1), y
pasa por el punto C(1, −1)
Resp. Hipérbola: 4x2 + y 2 − 8xy + 6y − 7 = 0.
140 Encontrar la ecuación de la cónica que pasa por A(−1, 1) y que tiene dos puntos de contacto doble con C ≡
x2 + 3y 2 − 2x − 4y + 8xy + 1 = 0 en B(1, 0) y C(0, 1).
Resp. Hipérbola: 3x2 + 4y 2 + 9xy − 6x − 7y + 3 = 0.
141 Encontrar la ecuación de la cónica que tiene un punto triple de contacto con C ≡ 2x2 + xy − x + y − 1 = 0 en
A(1, 1, 0) y pasa por los puntos B(0, 1, −2) y C(0, 1, 0).
Resp. Hipérbola: 2y 2 + 4xy − 9x − 10y − 9 = 0.
142 Se da un triángulo OAB en el plano afı́n. Se pide:
1. Calcular la ecuación general de las parábolas circunscritas a OAB.
2. Calcular el lugar geométrico de los puntos de tales parábolas cuya tangente es paralela a OA.
/ Applet CabriJava
Resp. Parábolas: m2 x2 + y 2 − 2mxy − am2x − by = 0. L.g.: Hipérbola 4bx2 + 4axy − 4abx − a2 y + ba2 = 0
143 En el plano afı́n hállese la ecuación general de las cónicas que son tangentes a la recta x + y = 0 y pasan por los
puntos P (1, 0), Q(0, 1) y R(1, 3). De entre todas ellas determı́nese las que son parábolas. / Applet CabriJava
Resp. Parábolas: x2 + y 2 − 2xy − x − y = 0; 49x2 + y 2 + 14xy − 65x − 17y + 16 = 0.
144 Encontrar la ecuación de la cónica tangente a las rectas x + y = 0, x = 1 en los puntos de intersección con la recta
x + y + 1 = 0 y que pasa por el punto (1/2, 1/2).
Dar un ejemplo que sea la situación dual.
Resp. Hipérbola: 9x2 + y 2 + 10xy − 6x − 6y + 1 = 0.
145 Encontrar la ecuación de las siguientes cónicas:
(a) Que pasa por los puntos (1, 1, 1), (−1, 3, −1), (0, 1, 1), (0, 4, −1), (0, 7, 5). Resp. x0 (x0 − x1 ) = 0.
(b) Que pasa por los puntos (1, 1, 1), (−1, 3, −1), (0, 1, 1), (0, 4, −1)y es tangente en el punto (1, 1, 1) a la recta
x1 + x2 − 2x0 = 0. Resp. (x1 )2 − 4(x2 )2 + 3x1 x2 − x0 x1 + 9x0 x2 − 8(x0 )2 = 0.
(c) Tangente a las rectas (x1 )2 − (x2 )2 = 0 en la intersección de éstas con x0 = 0, pasa por el punto (3, 1, 2). Resp.
3(x1 )2 − 3(x2 )2 + (x0 )2 = 0.
(d) Como en (c), pero con la última condición reemplazada por la condición de que la cónica sea tangente a la recta
x1 + 2x2 − x0 = 0. Resp. 3(x1 )2 − 3(x2 )2 + (x0 )2 = 0.
(e) Tangente a las rectas x − 1 = 0, x + 1 = 0, y − 1 = 0, y + 1 = 0, 3x + 4y − 5 = 0. Resp. Circunferencia: x2 + y 2 = 1
(f) Tangente a las rectas x − 1 = 0, x + 1 = 0, y − 1 = 0, 3x + 4y − 5 = 0 con el punto (2, 1) como punto de
contacto. Resp. Hipérbola: x2 + 25y 2 + 20xy − 24x − 60y + 39 = 0.
146 Una parábola con el vértice (1, 1) pasa por el punto (2, 0), y además su eje es paralelo al eje OY . Escribir la
ecuación de la parábola.
Resp. x2 − 2x + y = 0.
147 En el plano afı́n hállese la ecuación general de las hipérbolas que pasan por los puntos P (0, 0) y Q(2, 0) y cuyas
ası́ntotas tienen las direcciones de los vectores ~a = (1, 1) y ~b = (1, −1). Hállese el lugar geométrico de los centros de
dichas hipérbolas.
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12
/ Applet CabriJava
Resp. λy + (2 − x + y)(x + y) = 0. Lugar de los centros: x = 1.
148 Dada, en el plano euclı́deo, una hipérbola, pruébese que el producto de las distancias de un punto de la hipérbola
a sus ası́ntotas es constante.
149 En una cónica con centro, si se proyecta un punto de la cónica desde dos puntos de la misma diametralmente
opuestos, se obtienen un par de rectas que son paralelas a un par de diámetros conjugados.
150 Determinar el valor de λ para que t1 t2 + λp2 = 0 sea la ecuación de la cónica C ≡ x2 − 6xy + 2x + 2y − 1 = 0,
donde t1 = 0 y t2 = 0 son las ecuaciones de las tangentes a C desde el punto P (1, 1) y p = 0 es la ecuación de la polar
de P respecto a C.
151 Determinar la ecuación de la hipérbola con centro (1, 0), que tiene a la recta y − x + 1 = 0 como una ası́ntota y
que pasa por los puntos (2, 2) y (0, 2).
Obtener la otra ası́ntota, sus ejes y la ecuación de la hipérbola referida a los ejes.
152 René Descartes (1596-1650) dio la siguiente solución para la construcción de rectas tangentes:
Dada la ecuación de una curva, sea la parábola y 2 = 2x, para construir la tangente a la curva en el punto (2, 2),
deberemos considerar la familia de circunferencias con centro (a, 0) esté en el eje de las “x” y que pasen por el punto
(2, 2).
Sólo una de estas circunferencias intersecará a la parábola en un sólo punto (i.e. es tangente a la parábola). Cuando
encontremos esta circunferencia, afirma Descartes, la tangente a la circunferencia será la tangente a la parábola en
(2, 2).
Usando este método, encontrar la ecuación de dicha tangente.
153 Se considera la familia de rectas dada por (1 − λ2 )x + 2λy − (4λ + 2) = 0
1. Probar que existe un punto del plano cuya distancia a todas las rectas de la familia es constante.
2. Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano por los que pasa una sola recta de la familia anterior. ¿Qué
figura geométrica es?
/ Applet CabriJava
154 Ecuación de la cónica con centro en el punto (2, 1), cuyos ejes tienen la misma dirección que los ejes coordenados
y que pasa por los puntos (3, 0) y (0, 1).
Resp. Elipse: 3x2 + y 2 − 12x − 2y + 9.
155 En plano y respecto a un sistema de coordenadas cartesianas tenemos la cónica de ecuación 8x2 −3y 2 −2xy−8x+2y =
0. Determinar el centro y las ası́ntotas. Hacer un cambio de coordenadas de origen el centro de la cónica y ejes
coordenados las ası́ntotas. ¿Cuál es la ecuación de la cónica en este nuevo sistema de coordenadas?
156 Determinar las tangentes comunes a las dos circunferencia (x + 1)2 + y 2 = 4 y (x − 3)2 + (y − 1)2 = 1.
√
Resp. 14y = −4 + 8x ± 2(−5 + 3x) y (8x − 15y − 26)(y − 2) = 0.
157 Lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas de una parábola que pasan por su foco.
/ Applet CabriJava
158 Ecuación de la parábola de la que se conoce el eje y la tangente en uno de sus puntos.
159 Se dan dos rectas secantes a y b y un punto P que no pertenece a ninguna de ellas. Una recta d que pasa por P
corta a a y b en A y B respectivamente. Mostrar que el lugar geométrico de la intersección de la paralela a a pasando
por B con la perpendicular a a trazada por A es una hipérbola. Determinar las ası́ntotas de ella. / Applet CabriJava
160 Hallar la ecuación de una cónica que pase por el origen y tenga un foco en el punto F (2, −1), siendo la directriz
correspondiente a F : 3x − y − 1 = 0.
/ Applet CabriJava
Resp. Hipérbola: 22x2 − 15xy + 2y 2 − 13x + 4y = 0.
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161 Dadas las parábolas y = ax2 + b y x = cy 2 + d, que se cortan en cuatro puntos, demostrar que por ellos pasa una
circunferencia.
162 Demostrar que las hipérbolas equiláteras circunscritas a un triángulo, pasa por el punto de intersección de las
alturas. / Applet CabriJava
163 Consideremos tres puntos O, A, B alineados y A0 y B 0 las proyecciones de A y B, respectivamente, sobre una recta
variable que pasa por O. Encontrar el lugar geométrico de los puntos P de intersección de las rectas AB 0 y A0 B. /
Applet CabriJava
164 Dos puntos A y B describen respectivamente dos rectas fijas d y d0 . Sea O el punto de intersección de estas rectas.
Determinar el lugar geométrico del ortocentro del triángulo OAB cuando el vértice opuesto a O del paralelogramo
trazado sobre O, A, B describe otra recta d00 , dada.
/ Applet CabriJava
165 Dadas tres rectas en el plano afı́n real de ecuaciones r ≡ 3x + 2y = 1, s ≡ y = 5 y t ≡ 6x + y = −13. Hallar los
triángulos ABC que tienen sus medianas sobre dichas rectas, el vértice A en r y el punto (−1, 2) como punto medio de
B y C.
166 Un segmento AB de longitud constante ` se mueve de tal manera que su extremo A permanece siempre en el eje
OX y su extremo B sobre el eje OY . Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por un punto fijo P sobre AB
tal que la razón AP : BP = k. / Applet CabriJava
167 Hallar el lugar geométrico del punto medio de una cuerda de longitud constante 2a inscrita en la parábola y = x2 .
168 Se da la circunferencia x2 + y 2 + ax = 0 y un punto A(α, β). Se traza por el origen O una cuerda arbitraria; sea
B el otro punto de corte de la cuerda con la circunferencia. Se proyecta B en C, sobre OY . Hallar el lugar geométrico
el punto M , intersección de OB y CA.
169 Se considera un rectángulo ABCD. Las paralelas a sus lados trazadas por un punto P , cortan a éstos (o a sus
prolongaciones) en Q, R y S, T . Hallar el lugar geométrico que deba describir P para que la rectas QS y RT sean
perpendiculares.
170 Dada la recta 2x + 2y − 3 = 0. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que el cuadrado de la
distancia a la recta dada es igual al producto de distancias del mismo a los ejes.
171 En el trapecio isósceles ABCD, de base AD = 2 y BC = 4, se toma un punto variable M sobre la recta CD; y se
traza por C la paralela a M A, y por D la paralela a M B. Hallar el lugar geométrico de los puntos P de intersección
de éstas últimas rectas.
172 Lugar geométrico de los centros de gravedad de los triángulos determinados por dos ejes fijos y con un tercer lado
de longitud constante. / Applet CabriJava
173 Una recta ` pasa por el origen y corta a las rectas x + 1 = 0, x − y + 1 = 0, en los puntos A y B, respectivamente.
Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por el punto medio del segmento AB a medida que la recta ` gira en
torno al origen.
174 Un segmento de recta AB de magnitud constante se mueve apoyando sus extremos en dos ejes cartesianos
rectangulares. Hallar el lugar geométrico de la proyección del origen sobre ese segmento.
175 Se dan una recta b y un punto A en el plano. Por un punto cualquiera M de b se traza la perpendicular p a b.
Lugar geométrico de los puntos P de p tales que M P = M A. / Applet CabriJava
176 Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos de intersección de las rectas r del plano OXY que pasan
por el punto A(−1, 0) con las rectas r0 del mismo plano que pasan por A0 (1, 0) y tales que las pendientes de r y r0 sean
inversas.
177 Se dan en el plano dos puntos fijos A y B y otro punto M variable que recorre una recta r. Se trazan por A y
B perpendiculares respectivas a las rectas AM y BM . Lugar geométrico del punto de encuentro de estas rectas. /
Applet CabriJava
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178 En el plano se dan dos puntos A y B y una recta r perpendicular a AB. Se unen A y B a un punto variable C de r
y se trazan la perpendicular a AC por A y a BC por B. Lugar geométrico de la intersección de estas perpendiculares.
179 Dos circunferencias C1 y C2 se cortan en los puntos A y B; por B se traza una recta variable L que corta de nuevo
a C1 y C2 en dos puntos P1 y P2 , respectivamente. Demuéstrese que las mediatrices de los segmentos P1 P2 pasan por
un punto fijo.
180 Encontrar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de cuadrados de distancias a dos rectas dadas es
constante.
181 Dados dos puntos A y B y una perpendicular r a la recta que los une, se toma un punto cualquiera M de r y se
trazan las normales AP y BP a AM y BM , respectivamente, las cuales se cortan en P , determinar el lugar geométrico
de P .
182 Hallar la ecuación del cono de revolución de vértice (1, 1, 1) y de eje x = 2z − 1, y = z y cuyo ángulo de la generatriz
con el eje es 60◦ .
183 Clasificar y hallar la ecuación reducida de la cuádrica siguiente:
2x2 + 2y 2 + 2z 2 − 2xy − 2xz + 2yz − 6x − 4y − 4z + 5 = 0.
Resp. Elipsoide
184 Hallar el lugar geométrico de las rectas de intersección de pares de planos perpendiculares trazados por dos rectas
que se cruzan.
185 Hallar la ecuación de un elipsoide engendrado por una elipse homotética de la x2 + 2y 2 − 1 = 0, z = 0 del plano
XOY , con centro en el eje OZ y que corte a la 2y 2 + 5z 2 = 1, x = 0 del plano Y OZ.
186 Una hipérbola está definida por el sistema de ecuaciones x2 −9z 2 = 1, x = y ; y una elipse de ejes a, b proporcionales
a los números 3 y 2 paralelos al eje OX y OY se mueve, al mismo tiempo que se deforma, apoyándose en la hipérbola
anterior y describiendo el centro el eje OZ. Hallar la ecuación de la superficie engendrada.
Resp. 4x2 + 9y 2 − 117z 2 − 13 = 0
187 Hallar la ecuación de la cuádrica generada por las rectas que se apoyan en las rectas x = 0, y = 0; x = 1, y = z;
x + y = 2, z = 0. (Indicación: Eliminar a, b, p y q entre las ecuaciones de la recta x = az + p, y = bz + q y la condición
para que esta corte a las tres dadas).
188 Sea la cuádrica en de ecuación x2 + y 2 − z 2 = 1. Demostrar que contiene a dos familias de rectas F1 , y F2 y que
dos rectas de una misma familia no se cortan y dos rectas de familias diferentes se cortan siempre.
189 Determinar las generatrices rectilı́neas de la cuádrica xy − xz − z = 0.
190 Dadas las rectas paralelas al plano Y OZ: x = 0, y = 0;
x = 1, y = 2z;
x = 2, y = z.
Hallar la ecuación del paraboloide hiperbólico que determinan las rectas que cortan a las tres rectas. Hallar el haz
de planos tangentes en puntos de la recta x = y = 0.
191 Hallar las rectas
1) Del hiperboloide reglado x2 + y 2 − z 2 = 1 que pasan por (5, −5, 7).
2) Del paraboloide hiperbólico z = x2 /9 − y 2 /4 que pasan por (−6, −2, 3).
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15
192 Clasificar las siguientes cuádricas y determinar su centro:
x2 + y 2 + 2z 2 − 2xz + 4y − 3z = 0
x2 − y 2 + z 2 − 4xz + 2yz − 2x = 0
y 2 + 4z 2 − 2xz + 2y + 5 = 0
x2 + 3y 2 − 2x + y − z = 0
3xy − 2x + y − 5z + 2 = 0
2x2 + 2x − 3y − z − 1 = 0
x2 + y 2 + z 2 − 4xz − 4y + 2 = 0
y 2 + 4xz + 1 = 0x2 − 2y 2 − 2xy + 3yz − 6x + 7y − 6z + 7 = 0
2x2 − 18y 2 − 6xy + 6xz + 9yz − 2x + 9y − 4z − 4 = 0
2x2 − z 2 − xy − xz + yz + 2x − y + z = 0
x2 + y 2 + z 2 − 2xy + 2xz − 2yz − 2x + 2y − 2z + 1 = 0
2x2 + 3y 2 + 4z 2 + xy + xz − yz + 12x − 4y + 12z + 26 = 0
x2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y + 6z + 14 = 0
x2 + 3y 2 + 4z 2 − 6yz − 2xz = 0
x2 + y 2 + z 2 + 2xy − 6xz + 2yz + 2x − 6y + 2z + 1 = 0
y 2 − z 2 + 2xy − 2xz − 4x − 3y = 0
x2 + 2y 2 + z 2 − 2xy + 2yz + 2x − 4y − 2z + 1 = 0
x2 − y 2 + xz + yz + 2y − 1 = 0
x2 + z 2 + 2xz − 4x − 4z − 2y + 2 = 0
193 En el espacio euclı́deo y respecto de una referencia rectangular, hallar la ecuación del hiperboloide reglado cuyos
ejes son los de referencia, que pasa por el punto (4, 0, 3) y contiene a la elipse de ecuación:
x2
y2
+
= 1,
4
5
z = 0.
194 Ecuación de la cuádrica lugar geométrico de las rectas que unen los pares de puntos que se obtienen al cortar por
x−1
y−1
plano paralelos al x + y + z = 0, el eje OZ y la recta
=
= z.
2
3
195 Se considera el eje OZ y la recta r : x + y − 1 = 0, z = 0. Determinar la ecuación de la cuádrica formada por las
rectas que se apoyan en las dos rectas anteriores y en la recta S : x − z − 2 = 0, y − z + 1 = 0.
196 Hallar el lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos rectas fijas.
197 Superficie de traslación generada por la parábola x2 = 2z, y = 0 cuando su vértice se desliza sobre la parábola de
ecuación y 2 = 6z, x = 0.
198 Hallar la ecuación del cilindro de revolución cuya sección recta es una circunferencia que pasa por los puntos de
intersección del plano x + y + z − 1 = 0 con los ejes coordenados.
199 Hallar el lugar geométrico de los puntos de las rectas que se apoyan en dos rectas fijas, manteniendo la distancia
entre pares de puntos de contacto en cada recta. Siendo una de tales rectas variables la perpendicular común.
200 Ecuación de la superficie engendrada por una recta variable paralela al plano XOY y que se apoya en la recta
x = a, y = bz y en el eje OZ.
201 Ecuación del cono de vértice (1, 2, −1) y directriz y 2 + 4x, z = 0.
½µ
¶Á
¾
a11 a12
202 Sea el conjunto A =
aij ∈ IR i, j = 1, 2 . Probar que es un espacio afı́n sobre IR4 con la
a21 a22
operación externa Φ: A × IR4 → A
µ
¶
µ
¶
a11 a12
a11 + x1 a12 + x2
+ (x1 , x2 , x3 , x4 ) =
.
a21 a22
a21 + x3 a22 + x4
½µ
¶ Á
¾
a11 a12
203 Sea el conjunto A =
aij ∈ IR i, j = 1, 2 .
a12 a22
1. Probar que es un espacio afı́n sobre IR3 con la operación externa
µ
¶
µ
a11 a12
a11 + 2x1
1
2
3
+ (x , x , x ) =
a12 a22
a12 + x2
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a12 + x2
a22 + 3x3
¶
.
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2. Probar que no es un espacio afı́n sobre IR2 con la operación externa
µ
¶
µ
a11 a12
a11 + x1
+ (x1 , x2 ) =
a12 a22
a12
16
a12
a22 + x2
¶
.
204 En el espacio afı́n IR2 [x], de los polinomios de segundo grado con coeficientes reales, con la operación natural sobre
IR3 comprobar la regla del paralelogramo o relación de Chasles, para los puntos P = 1 + x + x2 , Q = 2 + 3x + x2 y
−−→ −−→ −→
R = −7 + 2x + 3x2 ; esto es que P Q + QR=P R.
205
−−→ −−→
−→ −−→
1. Sean cuatro puntos A, B, C, D de un espacio afı́n. Comparar los vectores ~u =AB + DC y ~v =AC + DB.
−−→
−−→
2. Sean A, B, C puntos de un espacio afı́n y k un escalar. Se consideran además puntos B 0 , C 0 tales que AB 0 = k AB,
−−→
−→
−−→ −−−→
AC 0 = k AC. Comparar los vectores BC y B 0 C 0 .
206
1. Sean A1 , . . . , An puntos de un espacio afı́n y λ1 , . . . , λn escalares tales que
~v =
n
X
−−→
λi OAi no depende del punto O elegido.
n
X
λi = 0 entonces el vector dado por
i=1
i=1
2. Sean A, B, C, D puntos de un espacio afı́n A asociado a un espacio vectorial E. Sea la aplicación f : A → E que
−−→
−−→
−−→
−−→
a todo punto M ∈ A se le asocia el vector f (M ) =M A + M B + M C −3 M D. Probar que la función f es
constante.
207
1. Se consideran dos paralelogramos ABCD y AB 0 CD0 que tienen los vértices A y C comunes. Probar que BB 0 DD0
es otro paralelogramo.
2. Sean los paralelogramos ABCD y A0 B 0 CD que tienen los vértices C y D comunes. Probar que ABB 0 A0 es otro
paralelogramo.
208 En el espacio afı́n natural IR4 se consideran los subespacios H = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1 + x2 = 4, x3 + x4 = α} y
F = {(3 + λ, 2 − 2λ, 2λ, −1 + λ) / λ ∈ IR}. Hallar α para que el subespacio afı́n engendrado por H y F tenga dimensión
mı́nima y determinar dicho subespacio.
209 Sean H y F subespacios afines de un espacio afı́n A con intersección no vacı́a. Probar que si H y F son paralelos
a otro subespacio afı́n G entonces H ∩ F y H + F también son paralelos a G.
210 En el plano afı́n se consideran las referencias cartesianas R = {O; ~u, ~v } y R0 = {O; ~u0 , ~v 0 }. Hallar la condición
necesaria y suficiente para que existan otros puntos distintos de O que tengan las mismas coordenadas respecto de R
y R0 . Hallar el lugar geométrico de estos puntos.
/ Applet CabriJava
211 Sean A, B, C puntos del plano afı́n. Determinar el conjunto de puntos que tienen las mismas coordenadas respecto
−−→ −→
−−→ −−→
de las referencias cartesianas {A; AB, AC} y {B; BC, BA}.
212 Consideremos A, B puntos del plano afı́n A2 (E) y los vectores e~1 , e~2 , ~u, ~v ∈ E. Sean (a, b) las coordenadas del
−−→
vector AB en la base {e~1 − ~u, e~2 − ~v }. Determinar el conjunto de puntos con iguales coordenadas en las referencias
cartesianas {A; e~1 , e~2 } y {B; ~u, ~v }.
−−→
213 Sean las referencias cartesianas R = {O; ~u1 , ~u2 } y R0 = {O0 ; ~u01 , ~u02 } donde OO0 = 2~u1 − 3~u2 , ~u01 = ~u1 + 3~u2 ,
~u02 = −~u1 + ~u2 . Hallar las ecuaciones del cambio de referencia de R a R0 y de R0 a R.
214 Estudiar si los puntos P (1, 0, 2, 1), Q(1, 1, 3, 0), R(0, 1, 1, 0) en A4 (IR) son independientes o no.
215 En un espacio afı́n de dimensión tres estudiar cuáles de las siguientes familias de puntos son sistemas de referencia
afı́n:
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17
1. {A(0, 1, 1), B(0, 0, 1), C(1, 0, 0), D(1, 1, 1)};
2. {A(1, −1, 1), B(0, 0, 1), C(1, 0, 1), D(0, 1, 1)};
3. {A(1, 1, 1), B(2, 1, 3), C(2, 2, 1), D(0, 0, 1)}.
216 Sean los puntos A(1, 3, −1), B(2, 3, −2), C(2, 4, −1) y D(2, 5, −1) en A3 (IR). Probar que R = {A, B, C, D} es una
referencia afı́n y hallar las coordenadas de P (1, 0, 1) respecto de R.
217 Se consideran las referencias afines R = {O, P1 , P2 } y R0 = {P1 , P2 , O}. Hallar las fórmulas del cambio de sistema
de referencia.
−→ −−→
218 Si ABCDEF es un hexágono regular con centro O y se elige como referencia cartesiana R = {O; OA, OB}, hallar
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→
las coordenadas de los vértices y los vectores AB, BC, CD, DE, EF , F A en función de los básicos.
219 Sea la referencia cartesiana R = {O; ~u1 , ~u2 } y el conjunto de puntos X(x, y) que verifican 6x2 − 5xy + y 2 = 1
(hipérbola). Consideremos una nueva referencia R0 = {O, ~v1 , ~v2 } donde ~v1 = ~u1 + a~u2 , ~v2 = b~u1 + c~u2 con c − ab 6= 0.
Hallar a, b, c para que en la nueva referencia el conjunto de puntos anterior tenga por ecuación x0 y 0 = 1.
/ Applet CabriJava
−−→
−−→ −−→
−→ −−→
−−→
220 Sea ABC un triángulo y A0 , B 0 , C 0 puntos de un espacio afı́n A tales que BA0 = λ BC, CB 0 = λ CA, AC 0 = λ AB.
−−→ −−−→ −−−→ −−→ −−→ −−→
1. Probar que para todo punto M ∈ A, M A0 + M B 0 + M C 0 =M A + M B + M C.
2. Demostrar que los triángulos ABC y A0 B 0 C 0 tienen el mismo baricentro.
221 Sean A1 , A2 , A3 puntos de un espacio afı́n A y λ, µ escalares tales que λ + µ 6= 0. Denotemos por G1 , G2 y G3
los baricentros de {A2 , A3 }, de {A3 , A1 } y de {A1 , A2 }, respectivamente, todos ellos con pesos (λ, µ). Probar que los
triángulos G1 G2 G3 y A1 A2 A3 tienen el mismo baricentro.
222 Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo que las coordenadas respecto de una referencia
cartesiana fijada de los puntos medios de sus lados son (−2, 1), (5, 2), (2, −3).
223 Sean A, B, C y D puntos de un espacio afı́n tridimensional que forman un tetraedro. Denotemos por B 0 , C 0 , D0 los
puntos medios de AB, AC y AD, y por B 00 , C 00 , D00 , los puntos medios de los segmentos CD, DB, y BC, respectivamente.
Se pide:
−→ −−→ −−→ −−→
1. Probar que existe un único punto G que verifique que GA + GB + GC + GD= ~0.
−−→ −→ −−→
−→ −−→ −−→ −−→
2. Hallar las coordenadas, respecto de la referencia cartesiana {A; AB, AC, AD}, de los vectores AG, BG, CG y DG.
3. Probar que G es el punto medio de los segmentos B 0 B 00 , C 0 C 00 y D0 D00 .
−→ −−→ −−→
224 Se consideran en un espacio afı́n tridimensional, O, A, B y C cuatro puntos y R{O; OA, OB, OC}, referencia
cartesiana. Denotemos por O0 , A0 , B 0 y C 0 los baricentros de los triángulos ABC, BOC, COA y AOB, respectivamente.
Se pide:
−−→ −−→ −−−→ −−−→
1. Expresar los vectores OO0 , O0 A0 , O0 B 0 y O0 C 0 en la referencia R.
−−→ −−−→ −−−→
2. Si R0 {O0 ; O0 A0 , O0 B 0 , O0 C 0 } es un nueva referencia cartesiana, hallar las ecuaciones que permiten pasar de R a R0 .
3. Hallar las ecuaciones que permiten pasar de R0 a R.
225 Dada la recta en coordenadas homogéneas x0 − x1 − 2x2 = 0, referirla al sistema de coordenadas baricéntricas
definido por los puntos A0 (1, 2, 1), A1 (2, 3, −1), A2 (3, 1, 4).
226 Sea ABC un triángulo del plano afı́n real ordinario y A0 , B 0 y C 0 los puntos medios de los segmentos BC, CA y
AB, respectivamente.
−→ −−→ −−→
1. Demostrar que existe un punto G, único, tal que GA + GB + GC= ~0.
−−→
−−→
−−→
−→
−−→
−−→
2. Demostrar que 3 GA +2 AA0 = 3 GD +2 BB 0 = 3 GC +2 CC 0 = ~0.
−−→ −−→ −−→
−−→
3. Demostrar que para todo punto M del plano se verifica M A + M B + M C= 3 M G.
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18
227 Dados tres puntos A, B, C distintos y no alineados en el plano afı́n, comprobar que el punto A es el baricentro de
−−→
−→
los puntos B, D = C+ BA y E = A+ CA, afectados de las mismas masas.
228 En un espacio afı́n sean G y G0 los baricentros de los triángulos P QR y P 0 Q0 R0 , respectivamente. Demostrar que
−−→ −−→ −−→
−−→
P P 0 + QQ0 + RR0 = 3 GG0 .
229 Determinar escalares α y β para que le baricentro de los puntos A(0, 1) y B(2, 4) del plano afı́n ordinario IR2 ,
afectados de las masas α y β, respectivamente, sea el punto C(ξ, η), tal que la razón simple (ABC) = 1/2. ¿Cuáles son
las coordenadas de C?
230 En un sistema de referencia cartesiano las coordenadas de tres puntos son (1, 0), (1, 2), (2, 1) y en otro son,
respectivamente, (4, 4), (2, 4), (5, 5). ¿Cuáles son las coordenadas de uno de los origenes en función del otro?
231 Dado un triángulo ABC del plano afı́n real y tres puntos A0 , B 0 y C 0 en los lados BC, AC y AB, respectivamente,
encontrar una condición necesaria y suficiente para que tengan el mismo baricentro los triángulos ABC y A0 B 0 C 0 .
232 En la recta afı́n real y respecto a una referencia cartesiana {O; ~e} se tiene la ecuación x3 + 3x2 + 5x + 8 = 0, referirla
a una nueva referencia cartesiana {O0 ; ~e}, tal que el origen sea el baricentro de las tres raices en el nuevo sistema.
233 Hacer un cambio de origen en la recta afı́n real para que la ecuación x2 − (α + β)x + αβ = 0 se transforme en otra
que carezca de término independiente.
234 Elegir un nuevo origen, en la recta afı́n real, de modo que la transformada de la ecuación x3 − 6x2 + 9x − 4 = 0
carezca de término de segundo grado.
235 Sean A1 , . . . , Ar puntos de un espacio afı́n. Demostrar que las rectas que unen cada Ai con el baricentro de los
puntos restantes son concurrentes (en el baricentro de A1 , . . . , Ar ).
236 Dado el triángulo ABC, sean A0 , B 0 y C 0 los puntos medios de los lados BC, AC y AB, respectivamente y M el
baricentro del triángulo ABC.
Obtener las coordenadas baricéntricas de los puntos A, B, C, A0 , B 0 , C 0 y M y las ecuaciones de las rectas que cada
par de estos puntos determinan, respecto al sistema de referencia afı́n {A, B, C}. Lo mismo respecto al sistema de
referencia afı́n {A0 , B 0 , C 0 }.
237 En el plano afı́n real se consideran tres puntos A, B y C independientes, y el punto P , baricentro de los puntos
A, B y C afectados de las masas 1, 2 y 3, respectivamente.
Determinar las coordenadas cartesianas de los cuatro puntos A, B, C y P y las ecuaciones de las seis rectas determinadas por los pares de puntos A y B, A y C, B y C, A y P , B y P , C y P , respecto a las tres referencias cartesianas
−−→ −→
−−→ −−→
−→ −−→
R1 = {A; AB, AC}, R2 = {B; BA, BC}, R3 = {C; CA, CB}.
Si (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) y (x3 , y3 ) son las coordenadas de un punto genérico X del plano respecto a los sistemas de
referencia R1 , R2 y R3 , respectivamente, ¿cuáles son la relación entre dichas coordenadas?
238 Debilitación de la recta de Euler:
Sea una paralela al lado F G de un triángulo EF G, que interseca a los lados EF y EG en H y J respectivamente.
Sean dos rectas arbitrarias r y s que pasen por H y J que tengan por intersección P . Tomemos dos rectas t y u paralelas
a r y s por los vértices opuestos correspondientes (G y F ), que tendrán por intersección Q. Sea M la intersección de
GH y F J. Demostrar que los puntos P , Q y M son colineales, y se tiene: P M/M Q = EH/EF .
239 Debilitación de la recta de Euler:
A través de cada uno de los dos puntos medios M y N de los lados AC y BC de un triángulo ABC, pasan rectas
arbitrarias y denominamos su intersección C1 . Construimos paralelas a estas rectas a través de los correspondientes
vértices opuestos (B y A, respectivamente) y llamamos a su intersección C2 . Demostrar que los puntos C1 , C2 y el
baricentro G están alineados. La distancia del baricentro al punto C1 es la mitad de la distancia del baricentro al punto
C2 .
240 Hallar la distancia entre las rectas 2x + 3y − 21 = 0, 2x + 3z − 18 = 0
2x + 2y − 7 = 0, 2y − z − 3 = 0.
241 Demostrar que en un triángulo las tres alturas son concurrentes.
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Angel M ontesdeoca. La Laguna, 2012