Geometría, trigonometría y geometría analítica

Geometría, trigonometría y geometría analítica
Capítulo II: Ángulos
Ejercicio 4 (1 – 15): Resuelve los siguientes problemas:
1. Determina el área A y el perímetro P de la región sombreada en cada una de las
siguientes figuras:
150
1610
r = 11cm
a)
c)
2100
r = 8.3ft
2.
3.
4.
5.
r = 10in
3150
r = 9m
b)
d)
Un faro de rayos láser gira un ángulo de 2400. Si el alcance visible del rayo es de
20 kilómetros, cuál es el área barrida por el haz de luz?
Un sector circular tiene 49cm2 de área y 6cm de radio. Halla la longitud del arco
determinado por el sector.
Determina el área encerrada por un arco de circunferencia de longitud 8m y dos
radios de longitud 3m.
En la siguiente figura el área sombreada es de 183km2 y el arco AB tiene una
longitud de 13km. Determina el radio de la circunferencia
B

A
6. Consulta el ejercicio 5. ¿Cuál es la medida, en grados, del ángulo  ?
7. La distancia entre dos punto A y B en la Tierra se mide a lo largo de un círculo
cuyo centro es C , situado en el centro del globo, y radio r igual a la distancia de
C a la superficie. Si el diámetro del planeta es de aproximadamente 8 000 millas,
calcula la distancia entre A y B si el  ACB tiene la medida indicada:
a) 1100
b) 400
c) 100
d) 10
8. Se utiliza una polea de 90 cms de diámetro para levantar cargas. Halla la
distancia que la carga es levantada, si la polea da 5 vueltas.
9. En un triciclo las llantas traseras miden 22 cms y la delantera 37 cms de diámetro.
a) Si el triciclo recorre 90 metros, cuántas vueltas dan las llantas traseras y
cuántas la delantera?
b) Si la llanta delantera da 400 vueltas, qué distancia recorre el triciclo?
c) Si las llantas traseras dan 110 vueltas, qué distancia recorre el triciclo?
d) Cuántas vueltas dan las llantas traseras por cada 100 vueltas de la llanta
delantera?
10. Determina el área de la siguiente figura considerando que los dos arcos que la
componen pertenecen a dos circunferencias concéntricas de radios 4 y 44cm
respectivamente, y que el  AOB tiene una medida de 2800.
O
A
B
Capítulo III: Rectas perpendiculares y paralelas
Capítulo IV: Triángulos
Capítulo V: Cuadriláteros
Capítulo VI: Polígonos
Capítulo VII: Transformaciones
Capítulo VIII: Circunferencia y círculo
Capítulo IX: Perímetros y superficies
Capítulo X: Áreas y volúmenes
Ejercicio 36 EXTRA (1 – 15): Resuelve los siguientes problemas:
1. Una tina que contiene 69 litros de agua pesa 70 Kg. Cuánto pesa la tina vacía?
2. Cuántos Kg pesará el agua contenida en un depósito de 1.3 m 3?
3. Una pecera tiene 20cm de ancho, 40cm de largo y 30 cm de alto. Cuántos garrafones de
20 litros se necesitan para llenar 15 peceras de estas a la mitad?
4. La capacidad de un estanque es de 14 m 3, cuántos litros de agua contendrá si se llena a la
mitad?
5. La tercera parte de un estanque son 400 l. Cuántas toneladas pesará el agua del
estanque lleno?
6. Cuántos litros de agua caben en una piscina de 50 m de largo 12 m de ancho y 2 m de
profundidad?
7. De un estanque que contiene 56.54 m 3 de agua se sacan 1400 litros. Cuánto pesa el agua
que quedó en la piscina?
8. Una jeringa contiene 5 cm 3 de agua? Si en una inyección introducimos 0.5 ml por segundo,
cuánto dura la operación?
9. Una cubeta llena de agua pesa 14.5 Kg, y vacía pesa 60 g. Cuántos litros de agua
contiene llena?
10. Un estanque tiene 4m de ancho, 9m de largo y 1m de profundidad, cuántos litros de agua
contiene si ésta llega a 20cm del borde?
11. Si una llave de agua llena un estanque de 1.2m de largo, 1m de ancho y 50cm de
profundidad en 20 minutos, cuánto pesa el agua que vierte la llave en 1 minuto?
12. Cuántas toneladas pesa el agua que puede contener un depósito cuyo ancho es el doble
de su altura y de largo tiene el doble que de ancho, siendo su altura 1.8m?
13. Si el garrafón de 20 litros lo venden en $ 17, a cómo sale el gramo de agua?
14. Un depósito de 3m de largo, 2m de ancho y 1.5 m de altura está lleno hasta sus ¾. En
cuánto tiempo acabará de llenarlo un grifo que vierte 50 litros por minuto?
15. Un depósito de 10 m 3 de agua se llena en 1h 20min, cuántos litros vierte la llave que lo
llena por cada minuto?
Capítulo XI: Funciones trigonométricas
Capítulo XII: Funciones trigonométricas para ángulos notables
Capítulo XIII: Representación gráfica de las funciones trigonométricas
Capítulo XIV: identidades y ecuaciones trigonométricas
Capítulo XV: Triángulos rectángulos
Capítulo XVI: Triángulos oblicuángulos
Ejercicio 54 (1 – 120): Resuelve los siguientes problemas:
1. Ej 1, p. 230 (Libro de Texto)
288.4m
2. Ej 3, inciso a , p. 230 (Libro de Texto)
38044’4’’
3. Ej 4, p. 231 (Libro de Texto)
15.14m
4. Ej 7, p. 232 (Libro de Texto)
11.25m
5. Ej 8, p. 232 (Libro de Texto)
53.6m, 59.1m, 22.6m
6. Ej 2, p. 245 (Libro de Texto)
1.76m
7. Ej 3, p. 245 (Libro de Texto)
30.34m
8. Ej 4, p. 245 (Libro de Texto)
19.4km
9. Ej 6, p. 246 (Libro de Texto)
4.7cm
10. Ej 8, p. 246 (Libro de Texto)
307.4m
11. Como se muestra en la figura, un teleférico transporta pasajeros desde un punto
A , que se encuentra a 2km del punto B , que se halla en la base de una
P
montaña, hasta un punto P de la cima de la montaña.
AB  2km
650
21 0
B
A
Los ángulos de elevación de P desde A y B son 21 0 y 650 respectivamente
a) Calcula la distancia entre A y P
= 2.6 km
b) Calcula la altura de la montaña
= 0.9 km
12. Un helicóptero vuela a una altitud de 300 m sobre la cima de una montaña que
mide 1700 m , según se indica en la figura Desde lo alto de esta montaña y desde
el helicóptero se ve una segunda montaña, más elevada que la primera.
H
430
300 m
P1
P2
180
1700 m
Desde el helicóptero el ángulo de depresión es de 430 , y desde la cima de la
primera montaña, el ángulo de elevación es de 180
a) Calcula la distancia de pico a pico
= 250.86 m
b) Calcula la altura de la montaña más alta
= 1777.52 m
13. Un puente levadizo mide 46 m de largo cuando se tiende sobre un río. Como se
muestra en la figura, las dos secciones del puente pueden girar hacia arriba hasta
un ángulo de 37 0
a) Si el nivel del agua está 3m abajo del puente cerrado, halla la distancia d
entre el extremo de una sección y el nivel del agua cuando el puente esté
abierto por completo.
= 16.8 m
b) ¿Aproximadamente cuán separados están los extremos de las dos
secciones cuando el puente está abierto por completo, como se muestra en
la figura?
= 9.26 m
b)
a)
37 0
37 0
46 m
3m
14. Cuando se observa un rascacielos desde lo alto de un edificio de 16 m de altura, el
ángulo de elevación es de 550 (consulta la figura); cuando se observa desde la
parte más baja del edificio el ángulo de elevación es de 620
a) ¿Aproximadamente a qué distancia están los dos edificios?
= 35.4 m
b) Calcula la altura del rascacielos
= 66.5 m
b)
550
16 m
620
a)
15. A medida que un globo de aire caliente sube, su ángulo de elevación desde un
punto P al nivel del suelo y a 110 m del punto Q , que está directamente bajo el
globo, cambia de 190 a 690 (consulta la figura). ¿Aproximadamente cuánto sube
el globo durante este periodo?
= 248.7 m
A
mAPQ  69 0
mBPQ  19 0
B
110 m
P
Q
16. Dos barcos salen de puerto al mismo tiempo, uno de ellos en dirección N 210 E a
una velocidad de 18km h y el segundo en dirección S 430 E a una velocidad de
22 km h . Calcula la distancia entre ambas embarcaciones una hora y media
después de salir de puerto.
N
= 51 km
21 0
430
17. Gran Pirámide de Egipto tiene una base cuadrada de 230 m por lado. Si el ángulo
de elevación desde un punto P situado a la mitad de uno de los lados de la base
es de 52 0 , calcula la altura aproximada de la pirámide.
= 147.2 m
C
mOPC  520
O
P
18. Un rombo mide 90 cm en cada lado y una diagonal menor de 55 cm. Determina la
medida de sus ángulos obtusos.
= 144.40
90 cm
55 cm
19. Desde un punto A que está 8.2 m sobre el nivel del suelo, el ángulo de elevación
de la parte alta de un inmueble es 310 y el ángulo de depresión de la base del
mismo es 130 . Calcula la altura del edificio
= 29.54 m
310
130
A
8 .2 m
20. Una nueva carretera debe excavarse un túnel bajo una montaña que mide 90 m de
altura. A una distancia de 70 m de la base de la montaña, al ángulo de elevación
es de 36 0 (ve la figura). De una distancia de 50 m en el otro lado, el ángulo de
elevación es de 47 0 . Calcula la longitud del túnel
= 87.8 m
PA  70 m
90 m
BQ  50 m
47 0
360
P
A
B
Q
Capítulo XVIII: Geometría analítica unidimensional
Capítulo XIX: Geometría analítica bidimensional
Ejercicio 5 (5, 10, 17, 18): Resuelve los siguientes problemas:
5) A(1,  7) , B(1, 13)
10) A(8, 3) , B(9, 17 )
17) Una circunferencia tiene su centro en el punto (1, 6) y radio igual a 6 . Demuestra
que el punto ( 2, 5) es interior a la circunferencia y el punto (7, 1) es exterior.
18) Demuestra que los puntos (0, 1) , (3, 5) , (7, 2) y (4,2) son los vértices de un
cuadrado.
Capítulo XX: Pendiente de una recta
Capítulo XXI: Lugar geométrico
Capítulo XXII: Línea recta
Capítulo XXIII: Circunferencia
Ejercicio 21 (13 – 20):
13) Halla el área y el perímetro del círculo determinado por la circunferencia cuya
ecuación es: 9x2  9 y 2  72x  12y  103  0
Sol. Area = 5 ; Perímetro = 2 5
14) Halla el área y el perímetro del círculo determinado por la circunferencia cuya
ecuación es: 25x2  25y 2  30x  20y  62  0
Sol. Area = 3 ;Perímetro = 2 3
15) Demuestra
que
las
circunferencias
cuyas
ecuaciones
son
4x2  4 y 2  16x  12y  13  0 y 12x2  12y 2  48x  36y  55  0 son concéntricas
16) Demuestra
que
las
circunferencias
cuyas
ecuaciones
son
2
2
2
2
x  y  4x  6 y  23  0 y x  y  8x  10y  25  0 son tangentes.
17) Demuestra que las circunferencias cuyas ecuaciones son x2  y 2  4 x  2 y  4  0
y x2  y 2  28x  8 y  163 0 no se cortan.
18) Demuestra que la circunferencia x2  y 2  6x  14y  42  0 tiene como diámetro
el segmento delimitado por los puntos  5,1 y 11
, 13 .
19) La ecuación de una circunferencia es x2  y 2  18x  61  0 . Halla la ecuación de
la circunferencia concéntrica de radio 13 .
Sol. x  9  y 2  169
2
20) La ecuación de una circunferencia es 4x2  4 y 2  16x  20y  25  0 . Halla la
ecuación de la circunferencia concéntrica que es tangente a la recta
5x  12y  1  0 .
Sol. x  2   y 
2

5 2
2
9
Capítulo XXIV: Transformación de coordenadas
Capítulo XXV: Parábola
Ejercicio 29 (5 – 10):
5. Un espejo tiene forma de paraboloide y se utilizará para concentrar los rayos del Sol
en un foco, con lo que se formará así una fuente de calor. Si el espejo tiene 6m de
diámetro y 2m de profundidad, ¿dónde se concentrará la fuente de calor?
6. Una antena para televisión tiene forma de paraboloide. Halla la posición del receptor
que se coloca en el foco, si la antena tiene un diámetro de 10 pies y 2 pies de
profundidad
7. Los cables de un puente colgante tienen forma de un arco parabólico. Los pilares que
lo soportan tienen una altura de 30m sobre el nivel del puente y están separados
400m, quedando el punto más bajo del cable a 10m sobre la calzada del puente.
Calcula la altura de un punto del cable situado a 80m del centro
8. El arco parabólico que se forma en el puente de concreto de la figura tiene un claro de
80m y una altura máxima de 10m. Halla la altura del arco a 8m del centro
9. Calcula la altura máxima que puede tener un autobús de 2.4m de ancho para que pase
sin atorarse por un túnel de forma de arco parabólico que tiene 5m de altura y 6m de
largo.
10. Un micrófono de campo utilizado en un juego de futbol consta de un plato parabólico
que tiene un diámetro de 3 pies y una profundidad de 0.25 pies. ¿Dónde está colocado
el receptor respecto al vértice?
Capítulo XXVI: Elipse
Capítulo XXVII: Hipérbola
Capítulo XXIX: Coordenadas polares
Capítulo XXX: Ecuaciones paramétricas