Grafos conexos. - Página Web de José Luis Lorente Aragón

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Tema 2.Fundamentos y aplicaciones de la teoría de grafos.
Tema 2.TEORIA Y APLICACIONES DE LA TEORÍA DE GRAFOS.
1. Introducción.
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Teoría de grafos en una rama de la Topología
Surge de los estudios de Euler en el SXVIII.
Los grafos se utilizan para representar relaciones entre los elementos de un conjunto
Los grafos se utilizan para resolver numerosos problemas de la vida diaria
(circulación aérea, redes informáticas…)
Los grafos usados en campos tan dispares como Química, Genética, Informática,
Teoría de sistemas, circuitos eléctricos…
2. Definiciones.
2.1. Grafo simple.
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Grafo simple un par (V,E): V conjunto de elementos y E grupo de pares de V, donde
 No importa la ordenación de los elementos de V en E
 No se permite la repetición de pares de elementos en E.
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Ejemplo:(V,E): V={1,2,3}, E{{1,2},{2,3},{3,3}. Dibujar el
representar ciudades conectadas por avión, ordenadores en red…
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Elementos de grafos simples:
grafo.
Puede
 Vértices o nodos: cada uno de los elementos de V
 Ejes o aristas: cada una de las uniones entre los pares de V (elementos de E)
 Vértices adyacentes: i,jV son adyacentes si conectados ({i,j} o {j,i}E)
 Bucles: cuando en una arista los extremos coinciden {i,i}E
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Tipos de grafos:
 Grafo simple: no contiene ningún bucle. Hace ejemplo y dibujar
 Grafo nulo: no contiene aristas E=
 Grafo completo: todas las aristas posibles, incluido los bucles. Ejemplo
 Grafo simplemente completo: todas las aristas menos los bucles. Ejemplo
2.2. Multígrafo de orden P
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Necesidad de los multígrafos: cuando dos vértices se conectan varias veces.
Definición: par (V,E): V conjunto de elementos y E grupo de pares de V, donde
 El orden de los vértices de las parejas no importa {i,j}={j,i}
 Puede repetirse una arista hasta un máximo de p veces en E.
Grafos simple=1-grafo.
Mismos elementos que grafo simple
Ejemplo de los puentes de Konigsberg: que unen las orillas de un rio y 2 islas.
2.3. Grafo dirigido u orientado
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Necesidad grafos dirigidos: relaciones no simétricas entre los vértices. Ejemplo
“hijos de”, “divisores de”, “calles de un solo sentido”…
Definición: par (V,E): V conjunto de elementos y E grupo de pares de V, donde
 Si importa el orden de los vértices {i,j}≠{j,i}.
 Si se repiten los arcos p veces son p-grafos dirigidos
Elaborado por Jose Luis Lorente Aragón ([email protected])
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Tema 2.Fundamentos y aplicaciones de la teoría de grafos.
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Mismos elementos que los simples con la diferencia que las aristas se llaman arcos.
Todo grafo no orientado puede considerarse orientado sin más que a cada arista {i,j}
se sustituye por dos arcos {i,j},{j,i}. Hacer dibujo
En arco {i,j} i vértice inicial y j final.Se dice que i es predecesor de j y j sucesor de i
2.4. Redes
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Necesidad de las redes: valores numéricos asociadas a cada arco. Ejemplo: km de
distancia entre dos ciudades, voltaje entre dos vértices…
Redes (dirigidas): es una terna (V,E,l) donde (V,E) es un grafo (dirigido) y l es una
aplicación l:E Rk que asocia cada arista (arco) k valores numéricos.
Ejemplos: conexión por autobús de {León, Valladolid, Salamanca}, l(km y tiempo).
3. Aplicaciones y propiedades de los grafos
3.1. Isomorfismo.
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Grafos equivalentes aunque con distinta apariencia(distinta notación vértices, arcos)
Definición: dos grafos (V,E) (V’,E’) isomorficos si aplicación biyectiva :VV’:
 {vi,vj}E  {(vi), (vj)}E’
 {vi’,vj’}E’  {-1(vi’), -1(vj’)}E
Hacer ejemplo
3.2. Aplicaciones adyacente, sucesor y predecesor.
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Aplicación adyacente, , aplicación de los grafos dirigidos o no que nos relaciona
cada vértice viV con los vértices unidos por una aristas (arco si es dirigido)
Si es un p-grafo se tiene que decir además las veces que están unidos por un arco.
Todo grafo (p-grafo) no dirigido queda definido si conocemos V y la aplicación .
Aplicación sucesor, s, aplicación de los grafos dirigidos que relaciona cada vértice
viV con otro u otros vértices que son sucesores a este.
Aplicación predecesor, p, aplicación de los grafos dirigidos que relaciona cada
vértice viV con otro u otros vértices que son predecesores a este.
Todo grafo (p-grafo) dirigido definido si conocemos V y la aplicación s o p.
3.3. Orden, tamaño, y grado de incidencia.
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Orden de un grafo (dirigido) G(V,E) es el numero de vértices. Se denota O(G).
Tamaño de un grafo (dirigido) G(V,E) numero de aristas (arcos). Se denota T(G).
Relaciones entre orden (n) y tamaño (T):
 Grafo completamente simple: T   n  . Si es dirigido T  2· n   n(n  1)
 2
 
 2
 
 Grafo completo: T   n   n . Si es dirigido: T  2 n   n  n 2
 2
 2
 
 
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Grado de incidencia de un vértice vi, g(vi), de un grafo (dirigido) es el nº de aristas
(arcos) en los que interviene vi, considerando que el bucle {vi,vi} cuenta como dos.
En grafos dirigidos:
 Grado de salida: g+(vi)=nº veces que el vértice vi extremo inicial.
 Grado de entrada: g-(vi)=nº veces que el vértice vi extremo final.
Propiedades:
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 t (G)   g (vi ) :cada arista contribuye 2 veces en el grado de incidencia
2 viV
 Para todo vértice vi : g(vi)=g+(vi)+ g-(vi)
 En todo grafo hay un número par de vértices con grado impar. Demostración
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3.4. Subgrafos, unión de grafos y grafos complementarios.
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(V’,E’) subgrafo de (V,E) si se cumple V’V, E’E. Hacer ejemplo
Grafo unión de (V,E), (V’,E’) es el grafo (VV’,EE’). Hacer ejemplo
(V’, E’) complementario de (V,E) si V’=V y E’=Ec. (V,E)(V’,E’)=completo. Ejem
4. Grafos conexos.
4.1. Cadenas, ciclos, caminos y circuitos.
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Cadena: secuencia de vértices y aristas que comienza y acaba en vértices distintos.
Las aristas formadas por los vértices entre los que está situada. Ejemplo. Tipos:
 Cadena simple: no se repite ninguna arista
 Cadena elemental: no se repite ningún vértice
Ciclo: es una cadena donde el primer y el último vértice son el mismo. Ciclo
elemental si solo coincide el primer y el último vértice. Ejemplo
Nota: si trabajamos con multígrafos llamar arista por su nombre y no {vi,vj}
Camino: secuencia de arcos donde vértice final del arco coincide con el inicial del
siguiente arco. Ejemplo. Tipos de caminos
 Camino simple: no se repite ningún arco
 Camino elemental: no se repite ningún vértice.
Circuito: camino donde el primer y el ultimo vértice coinciden. Ejemplo
4.2. Definición de grafos conexos.
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Grafos conexos: no se pueden poner como unión de 2 o más grafos disjuntos (no
vértices en común). Visualmente si el grafo todo vértices unidos formando bloque.
Grafo inconexo: son los no conexos. Formado por unión de varios conexos. Ejemplo
4.3. Caracterizacion de grafos conexos.
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Teorema: un grafo no orientado es conexos si para cada pareja de vértices existe una
cadena simple y elemental que los une. Demostración
Teorema no valido para grafos orientados. Puede ser conexo y no haber camino. Eje
Definición: Grafo dirigido fuertemente conexo si haya algún camino que une todos
los vértices. Importante para ver si todos puntos comunicados entre sí. Ejemplo
5. Grafo Euleriano, Puentes de Konigsberg.
5.1. El problema de los puentes de Konigsberg.
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Reseña histórica: Euler en S XVIII pasatiempo demostró la imposibilidad de
recorrer los 7 puentes de su ciudad sin pasar 2 veces por el mismo puente.
La razón lo dio era que el nº de vértices impares era de 4, mayor que 2.
Teorema: en todo grafo conexo existe una cadena simple que pasa por todas las
aristas si y solo si el nº de vértices impares no es mayor que 2. (recordar siempre nº
par de vértices impares). Demostración
Hacer 3 ejemplos: con 0 aristas impares, 2 y más de dos (Puentes de Konigsberg)
5.2. Grafo Euleriano y Semieuleriano.
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Se dice que un grafo es Euleriano (semieuleriano) si existe un ciclo (cadena) simple
que recorra todas las aristas del grafo.
Necesario que el grafo sea conexo o con vértices aislados.
A partir del teorema anterior:
 Euleriano  es conexo y todos vértices son de índice par
 Semieuleriano  es conexo y solo 2 vértices son de índice impar. Siendo
estos vértices el origen y el final de la cadena.
Elaborado por Jose Luis Lorente Aragón ([email protected])
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Tema 2.Fundamentos y aplicaciones de la teoría de grafos.
6. Grafos Hamiltonianos.
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Juego propuesto por Hámilton S XIX. Recorrer 20 vértices de un dodecaedro, sin
repetir ninguno (salvo el 1º que es el último tb). Casillas tablero ajedrez con caballo.
Grafo hamiltoniano (semihamiltoniano): existe un ciclo (cadena) elemental que pasa
por todos vértices sin repetición.
Grafos hamiltonianos tiene que ser conexos.
No se conoce propiedad sencilla que caracterice a los grafos hamiltonianos (semi)
Hay grafos que son Eulerianos y no hamiltonianos y al revés. Ejemplos
7. Grafos planos
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Problema: unir 3 granjas (v1,v2,v3) y tres pozos de agua (v5, v6, v7). Granjeros
enemistados.¿Se pueden unir las 3 granjas con los 3 pozos sin cruzarse los caminos?
Grafo plano: cuando se puede representar en el plano de forma que los cortes entre
las aristas coinciden en los vértices. Si existe esta representación se llama mapa.
Importancia: circuitos electrónicos si se cruzan los cables hay cortocircuito.
Difícil determinar si un grafo es plano o no.Ejemplo 5 sólidos platónicos son planos.
En los grafos planos conexos se descomponen en trozos cerrados llamados caras. La
parte externa del grafo es otra cara. Hacer dibujo y explicar caras.
Teorema 4 colores: todo mapa se puede colorear con 4 colores distintos tal que las
regiones fronterizas no tengan mismo color. Demostración complicada, se utilizo un
ordenador para la misma. Fue muy cuestionada aunque es considerada valida.
Proposición: o(g)+c(g)=t(g)+2. Demostración: (por inducción).
8. Diagrama de árbol.
8.1. Definición de árbol.
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Surge con los trabajos de Kirchoff de redes eléctricas. Tipo de grafo importancia.
Árbol: grafo conexo sin ciclos, no existe ninguna cadena cerrada. Una sola cara.
Como no hay ciclos, una vez que 2 aristas se separan no vuelven a juntarse, como
ocurre con las ramas de un árbol al separarse del tronco o de ramas anteriores.
Para representar un árbol se elige un vértice cualquiera (vértice raíz o nivel 1), luego
en los vértices que están unidos a este (nivel 2…). Ejemplo
Aplicaciones en un árbol colocado en forma anterior:
 Aplicación “hijos de”: relaciona todos los vértices del árbol con vértices
adyacentes situados en nivel inferior. Ejemplo
 Aplicación “padre”: relaciona todos los vértices del árbol con el vértice
adyacentes situados en nivel superior. (epiyectiva menos para raíz) Ejemplo
Proposición: un árbol con n vértices tienen n-1 aristas. Demostración.
Bosque: grafo formado por dos o más arboles no conexos.
Proposición: un bosque con n vértices y k componentes no cenexas tienen n-k
aristas. Demostración.
8.2. Aplicaciones de los diagramas de árbol.
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Usos muy variados: almacenamiento información, resolución circuitos eléctricos,
clasificación de especies, problemas de combinatoria y probabilidad…
Ejemplo de codificación de la numeración y de las direcciones de correo.
9. Matrices asociadas a un grafo.
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Tema 2.Fundamentos y aplicaciones de la teoría de grafos.
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Sea (V,E) si matriz de adyacentes: es la matriz MMnxn (n=nº vértices) definida
 1 si arco (i, j )  E (unidos)
como: mij  
. Ejemplo
0 si arco (i, j )  E (no unidos)
La matriz en grafos no orientados es simétrica.
Teorema: Mk=(mij)k indica nº de cadenas con k aristas que unen los vértices i, j.Dem
10.Aplicaciones
10.1. Matemáticas.
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Resolución problemas de probabilidad y combinatoria. Ejemplo
10.2. Teoría de Juegos.
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Es la aplicación que dio lugar a la teoría de grafos
Se utiliza en diversos juegos donde las posiciones son los vértices y los posibles
movimientos las aristas o arcos.
10.3. Varios.
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Diseño de redes (trasporte, comunicación, sumisitos…)
Biblioteconomía
Clasificaciones de geología, biología.
11.Contexto del tema con secundaria y bachillerato
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Aplicaciones a la combinatoria y la probabilidad. Se estudia en 3º ESO, 4º ESO, 1º
Bachillerato y 2º Bachillerato de CCSS.
Las aplicaciones de la teoría de juegos puede usarse en los talleres de refuerzo de
Matemáticas.
Elaborado por Jose Luis Lorente Aragón ([email protected])
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