INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN ROBERTO BELARMINO MEDELLÍN “PROYECTO DE AULA: EL PAPEL DEL DOCENTE EN LA ENSEÑANZA DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS A PARTIR DE LA RESOLUCION DE PROBLEMAS” Grado: Décimo Área: Matemáticas POR: JAVIER MUÑOZ RAÑGEL Asignatura: Matemáticas Con base a la encuesta realizada a los alumnos de la institución, y su respectivo análisis, se ha tomado como meta principal el desarrollar un insumo que sea de utilidad para ellos y para otros alumnos de otras instituciones. La trigonometría es una de las ramas de las matemáticas que es de mucha utilidad, pero que, para los alumnos, es de difícil comprensión y análisis; debido a lo anterior su enseñanza se hace difícil para los docentes. Así mismo el hecho del docente no hacer énfasis en diferenciar los conceptos de: razón, relación y función, entorpece la correcta aprehensión de ellos y su buen uso. Teniendo claras estas diferencias hace posible que el alumno: formule, adquiera un método y solucione problemas. La formulación, tratamiento y resolución de problemas es uno de los procesos que se encuentra presente en todas las actividades curriculares de matemáticas; en estas situaciones problema el quehacer matemático tiene sentido si ellas se encuentran enlazadas a las experiencias cotidianas por las cuales haya pasado el alumno, haciéndolas mas significativas. Estas experiencias no solo pueden ser del área de matemáticas, se pueden extraer de otras ciencias, logrando con ello la interdisciplinariedad de las áreas. El avance en este proceso permitirá observar en el alumno un desarrollo mental: perseverante, tenaz, analítico, estratégico, lógico, creativo e innovador. Se necesita para lo anterior que la situación problema planteada sea de carácter abierto, para que se hallen múltiples respuestas o posiblemente ninguna. Entre más complejas y atractivas sean las situaciones problema para el alumno, exigirán (de su parte) un estudio y análisis en los cuales él: invente, formule y resuelva problemas que favorezcan el desarrollo matemático en sus diversas facetas. Teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente, se buscará por medio de este trabajo final, un proyecto de aula que contribuya a la enseñanza de las identidades trigonométricas Por medio de este Proyecto de Aula, el alumno (a) pondrá en práctica lo relacionado con los conceptos que se ven en la trigonometría; haciendo uso de la explicación del docente, ejercicios resueltos, talleres grupales y actividades extra clase se busca afianzar esos conceptos con el fin de que le sean amenos y no tediosos o aburridos. Este proyecto se ejecutará en el segundo periodo que se programa en el grado décimo de la Institución Educativa San Roberto Belarmino. La estructura del proyecto de aula incluye caricaturas para amenizar su contenido, evitando el tedio de los ejercicios tradicionales. Tomando como base lo expresado por Elvia María González respecto a lo que es un Proyecto de Aula, este trabajo se realizará de la siguiente manera: En un primer momento llamado de CONTEXTUALIZACIÓN se indaga por: ·El problema: La comprensión en la resolución de Identidades trigonométricas. ·El objeto: las razones, relaciones y funciones trigonométricas. ·El objetivo: comprender que es una razón trigonométrica, cuales son y sus aplicaciones en la resolución de triángulos rectángulos y las identidades trigonométricas. ·Conocimientos: concepto de razón, relación, función, razones fundamentales, teorema de Pitágoras, triángulos semejantes, ángulos de elevación y depresión, aplicaciones en la vida diaria, que es una identidad trigonométrica, operaciones básicas con fraccionarios, simplificación de fracciones, propiedades de la radicación, casos de factorización, solución de identidades trigonométricas. Un segundo momento llamado METODOLÓGICO se busca: ·El método: situaciones problema ·El grupo: estudiantes del grado décimo de media básica de la Institución Educativa San Roberto Belarmino ·Los medios: unidad didáctica Y un tercer momento llamado EVALUATIVO, en el cual se evalúa lo realizado por los (as) estudiantes por indicadores de desempeños y a la vez ellos (as) realizan su autoevaluación durante todo el proyecto. Teniendo en cuenta lo expresado por González respecto a la conceptualización de Proyecto de Aula, se diseñó este Proyecto para soportar el “Diseño de una propuesta metodológica que contribuya a la enseñanza del pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos apoyado en el proceso de resolución y planteamiento del problema”, el cual está dividido en tres capítulos que son: 1. Razones Trigonométricas: en este capítulo se retoma el concepto de ángulo y sus sistemas de medición, clasificación de ángulos, ángulos determinados por rectas paralelas y perpendiculares, triángulos rectángulos, teorema de Pitágoras, razones trigonométricas, razones trigonométricas para ángulos en posición normal, reducción al primer cuadrante, identidades fundamentales; para ello se proponen una serie de situaciones para resolver y ejercicios de aplicación. 2. Funciones Trigonométricas: se pretende en esta unidad que el alumno interiorice el concepto de función circular, cuales son las funciones circulares, de donde salen, cuales son los ángulos de referencia y que reconozcan las gráficas de la función seno y coseno como las más básicas en la vida diaria. 3. Identidades Trigonométricas: con base a el Teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas se hallaran cada una de las identidades fundamentales, se desarrollaran ejercicios y se propondrán otros para solucionar en equipo (trabajo colaborativo) o individualmente. En esta unidad se busca evaluar por competencias y el planteamiento de diferentes situaciones es un factor positivo para que el alumno las solucione aplicando lo visto con anterioridad; a la vez se propone la autoevaluación y la metacognición del Proyecto de Aula. ¡¡¡Bienvenidos a explorar el fascinante mundo de la trigonometría!!! http://1.bp.blogspot.com/-0U-6JXd4-bE/UIxEn4Jg01I/ AAAAAAAAAA4/K9lFmNyq7Cg/s1600/trigo.jpg http://costemora.blogia.com/upload/20100810053303pitagoras2.jpg http://image.slidesharecdn.com/paraquemesirve-130904162040-/95/para-que-mesirve-lo-aprendido-trigonometria-1-638.jpg?cb=1378311707 Para la elaboración de esta unidad se tienen presentes varios temas específicos referentes a las razones trigonométricas; al comenzar se define que es un ángulo, los diferentes tipos de ángulos, clasificación y signo dependiendo del eje de giro. Además la forma de medirlos –en grados o radianes- y la regla básica para pasar de un sistema a otro. A continuación se trabaja el teorema de Pitágoras, esto con el fin de ejercitar la parte operativa y analítica, en busca de su correcta aplicación. Se dan a conocer una serie de ejercicios en los cuales los triángulos rectángulos y sus datos están en diferentes posiciones; la finalidad de lo anterior es favorecer la parte visual, para finalizar con las aplicaciones a la vida diaria. De acuerdo a la temática a tratar se define que es una razón trigonométrica, de donde salen y su aplicación a la vida cotidiana; se presentan ejemplos de diferentes triángulos rectángulos en donde el ángulo dado se encuentra en diferente posición, cuya finalidad es lograr una interiorización de las 6 razones trigonométricas y sus respectivas definiciones. Se da a conocer el teorema de Thales y su aplicabilidad a situaciones de la cotidianidad. Estas razones son de mucha importancia en las ingenierías y las ciencias naturales, ya que por medio de ellas se pueden hallar datos desconocidos, sabiéndolas aplicar; por último se muestran ejercicios resueltos en donde se aplican diferentes razones y se plantean talleres para la ejercitación de los diferentes temas vistos en la unidad. En un primer momento llamado de CONTEXTUALIZACIÓN se indaga por: ·El problema: La comprensión en la resolución de las razones trigonométricas. ·El objeto: las razones trigonométricas. ·El objetivo: comprender que es una razón trigonométrica, cuales son y sus aplicaciones en la resolución de triángulos rectángulos y las identidades trigonométricas. ·Conocimientos: concepto de ángulo, medición, clasificación de ángulos, ángulos en posición normal, teorema de Pitágoras, aplicación del teorema de Pitágoras, razones trigonométricas, aplicación de las razones trigonométricas, teorema de Thales, triángulos semejantes, ángulos de elevación y depresión, aplicaciones en la vida diaria. Un segundo momento llamado METODOLÓGICO se busca: ·El método: situaciones problema ·El grupo: estudiantes del grado décimo de media básica de la Institución Educativa San Roberto Belarmino ·Los medios: unidad didáctica Y un tercer momento llamado EVALUATIVO, en el cual se evalúa lo realizado por los (as) estudiantes por indicadores de desempeños y a la vez ellos (as) realizan su autoevaluación durante todo el proyecto. PTOLOMEO (Siglo II) Astrónomo, matemático y geógrafo griego En su catálogo de estrellas, adoptó el primer año del reinado de Antonino Pío (138 a.C.) como fecha de referencia para las coordenadas. Tolomeo fue el último gran representante de la astronomía griega y, según la tradición, desarrolló su actividad de observador en el templo de Serapis en Canopus, cerca de Alejandría. Su obra principal y más famosa, que influyó en la astronomía árabe y europea hasta el Renacimiento, es la Sintaxis matemática, en trece volúmenes, que en griego fue calificada de grande o extensa (megalé) para distinguirla de otra colección de textos astronómicos debidos a diversos autores. La admiración inspirada por la obra de Tolomeo introdujo la costumbre de referirse a ella utilizando el término griego megisté (la grandísima, la máxima); el califa al-Mamun la hizo traducir al árabe en el año 827, y del nombre de alMagisti que tomó dicha traducción procede el título de Almagesto adoptado generalmente en el Occidente medieval a partir de la primera traducción de la versión árabe, realizada en Toledo en 1175. Utilizando los datos recogidos por sus predecesores, especialmente por Hiparco, Tolomeo construyó un sistema del mundo que representaba con un grado de precisión satisfactoria para los movimientos aparentes del Sol, la Luna y los cinco planetas entonces conocidos, mediante recursos geométricos y calculísticos de considerable complejidad; se trata de un sistema geocéntrico según el cual la Tierra se encuentra inmóvil en el centro del universo, mientras que en torno a ella giran, en orden creciente de distancia, la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter y Saturno. Con todo, la Tierra ocupa una posición ligeramente excéntrica respecto del centro de las circunferencias sobre las que se mueven los demás cuerpos celestes, llamadas círculos deferentes. Además, únicamente el Sol recorre su deferente con movimiento uniforme, mientras que la Luna y los planetas se mueven sobre otro círculo, llamado epiciclo, cuyo centro gira sobre el deferente y permite explicar las irregularidades observadas en el movimiento de dichos cuerpos. En su Geografía, obra en ocho volúmenes que completó la elaborada poco antes por Marino de Tiro, se recopilan las técnicas matemáticas para el trazado de mapas precisos mediante distintos sistemas de proyección, y recoge una extensa colección de coordenadas geográficas correspondientes a los distintos lugares del mundo entonces conocido. http://www.biografiasyvidas.com/biografia/t/ tolomeo.htm Los ángulos se clasifican en: Agudos: menores de 90° Rectos: iguales a 90°, se representa con un “cuadrito” Obtusos: mayores de 90° Llanos: iguales a 180° Nulos: su valor es de 0° Giro: su valor es de 360° Para medir ángulos positivos se va en el sentido de las manecillas del reloj, en caso contrario se dice que el ángulo es negativo. http://image.slidesharecdn.com/angulotrigonometrico-110926233839-phpapp02/95/angulo-trigonometrico-4-728.jpg? cb=1317080362 Los ángulos se pueden medir en: Grados, minutos, segundos (sistema sexagesimal) Radianes: representado por el símbolo Pi (π ), donde Π = 180° : 2π = 360° ; π /2 = 90° Muy importante: la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre debe dar 180° http://image.slidesharecdn.com/trigonometra-quintoaodesecundaria-120422153412-phpapp01/95/ trigonometra-quinto-ao-de-secundaria-1-728.jpg?cb=1335109215 La siguiente tabla muestra las dos diferentes formas de medir ángulos y algunos de ellos, con el valor de las funciones seno, coseno y tangente: http://www.universoformulas.com/imagenes/matematicas/trigonometria/tabla-razonestrigonometricas-angulos-caracteristicos.jpg https://i.ytimg.com/vi/sAjtYwXy5Bc/hqdefault.jpg Para solucionar triángulos rectángulos, se puede hacer de dos formas: Haciendo uso del Teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2; para su aplicación se deben conocer dos de los datos y así lograr encontrar el desconocido Haciendo uso de las razones trigonométricas; para el uso de esta forma se debe tener uno de los lados del triángulo y uno de sus ángulos agudos Solucionar los siguientes triángulos aplicando el Teorema de Pitágoras: El hombre araña salta desde el Empire State con su telaraña y cae en la acera contraria a una distancia de la base del edificio de 120 metros. Si la altura del edificio es de 50 metros, ¿Cuánto mide la telaraña? http://files.crona-sama.webnode.mx/200000012-4680148364/spid.jpg Un caracol sale todos los días de su escondite y va a comer las frutas tiernas de un árbol. Para ello se desplaza por el suelo durante 8 minutos y luego, sin variar su velocidad, trepa durante 6 minutos por el tronco. Pero un buen día se encuentra que alguien ha colocado un tablón justo desde su guarida hasta la base de la copa del árbol. ¿Cuanto crees que tardará si decide subir por el tablón. Eso sí, él avanza siempre imperturbable a la misma velocidad? http://2.bp.blogspot.com/-dRrUGvYbmL4/UYuupzCtH8I/AAAAAAAAEUo/TkHAwBfAvgA/s1600/ EL+TEOREMA+DE+PITAGORAS+EJERCICIOS+RESUELTOS+(8).gif Una bandera se encuentra colocada en un asta sobre una columna de 8 metros de altura, desde la parte superior del asta, se extiende un cable de 18 metros hasta un punto situado en el suelo a 15 metros de la base de la columna. Calcular la longitud del asta. http://i.ytimg.com/vi/qhczE4nhiQM/maxresdefault.jpg Para resolver cualquier problema trigonométrico es importante identificar, el ángulo recto, la hipotenusa y los lados adyacentes y opuestos a un determinado ángulo. http://rincones.educarex.es/matematicas/images/recursos/animaciones/razones2esogeometrisskool.png http://image.slidesharecdn.com/cap-6-funciones-trigonomtri-1223086964275280-8/95/cap-6-funcionestrigonomtri-44-638.jpg?cb=1422674047 http://1.bp.blogspot.com/_RKMdMS_bhLw/TOnGMnvjFEI/AAAAAAAAAB8/s44gWY_479o/s1600/anguloelevacion-depresion.jpg http://2.bp.blogspot.com/-5WMtdLEtmx0/VSVR_dBvjxI/AAAAAAAAAvo/EGmmkO1s-vQ/s1600/2.GIF http://image.slidesharecdn.com/aplicacineimportanciadelasfuncionesexponenciales-140531003711-phpapp01/95/aplicacin-eimportancia-de-las-funciones-exponenciales-7-638.jpg?cb=1401496948 http://www.lavalenmaster.co/wikidoku/lib/exe/fetch.php?w=600&tok=06ba96&media=diapositiva12.jpg http://image.slidesharecdn.com/razones-trigonometricas-1219026761883354-8/95/razones-trigonometricas-7728.jpg?cb=1219001562 Solucionar los siguientes ejercicios aplicando razones trigonométricas Un árbol proyecta una sombra de 60 metros de larga, y se sabe que la distancia entre la copa del árbol y el punto donde termina su sombra es de 90 metros. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento. https://i.ytimg.com/vi/_1bHnH1cbBc/maxresdefault.jpg Si el ángulo de elevación del sol es de 31º, calcular la longitud de la sombra proyectada por un hombre de 1,80 metros de estatura. https://i.ytimg.com/vi/-P7ukXBptnw/hqdefault.jpg Una rampa tiene 10 metros de longitud, y el ángulo de elevación es de 15º. Si una persona se desplaza desde el principio de la rampa hasta la parte superior. ¿Qué altura ha ascendido? http://eso.aomatos.com/problema02-trigo.png Desde un punto se observa un edificio cuya parte mas alta forma con el suelo un ángulo de 30º, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio http://uncomat.uncoma.edu.ar/images/alturaedificio.gif Un edificio proyecta una sombra de 150 metros cuando el sol forma un ángulo de 20º 30’ sobre el horizonte, calcular la altura del edificio. http://contentmapas.didactalia.net/imagenes/usuarios/ImagenesCKEditor/5d1dada8-e23b-499e-aa7066ad03aedbc4/cc7b3f3e-3071-4d4b-af1a-e30146d5edc3.gif Observa atentamente la figura y los datos que te proporcionan. Lo que se desea saber es: ¿Cuál es la altura en metros del árbol? http://matematicasmodernas.com/wp-content/uploads/2014/01/problemas-trigonometria-1.jpg Desde la torre de un fuerte costero, cuya altura es de 580 metros sobre el nivel del mar, se divisa un barco con un ángulo de depresión de 24º. ¿A que distancia del punto D de la base de la torre está el barco? http://image.slidesharecdn.com/dbackupdeshirleymaristas2007quintor-100627095523-phpapp01/95/nocionestrigonomtricas-7- En algunas ocasiones se debe tener presente la altura de la persona que observa el fenómeno. Para ello podemos usar la siguiente ecuación. https://matematicas01.files.wordpress.com/2011/03/medidas-indirectas.gif Una persona observa en un ángulo de 54º lo alto que es un edificio; si la persona mide 1,72 metros y está ubicada a 18 metros de la base del edificio. ¿Cuál es la altura en metros del edificio? http://4.bp.blogspot.com/-a6ZfTAHlOyE/UdtiGU-ihwI/AAAAAAAAAHI/XOzYev8CQfM/s1600/Imagen_02.jpg Hallar cuanto mide la escalera Tomado de: http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso3/htmlb/SEC_43.HTM Una persona observa un ovni volando con un ángulo de elevación de 37º. La referencia que tiene es un vehículo a una distancia de 110 metros. ¿A que altura está el ovni? http://image.slidesharecdn.com/ngulosdeelevacinydedepresin-120826145318-phpapp01/95/ngulos-de-elevacin-y-de-depresin-5728.jpg?cb=1346010896 ¿Será posible solucionar el siguiente triangulo aplicando el Teorema de Pitágoras o por medio de funciones trigonométricas? http://image.slidesharecdn.com/problemasdetrigonometria-100514064613-phpapp02/95/problemas-de-trigonometria-4-728.jpg? cb=1273819647 Otra forma de solucionar triángulos es por medio de la semejanza, aplicando el Teorema de Thales: Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. Lo que se traduce en la fórmula http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teorema_de_Tales.html Solucionar los siguientes ejercicios http:// image.slidesharecdn.com/teoremadetalesdemileto-140325135924-phpapp02/95/teorema-de-tales-de-mileto-8-638.jpg? cb=1395756025 Hallar la distancia a la cual se encuentran los arboles http://www.ieszaframagon.com/ matematicas/4_eso/trigonometria/web/problemas/ini2.PNG ¿Cuál es la altura de la torre de energía? http://julioprofe.net/wp-content/uploads/2015/10/problema-de-trigonometria-con-tr.jpg Dejar planteado como se puede hallar la profundidad del pozo https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images? q=tbn:ANd9GcTbuQ5V9Q_nrWwqenmmtOOLnEPa83TiiX3Ch-QLLHQTq0-pwIbB Hallar el valor del lado a y el lado b de la siguiente figura http://www.ditutor.com/geometria/images/327.gif Hallar el valor de x http://calculo.cc/temas/temas_trigonometria/trian_semejante/imagenes/teoria/tales/ejemplo_1.gif Hallar los valores del lado x y el lado c http://menjacocos.wikispaces.com/file/view/TALES4.jpg/127284065/316x187/TALES4.jpg Hallar el valor de los segmentos: , , , , http://static.educatina.com/u/11-teorema_de_tales-pregunta07.gif Hallar el valor de http://www.tareasfacil.info/imaganes/clip_image030_0127.jpg Dejar planteado como se puede hallar la altura del árbol http://www.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conocimiento/mat/thales/arbol.gif Una persona se encuentra a 40 metros de un árbol y a 60 metros de una torre, si el árbol tiene una altura de 15 metros, ¿Cuánto mide la torre? https://theparadaise.files.wordpress.com/2012/06/teorema-de-tales1.jpg Hallar el valor de los segmentos: , , https://encrypted-bn1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcR4pvYdvh_MxoTykNuhOR9X7v9fUBGlGa5Rtf7cDTYw5m0qxhHwA Dejar planteado como encontrar la altura del señor del aseo https://aplicarazonestrigo.wikispaces.com/space/showlogo/1336180518/logo.jpg http://matematicasmodernas.com/wp-content/uploads/2014/01/porque-estudiar-trigonometria.jpg https:// matematibelen.files.wordpress.com/2012/04/047252520252528pitagor as252529.jpg?w=400&h=335 En este capítulo se dan a conocer las 6 funciones trigonométricas, la forma de representarlas gráficamente y las razones que las identifican; de antemano se especifica que se va a hacer énfasis en las funciones seno y coseno, por su gran aplicabilidad en la vida diaria. Estas funciones son de mucha importancia en las ingenierías y las ciencias naturales, ellas se obtienen al relacionar las coordenadas de un punto P(x,y) de una circunferencia con centro en el origen y de radio R; el ángulo determinado por esos rayos, se pueden medir en grados o radianes. Se dan a conocer aplicaciones de estas funciones en: ciencias naturales (física), medicina y tecnología. Se desarrollan ejercicios de los diferentes temas y se dejan otros propuestos, esto con el fin de favorecer la ejercitación en los alumnos. Primer momento Contextualización: El problema: La comprensión de las funciones trigonométricas. El objeto: Las gráficas de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones Objetivo: Familiarizarse con las funciones trigonométricas obtenidas a partir del circulo unitario y sus diferentes aplicaciones en la vida cotidiana. Conocimientos: funciones circulares, ángulos de referencia, graficas de Seno y Coseno, aplicaciones a la vida cotidiana, resolución de problemas. Segundo momento Metodológico : ·El método: situaciones problema ·El grupo: estudiantes del grado décimo de media básica de la Institución Educativa San Roberto Belarmino ·Los medios: unidad didáctica Tercer momento Evaluativo, en el cual se evalúa lo realizado por los (as) estudiantes por indicadores de desempeños y a la vez ellos (as) realizan su autoevaluación durante todo el proyecto. PITAGORAS (570 a.C. – 495 a.C.) Filósofo y matemático griego Nació el 570 a.C. en la isla de Samos, junto a Mileto, siendo hijo de Menesarco, tal vez un rico comerciante de Samos. Probablemente viajó a Egipto, Fenicia y Babilonia. Volvió a Samos durante la dictadura de Policrates (538-522). Hacia 529 viajó al sur de Italia y fundó en Crotona la fraternidad pitagórica. Instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios como Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Hacia el 530 a.C. se radica en Crotona, colonia griega al sur de Italia, allí funda un movimiento con propósitos políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. En geometría descubrieron el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. En astronomía los pitagóricos significaron un avance en el pensamiento científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva. Pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas y mantenían que el movimiento de las esferas da origen a un sonido musical, la llamada armonía de las esferas. Los pitagóricos consiguieron gran influencia política en Magna Grecia (sur de Italia), lo que provocó reacciones contra ellos. La primera forzó a Pitágoras a abandonar Crotona y retirarse a Metaponte, donde se dice que se dejó morir de hambre el 495 a.C., aunque hay otras versiones de su muerte. http://www.buscabiografias.com/biografia/ verDetalle/1231/Pitagoras Las razones trigonométricas de un ángulo agudo de cualquier triángulo rectángulo se definen comúnmente como el cociente entre dos de los tres lados de tal triángulo rectángulo. Ampliando el contexto, las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad) o también fijando un punto en el plano cartesiano distinto al origen usando abscisa, ordenada, radio vector y ángulo orientado se definen seis funciones trigonométricas, precisando el dominio y condominio en cada caso. Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Existen seis funciones trigonométricas básicas, las tres últimas se definen con base a las tres primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Tomado de: http://www.ecured.cu/Funciones_trigonom%C3% A continuación se dan las gráficas de las seis funciones trigonométricas básicas, de las cuales las mas usadas son las de la función seno y la función coseno. http://3.bp.blogspot.com/-F9kpFwHPloc/Via9a2-wC-I/AAAAAAAAAss/8lD4dvXwpy0/s1600/derivadas-de-las-funciones-trigonom%25C3% 25A9tricas.png Aplicaciones a la vida diaria http://es.scribd.com/doc/228052176/Aplicaciones-de-La-Funcion-Seno-en-La-Vida-Cotidiana#scribd En las telecomunicaciones, las antenas receptoras, reciben las señales enviadas por los satélites y las hacen converger en un solo sitio para luego llevarlas a: los hogares, cadenas de televisión, empresas o sitios de diversión. https://matematicas4univia.files.wordpress.com/2012/03/032812_2343_comprendela1.jpg?w=474 Las olas de mar son otro tipo de ejemplo de las funciones seno y coseno, ya que se semejan a ellas https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcS_JtFcjzQUPmv9gs77Fwl8BOvm4xDEAlEkhMqN1q-BdrENlLlr El ser humano en sus diferentes formas de manifestar el arte, realiza construcciones que se asemejan a las graficas de la función seno o coseno https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images? q=tbn:ANd9GcSbMAF2Rb7aTOp9B3efhmME7VcnJChg_pHEOkie632924cp0wUS3Q Los diferentes juegos en parques de recreación pueden tomar la forma de las funciones seno o coseno, por ejemplo: En la grafica uno, el barco pirata adopta la forma pendular; en la grafica dos el dejar caer un objeto en un recipiente lleno de algún liquido genera ondas circulares; en la grafica tres, las ondas sonoras son de carácter sinusoidal y por ultimo en la grafica cuatro se ve la onda que se genera en un osciloscopio http://matematica.cubaeduca.cu/medias/interactividades/temas_11no/10_Funcion_seno_y_coseno/res/funcines% 20trigonmetricas.jpg Un péndulo es otro ejemplo se la grafica de la función seno, debido a que en él se verifica el movimiento armónico simple del movimiento circular https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSPFMXs90TP3Q7UGDqM4lgOoDyyBM9vcpBMzkomXeFq1EdmFJl Los resortes son otro tipo de ejemplo del movimiento circular http://souseke.files.wordpress.com/2010/05/resortes01.gif A continuación se presentan algunos ejercicios resueltos para que interiorice la forma de solucionarlos. En ondas y específicamente en el movimiento armónico simple, se hace el estudio de fenómenos específicos como: Elongación: es el desplazamiento del móvil que oscila (da la vuelta) desde la posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado. Amplitud: es la máxima elongación que puede adquirir el móvil en su desplazamiento a partir de la posición de equilibrio. Frecuencia (f): Hace referencia al número de vueltas que realiza un móvil en cierto tiempo, se mide en Hertz (hz). Periodo (T): Es el tiempo que se demora un móvil en realizar una vuelta, se mide en segundos https://encrypted-tbn1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTwc0zpsbafJVDALKFVNLLJZPu4VwiMgYtUN47rFOp5Qr2wSGrZ https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTWMfhIeDjuB6MlqwInOLPQ7CeqZSMqk1XV03cAZ79ZfNyyVYVE La función seno también sirve para realizar gráficos de velocidad contra tiempo, en el movimiento armónico simple. http://www.heurema.com/TestF/TestF8/1.7.6a.jpg Un movimiento armónico simple puede ser representado por una curva sinusoidal o cosenoidal, al graficar posición contra tiempo, cuya ecuación es de la forma: X = A Cos (wt) X = A Sen (wt) Donde: X = elongación f = frecuencia A = amplitud T = periodo f= T= EJEMPLO 1 : Sea el MAS segundos SOLUCIÓN: Y= 9Sen3 W= = 3,2 segundos EJEMPLO 2 : Sea el MAS segundos X= Cos t 4 A = 1 m. T= W= 5 t 8 A = 9 cm T= SOLUCIÓN: W = velocidad angular f= Hallar: T, f, w, A dado en cm y rad/s = 0,31 hz Hallar: T, f, w, A dado en metros y W= = 8 segundos = f= rad/s = 0,125 hz t = tiempo T= EJEMPLO 3 : Sea el MAS segundos SOLUCIÓN: X= 4Sen 7 t 5 A = 4 cm. T= Hallar: T, f, w, A dado en centímetros y W= = 1,43 segundos f= rad/s = 0,7 hz EJEMPLO 4: Un oscilador armónico, de periodo 0,5 segundos tiene una elongación de 3 cm para t=0. La ecuación de su movimiento es: SOLUCIÓN: W= = X = A Cos (wt) X = 3 Cos(4πt) = 4π rad/s X = 3 cm es lo máximo por lo tanto A = 3 cm EJEMPLO 5: Un oscilador armónico de amplitud 20 cm, de frecuencia angular 4 rad/s, tiene una posición x=0 para t=0 ¿cuál es la ecuación del movimiento? SOLUCIÓN: W= = 4 rad/s X = 0 cm para t = 0 parte del origen A = 20 cm del enunciado X = A Sen (wt) X = 20 Sen(4t) EJEMPLO 6: Si el movimiento de un resorte, tiene la forma X = 4Cos 10t con las distancias en centímetros y los tiempos en segundos. El tiempo que tarda el cuerpo en dar una oscilación completa es: SOLUCION: W = 10 rad/s T= = 0,628 segundos Cualquier distancia que separa al cuerpo de su posición de reposo o de equilibrio se llama elongación. Luego para t= 0 su valor es de: SOLUCION: X = 4Cos 10t X = 4Cos 10(0) X = 4Cos 0 X = 4 cm. EJEMPLO 7: La grafica representa el desplazamiento de un oscilador armónico en función del tiempo La ecuación del movimiento que más se acomoda a la gráfica es: SOLUCION: La grafica parte del origen, por lo tanto corresponde a la función Seno; las únicas posibles soluciones son a, c El tiempo que se demora en dar una vuelta es de 2 segundos, por lo tanto ese es el periodo. Además se tiene que: W= = = π rad/s que corresponde a la opción c La frecuencia del movimiento es: SOLUCION: La frecuencia es Que corresponde a la opción d y el periodo es de 2 segundos, por lo tanto f = = 0,5 hz EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIO 1: Para la siguiente gráfica, hallar: Periodo, frecuencia y velocidad angular https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images? q=tbn:ANd9GcSOhkIeu8oRUo_PDz0hS4JoKjb0g6Mn0ytt8mKf3ag9XVnN5cNl EJERCICIO 2: Para la siguiente gráfica, hallar: Amplitud, Periodo, frecuencia y velocidad angular http://www.wikimatematica.org/images/f/f9/Seno.png EJERCICIO 3: La siguiente grafica muestra el comportamiento de las olas del mar en cierta época del año. Cuál es la ecuación que representa el movimiento? http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig_trans/images/marea2.png EJERCICIO 4: Un oscilador armónico simple muestra el siguiente comportamiento, ¿con que frecuencia se repite el movimiento? https://encrypted-tbn1.gstatic.com/images? q=tbn:ANd9GcQY5uaX20ZMte2_rawkdbO5f4YCfwOeoLULo_gqEeu8afb2Ws09 EJERCICIO 5: Sea el MAS EJERCICIO 6: Sea el MAS X= Cos5 Y= 3Sen 8 t 3 t 7 Hallar: T, f, w, A ¿Cuál es su frecuencia? EJERCICO 7: Dado el siguiente movimiento armónico simple Y= 8Cos ción? 5 t 9 ¿Cuándo t = 0 cuál es su elonga- EJERCICIO 8: Un oscilador armónico, de periodo 0,25 segundos tiene una elongación de 3 cm para t=0. La ecuación de su movimiento es: EJERCICIO 9: Un oscilador armónico de amplitud 15 cm, de frecuencia angular 8 rad/s, tiene una posición x=0 para t=0 ¿cuál es la ecuación del movimiento? EJERCICIO 10: Dada la siguiente gráfica, para la función coseno hallar: Periodo, frecuencia y velocidad angular http://masmates.files.wordpress.com/2014/04/sen_cos.jpg?w=630 EJERCICIO 11: Dada la siguiente X en metros y t en segundos, hallar: Periodo, frecuencia, velocidad angular http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.melilla/img_2/trrig_graf_04.gif http://www.galeon.com/mbotella/CHISTES/CHISTE13.jpg http://spa.fotolog.com/photo/10/53/54/ http://lanturlu.free.fr/lanturluland/francais/1_quid_fr/dessins/figure_1.gif En las matemáticas frecuentemente se encuentran expresiones de gran complejidad que envuelven a las seis funciones trigonométricas. En este capítulo se presentaran ejemplos de como abordar y solucionar esas expresiones en una forma más sencilla y fácil de entender. Se dan a conocer inicialmente cuales son las siete identidades fundamentales y las respectivas demostraciones de donde salieron; ya que en matemáticas uno de sus procesos básicos es el argumentar, razonar y demostrar. Primer momento Contextualización: El problema: La comprensión de las identidades trigonométricas sencillas y cuadráticas. El objeto: Las funciones trigonométricas usadas en las igualdades trigonométricas. Objetivo: Aprender a verificar identidades trigonométricas mediante la trasformación de uno de sus miembros. Conocimientos: argumentar, razonar, demostrar, resolución de problemas. Segundo momento Metodológico : ·El método: situaciones problema ·El grupo: estudiantes del grado décimo de media básica de la Institución Educativa San Roberto Belarmino ·Los medios: unidad didáctica Tercer momento Evaluativo, en el cual se evalúa lo realizado por los (as) estudiantes por indicadores de desempeños y a la vez ellos (as) realizan su autoevaluación durante todo el proyecto. HERACLITO de EFESO (544 a.C. – 484 a.C.) Filósofo y matemático griego Nació hacia el 544 antes de Cristo, aproximadamente, y vivió en Éfeso, ciudad enclavada en la costa Jonia, al norte de Mileto, hasta su muerte, en el 484 antes de Cristo. Escribió una obra a la que se le da el título común " Sobre la naturaleza" que se le había dado también a los libros escritos por otros filósofos anteriores. Pensamiento Respecto a los contenidos esenciales de su interpretación de la naturaleza, siguiendo la línea abierta por los filósofos de Mileto, podemos destacar: a) la afirmación del cambio, o devenir, de la realidad, (Este cosmos [el mismo de todos] no lo hizo ningún dios ni ningún hombre, sino que siempre fue, es y será fuego eterno, que se enciende según medida y se extingue según medida.) que se produce debido a: b) la oposición de elementos contrarios, que es interpretada por Heráclito como tensión o guerra entre los elementos. (Conviene saber que la guerra es común a todas las cosas y que la justicia es discordia y que todas las cosas sobrevienen por la discordia y la necesidad.) Ahora bien, esa "guerra" está sometida a: c) una ley universal, el Logos, (que podemos interpretar como razón, proporción...) que regula todo el movimiento de la realidad conduciéndolo a la armonía, y unificando así los elementos opuestos; de donde se sigue la afirmación de la unidad última de todo lo real. (No comprenden cómo esto, dada su variedad, puede concordar consigo mismo: hay una armonía tensa hacia atrás, como en el arco y en la lira.) Restos arqueológicos del templo de Domiciano, en Éfeso La idea de que el mundo nos ofrece una realidad sometida al cambio no es original de Heráclito: a todos los pensadores presocráticos les impresionó dicha observación. Las afirmaciones de que todo fluye y no se puede bañar uno dos veces en el mismo río se las atribuye Platón libremente en sus diálogos, sugiriendo la correspondiente consecuencia: nada permanece. Es probable que Heráclito insistiera en la universalidad del cambio más que sus predecesores pero, por los fragmentos que conservamos de su obra, lo hacía aún más en la idea de la medida inherente al cambio, en la estabilidad subsistente. Posteriormente Aristóteles, quien acusará a Heráclito de negar el principio de contradicción (Una cosa no puede ser ella misma y su contrario, en el mismo aspecto y al mismo tiempo.) al afirmar que los opuestos son "uno y lo mismo". Parece claro por los fragmentos conservados que con esa expresión Heráclito quería significar no que eran "idénticos" sino que pertenecían a un único complejo, o que no estaban esencialmente separados. (Kirk y Raven, "Los filósofos presocráticos", Madrid, Gredos, 1970.) http://www.webdianoia.com/presocrat/heraclito.htm Una identidad trigonométrica es una igualdad, entre funciones trigonométricas; tiene validez para todos los valores del ángulo en los cuales están definidas esas funciones. Se pueden demostrar haciendo uso de operaciones aritméticas, casos de factorización o propiedades de la radicación. http://image.slidesharecdn.com/diapositivasmatematica10grado-110204155117-phpapp01/95/trigonometra-enaccin-13-728.jpg?cb=1296834929 Demostración de la identidad fundamental por medio del Teorema de Pitágoras http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pitag33.bmp Otras demostraciones que se realizan por medio de la identidad fundamental http://4.bp.blogspot.com/-2rSNoiE31iA/Tqreqx3QXKI/AAAAAAAAAK8/QqGH73CYjr4/s1600/444.jpg http://funcionestrigonometricas.com/wp-content/uploads/2012/05/Ejercicios-con-identidadestrigonometricas.jpg Las identidades trigonométricas (para este proyecto de aula) pueden ser sencillas o cuadráticas. A continuación se presentan algunos ejercicios resueltos de identidades trigonométricas sencillas http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap5/graphics/ trigo11__43.png http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap5/graphics/ trigo11__35.png http://www.fisicanet.com.ar/matematica/trigonometria/tp1/trigonometria03.gif http://precalculo21.webcindario.com/7ed98c40.gif http://www.fisicanet.com.ar/matematica/trigonometria/tp1/trigonometria01.gif http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap5/graphics/ trigo11__37.png http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap5/graphics/ trigo11__39.png http://www.sectormatematica.cl/proyectos/imagen/Image2.gif http://precalculo21.webcindario.com/7f129eb0.gif http://precalculo21.webcindario.com/7ee14eb0.gif http://precalculo21.webcindario.com/7f308290.gif http://image.slidesharecdn.com/identidadestrigonometricasdelarcosimple-140815170503-phpapp02/95/ identidades-trigonometricas-del-arco-simple-5-638.jpg?cb=1408122312 http://c.asstatic.com/images/796553_634316581809991250-1.jpg http://image.slidesharecdn.com/129ejerciciosresueltossobreidentidadestrigonometrica-110422195619phpapp02/95/129-ejercicios-resueltos-sobre-identidades-trigonometrica-2-728.jpg?cb=1303502209 http://image.slidesharecdn.com/129ejerciciosresueltossobreidentidadestrigonometrica-110422195619phpapp02/95/129-ejercicios-resueltos-sobre-identidades-trigonometrica-3-728.jpg?cb=1303502209 Para solucionar identidades trigonométricas cuadráticas, se hace uso de las identidades fundamentales; se parte de un lado de la identidad y se debe convertir o llevar todo a funciones de seno o coseno. Se presentan a continuación algunos ejercicios resueltos de identidades cuadráticas. http://www.sectormatematica.cl/proyectos/imagen/Image1.gif http://catchupmath.com/hotmath_help/spanish/topics/basic-trigonometric-identities/image009-spanish.gif http://www.sectormatematica.cl/proyectos/imagen/Image3.gif https://i.ytimg.com/vi/2NyHkhXfHAc/hqdefault.jpg https://i.ytimg.com/vi/2NyHkhXfHAc/hqdefault.jpg http://c.asstatic.com/images/796553_634316581809991250-1.jpg http://c.asstatic.com/images/796553_634316581809991250-1.jpg http://c.asstatic.com/images/796553_634316581809991250-1.jpg http://c.asstatic.com/images/796553_634316581809991250-1.jpg http://image.slidesharecdn.com/129ejerciciosresueltossobreidentidadestrigonometrica-110422195619-phpapp02/95/129-ejerciciosresueltos-sobre-identidades-trigonometrica-2-728.jpg?cb=1303502209 http://www.fmat.cl/tex/126304.gif http://www.fisicanet.com.ar/matematica/trigonometria/tp1/trigonometria04.gif http://www.fisicanet.com.ar/matematica/trigonometria/tp1/trigonometria15.gif http://image.slidesharecdn.com/129ejerciciosresueltossobreidentidadestrigonometrica-110422195619-phpapp02/95/129-ejerciciosresueltos-sobre-identidades-trigonometrica-3-728.jpg?cb=1303502209 A continuación se presentan algunos ejercicios para que ponga en practica todos los conocimientos adquiridos http://3.bp.blogspot.com/-kGfdSxoT5-I/VgqBJkHC2rI/AAAAAAAACUE/aRoDu1gi3dc/s400/identidades% 2Btrigonometricas.png http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=dlattach;topic=20782.0;attach=4355 http://3.bp.blogspot.com/-XCj6cw0_uig/VQ7tLY6ydyI/AAAAAAAAdUw/vOhnNgxSHWQ/s1600/identidades% 2Btrigonom%C3%A9tricas%2B02.png Otras identidades que pueden ser útiles http://www.universoformulas.com/imagenes/matematicas/trigonometria/tabla-relacion-razonestrigonometricas.jpg 1 23 2 24 3 25 4 26 5 27 6 28 7 29 8 30 9 31 10 32 11 33 12 34 13 35 14 36 15 37 16 38 17 39 18 40 19 41 20 42 21 43 22 44 http://image.slidesharecdn.com/guiadeidentidadestrigonometricas-100602233251-phpapp02/95/guia-de-identidades-trigonometricas-1728.jpg?cb=1275521599