4 Longitud, superficie y volumen

4
Longitud, superficie
y volumen
Matemáticas 1º ESO
148
1.
Longitud, perímetro y tiempo
2.
Superficie y cálculo de áreas
3.
Volumen
Longitud, superficie y volumen
1. Longitud, perímetro y tiempo

LONGITUDES
¿Cuál es la más larga?. Explica tus respuestas.
a)
b)
c)

ALTURAS
¿Cómo medirías la altura en cada uno de los casos siguientes?.
a) De objetos pequeños.
b) De objetos grandes.
c) De objetos cercanos.
d) De objetos alejados.

UNIDADES DE LONGITUD
Como sabes, la unidad principal de medida de longitud es el metro. Vamos a recordar sus múltiplos y
submúltiplos:
km
hm
dam
1000 m 100 m 10 m
m
dm
cm
mm
0’1 m 0’01 m 0’001 m
También hay unidades inferiores:
1 micra = 1 m = 0’001 mm (milésima de milímetro)
1 nanómetro = 1 nm = 0’000001 mm (millonésima de milímetro)
149
Matemáticas 1º ESO
Y otras unidades superiores al kilómetro, para medidas astronómicas:
1 UA (unidad astronómica) = 150 millones de kilómetros. Es la distancia media de la Tierra al Sol.
1 año luz (distancia que recorre la luz en un año) = 9’5 billones de km.
Otras unidades de longitud que se emplean son las inglesas. Las más usadas son:
pulgada = 1” = 2’54 cm
yarda = 1 yarda = 91’44 cm
milla = 1 milla = 1609,34 m
1) Añade la unidad en la que crees que están expresadas las siguientes medidas:
distancia entre León y Salamanca............... 200..............
grosor de una hoja de papel........................ 0’1..............
dimensiones del Guernica..................351 x 782..............
diámetro del electrón.................................. 0’1..............
distancia mínima de Venus a Marte............ 0’8...............
distancia del Sol a la estrella Sirio............... 9...............
2) Los padres de Sergio estuvieron en Estados Unidos y alquilaron un coche con el que recorrieron
2050 millas. ¿Cuántos kilómetros hicieron?.
3) Expresa las dimensiones de esta hoja de papel. ¿Cuáles son dichas dimensiones expresadas en
pulgadas?.
4) Mide la longitud de la pantalla de tu televisor. Pásala a pulgadas. Observa que coincide con lo que
se anuncia en el aparato.
5) Expresa en kilómetros la distancia de un año-luz. Expresa un año-luz en unidades astronómicas.

SISTEMA SOLAR
Calcula, en millones de kilómetros, el diámetro medio del Sistema Solar, sabiendo que la luz lo recorre
en 12 horas. Expresa esta distancia en UA. ¿Qué fracción de un año-luz supone esta distancia?.
150
Longitud, superficie y volumen

CALCULO MENTAL
1) Expresa en centímetros:
2) Expresa en metros:
3) Expresa en kilómetros:

a) 3 m 5 dm
b) 0’3 m 0’4 dm
c) 6 m 8 dm
d) 0’6 m 0’3 dm
e) 7 m 4 dm
f) 0’7 m 0’2 dm
a) 4 km 3 hm
b) 0’5 km 2 hm
c) 8 km 6 hm
d) 0’3 km 6 hm
e) 9 km 5 hm
f) 0’4 km 4 hm
a) 3500 m
b) 450 m
c) 9750 m
d) 755 mm
e) 12450 m
f) 200 m
MICRAS Y KILÓMETROS
a) Expresa en micras:
0’002 cm;
b) Expresa en kilómetros:
0’5 UA;

453 m;
0’087 dm.
0’01 años luz;
0’02 UA;
5 años luz
LONGITUDES GRANDES
Sabes que 1000 metros son 1 kilómetro. Es una distancia apreciable pero pequeña como unidad de
medida en muchos casos, como verás a continuación. En estos casos es más apropiado tomar
unidades mayores. He aquí algunas:
6
El megámetro (de grande)................................. 10 metros
9
El gigámetro (de gigante).................................. 10 metros
El terámetro (de monstruo)................................ 10
12
metros
Expresa en metros las unidades de la tabla que sigue:
Altura del monte Everest
8’886 kilómetros
Diámetro de la Tierra
12’75 megámetros
Circunferencia de la Tierra
40 megámetros
Distancia Tierra-Luna
380 megámetros
Distancia Venus-Sol
104’40 gigámetros
Distancia Tierra-Sol
145 gigámetros
Distancia Marte-Sol
215’84 gigámetros
Distancia Júpiter-Sol
738’40 gigámetros
Distancia Plutón-Sol
5’595 terámetros
151
Matemáticas 1º ESO
Intenta dibujar, a escala, los planetas anteriores en circunferencias cuyo centro sea el Sol.
Recuerda la notación científica:

5
8 x 10 = 8 x 100000 = 800000
RÁPIDOS Y LENTOS
La rapidez con que ocurren los fenómenos de la naturaleza es muy variada. Observa la tabla
siguiente:
Espacio recorrido en 1 segundo
Sonido
331 m
Satélite
8 Km
Tierra
30 Km
Luz
300000 Km
Calcula, en cada caso, el tiempo necesario para recorrer un metro. ¿Y para recorrer 1 cm ?.
Los números que has obtenido son pequeños para expresarlos
en segundos. Puedes utilizar unidades más apropiadas, como
éstas:
1 milisegundo = 10-3 segundos.
1 microsegundo = 10-6 segundos.
1 nanosegundo = 10-9 segundos.
1 picosegundo = 10-12 segundos.
Utiliza estas unidades para expresar los resultados anteriores.
¿Cuánto recorre la luz en 1 nanosegundo?. ¿Y en un picosegundo?. Haz los mismos cálculos para la
Tierra.
152
Longitud, superficie y volumen

EL PERÍMETRO DEL OCTOGONO
Aquí tienes una figura de 8 lados dibujada en papel cuadriculado (cada cuadrado, 1 cm de lado).
¿Cuál es el perímetro de la figura?
El perímetro de un pòlígono es la suma de las longitudes de sus lados.

PERIMETROS
Calcula el perímetro de los siguientes polígonos:
a) Un triángulo equilátero de 8’5 cm de lado.
b) Un hexágono regular de 8’5 cm de lado.
c) Un rectángulo de 5’4 cm de base y 2’3 cm de altura.
2. Superficie y cálculo de áreas

PAPEL MILIMITRADO
Material: papel milimetrado no fotocopiado.
Observa la hoja de papel milimetrado. Como ves, hay rectas de distinto grosor que dividen la hoja en
cuadrados de distinto tamaño:
¿Cuánto miden los cuadrados más grandes?. ¿Y los medianos?. ¿Y los pequeños?.
¿Cuántos cuadrados de cada uno de los tamaños anteriores hay en la hoja?.
Explica los procedimientos que sigues para contarlos.
153
Matemáticas 1º ESO

ESTAÑO
Aquí tienes dos láminas cuadradas de estaño que son del mismo tamaño:
Una máquina hace 8 agujeros iguales en cada una de las láminas, dejándolas tal y como indica la
figura siguiente:
¿Qué lámina tiene ahora más estaño?. Justifica tu respuesta.

TRES PIEZAS
Cortamos un cuadrado en tres piezas y las ordenamos para hacer una nueva figura.
¿Qué figura tiene mayor superficie? ¿Y mayor perímetro?. Compruébalo.

AREA 9
Material: trama cuadrada de puntos.
2
Dibuja figuras diferentes que tengan 9 cm de área con sus vértices sobre puntos de la trama.
¿Tienen todas el mismo perímetro?. ¿Cuál es la que tiene el mayor perímetro?. ¿Y la que menos?.
154
Longitud, superficie y volumen

PERÍMETROS
Recorta seis piezas de cartulina como las que están aquí dibujadas. Colocándolas una junto a otra se
pueden obtener formas variadas.
Esta es una de ellas:
Pero hay otras. Todas tendrán naturalmente la misma superficie. Pero su perímetro exterior variará.
Junta las piezas de manera que el perímetro exterior sea el menor posible. En caso de que tengas
dudas entre más de una, mide para decidir.

PUZZLE
Recorta las piezas y construye con todas ellas un cuadrado, una F y otras figuras que te gusten.
¿Cuál de ellas tiene mayor superficie? ¿Y menor perímetro?.
155
Matemáticas 1º ESO

AREA Y PERÍMETRO
Usa papel cuadriculado para tus dibujos.
a) Aquí tienes un rectángulo de 4 unidades de superficie.
Dibuja el mayor número posible de rectángulos distintos del anterior y que tengan también 4 unidades
de superficie.
Dibuja ahora otras figuras que no sean rectángulos y que tengan un área de 4 unidades.
 ¿Cuál es el perímetro de cada una de ellas?.
 ¿Cuál es la de mayor perímetro?.
 ¿Y la de menor?.
b) Haz lo mismo para un rectángulo de 10 unidades de superficie:
c) Dibuja rectángulos distintos que tengan de perímetro 24 cm. y que sus lados sean números
enteros. ¿Cuál de todos ellos tiene la superficie menor? ¿Y la mayor?. ¿Cuánto vale la superficie
en ambos casos?.

PERÍMETRO Y SUPERFICIE
¿Cuál de estas figuras tiene mayor perímetro? ¿Qué ocurre con sus superficies?.
156
Longitud, superficie y volumen

PARALELOGRAMOS
Dibuja en la siguiente trama algunos paralelogramos que tengan la misma superficie que el rectángulo

MAS PARALELOGRAMOS
Dibuja, para cada uno de los paralelogramos siguientes, otro paralelogramo y un rectángulo que
tengan la misma superficie que él.

RECTÁNGULO Y CUADRADO EQUIVALENTE
Construye un cuadrado que tenga igual área que el rectángulo de la figura:
157
Matemáticas 1º ESO

VENTANAS
Diseña en una hoja de papel milimetrado ventanas rectangulares con un perímetro de 12 metros.
Para dibujar en el papel representa con 1 cm cada metro del contorno de la ventana.
Recórtalas y ordénalas de alguna manera.
¿Cuál crees que necesitará mayor superficie de cristal?. ¿Y la que necesitará menos?.
¿Hay ventanas que necesiten la misma cantidad?.
Completa la tabla con las medidas de las ventanas que has dibujado:
BASE
ALTURA PERÍMETRO
b
a
=P
ÁREA
=A
Inventa una fórmula para calcular el perímetro P y otra para calcular el área A usando para la base el
valor b y para la altura el valor a.
El área de un rectángulo es igual al producto base x altura. El perímetro
es la suma del doble de la base más el doble de la altura.

MEDIDAS DE RECTÁNGULOS
a) Calcula el perímetro y el área de una habitación rectangular de dimensiones 8’3 m y 4’6 m.
b) Mide las dimensiones de una página de este libro y halla su perímetro y su superficie.
c) ¿Cuántos metros cuadrados de papel se han necesitado para hacer este libro completo, sin contar
las tapas ?.
158
Longitud, superficie y volumen

PATIO RECTANGULAR
2
Para cubrir un patio rectangular se han usado 175 baldosas de 20 dm cada una. ¿Cuántas baldosas
cuadradas de 50 cm de lado serán necesarias para cubrir el patio, idéntico, de la casa vecina?.

MEDIDAS DE CUADRADOS
a) Halla el perímetro y el área de un cuadrado de 15 cm de lado.
b) Completa la siguiente tabla:
AREA DEL CUADRADO 16 cm
2
225 cm
2
36 mm
2
100 dam
2
LADO
2
c) Una habitación cuadrada tiene una superficie de 25 m . Hemos de embaldosarla con losetas
cuadradas de 20 cm de lado. ¿Cuántas losetas se necesitan?.
2
d) La superficie total de un cubo es de 150 cm . ¿Cuánto mide la arista?.
e) Un cuadrado de 1 m de lado se divide en cuadraditos de 1 mm de lado. ¿Qué longitud se obtendría
si colocáramos en fila todos esos cuadraditos?.
El área de un cuadrado es igual al cuadrado del lado. El perímetro es
igual al cuádruple del lado.

PINTAR UN CUBO
Se quieren pintar todas las caras de un cubo. La suma de las longitudes de sus aristas es de 48 m. Si
2
para pintar 3 m de superficie se necesita 1 litro de pintura, ¿cuántos litros serán necesarios para
pintar el cubo completo?.
159
Matemáticas 1º ESO

CALCULO MENTAL
1) Calcula el área de los cuadrados cuyos lados miden:
a) 3 m
b) 5 m
c) 7 m
d) 4 m
e) 6 m
f) 8 m
2) Calcula el área de los rectángulos cuyas dimensiones son:

a) Base = 8 cm y altura = 10 cm
b) Base = 6 cm y altura = 12 cm
c) Base = 10 cm y altura = 20 cm
d) base = 10 cm y altura = 30 cm
QUINIENTOS VEINTICINCO
Material: hoja de papel milimetrado.
Dibuja en la hoja rectángulos que tengan una superficie de 525 milímetros cuadrados. Completa la
siguiente tabla:

base (mm)
1
altura (mm)
525
FOTOGRAFIA
2
Diseña dos marcos diferentes para una fotografía que tenga una superficie de 144 cm . El hueco del
marco tiene que tener las mismas dimensiones que la fotografía.
Dibuja en la hoja los bocetos y escribe las dimensiones correspondientes. Calcula la superficie de
cartulina que necesitarías para construir cada marco.

TRES VENTANAS
Material: trama cuadrada de puntos.
Diseña tres ventanas (con la forma que tú quieras) que tengan 24 cm de perímetro cada una. Calcula
la superficie de cristal que necesitarás para cada una.
160
Longitud, superficie y volumen

MEDIDAS DE PARALELOGRAMOS
a) Todos estos paralelogramos tienen la misma superficie. ¿Por qué?.
¿Cómo se puede determinar el área de un paralelogramo?
b) Calcula el área y el perímetro de los siguientes paralelogramos. Utiliza una regla graduada para
hacer las medidas que consideres adecuadas.
El área de un paralelogramo es igual al producto base por altura.

ROMBOS Y COMETAS
a) ¿Como puedes determinar el área de un rombo conociendo sus diagonales?.
Halla el área de un rombo cuyas diagonales menor y mayor miden, respectivamente, 10 cm y 24 cm.
b) La figura adjunta no es un rombo, es un cometa. Observa que, al igual que en el rombo, las
diagonales son perpendiculares.
¿Cómo puedes hallar el área de un cometa?.
Las diagonales de un cometa son 15 m y 8 m respectivamente. ¿Cuál es su área?.
161
Matemáticas 1º ESO
El área de un rombo es igual al semiproducto de sus diagonales.
El área de un cometa es igual al semiproducto de sus diagonales.

TRIÁNGULOS
Calcula el área de los triángulos de la trama:

MAS TRIÁNGULOS
Material: triángulos dibujados en tres láminas.
¿Cuál de estos triángulos crees que tiene mayor superficie?. ¿Y menor?.
Comprueba si estás en lo cierto calculando sus áreas por el procedimiento que quieras.
162
Longitud, superficie y volumen
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base por
su altura.

TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTERO
Dibuja un segmento AB de 10 cm. Traza una recta r perpendicular al segmento AB en su punto medio;
esta recta corta al segmento AB en el punto H. Sobre la recta r, señala un punto C a 6 cm de H y un
punto F a 3 cm de H. Calcula:
a) El área del triángulo ACB.

b) El área del triángulo AFH.
c) El área del cuadrilátero AFBC.
ZONA SOMBREADA
El rectángulo ABCD mide 12 cm de largo y 8 cm de ancho. Los puntos EFGH son los puntos medios
de los lados del rectángulo. Calcula el área de la zona sombreada.
163
Matemáticas 1º ESO

TRIANGULO Y SEGMENTO
El área del triángulo ABE es el 30 % del área del rectángulo ABCD.
a) ¿Cuál es el área del triángulo ABE ?.
b) ¿Cuál es la longitud del segmento BE?.

TRES SUPERFICIES
2
a) La superficie del triángulo sombreado es de 40 cm . ¿Cuál es la superficie del rectángulo?.
2
b) La superficie del paralelogramo es de 100 cm . ¿Cuál es la superficie del triángulo sombreado?.
c) La base de este rectángulo mide 20 cm más que la altura. Su perímetro es de 100 cm. Calcula el
área del cuadrilátero sombreado.
164
Longitud, superficie y volumen

TRIÁNGULO DE ÁREA MÁXIMA
a) ¿Cuál de los tres triángulos tiene mayor área?. Justifica la respuesta.
b) Si atas los extremos de una goma elástica tirante a los puntos M y N y puedes desplazar la anilla A
por una recta, r, paralela a MN, ¿dónde debes colocar A para que la superficie del triángulo AMN sea
máxima?. Razona tu respuesta.
c) Calcula la superficie de la zona coloreada.
d) ¿Es regular este octógono?. Calcula su área.
165
Matemáticas 1º ESO

TRAPECIOS
a) ¿Cómo puedes hallar el área de un trapecio?.
Calcula el área de los trapecios cuyas medidas son:
1) bases, 6 cm y 3m; altura, 2m;
2) bases, 8 dm y 6 dm; altura 32 cm.
b) Comprueba que los siguientes cuadriláteros son trapecios. Halla sus áreas tomando en cada caso
las medidas que creas necesarias.
2
c) Sabiendo que el área del triángulo sombreado es de 53 cm , ¿cuál es el área del trapecio rayado?.
d) Calcula el área de un trapecio sabiendo que su base mayor mide 15 cm, su base menor es 2/3 de
la mayor y su altura mide 4 cm.
e) La base del triángulo ABC de la figura adjunta mide 8 cm y su altura mide 6 cm. Se traza una
2
paralela MN a la base y se forma el triángulo AMN cuya área es igual a 15 cm . ¿Cuál es el área
del trapecio MBCN ?.
El área de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases
multiplicada por su altura.
166
Longitud, superficie y volumen

RECTÁNGULO, TRIÁNGULO, TRAPECIO
Dibuja un rectángulo ABCD, tal que AB = 10 cm y CB = 4 cm. Señala en el lado AB un punto P, tal
que, PB = BC. Calcula:
a) El área del rectángulo ABCD.

b) El área del triángulo CPB.
c) El área del trapecio ADCP.
TRIÁNGULO, TRAPECIO, POLÍGONO
El cuadrilátero ABCD es un rectángulo de 120 cm de largo y 80 cm de ancho. Los siguientes
segmentos son iguales, AE = AF = BG = HC, y se cumple que AE = 1 / 4 de AD.
Calcula:
a) El área del triángulo FBG.

b) El área del trapecio EDCH.
c) El área del polígono FAEHG.
AREAS DE POLÍGONOS I
a) Halla el área del siguiente polígono, descomponiéndolo en triángulos y tomando en ellos las
medidas necesarias.
b) En un hexágono regular, la longitud del lado es igual al radio de la circunferencia circunscrita.
Dibuja un hexágono regular de lado 4 cm. ¿Cuál es su superficie?. Para resolver el problema,
descompón el hexágono en triángulos y mide sobre el dibujo la altura de cada uno de ellos.
167
Matemáticas 1º ESO
c) Dibuja un octógono regular de lado 6 cm. Descomponlo en triángulos y mide la altura de cada
triángulo. ¿Cuál es el área del octógono?.

HEXAGONOS
En un hexágono regular, llamamos apotema a la altura de uno
cualquiera de los seis triángulos equiláteros en que se descompone.
El lado del hexágono regular ABCDEF mide 8 cm y su apotema mide 6’9 cm.
a) ¿Cuál es el área del hexágono ABCDEF ?.
b) ¿Cuál es el área del polígono estrellado ?.
c) ¿Cuál es el área del hexágono GHIJKL ?.

AREAS DE POLÍGONOS II
a) Calcula el área y el perímetro de cada una de las siguientes figuras:
168
Longitud, superficie y volumen
b) En cada una de las siguientes figuras, toma las medidas que creas necesarias y calcula su
superficie y su perímetro:

TERRENO
Un terreno tiene la forma y dimensiones que se indican en la figura:
a) ¿Cuál es el área de la zona de pinar?.
b) ¿Cuál es el área de la zona de pradera?.
c) ¿Cuál es, en hectáreas, el área del terreno?.

AREAS DE FIGURAS
1) Calcula el área aproximada de las siguientes figuras, tomando como unidad el cuadrado coloreado.
169
Matemáticas 1º ESO
2) Calcula el área de las siguientes figuras, descomponiéndolas en triángulos y trapecios:
3) Calcula el área de las siguientes figuras, tomando como unidad el cuadrado coloreado:

LABERINTO
El rectángulo de la figura mide 84 cm de largo y 48 cm de ancho. Calcula el área del laberinto
coloreado.

UNIDADES DE SUPERFICIE
Estas son las unidades de superfie, sus múltiplos y submúltiplos:
km
2
1000000 m
170
hm
2
2
10000 m
dam
2
2
100 m
m
2
2
dm
2
0’01 m
cm
2
2
0’0001 m
mm
2
2
0’000001 m
2
Longitud, superficie y volumen
2
2
Observa que 1 dm contiene 10 filas de cuadraditos y cada fila tiene 10 cuadraditos (cm ).
2
2
Por tanto, 1 dm = 100 cm .
Lo mismo pasa con cada unidad respecto de la siguiente.
Por eso, las unidades de superficie aumentan y disminuyen de 100 en 100.
Para medir superficies de campos se utilizan las unidades agrarias. Las dos más usadas son el área y
la hectárea:
2
área = 1 a = 1 dam = 100 m
2
2
hectárea = 1 ha = 100 a = 1 hm = 10000 m
2
Para pasar de unas unidades a otras es muy útil la siguiente disposición:
km
2
17 dam 81 m
2
6 dm
0’86945 km
2
2
hm
ha
dam
a
2
m
2
dm
2
cm
2
2
7
8
1
9
4
5
0
0
6
1781’06 m
2
2
2
350 ha
1
3
8
6
5
0
2
3 km 50 hm
a) Expresa en metros cuadrados: 1) 526 dm
2
b) Expresa en hectáreas:
2
1) 356800 m
86 hm 94 dam
2
50 m
2) 53 ha 90 a
2) 8’4 km
2
3) 3’2 dam
2
2
2
3) 3980 a
171
Matemáticas 1º ESO
c) Para construir una carretera se han expropiado cinco parcelas, por lo cual se ha indemnizado a
sus dueños. Las indemnizaciones han sido:
Superficie
expropiada
Indemnización por
2
m
I
0’035 km
2
65 euros / m
2
II
47 ha 11 a
47 euros / m
2
III
23’8 dam
IV
1’3 km
V
3890 m
2
950 euros / m
2
2
35 euros / m
2
2
1600 euros / m
2
Averigua el coste total de las indemnizaciones.
d) Completa el siguiente cuadro de unidades. Recuerda que, como las unidades de superficie van de
100 en 100, a cada unidad le corresponden 2 cifras:
km
2
hm
0
2
dam
2
m
2
dm
2
cm
2
mm
2
426’5 m
2
4
2 6
5
4
2 6
5 0
4
2 6
5 0
0 0
4
2 6
5 0
0 0
4
2 6
5
0
0 4
2 6
5
hm
0 0
0 4
2 6
5
km
dm
cm
0 0
2
2
mm
2
4’265 dam
2
2
2
e) Expresa en metros cuadrados las siguientes medidas de superficie:
2
2
1) 6’3 hm 12 dam 55 dm

2
2
2) 47 km 0’56 hm 125 dam
2
CALCULO MENTAL
2
Expresa en m :
Expresa en áreas:
172
2
a) 2 a
b) 2’5 a
c) 12 a
d) 12’5 a
e) 2 ha
f) 2’5 ha
g) 12 ha
h) 12’5 ha
a) 2 Km
2
b) 5’7 hm
2
c) 456 m
e) 5 Km
2
f) 45 dam
2
2
g) 3456 m
d) 4 ha
2
e) 28 ca
Longitud, superficie y volumen

AREAS
2
a) Una fábrica ocupa 67538 m de superficie. ¿Ocupa esta fábrica más de 7 hectáreas?.
2
b) Una finca de 7 ha, 48 a y 25 ca se divide en dos partes. Una de las partes mide 33000 m . ¿Cuánto
mide la otra?. ¿Cuál es el valor de cada parte si en la zona donde están situadas el metro
cuadrado se paga a 1500 euros?.

ESTIMACIONES
a) Una playa tiene 2 km de largo y 50 m de ancho. Haz una estimación del número de personas que
cabrían en ella tomando el sol. Explica el procedimiento seguido.
b) Teniendo en cuenta el número de habitantes, haz una estimación del número de viviendas
habitadas y del número de coches que hay en tu ciudad. Explica el procidimiento seguido.

MAXIMA AREA
¿Cuál es el área máxima que se puede rodear con un perímetro de 24 cm ?.
Ayuda: Puedes utilizar un hilo de 24 cm anudado en uno de sus extremos y para apreciar el área una
2
trama de cm .
173
Matemáticas 1º ESO

REDUCCIÓN DEL CUADRADO
Dibuja un cuadrado de 8 unidades de lado.
Une los puntos medios de cada lado para obtener otro cuadrado.
Haz lo mismo con el cuadrado que resulta. Sigue así.
¿Cómo es el área del segundo cuadrado respecto del área del primero?. ¿Y el perímetro?.
¿Cómo es el área del tercer cuadrado respecto del primero?. ¿Y el perímetro?.
Continúa...

UNIDAD DE MEDIDA
a) ¿Cuánto mide x ?.
b) ¿Cuál es la unidad de medida?
174
Longitud, superficie y volumen
c) Esto es una unidad
¿Cuántas unidades mide esto?.

UNIDADES
a) Este rectángulo tiene las dimensiones que se indican en el dibujo.
¿Cuál es la unidad de longitud que hemos utilizado para dibujarlo?.
b) ¿Cuánto mide x en este otro rectángulo?.
c) ¿Cuánto es x?.
175
Matemáticas 1º ESO

TRES FORMAS DE MEDIR
Mide los lados del rectángulo:
a) Tomando u como unidad.
b) Tomando el lado a como unidad
c) Tomando el lado b como unidad.
La unidad de medida es arbitraria.

LINEAS Y REGIONES
a) Estudia las diferentes formas de dividir un triángulo en dos regiones que tengan la misma área.
b) Haz lo mismo con un cuadrado, pero esta vez hay que conseguir que las dos partes tengan
además la misma forma.
Aquí tienes una:

PLANO DE UNA CASA
Calcula la superficie real de la vivienda que tienes representada aquí y expresa su medida en metros
cuadrados. (Escala 1:50).
Una escala 1:50 significa que cada centímetro del dibujo representa 50
centímetros en la realidad.
176
Longitud, superficie y volumen
3. Volumen

VOLUMEN
Calcular el volumen de un policubo consiste en decir el número de cubos de que está formado. Cada
cubo es una unidad de volumen.
Este policubo tiene 8 unidades de volumen porque está formado por 8 cubos unidad.
177
Matemáticas 1º ESO
¿Cuál es el volumen de un cubo como este en el que la arista es el doble de la arista del cubo
pequeño?.
¿Cuál es el volumen si la arista es el triple?
Completa la tabla siguiente y comenta los resultados:
ARISTA
1
2
3
VOLUMEN
(Nº de cubos)
1
8
27
4
5
6
7
El volumen de un cubo es igual al cubo de su arista.

CUBITOS
Material: 24 cubitos para cada alumno. Organización: grupos de seis alumnos.
Costruid figuras sin huecos por dentro usando todos los cubitos. Procurad que no haya figuras
repetidas. ¿Cuál tiene mayor volumen?.

CINCO CAJAS
Ordena estas cajas a ojo de menor a mayor capacidad.
Completa la tabla siguiente:
CAJA
178
CAPACIDAD ESTIMADA
Longitud, superficie y volumen

CAJAS
Material: cartulina, escuadras, reglas graduadas, tijeras, papel engomado. Los rectángulos y
cuadrados que se mencionan en la propuesta (10 cuadrados y 8 rectángulos de cada tipo).
Organización: grupos de seis.
Construid todos los rectángulos posibles usando las siguientes longitudes como medida de sus lados:
5 cm, 7 cm y 10 cm.
Construye todas las cajas distintas que puedas con los rectángulos anteriores. ¿Cuántas crees que
hay?. Comprueba que no hay cajas repetidas y compara tu colección con la de tus compañeros.
Ordena las cajas por tamaños, de menor a mayor volumen. Completa la tabla siguiente:
CAJA ARISTAS
VOLUMEN
Ordena las cajas por áreas crecientes. ¿Coincide con la ordenación por volúmenes?.
¿Qué lugar ocupan las cajas (5, 7, 9) y (5, 7, 11) en la ordenación que tienes hecha por volúmenes?.

QUITANDO ESQUINAS
Recorta de la trama de cuadrados rectángulos de papel de 20 x 10. Toma uno de los rectángulos y
quita de cada esquina un cuadrado 1 x 1. Una vez hayas recortado las cuatro esquinas de esa
manera, puedes construir una caja sin tapadera.
Haz lo mismo con rectángulos iguales que ese, pero quitando de las esquinas cuadrados de 2 x 2, 3 x
3, etc. y ve construyendo las cajas correspondientes.
¿Cuál de todas ellas es la que tiene mayor volumen?. ¿Qué cuadrado tuviste que cortar en las
esquinas para construirlo?.
179
Matemáticas 1º ESO

ESTIMA VOLÚMENES
¿Qué volumen tiene tu cuerpo?.
¿Y la clase?. ¿Y tu mano?. ¿Y la papelera?.

AREA Y VOLUMEN
El volumen de un cuerpo nos da la idea de su capacidad. El área del mismo, nos informa acerca de su
superficie. Area y volumen son dos conceptos distintos, pero tienen alguna relación. Las cuestiones
que siguen te ayudarán a descubrirla:
a) Construye varios policubos de 8 unidades de volumen.
b) ¿Cuál de todos los policubos de 8 unidades de volumen es el de menor superficie?.
c) ¿Cuál es de mayor?.
180
Longitud, superficie y volumen

UNIDADES CÚBICAS
Material: varillas, cartulina, regla, tijeras y pegamento. Metro cúbico desmontable y decímetros
cúbicos.
Organización: en grupos de seis.
3
El profesor monta 1 m en clase y hace notar que todas las aristas miden 1 metro y también que la
2
superficie de sus caras es 1 m . A continuación propone:
3
Construye 1 dm con el material que prefieras: varillas, cartulina o con cubitos.
Nombra objetos o lugares de la clase que tengan un volumen aproximado de 1 metro cúbico. Nombra
otros objetos que tengan un volumen aproximado de un decímetro cúbico.
¿Cuántos decímetros cúbicos caben en el metro cúbico?.

RECIPIENTES
Material: Embudos y probetas. Un juego con seis recipientes de distintos tipo, capacidad y forma
(frascos, botellas, tetrabriks y vasos) para cada grupo.
Organización: grupos de seis.
Completad la siguiente tabla (no se puede medir sin haber hecho antes una estimación):
Nº DEL RECIPIENTE VOLUMEN ESTIMADO

VOLUMEN MEDIDO
EL LITRO Y EL DECÍMETRO CÚBICO
El profesor ha cortado a diversas alturas (6, 10, 14, 18 cm) varios tetrabriks de una conocida marca de
agua cuya base es prácticamente un decímetro cuadrado.
Con esa colección y una botella de litro llena de agua pregunta a los alumnos cuál de todos los
recipientes piensan que tendrá una capacidad de un litro. Se comprueba experimentalmente que se
trata del decímetro cúbico.
181
Matemáticas 1º ESO

VOLÚMENES DE CUBOIDES
3
El volumen de este cubo cuya arista mide 1 dm es de 1 dm .
3
El siguiente cuboide tiene 3 ½ dm de volumen.
Calcula el volumen de cada uno de estos bloques:
3
¿Cuántos decímetros cúbicos caben en este cajón?. ¿Y cm ?.

EQUIVALENCIAS
El profesor lleva a clase una caja ex-profeso para la ocasión.
3
¿Cuántos dm caben en esta caja?.
3
¿Cuántos m hay en una habitación de 3 x 3’5 x 2’5 metros?.
Completa la siguiente tabla de equivalencias entre unidades de capacidad y de volumen:
UNIDADES
DE VOLUMEN
m
3
dm
cm
182
UNIDADES
DE CAPACIDAD
3
3
litro ( l )
Longitud, superficie y volumen

ESTIMA VOLÚMENES Y MIDE
Material (para cada equipo): Tres objetos prismáticos y tres irregulares más densos que el agua.
Probetas y vasos graduados. Cubeta.
Rellena las dos primeras columnas de la tabla:
OBJETO
VOLUMEN
ESTIMADO
VOLUMEN
MEDIDO
Mide los volúmenes y rellena la última columna.

SUAVIZANTE VERNEL
¿Cuánta agua habrá que añadir?

TETRABRIK I
a) Observa con detenimiento cómo se hace un tetrabrik de 1 litro de leche. Construye uno igual con
cartulinas. ¿Cuánta cartulina necesitas?.
b) Construye un cubo de 1 litro de capacidad. ¿Cuánta cartulina necesitas?.
c) ¿Qué ventajas pueden haber para que los fabricantes utilicen un método distinto del habitual (a
partir del desarrollo plano) para construir cajas?.
183
Matemáticas 1º ESO

TETRABRIK II
Los envases de leche suelen tener casi siempre forma de cuboide y una capacidad de 1 litro.
¿Sabes las dimensiones de estos envases?.
a) Estudia qué dimensiones puede tener un tetrabrik de 1 litro si la base es cuadrada. Rellena la
siguiente tabla:
Altura
Base
cuadrada
Lado
b) Haz lo mismo para tetrabriks de 1 litro y base rectangular.
Altura
Base no cuadrada
Anchura
Profundidad
c) Elige las cajas que te parezcan más bonitas. ¿Habrá alguna razón para que los fabricantes hayan
elegido las dimensiones que tienen actualmente?.
184
Longitud, superficie y volumen

TETRABRIKS
¿Cuánto mide la altura de este tetrabrik?.
¿Y la de este otro?.

UNA CAJA
Material: Una caja y una regla para cada alumno.
Calcula el volumen de esta caja. Exprésalo en litros.
185
Matemáticas 1º ESO
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