INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN ROBERTO BELARMINO
MEDELLÍN
“PROYECTO DE AULA: EL PAPEL DEL
DOCENTE EN LA ENSEÑANZA DE LAS
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS A
PARTIR DE LA RESOLUCION DE
PROBLEMAS”
Grado: Décimo
Área: Matemáticas
POR:
JAVIER MUÑOZ RAÑGEL
Asignatura: Matemáticas
Con base a la encuesta realizada a los alumnos de la institución, y su respectivo análisis,
se ha tomado como meta principal el desarrollar un insumo que sea de utilidad para ellos y
para otros alumnos de otras instituciones. La trigonometría es una de las ramas de las matemáticas que es de mucha utilidad, pero que, para los alumnos, es de difícil comprensión
y análisis; debido a lo anterior su enseñanza se hace difícil para los docentes.
Así mismo el hecho del docente no hacer énfasis en diferenciar los conceptos de: razón,
relación y función, entorpece la correcta aprehensión de ellos y su buen uso. Teniendo claras estas diferencias hace posible que el alumno: formule, adquiera un método y solucione
problemas.
La formulación, tratamiento y resolución de problemas es uno de los procesos que se encuentra presente en todas las actividades curriculares de matemáticas; en estas situaciones problema el quehacer matemático tiene sentido si ellas se encuentran enlazadas a las
experiencias cotidianas por las cuales haya pasado el alumno, haciéndolas mas significativas. Estas experiencias no solo pueden ser del área de matemáticas, se pueden extraer de
otras ciencias, logrando con ello la interdisciplinariedad de las áreas.
El avance en este proceso permitirá observar en el alumno un desarrollo mental: perseverante, tenaz, analítico, estratégico, lógico, creativo e innovador. Se necesita para lo anterior
que la situación problema planteada sea de carácter abierto, para que se hallen múltiples
respuestas o posiblemente ninguna.
Entre más complejas y atractivas sean las situaciones problema para el alumno, exigirán
(de su parte) un estudio y análisis en los cuales él: invente, formule y resuelva problemas
que favorezcan el desarrollo matemático en sus diversas facetas.
Teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente, se buscará por medio de este trabajo final,
un proyecto de aula que contribuya a la enseñanza de las identidades trigonométricas
Por medio de este Proyecto de Aula, el alumno (a) pondrá en práctica lo relacionado con
los conceptos que se ven en la trigonometría; haciendo uso de la explicación del docente,
ejercicios resueltos, talleres grupales y actividades extra clase se busca afianzar esos conceptos con el fin de que le sean amenos y no tediosos o aburridos.
Este proyecto se ejecutará en el segundo periodo que se programa en el grado décimo de la
Institución Educativa San Roberto Belarmino. La estructura del proyecto de aula incluye caricaturas para amenizar su contenido, evitando el tedio de los ejercicios tradicionales.
Tomando como base lo expresado por Elvia María González respecto a lo que es un Proyecto de Aula, este trabajo se realizará de la siguiente manera:
En un primer momento llamado de CONTEXTUALIZACIÓN se indaga por:
·El problema: La comprensión en la resolución de Identidades trigonométricas.
·El objeto: las razones, relaciones y funciones trigonométricas.
·El objetivo: comprender que es una razón trigonométrica, cuales son y sus aplicaciones en
la resolución de triángulos rectángulos y las identidades trigonométricas.
·Conocimientos: concepto de razón, relación, función, razones fundamentales, teorema de
Pitágoras, triángulos semejantes, ángulos de elevación y depresión, aplicaciones en la vida
diaria, que es una identidad trigonométrica, operaciones básicas con fraccionarios, simplificación de fracciones, propiedades de la radicación, casos de factorización, solución de identidades trigonométricas.
Un segundo momento llamado METODOLÓGICO se busca:
·El método: situaciones problema
·El grupo: estudiantes del grado décimo de media básica de la Institución Educativa San Roberto Belarmino
·Los medios: unidad didáctica
Y un tercer momento llamado EVALUATIVO, en el cual se evalúa lo realizado por los (as)
estudiantes por indicadores de desempeños y a la vez ellos (as) realizan su autoevaluación
durante todo el proyecto.
Teniendo en cuenta lo expresado por González respecto a la conceptualización
de Proyecto de Aula, se diseñó este Proyecto para soportar el “Diseño de una
propuesta metodológica que contribuya a la enseñanza del pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos apoyado en el proceso de resolución
y planteamiento del problema”, el cual está dividido en tres capítulos que son:
1. Razones Trigonométricas: en este capítulo se retoma el concepto de ángulo y sus sistemas de medición, clasificación de ángulos, ángulos determinados por rectas paralelas y perpendiculares, triángulos rectángulos, teorema de
Pitágoras, razones trigonométricas, razones trigonométricas para ángulos en
posición normal, reducción al primer cuadrante, identidades fundamentales;
para ello se proponen una serie de situaciones para resolver y ejercicios de
aplicación.
2. Funciones Trigonométricas: se pretende en esta unidad que el alumno interiorice el concepto de función circular, cuales son las funciones circulares, de
donde salen, cuales son los ángulos de referencia y que reconozcan las gráficas de la función seno y coseno como las más básicas en la vida diaria.
3. Identidades Trigonométricas: con base a el Teorema de Pitágoras y las
razones trigonométricas se hallaran cada una de las identidades fundamentales, se desarrollaran ejercicios y se propondrán otros para solucionar en equipo
(trabajo colaborativo) o individualmente. En esta unidad se busca evaluar por
competencias y el planteamiento de diferentes situaciones es un factor positivo
para que el alumno las solucione aplicando lo visto con anterioridad; a la vez
se propone la autoevaluación y la metacognición del Proyecto de Aula.
¡¡¡Bienvenidos a explorar el fascinante mundo de la trigonometría!!!
http://1.bp.blogspot.com/-0U-6JXd4-bE/UIxEn4Jg01I/
AAAAAAAAAA4/K9lFmNyq7Cg/s1600/trigo.jpg
http://costemora.blogia.com/upload/20100810053303pitagoras2.jpg
http://image.slidesharecdn.com/paraquemesirve-130904162040-/95/para-que-mesirve-lo-aprendido-trigonometria-1-638.jpg?cb=1378311707
Para la elaboración de esta unidad se tienen presentes varios temas específicos referentes a las razones trigonométricas; al comenzar se define que es un ángulo, los diferentes tipos de ángulos, clasificación y signo dependiendo del eje de giro. Además la
forma de medirlos –en grados o radianes- y la regla básica para
pasar de un sistema a otro.
A continuación se trabaja el teorema de Pitágoras, esto con el fin
de ejercitar la parte operativa y analítica, en busca de su correcta
aplicación. Se dan a conocer una serie de ejercicios en los cuales
los triángulos rectángulos y sus datos están en diferentes posiciones; la finalidad de lo anterior es favorecer la parte visual, para finalizar con las aplicaciones a la vida diaria.
De acuerdo a la temática a tratar se define que es una razón trigonométrica, de donde salen y su aplicación a la vida cotidiana;
se presentan ejemplos de diferentes triángulos rectángulos en
donde el ángulo dado se encuentra en diferente posición, cuya
finalidad es lograr una interiorización de las 6 razones trigonométricas y sus respectivas definiciones. Se da a conocer el teorema de Thales y su aplicabilidad a situaciones de la cotidianidad.
Estas razones son de mucha importancia en las ingenierías y las
ciencias naturales, ya que por medio de ellas se pueden hallar
datos desconocidos, sabiéndolas aplicar; por último se muestran
ejercicios resueltos en donde se aplican diferentes razones y se
plantean talleres para la ejercitación de los diferentes temas vistos en la unidad.
En un primer momento llamado de CONTEXTUALIZACIÓN se indaga por:
·El problema: La comprensión en la resolución de las razones trigonométricas.
·El objeto: las razones trigonométricas.
·El objetivo: comprender que es una razón trigonométrica, cuales
son y sus aplicaciones en la resolución de triángulos rectángulos
y las identidades trigonométricas.
·Conocimientos: concepto de ángulo, medición, clasificación de
ángulos, ángulos en posición normal, teorema de Pitágoras, aplicación del teorema de Pitágoras, razones trigonométricas, aplicación de las razones trigonométricas, teorema de Thales, triángulos semejantes, ángulos de elevación y depresión, aplicaciones
en la vida diaria.
Un segundo momento llamado METODOLÓGICO se busca:
·El método: situaciones problema
·El grupo: estudiantes del grado décimo de media básica de la
Institución Educativa San Roberto Belarmino
·Los medios: unidad didáctica
Y un tercer momento llamado EVALUATIVO, en el cual se evalúa
lo realizado por los (as) estudiantes por indicadores de desempeños y a la vez ellos (as) realizan su autoevaluación durante todo el proyecto.
PTOLOMEO (Siglo II)
Astrónomo, matemático y geógrafo griego
En su catálogo de estrellas, adoptó el primer año del
reinado de Antonino Pío (138 a.C.) como fecha de referencia para las coordenadas.
Tolomeo fue el último gran representante de la astronomía griega y, según la tradición, desarrolló su actividad de
observador en el templo de Serapis en Canopus, cerca de
Alejandría. Su obra principal y más famosa, que influyó en
la astronomía árabe y europea hasta el Renacimiento, es
la Sintaxis matemática, en trece volúmenes, que en griego
fue calificada de grande o extensa (megalé) para distinguirla de otra colección de textos astronómicos debidos a
diversos autores.
La admiración inspirada por la obra de Tolomeo introdujo
la costumbre de referirse a ella utilizando el término griego megisté (la grandísima, la máxima); el califa al-Mamun
la hizo traducir al árabe en el año 827, y del nombre de alMagisti que tomó dicha traducción procede el título de
Almagesto adoptado generalmente en el Occidente medieval a partir de la primera traducción de la versión árabe, realizada en Toledo en 1175.
Utilizando los datos recogidos por sus predecesores, especialmente por Hiparco, Tolomeo construyó un sistema del
mundo que representaba con un grado de precisión satisfactoria para los movimientos aparentes del Sol, la Luna y
los cinco planetas entonces conocidos, mediante recursos
geométricos y calculísticos de considerable complejidad;
se trata de un sistema geocéntrico según el cual la Tierra
se encuentra inmóvil en el centro del universo, mientras
que en torno a ella giran, en orden creciente de distancia,
la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter y Saturno.
Con todo, la Tierra ocupa una posición ligeramente excéntrica respecto del centro de las circunferencias sobre las
que se mueven los demás cuerpos celestes, llamadas
círculos deferentes. Además, únicamente el Sol recorre su
deferente con movimiento uniforme, mientras que la Luna y los planetas se mueven sobre otro círculo, llamado
epiciclo, cuyo centro gira sobre el deferente y permite
explicar las irregularidades observadas en el movimiento
de dichos cuerpos.
En su Geografía, obra en ocho volúmenes que completó la
elaborada poco antes por Marino de Tiro, se recopilan las
técnicas matemáticas para el trazado de mapas precisos
mediante distintos sistemas de proyección, y recoge una
extensa colección de coordenadas geográficas correspondientes a los distintos lugares del mundo entonces conocido.
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/t/
tolomeo.htm
Los ángulos se clasifican en:
Agudos: menores de 90°
Rectos: iguales a 90°, se representa con un “cuadrito”
Obtusos: mayores de 90°
Llanos: iguales a 180°
Nulos: su valor es de 0°
Giro: su valor es de 360°
Para medir ángulos positivos se va en el sentido de las manecillas del reloj, en caso contrario se dice que el ángulo es negativo.
http://image.slidesharecdn.com/angulotrigonometrico-110926233839-phpapp02/95/angulo-trigonometrico-4-728.jpg?
cb=1317080362
Los ángulos se pueden medir en:
Grados, minutos, segundos (sistema sexagesimal)
Radianes: representado por el símbolo Pi (π ), donde
Π = 180° : 2π = 360° ; π /2 = 90°
Muy importante: la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre debe dar 180°
http://image.slidesharecdn.com/trigonometra-quintoaodesecundaria-120422153412-phpapp01/95/
trigonometra-quinto-ao-de-secundaria-1-728.jpg?cb=1335109215
La siguiente tabla muestra las dos diferentes formas de medir ángulos y algunos de ellos, con el valor de
las funciones seno, coseno y tangente:
http://www.universoformulas.com/imagenes/matematicas/trigonometria/tabla-razonestrigonometricas-angulos-caracteristicos.jpg
https://i.ytimg.com/vi/sAjtYwXy5Bc/hqdefault.jpg
Para solucionar triángulos rectángulos, se puede hacer de dos formas:
Haciendo uso del Teorema de Pitágoras
a2 + b2 = c2; para su aplicación se deben conocer dos de los datos y así lograr encontrar el desconocido
Haciendo uso de las razones trigonométricas; para el uso de esta forma se debe tener uno de los
lados del triángulo y uno de sus ángulos agudos
Solucionar los siguientes triángulos aplicando el Teorema de Pitágoras:
El hombre araña salta desde el Empire State con su telaraña y cae en la acera contraria a una distancia de la base
del edificio de 120 metros. Si la altura del edificio es de 50 metros, ¿Cuánto mide la telaraña?
http://files.crona-sama.webnode.mx/200000012-4680148364/spid.jpg
Un caracol sale todos los días de su escondite y va a comer las frutas tiernas de un árbol. Para ello se desplaza por
el suelo durante 8 minutos y luego, sin variar su velocidad, trepa durante 6 minutos por el tronco. Pero un buen
día se encuentra que alguien ha colocado un tablón justo desde su guarida hasta la base de la copa del árbol.
¿Cuanto crees que tardará si decide subir por el tablón. Eso sí, él avanza siempre imperturbable a la misma velocidad?
http://2.bp.blogspot.com/-dRrUGvYbmL4/UYuupzCtH8I/AAAAAAAAEUo/TkHAwBfAvgA/s1600/
EL+TEOREMA+DE+PITAGORAS+EJERCICIOS+RESUELTOS+(8).gif
Una bandera se encuentra colocada en un asta sobre una columna de 8 metros de altura, desde la parte superior
del asta, se extiende un cable de 18 metros hasta un punto situado en el suelo a 15 metros de la base de la columna. Calcular la longitud del asta.
http://i.ytimg.com/vi/qhczE4nhiQM/maxresdefault.jpg
Para resolver cualquier problema trigonométrico es importante identificar, el ángulo recto, la hipotenusa y los
lados adyacentes y opuestos a un determinado ángulo.
http://rincones.educarex.es/matematicas/images/recursos/animaciones/razones2esogeometrisskool.png
http://image.slidesharecdn.com/cap-6-funciones-trigonomtri-1223086964275280-8/95/cap-6-funcionestrigonomtri-44-638.jpg?cb=1422674047
http://1.bp.blogspot.com/_RKMdMS_bhLw/TOnGMnvjFEI/AAAAAAAAAB8/s44gWY_479o/s1600/anguloelevacion-depresion.jpg
http://2.bp.blogspot.com/-5WMtdLEtmx0/VSVR_dBvjxI/AAAAAAAAAvo/EGmmkO1s-vQ/s1600/2.GIF
http://image.slidesharecdn.com/aplicacineimportanciadelasfuncionesexponenciales-140531003711-phpapp01/95/aplicacin-eimportancia-de-las-funciones-exponenciales-7-638.jpg?cb=1401496948
http://www.lavalenmaster.co/wikidoku/lib/exe/fetch.php?w=600&tok=06ba96&media=diapositiva12.jpg
http://image.slidesharecdn.com/razones-trigonometricas-1219026761883354-8/95/razones-trigonometricas-7728.jpg?cb=1219001562
Solucionar los siguientes ejercicios aplicando razones trigonométricas
Un árbol proyecta una sombra de 60 metros de larga, y se sabe que la distancia entre la copa del árbol y el punto
donde termina su sombra es de 90 metros. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
https://i.ytimg.com/vi/_1bHnH1cbBc/maxresdefault.jpg
Si el ángulo de elevación del sol es de 31º, calcular la longitud de la sombra proyectada por un hombre de 1,80 metros de estatura.
https://i.ytimg.com/vi/-P7ukXBptnw/hqdefault.jpg
Una rampa tiene 10 metros de longitud, y el ángulo de elevación es de 15º. Si una persona se desplaza desde el
principio de la rampa hasta la parte superior. ¿Qué altura ha ascendido?
http://eso.aomatos.com/problema02-trigo.png
Desde un punto se observa un edificio cuya parte mas alta forma con el suelo un ángulo de 30º, si avanzamos 30
metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio
http://uncomat.uncoma.edu.ar/images/alturaedificio.gif
Un edificio proyecta una sombra de 150 metros cuando el sol forma un ángulo de 20º 30’ sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.
http://contentmapas.didactalia.net/imagenes/usuarios/ImagenesCKEditor/5d1dada8-e23b-499e-aa7066ad03aedbc4/cc7b3f3e-3071-4d4b-af1a-e30146d5edc3.gif
Observa atentamente la figura y los datos que te proporcionan. Lo que se desea saber es: ¿Cuál es la altura en
metros del árbol?
http://matematicasmodernas.com/wp-content/uploads/2014/01/problemas-trigonometria-1.jpg
Desde la torre de un fuerte costero, cuya altura es de 580 metros sobre el nivel del mar, se divisa un barco con un
ángulo de depresión de 24º. ¿A que distancia del punto D de la base de la torre está el barco?
http://image.slidesharecdn.com/dbackupdeshirleymaristas2007quintor-100627095523-phpapp01/95/nocionestrigonomtricas-7-
En algunas ocasiones se debe tener presente la altura de la persona que observa el fenómeno. Para ello podemos
usar la siguiente ecuación.
https://matematicas01.files.wordpress.com/2011/03/medidas-indirectas.gif
Una persona observa en un ángulo de 54º lo alto que es un edificio; si la persona mide 1,72 metros y está ubicada
a 18 metros de la base del edificio. ¿Cuál es la altura en metros del edificio?
http://4.bp.blogspot.com/-a6ZfTAHlOyE/UdtiGU-ihwI/AAAAAAAAAHI/XOzYev8CQfM/s1600/Imagen_02.jpg
Hallar cuanto mide la escalera
Tomado de: http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso3/htmlb/SEC_43.HTM
Una persona observa un ovni volando con un ángulo de elevación de 37º. La referencia que tiene es un vehículo a una distancia de 110
metros. ¿A que altura está el ovni?
http://image.slidesharecdn.com/ngulosdeelevacinydedepresin-120826145318-phpapp01/95/ngulos-de-elevacin-y-de-depresin-5728.jpg?cb=1346010896
¿Será posible solucionar el siguiente triangulo aplicando el Teorema de Pitágoras o por medio de funciones trigonométricas?
http://image.slidesharecdn.com/problemasdetrigonometria-100514064613-phpapp02/95/problemas-de-trigonometria-4-728.jpg?
cb=1273819647
Otra forma de solucionar triángulos es por medio de la semejanza, aplicando el Teorema de Thales:
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene
otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a
los del triángulo ABC.
Lo que se traduce en la fórmula
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teorema_de_Tales.html
Solucionar los siguientes ejercicios
http://
image.slidesharecdn.com/teoremadetalesdemileto-140325135924-phpapp02/95/teorema-de-tales-de-mileto-8-638.jpg?
cb=1395756025
Hallar la distancia a la cual se encuentran los arboles
http://www.ieszaframagon.com/
matematicas/4_eso/trigonometria/web/problemas/ini2.PNG
¿Cuál es la altura de la torre de energía?
http://julioprofe.net/wp-content/uploads/2015/10/problema-de-trigonometria-con-tr.jpg
Dejar planteado como se puede hallar la profundidad del pozo
https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?
q=tbn:ANd9GcTbuQ5V9Q_nrWwqenmmtOOLnEPa83TiiX3Ch-QLLHQTq0-pwIbB
Hallar el valor del lado a y el lado b de la siguiente figura
http://www.ditutor.com/geometria/images/327.gif
Hallar el valor de x
http://calculo.cc/temas/temas_trigonometria/trian_semejante/imagenes/teoria/tales/ejemplo_1.gif
Hallar los valores del lado x y el lado c
http://menjacocos.wikispaces.com/file/view/TALES4.jpg/127284065/316x187/TALES4.jpg
Hallar el valor de los segmentos:
,
,
,
,
http://static.educatina.com/u/11-teorema_de_tales-pregunta07.gif
Hallar el valor de
http://www.tareasfacil.info/imaganes/clip_image030_0127.jpg
Dejar planteado como se puede hallar la altura del árbol
http://www.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conocimiento/mat/thales/arbol.gif
Una persona se encuentra a 40 metros de un árbol y a 60 metros de una torre, si el árbol tiene una altura de 15 metros, ¿Cuánto mide la torre?
https://theparadaise.files.wordpress.com/2012/06/teorema-de-tales1.jpg
Hallar el valor de los segmentos:
,
,
https://encrypted-bn1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcR4pvYdvh_MxoTykNuhOR9X7v9fUBGlGa5Rtf7cDTYw5m0qxhHwA
Dejar planteado como encontrar la altura del señor del aseo
https://aplicarazonestrigo.wikispaces.com/space/showlogo/1336180518/logo.jpg
http://matematicasmodernas.com/wp-content/uploads/2014/01/porque-estudiar-trigonometria.jpg
https://
matematibelen.files.wordpress.com/2012/04/047252520252528pitagor
as252529.jpg?w=400&h=335
En este capítulo se dan a conocer las 6 funciones trigonométricas, la forma de representarlas gráficamente y las razones que las identifican; de antemano
se especifica que se va a hacer énfasis en las funciones seno y coseno, por su gran aplicabilidad en la vida diaria.
Estas funciones son de mucha importancia en las ingenierías y las ciencias naturales, ellas se obtienen al
relacionar las coordenadas de un punto P(x,y) de una
circunferencia con centro en el origen y de radio R; el
ángulo determinado por esos rayos, se pueden medir
en grados o radianes.
Se dan a conocer aplicaciones de estas funciones en:
ciencias naturales (física), medicina y tecnología.
Se desarrollan ejercicios de los diferentes temas y se
dejan otros propuestos, esto con el fin de favorecer
la ejercitación en los alumnos.
Primer momento Contextualización:
El problema: La comprensión de las funciones trigonométricas.
El objeto: Las gráficas de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones
Objetivo: Familiarizarse con las funciones trigonométricas obtenidas a partir del circulo unitario y sus diferentes aplicaciones en la vida cotidiana.
Conocimientos: funciones circulares, ángulos de referencia, graficas de Seno y Coseno, aplicaciones a la
vida cotidiana, resolución de problemas.
Segundo momento Metodológico :
·El método: situaciones problema
·El grupo: estudiantes del grado décimo de media básica de la Institución Educativa San Roberto Belarmino
·Los medios: unidad didáctica
Tercer momento Evaluativo, en el cual se evalúa lo
realizado por los (as) estudiantes por indicadores de
desempeños y a la vez ellos (as) realizan su autoevaluación durante todo el proyecto.
PITAGORAS (570 a.C. – 495
a.C.)
Filósofo y matemático griego
Nació el 570 a.C. en la isla de Samos, junto a Mileto,
siendo hijo de Menesarco, tal vez un rico comerciante
de Samos. Probablemente viajó a Egipto, Fenicia y Babilonia. Volvió a Samos durante la dictadura de Policrates
(538-522). Hacia 529 viajó al sur de Italia y fundó en Crotona la fraternidad pitagórica.
Instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos
jonios como Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Hacia el 530 a.C. se radica en Crotona, colonia griega al sur de Italia, allí funda un movimiento con propósitos políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo.
En geometría descubrieron el teorema de la hipotenusa,
conocido como teorema de Pitágoras, que establece
que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros
dos lados. En astronomía los pitagóricos significaron un
avance en el pensamiento científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo
que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego
central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva. Pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas y mantenían
que el movimiento de las esferas da origen a un sonido
musical, la llamada armonía de las esferas.
Los pitagóricos consiguieron gran influencia política en
Magna Grecia (sur de Italia), lo que provocó reacciones
contra ellos. La primera forzó a Pitágoras a abandonar
Crotona y retirarse a Metaponte, donde se dice que se
dejó morir de hambre el 495 a.C., aunque hay otras versiones de su muerte.
http://www.buscabiografias.com/biografia/
verDetalle/1231/Pitagoras
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo de cualquier triángulo rectángulo se definen comúnmente
como el cociente entre dos de los tres lados de tal triángulo rectángulo. Ampliando el contexto, las funciones
trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un
triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad) o también fijando un punto en el
plano cartesiano distinto al origen usando abscisa, ordenada, radio vector y ángulo orientado se definen seis
funciones trigonométricas, precisando el dominio y condominio en cada caso. Definiciones más modernas las
describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Existen seis funciones trigonométricas básicas, las tres últimas se definen con base a las tres primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones.
Tomado de: http://www.ecured.cu/Funciones_trigonom%C3%
A continuación se dan las gráficas de las seis funciones trigonométricas básicas, de las cuales las mas usadas son las de la función seno y la función coseno.
http://3.bp.blogspot.com/-F9kpFwHPloc/Via9a2-wC-I/AAAAAAAAAss/8lD4dvXwpy0/s1600/derivadas-de-las-funciones-trigonom%25C3%
25A9tricas.png
Aplicaciones a la vida diaria
http://es.scribd.com/doc/228052176/Aplicaciones-de-La-Funcion-Seno-en-La-Vida-Cotidiana#scribd
En las telecomunicaciones, las antenas receptoras, reciben las señales enviadas por los satélites y las hacen converger en un solo
sitio para luego llevarlas a: los hogares, cadenas de televisión, empresas o sitios de diversión.
https://matematicas4univia.files.wordpress.com/2012/03/032812_2343_comprendela1.jpg?w=474
Las olas de mar son otro tipo de ejemplo de las funciones seno y coseno, ya que se semejan a ellas
https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcS_JtFcjzQUPmv9gs77Fwl8BOvm4xDEAlEkhMqN1q-BdrENlLlr
El ser humano en sus diferentes formas de manifestar el arte, realiza construcciones que se asemejan a las graficas de
la función seno o coseno
https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?
q=tbn:ANd9GcSbMAF2Rb7aTOp9B3efhmME7VcnJChg_pHEOkie632924cp0wUS3Q
Los diferentes juegos en parques de recreación pueden tomar la forma de las funciones seno o coseno, por ejemplo:
En la grafica uno, el barco pirata adopta la forma pendular; en la grafica dos el dejar caer un objeto en un recipiente
lleno de algún liquido genera ondas circulares; en la grafica tres, las ondas sonoras son de carácter sinusoidal y por
ultimo en la grafica cuatro se ve la onda que se genera en un osciloscopio
http://matematica.cubaeduca.cu/medias/interactividades/temas_11no/10_Funcion_seno_y_coseno/res/funcines%
20trigonmetricas.jpg
Un péndulo es otro ejemplo se la grafica de la función seno, debido a que en él se verifica el movimiento armónico
simple del movimiento circular
https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSPFMXs90TP3Q7UGDqM4lgOoDyyBM9vcpBMzkomXeFq1EdmFJl
Los resortes son otro tipo de ejemplo del movimiento circular
http://souseke.files.wordpress.com/2010/05/resortes01.gif
A continuación se presentan algunos ejercicios resueltos para que interiorice la forma de solucionarlos.
En ondas y específicamente en el movimiento armónico simple, se hace el estudio de fenómenos específicos
como:
Elongación: es el desplazamiento del móvil que oscila (da la vuelta) desde la posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado.
Amplitud: es la máxima elongación que puede adquirir el móvil en su desplazamiento a partir de la posición de
equilibrio.
Frecuencia (f): Hace referencia al número de vueltas que realiza un móvil en cierto tiempo, se mide en Hertz
(hz).
Periodo (T): Es el tiempo que se demora un móvil en realizar una vuelta, se mide en segundos
https://encrypted-tbn1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTwc0zpsbafJVDALKFVNLLJZPu4VwiMgYtUN47rFOp5Qr2wSGrZ
https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTWMfhIeDjuB6MlqwInOLPQ7CeqZSMqk1XV03cAZ79ZfNyyVYVE
La función seno también sirve para realizar gráficos de velocidad contra tiempo, en el movimiento armónico simple.
http://www.heurema.com/TestF/TestF8/1.7.6a.jpg
Un movimiento armónico simple puede ser representado por una curva sinusoidal o cosenoidal, al graficar posición
contra tiempo, cuya ecuación es de la forma:
X = A Cos (wt)
X = A Sen (wt)
Donde: X = elongación
f = frecuencia
A = amplitud
T = periodo
f=
T=
EJEMPLO 1 : Sea el MAS
segundos
SOLUCIÓN:
Y= 9Sen3
W=
= 3,2 segundos
EJEMPLO 2 : Sea el MAS
segundos
X= Cos
 t 
 
 4 
A = 1 m.
T=
W=
 5 t 


 8 
A = 9 cm
T=
SOLUCIÓN:
W = velocidad angular
f=
Hallar: T, f, w, A dado en cm y
rad/s
= 0,31 hz
Hallar: T, f, w, A dado en metros y
W=
= 8 segundos
=
f=
rad/s
= 0,125 hz
t = tiempo
T=
EJEMPLO 3 : Sea el MAS
segundos
SOLUCIÓN:
X= 4Sen
 7 t 


 5 
A = 4 cm.
T=
Hallar: T, f, w, A dado en centímetros y
W=
= 1,43 segundos
f=
rad/s
= 0,7 hz
EJEMPLO 4: Un oscilador armónico, de periodo 0,5 segundos tiene una elongación de 3 cm para t=0. La ecuación de
su movimiento es:
SOLUCIÓN:
W=
=
X = A Cos (wt)
X = 3 Cos(4πt)
= 4π rad/s
X = 3 cm es lo máximo por lo tanto A = 3 cm
EJEMPLO 5: Un oscilador armónico de amplitud 20 cm, de frecuencia angular 4 rad/s, tiene una posición x=0 para t=0
¿cuál es la ecuación del movimiento?
SOLUCIÓN:
W=
= 4 rad/s
X = 0 cm para t = 0 parte del origen
A = 20 cm del enunciado
X = A Sen (wt)
X = 20 Sen(4t)
EJEMPLO 6:
Si el movimiento de un resorte, tiene la forma X = 4Cos 10t con las distancias en centímetros y los tiempos en segundos. El tiempo que tarda el cuerpo en dar una oscilación completa es:
SOLUCION:
W = 10 rad/s
T=
= 0,628 segundos
Cualquier distancia que separa al cuerpo de su posición de reposo o de equilibrio se llama elongación. Luego para t=
0 su valor es de:
SOLUCION:
X = 4Cos 10t
X = 4Cos 10(0)
X = 4Cos 0
X = 4 cm.
EJEMPLO 7: La grafica representa el desplazamiento de un oscilador armónico en función del tiempo
La ecuación del movimiento que más se acomoda a la gráfica es:
SOLUCION: La grafica parte del origen, por lo tanto corresponde a la función Seno; las únicas posibles soluciones son
a, c
El tiempo que se demora en dar una vuelta es de 2 segundos, por lo tanto ese es el periodo. Además se tiene que:
W=
=
= π rad/s que corresponde a la opción c
La frecuencia del movimiento es:
SOLUCION: La frecuencia es
Que corresponde a la opción d
y el periodo es de 2 segundos, por lo tanto f =
= 0,5 hz
EJERCICIOS PROPUESTOS
EJERCICIO 1: Para la siguiente gráfica, hallar: Periodo, frecuencia y velocidad angular
https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?
q=tbn:ANd9GcSOhkIeu8oRUo_PDz0hS4JoKjb0g6Mn0ytt8mKf3ag9XVnN5cNl
EJERCICIO 2: Para la siguiente gráfica, hallar: Amplitud, Periodo, frecuencia y velocidad angular
http://www.wikimatematica.org/images/f/f9/Seno.png
EJERCICIO 3: La siguiente grafica muestra el comportamiento de las olas del mar en cierta época del año. Cuál es la
ecuación que representa el movimiento?
http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_trig_trans/images/marea2.png
EJERCICIO 4: Un oscilador armónico simple muestra el siguiente comportamiento, ¿con que frecuencia se repite el
movimiento?
https://encrypted-tbn1.gstatic.com/images?
q=tbn:ANd9GcQY5uaX20ZMte2_rawkdbO5f4YCfwOeoLULo_gqEeu8afb2Ws09
EJERCICIO 5: Sea el MAS
EJERCICIO 6: Sea el MAS
X= Cos5
Y= 3Sen
 8 t 


 3 
 t 
 
 7 
Hallar: T, f, w, A
¿Cuál es su frecuencia?
EJERCICO 7: Dado el siguiente movimiento armónico simple Y= 8Cos
ción?
 5 t 


 9 
¿Cuándo t = 0 cuál es su elonga-
EJERCICIO 8: Un oscilador armónico, de periodo 0,25 segundos tiene una elongación de 3 cm para t=0. La ecuación
de su movimiento es:
EJERCICIO 9: Un oscilador armónico de amplitud 15 cm, de frecuencia angular 8 rad/s, tiene una posición x=0 para
t=0 ¿cuál es la ecuación del movimiento?
EJERCICIO 10: Dada la siguiente gráfica, para la función coseno hallar: Periodo, frecuencia y velocidad angular
http://masmates.files.wordpress.com/2014/04/sen_cos.jpg?w=630
EJERCICIO 11: Dada la siguiente X en metros y t en segundos, hallar: Periodo, frecuencia, velocidad angular
http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.melilla/img_2/trrig_graf_04.gif
http://www.galeon.com/mbotella/CHISTES/CHISTE13.jpg
http://spa.fotolog.com/photo/10/53/54/
http://lanturlu.free.fr/lanturluland/francais/1_quid_fr/dessins/figure_1.gif
En las matemáticas frecuentemente se encuentran expresiones de gran complejidad que envuelven a las seis funciones trigonométricas.
En este capítulo se presentaran ejemplos de como abordar y solucionar esas expresiones en
una forma más sencilla y fácil de entender. Se
dan a conocer inicialmente cuales son las siete
identidades fundamentales y las respectivas demostraciones de donde salieron; ya que en matemáticas uno de sus procesos básicos es el argumentar, razonar y demostrar.
Primer momento Contextualización:
El problema: La comprensión de las identidades
trigonométricas sencillas y cuadráticas.
El objeto: Las funciones trigonométricas usadas
en las igualdades trigonométricas.
Objetivo: Aprender a verificar identidades trigonométricas mediante la trasformación de uno de
sus miembros.
Conocimientos: argumentar, razonar, demostrar,
resolución de problemas.
Segundo momento Metodológico :
·El método: situaciones problema
·El grupo: estudiantes del grado décimo de media básica de la Institución Educativa San Roberto Belarmino
·Los medios: unidad didáctica
Tercer momento Evaluativo, en el cual se evalúa
lo realizado por los (as) estudiantes por indicadores de desempeños y a la vez ellos (as) realizan su autoevaluación durante todo el proyecto.
HERACLITO de EFESO (544 a.C. – 484 a.C.)
Filósofo y matemático griego
Nació hacia el 544 antes de Cristo, aproximadamente, y vivió en
Éfeso, ciudad enclavada en la costa Jonia, al norte de Mileto, hasta
su muerte, en el 484 antes de Cristo. Escribió una obra a la que se
le da el título común " Sobre la naturaleza" que se le había dado
también a los libros escritos por otros filósofos anteriores. Pensamiento
Respecto a los contenidos esenciales de su interpretación de la
naturaleza, siguiendo la línea abierta por los filósofos de Mileto,
podemos destacar:
a) la afirmación del cambio, o devenir, de la realidad, (Este cosmos
[el mismo de todos] no lo hizo ningún dios ni ningún hombre, sino
que siempre fue, es y será fuego eterno, que se enciende según
medida y se extingue según medida.) que se produce debido a:
b) la oposición de elementos contrarios, que es interpretada por
Heráclito como tensión o guerra entre los elementos. (Conviene
saber que la guerra es común a todas las cosas y que la justicia es
discordia y que todas las cosas sobrevienen por la discordia y la
necesidad.) Ahora bien, esa "guerra" está sometida a:
c) una ley universal, el Logos, (que podemos interpretar como razón, proporción...) que regula todo el movimiento de la realidad
conduciéndolo a la armonía, y unificando así los elementos opuestos; de donde se sigue la afirmación de la unidad última de todo lo
real. (No comprenden cómo esto, dada su variedad, puede concordar consigo mismo: hay una armonía tensa hacia atrás, como en el
arco y en la lira.)
Restos arqueológicos del templo de Domiciano, en Éfeso
La idea de que el mundo nos ofrece una realidad sometida al cambio no es original de Heráclito: a todos los pensadores presocráticos les impresionó dicha observación. Las afirmaciones de que todo fluye y no se puede bañar uno dos veces en el mismo río se las
atribuye Platón libremente en sus diálogos, sugiriendo la correspondiente consecuencia: nada permanece. Es probable que Heráclito insistiera en la universalidad del cambio más que sus predecesores pero, por los fragmentos que conservamos de su obra, lo
hacía aún más en la idea de la medida inherente al cambio, en la
estabilidad subsistente.
Posteriormente Aristóteles, quien acusará a Heráclito de negar el
principio de contradicción (Una cosa no puede ser ella misma y su
contrario, en el mismo aspecto y al mismo tiempo.) al afirmar que
los opuestos son "uno y lo mismo". Parece claro por los fragmentos
conservados que con esa expresión Heráclito quería significar no
que eran "idénticos" sino que pertenecían a un único complejo, o
que no estaban esencialmente separados. (Kirk y Raven, "Los filósofos presocráticos", Madrid, Gredos, 1970.)
http://www.webdianoia.com/presocrat/heraclito.htm
Una identidad trigonométrica es una igualdad, entre funciones trigonométricas; tiene validez para todos los
valores del ángulo en los cuales están definidas esas funciones. Se pueden demostrar haciendo uso de operaciones aritméticas, casos de factorización o propiedades de la radicación.
http://image.slidesharecdn.com/diapositivasmatematica10grado-110204155117-phpapp01/95/trigonometra-enaccin-13-728.jpg?cb=1296834929
Demostración de la identidad fundamental por medio del Teorema de Pitágoras
http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pitag33.bmp
Otras demostraciones que se realizan por medio de la identidad fundamental
http://4.bp.blogspot.com/-2rSNoiE31iA/Tqreqx3QXKI/AAAAAAAAAK8/QqGH73CYjr4/s1600/444.jpg
http://funcionestrigonometricas.com/wp-content/uploads/2012/05/Ejercicios-con-identidadestrigonometricas.jpg
Las identidades trigonométricas (para este proyecto de aula) pueden ser sencillas o cuadráticas. A continuación se presentan algunos ejercicios resueltos de identidades trigonométricas sencillas
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap5/graphics/
trigo11__43.png
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap5/graphics/
trigo11__35.png
http://www.fisicanet.com.ar/matematica/trigonometria/tp1/trigonometria03.gif
http://precalculo21.webcindario.com/7ed98c40.gif
http://www.fisicanet.com.ar/matematica/trigonometria/tp1/trigonometria01.gif
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap5/graphics/
trigo11__37.png
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap5/graphics/
trigo11__39.png
http://www.sectormatematica.cl/proyectos/imagen/Image2.gif
http://precalculo21.webcindario.com/7f129eb0.gif
http://precalculo21.webcindario.com/7ee14eb0.gif
http://precalculo21.webcindario.com/7f308290.gif
http://image.slidesharecdn.com/identidadestrigonometricasdelarcosimple-140815170503-phpapp02/95/
identidades-trigonometricas-del-arco-simple-5-638.jpg?cb=1408122312
http://c.asstatic.com/images/796553_634316581809991250-1.jpg
http://image.slidesharecdn.com/129ejerciciosresueltossobreidentidadestrigonometrica-110422195619phpapp02/95/129-ejercicios-resueltos-sobre-identidades-trigonometrica-2-728.jpg?cb=1303502209
http://image.slidesharecdn.com/129ejerciciosresueltossobreidentidadestrigonometrica-110422195619phpapp02/95/129-ejercicios-resueltos-sobre-identidades-trigonometrica-3-728.jpg?cb=1303502209
Para solucionar identidades trigonométricas cuadráticas, se hace uso de las identidades fundamentales; se parte de un lado de la identidad y se debe convertir o llevar todo a funciones de seno o coseno. Se presentan a
continuación algunos ejercicios resueltos de identidades cuadráticas.
http://www.sectormatematica.cl/proyectos/imagen/Image1.gif
http://catchupmath.com/hotmath_help/spanish/topics/basic-trigonometric-identities/image009-spanish.gif
http://www.sectormatematica.cl/proyectos/imagen/Image3.gif
https://i.ytimg.com/vi/2NyHkhXfHAc/hqdefault.jpg
https://i.ytimg.com/vi/2NyHkhXfHAc/hqdefault.jpg
http://c.asstatic.com/images/796553_634316581809991250-1.jpg
http://c.asstatic.com/images/796553_634316581809991250-1.jpg
http://c.asstatic.com/images/796553_634316581809991250-1.jpg
http://c.asstatic.com/images/796553_634316581809991250-1.jpg
http://image.slidesharecdn.com/129ejerciciosresueltossobreidentidadestrigonometrica-110422195619-phpapp02/95/129-ejerciciosresueltos-sobre-identidades-trigonometrica-2-728.jpg?cb=1303502209
http://www.fmat.cl/tex/126304.gif
http://www.fisicanet.com.ar/matematica/trigonometria/tp1/trigonometria04.gif
http://www.fisicanet.com.ar/matematica/trigonometria/tp1/trigonometria15.gif
http://image.slidesharecdn.com/129ejerciciosresueltossobreidentidadestrigonometrica-110422195619-phpapp02/95/129-ejerciciosresueltos-sobre-identidades-trigonometrica-3-728.jpg?cb=1303502209
A continuación se presentan algunos ejercicios para que ponga en practica todos los conocimientos adquiridos
http://3.bp.blogspot.com/-kGfdSxoT5-I/VgqBJkHC2rI/AAAAAAAACUE/aRoDu1gi3dc/s400/identidades%
2Btrigonometricas.png
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=dlattach;topic=20782.0;attach=4355
http://3.bp.blogspot.com/-XCj6cw0_uig/VQ7tLY6ydyI/AAAAAAAAdUw/vOhnNgxSHWQ/s1600/identidades%
2Btrigonom%C3%A9tricas%2B02.png
Otras identidades que pueden ser útiles
http://www.universoformulas.com/imagenes/matematicas/trigonometria/tabla-relacion-razonestrigonometricas.jpg
1
23
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proyecto de aula: el papel del docente en la enseñanza de las