n = 2 ,3

Capitulo 1 . ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD
P;o = .2867972 x 10- 9 ,
Si comparamos los valores calculados
Y;o = .3098842 x 10 - 5 con el valor exacto
(
-31)
20
1
3486784401
X;O =
=
25
.286810 x 10- 9
Y
2.8679719.x10 - 10 ,se
puede ver que p;o = .2867972 x 10 - 9 aproxima al valor exacto con todas sus 7 cifras
x;o = .2868 10 x 10
significativas ,
-9
aproxima al valor exacto con cinco cifras significativas
(de siete) , mientras que y;o = .3098842
significativa .
x
10 - 5 aproxima al valor exacto con ninguna cifra
Que puede decirse de la estabil idad numerica de las formulas que definen las sucesiones
{Pn } n ' {xn
t
Y {y n } n ?
Observamos que la f6rmula para calcu lar Yn produce rapidamente perdida de cifras
significativas, mientras que la formulas para calcular Pn Y xn no, as f que el algoritmo para
calcular Yn es inestable, mientras que los algoritmos para calcular Pn Y xn son estables .
Si calculamos mas terminos de la sucesiones {Pn }n' {xn}n Y {Yn}n' Se obtienen los
resultados que se muestran en la TABLA 1 5 siguiente.
n
p~
x~
30
40
50
60
70
80
90
100
Observe, en los calculos de la tabla anterior, que p~ ~ 0 Y x~ ~ 0, mientras que y~ ~
(cuando n
~
Y es claro que lim
00 ),
n-> oc
oc:
(~)
n= 0 .
3
Otra forma de estudiar la estabili dad numerica de las f6rmulas definidas en este ejemplo es
como sigue:
Las sucesiones definidas en i) Y Ii) pued en verse como ecu acio nes en diferencias con
condicion inicial:
xn =
(~)Xn_1 -(~) Xn_2 '
n = 2 ,3, ..
(11
a)
i)
Xo
= 1,
x1
1
=-
3
(1. 1 b)
26
METODOS NUMERICOS
(1 .2. a)
1
Yo = 1, Yl =-
con c l Y c 2 constantes arbitranas
(1 .2.b)
3
Se puede probar que la soluci6n general de la ecuaci6n en diferencias (1.1.a), es
Para que se satlstagan las I'1'II1Iri6!!iiMI
c l = 1 Y c 2 = O. es dear, II
inicial (1 .2.b) es la sucesi6n con c l Y c 2 constantes arbitrarias.
N6tese que la soluci6n general anterior es el conjunto de todas las combinaciones lineales de
las soluciones particulares
(~r
Y
(~r ,
de la ecuaci6n (1 .1.a).
Tales soluciones
particulares pueden obtenerse buscando soluciones de la forma xn = An con A*- O, para la
ecuaci6n mencionada .
Para que se satisfagan las condiciones iniciales exactas (1 .1.b),
Xo
=1 Y
Xl
las condiciones imclalel (1 3.0000001
ahora c 1 . - - - y
3
(1 .2.a) que satlstace III
= ~ , deben
3
escogerse c l = 1 Y c 2 = 0 , es decir, la solucion de la ecuacion en diferencias (1 .1.a) que
satisface la condici6n inicial (1 .1.b) es la sucesi6n
Si las condiciones iniciales son cambiadas por Xo = 1.000000 Y Xl =.3333333 (redondeando
las condiciones iniciales (1 .1.b) a siete digitos), entonces los valores de las constantes son
ahora c l = 1.0000002 Y C2 = - .2 x 10 - 6 , asf que fa solucion de fa ecuaci6n en diferencias
(1 .1.a) con las nuevas condiciones es
xn =
Y entonces al calcular Pn =
( En
(~)
n ,
1.0000002(~) n -.2 x 10-6 (~) n
mediante esta ultima f6rmula, el error es tan solo
~ 0 cuando n ~ 00 Y observe que Pn ~ 0
cuando n ~
00 )
En este caso el algoritmo se cons idera estable.
En cuanto a la ecuaci6n en diferencias (12 .a), tenemos que su soluci6n general es
1.5 COI~DI:II:
Capitulo 1. ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD
27
con c 1 Y c 2 constantes arbitrarias .
1
Para que se satisfagan las condiciones iniciales (1 .2.b) , Yo =1 Y Y1 = "3 ' deben escogerse
c 1 = 1 Y c 2 = 0 , es decir, la soluci6n de la ecuaci6n en diferencias (1 .2.a) con cond ici6n
inicial (1 .2.b) es la sucesi6n
Si las condiciones iniciales son cambiadas por Yo = 1.000000 Y Y1 =.3333333 (redondeando
las condiciones iniciales (1 .2.b) a siete digitos), entonces los valores de las constantes son
ahora c 1 =
3.0000001
3
Y c2 =
1.0 x10 ­
3
7
' es decir, la soluci6n de la ecuaci6n en diferencias
(1.2.a) que satisface las nuevas condiciones, es
(2)n 1.0 x310 -
= 3.0000001
Yn
3
3
EI error al calcular
( En ~
Pn
=
(±)
n,
+
7
(~) n
3
mediante esta ultima f6rmula , es
+00 cuando n ~ 00 , mientras que P n ~ 0 cuando
n ~ 00 )
En este caso el algoritmo definido por la f6rmula ii) es inestable . +
1.5 CONDICIONAMIENTO DE UN PROBLEMA
Para ciertos problemas "buenas" respuestas no pueden ser obtenidas por cualquier
algoritmo , porque el problema es sensible a errores pequenos cometidos en la
representaci6n de los datos 0 en la aritmetica. Hay que distinguir entre algoritmos inestables
Y problemas sensibles a cam bios pequer'ios en los datos.
Un problema se dice bien condicionado si pequenos cambios en los datos inducen s610 un
cambio pequeno en el resultado , es decir, problemas "cercanos" tienen respuesta "cercana".
EI buen condicionamiento es algo inherente al problema
Veamos un ejemplo.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales
28
METODOS NUMERICOS
x+
4. Sean
y=2
{ 10.05x+10y=21
La soluci6n exacta (unica) de este sistema es x = 20 e y
(Xo,yo) y (x,.y
que la abscisa del pun
cualquiera de las dOl . . . . . t
= -18 .
En este caso, el punto
(20,-18) es la intersecci6n de las rectas casi paralelas:
L 1: x + y
= 2,
con pendiente m 1 = -1.0
Use los datos
L 2: 10.05x + 10y = 21, con pendiente m 2 = -1.005
Ahora cambiamos el coeficiente 10.05 por 10.1 (un cambio relativo de ", .5%) y consideramos
el sistema perturbado
x+
y=2
{ 10.1x + 1Oy = 21
La soluci6n exacta c;le este sistema perturbado es x = 10, Y = -8 .
Se observa que un cambio pequeno en uno de los datos del problema (coeficientes y
terminos independientes del sistema) ha producido un gran cambio en la soluci6n (de mas de
100%). Este problema se dice que esta mal condicionado . +
TALLER 1.
1. Convertir los siguientes numeros binarios a la forma decimal (equivalente decimal) :
(.1100011)2;
(.1111111)2;
(1010)2;
(100101)2;
(1000001)2;
(101.01)2
2. Para los siguientes numeros x y x·, con cuantas cifras decimales exactas y con cuantas
cifras significativas aproxima x· a x ?
a) x = 451.023,
x·
= 451.01
b) x = -.045113,
x· = -.04518 c) x = 23.4213,
x· = 23.4604 3. Un paraleliplpedo rectangular tiene lados de 3, 4 Y 5 centimetros, medidos solamente al
centimetr~ mas cercano. Determine el intervalo mas pequef"lo en el cual debe estar el
area lateral de este paralelipfpedo y el intervalo mas pequef"lo en el cual debe estar su
volumen .
Ca p itulo 1. ERRORES DE RE DON DEO Y ESTABILIDAD
29
(X 1' Y1) ' con Yo *Y1, puntos dados de una cierta linea recta . Verifique
que la abscisa del punto de intersecclon de dicha recta con el eje x, se puede calcular con
cualquiera de las dos siguientes f6rmulas
4. Sean (xo,Y o) y
Use los datos
(xo' Yo) = (1.31,
3.24) ,
(x 1• Y1) = (1.93, 4.76)
Y aritmetica decimal con
redondeo a tres digitos para calcular dicha abscisa. utilizando las dos formulas. Cual
f6rmula da el mejor resultado Y por que?
5. Considere el sistema de ecuaclones lineales
31.69X + 14.31y = 45.00
{ 13.11x + 5.89y = 19.00
Un metodo para resolver este sistema es multiplicar la primera ecuacion por 13.11 , la
segunda ecuaci6n por 31.69 y restar las ecuaciones resultantes para obtener el valor de
y ; luego se multi plica la primera ecuaci6n por 5.89, la segunda ecuacion por 14.31 y
restamos las ecuaciones resultantes para obtener el valor de x.
Efectue las operaciones indicadas usando aritmetica decimal con corte a cu atro digitos y
compare los resultados obtenidos con la soluci6n exacta del sistema . Si hay alguna
diferencia en los resultados, puede explica r a que se debe tal diferencia?
6. a) Escriba un programa que Ie produzca un error overflow en su computador
b) Escriba un programa para determinar experimentalmente (no te6ricamente) el numero
de punto f10tante mas pequeno y el mas grande de su co mputador.
7. Calcule In 2 a partir de la serie de Maclaurin para la funci6n f( x) = In( x + 1) . Determine el
menor numero de terminos en dicha serie que deben tomarse para conseguir In 2 con un
error menor que 10 - 8
.
Haga 10 mismo para In 1.5 y In 1.1 , Y analice los resultados.
8. La aproximaci6n sen x "" x se usa a menudo para
Ix I
pequeno. Estime, con la ayuda del
teorema de Taylor, el error de truncamiento al usar esta f6rmula . Para que rango de
valores de x da esta aproximacion resultados con una precision de por 10 menos seis
cifras decimales exactas?
30 METODOS NUMERICOS
9. Sea f( x) = e- x . Encuentre el polinomio de Taylor de tercer grado para f alrededor de
a = to , y uselo para aproximar e- ·99
aproximacion calculada?
.
Cuantas cifras decimales exactas se esperan en la
Utilice aritmetica finita para calcular xn •
condiciones iniciales anteriores, Y
resultados y concluya acerca de la
13. Considere la ecuacion en diferencias
10. Discuta los problemas que se pueden presentar al evaluar las siguientes funciones y
plantee alternativas que permitan evitarlos:
a) f(x) = In(x + 1) -Inx
eX _ e- x b) senhx = - - 2 ­
c) f(x) = 1-cosx
d) f(x):::V1+x-1
a) Verifique que si se
xn ::: (1-
x2
J3.t
n - 0.1.... es
soIuc_
condiciones iniciales dadas.
b) Utilice aritmetica finita para
11. Use aritmetica decimal con redondeo a cuatro digitos y una formula que intente evitar la
perdida de cifras significativas, para encontrar las raices de cada una de las siguientes
ecuaciones cuadraticas
a) x 2 -19.96x + .1995 = 0 b) x 2 + 40x -1
=
0
12. Considere la ecuacion en diferencias
(1 )
a) Verifique que la sucesion
(2)
es solucion de la ecuacion en diferencias (1), Y satisface las condiciones iniciales
Xo =
1 Y
1+J"S
2
x1 = - - .
Utilice aritmetica finita para calcular xn ' n = 0,1, ... ,20 usando la formula (1) con las
condiciones iniciales anteriores, y tambiEln usando la formula (2) . Explique los
resultados y concluya acerca de la estabilidad numerica de la formula (1) .
b) Verifique que la sucesion
(3)
es solucion de la ecuacion en diferencias (1), y satisface las condiciones iniciales
Xo
=1 Y
1-J"S
2
x1 = - - .
xn =
(1 -.f3)". como fa f6rmull
en a). Expfique los resu
formula xn =2(Xn-l + Xn.,
Capitulo 1 . ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD
f alrededor de
31
Uti lice aritmetica finita para calcular xn' n = 0,1, .. . ,20 usando la formula (1) con las
condiciones iniciales anteriores , y tambien usando la formula (3) . Explique los
resultados y concluya acerca de la estabilidad numerica de la formula (1) .
13. Considere la ecuacion en diferencias
a) Verifique que si se dan las condiciones iniciales
Xn = (1-
J3:"f,
Xo
= 1 Y Xl = 1- /3, entonces
n = 0,1, .. es solucion de la ecuacion en diferencias y satisface las
condiciones iniciales dadas .
b) Utilice aritmetica finita para calcular
xn' n
=
0,1, ... ,20 usando tanto la formula
xn = (1 -
J3f '
en a) .
Explique los resultados y concluya acerca de la estabilidad numerica de la
como la formula xn = 2( xn _l + xn-2 ) , con las condiciones iniciales dadas
formula xn = 2( xn_1 + xn_2 )
.
14. Las funciones de Bessel I n satisfacen la siguiente formula de recurrencia
(4)
(1 )
Empiece
(2)
con
J o(1)= .7651976866 Y J 1(1)= .4400505857
Y use la
formula
de
recurrencia anterior para calcular I n(1), n = 2,3, ... ,20 . Se puede creer en los resultados
obtenidos? Explique.
Nota: Se sabe que las funciones de Bessel I n pueden definirse mediante la formula
1n
In(x) = ; fcos(xsen8-n8)d8
o
15. Las funciones de Bessel Yn satisfacen la misma formula de recurrencia (4) que las
funcionesdeBessel I n
.... (3)
.
Empiececon Yo(1) = .0882569642 Y Yl (1) =-.7812128213 Y
use la formula de recurrencia (4) para calcular Yn (1), n = 2,3, ... ,20 .
Decida si los
resultados son confiables 0 no.
.
16. Escriba un programa de computador que calcule el valor de SN =
.
valores de N . Encuentre el valor de N tal que Sn = SN
N
1
Lk
para varios
k.l
para todo n ;:: N . Le parece
32
METODOS NUMERfCOS
Recuerde que la serie armonica 1
L -k
<Q
extrano que tal valor exista?
es divergente.
k=l
CAPiTULO 2. SOlUCI6 N
NO-LINEAL EN
Explique.
INTRODUCCI6N
17. Para cualquier entero positivo N y una constante fija r:;:.1, se tiene la siguiente formula
para la suma geometrica 1 - r N+l 2
N
G N == 1 + r + r +...H = - - - == Q N
1-r
EI objetivo de este capitulo es estudiar de una ecuaci6n no-lineal en una ecuaciones polin6micas). En la sigu ecuacion. Escriba un programa de computador que calcule G N y Q N para valores arbitrarios de r
Definici6n 2.1 Sea f: 0
y N . Si r se escoge muy cerca de 1, los valores de GN Y Q N pueden diferir. Como
(en D) de la ecuaci6n
ex plica esto? Cual de los dos cree que es una mejor aproximacion del valor exacto de la
suma? Explique.
f( x) = 0, 0 un
Como veremos, los metodos
ecuaci6n f( x) =0, genera~n Unl
18. Defina una sucesi6n {x n}n' n = 0,1, ... mediante la f6rmula de recurrencia
xn +l
= xn
1
+ - , n = 0,1,... donde
xn
Que puede decir ace rca de la existencia de lim xn ?
n.... ",
Xo
>
°
aproximaci6n de la ralz bUIC:a
CRITERIOS DE APRC)XIlIAClIl
Supongamos que
sucesi6
IXnln'
n
lim t(xn ) =f( a) .. 0 y
n
para todo n
£>0
podriamos
CAPiTULO 2. SOlUCION NUMERICA DE UNA ECUACION
NO-LINEAL EN UNA VARIABLE
INTRODUCCION
EI objetivo de este capitulo es estudiar algunos metodos numericos para hallar raices reales
de una ecuaci6n no-lineal en una variable (5610 se estu diaran ra ices complejas para
ecuaciones polin6micas) . En la siguiente definici6n formaliza mos el concepto de ralz de una
ecuaci6n .
Definici6n 2.1 Sea f: D ~ R, D ~ R , una funci6n dada. Un numero a
ED se dice una raiz
(en D) de la ecuaci6n f( x) = 0 , 0 un cero (en D ) de la funci6n f si f( a) = o . V
Como veremos, los metod os numericos que estudiaremos para enco ntrar una raiz a de una
ecuaci6n f( x) = 0 , generaran una sucesi6n {xn t, n = 0,1,2, ... (Metodos iterativos) tal que
lim xn = a. Cualquiera de los tales metodos numericos permitira calc ular los terminos' de la
n-> oo
sucesi6n {xn} n ; asi que no se espera , en general , ca lcular lim xn . Por 10 tanto, deberemos
n-.oo
disponer de algun criterio para escoger un term ino de la sucesi6n {xn}n' n = 0,1,2,. como
aproximaci6n de la ra iz buscada a .
CRITERIOS DE APROXIMACION
Supongamos que la funci6n f es continua en alguna vecindad de a que contiene a la
sucesi6n {xn}, n = 0,1,2,... , y que la sucesi6n {xn t
es tal que
n
lim f( xn) =. f(a ) = 0
y asi , dado cualqu ier numero
po sitiv~
n-> o>
para todo n ~ N se tiene que
I f(xn) 1<E .
E,
limxn = a.
n ~ ro
Entonces
exi ste N EN = {o,1,2, } tal que
Teniendo en cuenta 10 anterior, dado un numero
E> 0 adecuadamente pequeno , al cual lIamaremos Tolerancia y que notaremos Tol ,
podriamos escoger como aproximacion de la raiz a al term ino xN de la sucesi6n
mencionada , donde N es el menor entero no-negativo que satisface
Por otro lado , como lim xn = a significa que dado
E>
0 , existe No
EN = {0,1,2, } tal que si
n-> oo
n ~ No ' entonces
I xn - a I<
E ,
Y esto implica que
IXN O +1-XNO 1=l xNo+1-a+a- xNo I
I
~ I XNo+1- a + I XNo - a I < £ + £ = 2£
entonces tambien podriamos tomar como aproximacion de la raiz a al termino xN de la
sucesi6n menc ionada , donde N es el menor entero no-negativo tal que
34
M~TODOS NUM~RICOS
ii)
I xn - xn- 1 I < e
Resolviendo
Ixn -
Tambien podriamos tomar como aproximacion de la raiz a al termino xN donde N es el
menor entero no-negativo tal que
. I xn -x n-1 I e
I xn I <
X33
esta
I
3
xn- 1 < e = 10- ,
1
= 1+ - = 1.030...
33
.•. )
III
Observe que para que
la - xn I
Pues bien, para una tolerancia E > 0 previamente escogida, cualquiera de los tres criterios
mencionados, se adoptara como criterio para obtener una aproximacion de una raiz a .
Ahora, en cuanto a los criterios de aproximaci6n anteriores, es facil ver que el hecho de que
y
If(XN) I< eo! xN - XN_ ! < e
no necesariamente indica que xN este muy cerca de a, como
1
puede apreciarse en la FIGURA 2.1 yen el ejemplo 2.1 siguientes.
x
y! f(X)
FIGURA 2.1
o
Ejemplo 2.1 Consideremos la ecuaci6n f(x) = 0 donde f(x) = (x,-1f . Es claro que a = 1 es
una ralz de esta ecuaci6n, y que la sucesi6n {xn} n' n = 1,2,... donde xn = 1 +
n1 converge a
Se sigue de 10 anterior
de la distancia real /
dicha ralz .
Si tomamos como tolerancia e = 10-3 , al aplicar el criterio de aproximaci6n i), se tiene que
=
Si tomamos como aproximaci6n
I x 2 - a 1=\ 1- %\= ~ , y ~
de a
--io
< 10
n
-3 c:>
.
al termlno
no es menor que
E
= 10 -
3
;
muy grande entre a Y x 2 . Vea la FIGURA 2.2.
n 1a > 10 3 c:> n ~ 2
13
x2 = 1+ - = - ,
2
realmente
2
0
b
servamos
IX2 - a I es una distancia
I,
Si usamos el segundo criterio con la misma tolerancia, debemos encontrar n tal que
I
2-( 1+ _1)
I 12n -_1
1<10­
n- 1
n-1
xn - x n- 1 1 <e c:> \1 +
n
=
que
3
Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO· lINEAL EN UNA VARIABLE
Resolviendo
1
esta
xn - xn- 1 1 < E = 10-
X33
ultima
3
desigualdad
se
obtiene
aSI que la aproximaci6n de
,
= 1+ _1_ = 1.030.. . , Y la distancia
33
Observe que para que
1
CJ. -
xn 1 < E
1 CJ.
- X 33
1
CJ.
que
si
n ~ 33 ,
35
entonces
obtenida, usando este criterio , serla
= _1_ no es menor que
33
E
= 10 - 3 .
1
= 10 - 3 , debe tomarse xn = X 100 1 = 1+ 1001 = 1.00099 ....
y
Y=(x-1)
10
I
FIGURA 22
Se sigue de 10 anterior que cualquiera de los criterios i) , ii) , iii) puede no darnos una idea clara
de la d istancia real 1CJ.
que
-
xn I.
Por otra parte, para tener garantla de que una sucesi6n , generada por un determinado
metodo numerico , converge a la ralz buscada, la funcion f en cuesti6n debera satisfacer
ciertas condiciones ; resulta que muchas veces aplicaremos el metodo sin chequear tales
condiciones 10 que nos conducira, posiblemente, a una sucesi6n divergente, caso en el cual,
un entero N para el cual se cumpla i), Ii) 0 iii) , puede no existir. Puede ocurrir tam bien que,
aun tratandose de una sucesi6n que converge a la ralz buscada , el entero N al que nos
hemos referido sea muy grande: por ser "muy lenta" la convergencia de la sucesion . Por 10
anterior, al aplicar cualquiera de los criterios, se hace necesario establecer siempre una cota
para N, es decir, imponer un maximo al numero de iteraciones .
Tambien, con frecuencia, tendremos que combinar dos 0 mas de los criterios mencionados, 0
considerar algun otro criterio, al momenta de obtener una aproximaci6n de una ralz .
Por 10 general al aplicar un metodo numerico necesitaremos de una aproximaci6n inicial de la
raiz buscada 0 bien de un intervalo que contenga a dicha ralz . Esta informacion puede
obtenerse dibujando la grafica de la funci6n f, si la ecuaci6n en cuestion es f(x) = 0 ; las
abscisas de los puntos de corte de dicha grafica con el eje x son ralces reales de la
36
METODOS NUMERICOS
ecuaci6n. Ademas , la grafica de f nos permitira tener alguna idea util del comportamiento
cualitativo de fen la vecindad de la raiz (1 (por ejemplo crecimiento y concavidad) . Ahora
bien, es posible que a traves de un proceso puramente grafico podamos obtener una
aproximaci6n para una raiz, que aunque limitada, sea util para ciertos fines .
f( x) = 3x 2
y
45
Una forma de iniciar la busqueda de las rafces es determinando intervalos que contengan a
-
eX en el intervalo (O,1J
funci6n f es continua en (O.9,tOJ y
Ejemplo 2.2 Supongamos que estamos interesados en encontrar todas las raices de la
ecuaci6n
dichas raices . Para esto , graficamos f(x) = 3x 2
-
30
eX (ver la FIGURA 2.3 siguiente) .
y
15
6
3
4
x
I
FIGURA2 .3
De acuerdo con la grafica anterior se ve que la ecuaci6n en consideraci6n tiene por 10 menos
tres raices reales (1 1 E[- 1,Oj, (12 E[0,1] Y (13 E[3,4]. (Verifique analiticamente que la
ecuaci6n 3x 2
-
eX = 0 tiene unicamente tres raices reales) .
Ahora bien, puesto que 3x 2
funciones f1(X) = 3x
2
-
eX = 0 ¢:> 3x 2 = e X, otra forma de proceder es graficando las
Y f2(X) = eX , en un mismo plano coordenado (ver la FIGURA 2.4) . En
este caso las ralces buscadas son las abscisas de los puntos de intersecci6n de las dos
graficas.
Una forma de aproximar cada una de las rafces (1 1' (1 2 Y (13' es dividiendo el intervalo
donde cada una de elias se encuentra, y hacer esto sucesivamente hasta lograr un
subintervalo de longitud suficientemente pequer'\a y que contenga a dicha ralz . Por ejemplo,
si empezamos con los intervalos dados y hacemos una tabla de valores para la funci6n
f(x) = 3x 2
-
eX con tamaiio de paso h = 0.1, obtenemos que (11 E[-0.5,-OA], (12 E[O.g,tO]
y (13 E[3.7,3.8].
La TABLA 2.1 corresponde a la tabla de valores para la funci6n
•
Capitulo 2 . SOLUCICN NUMERICA DE UNA ECUACICN NO·LlNEAL EN UNA VARIABLE
f(X)
=
3x
2
-
37
eX en el intervalo [0,1] con tamar'\o de paso h = 0.1 . Observe que como la
funci6n f es continua en [0.9,tO] y f(0.9)f(tO) < 0 , entonces a2 E[0.9,tO] .
Y
45
30
Y= 3x 2
l?;(
15
-1
CXj
0
2
3
x
FIGURA 2.4
•
intervalo
Iograr un
ejemplo,
funci6n
1.0]
*
x
f(x) = 3x 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
to
- to
-
eX
- t07 .
- 1.1 0..
-t07 .
- tOL
- 0.89...
- 0.74 ...
-0.54 ..
-0.30...
- 0.02...
0.28...
TABLA 2.1
Instrucci6n en DERIVE:
VECTORc[ x , f( x)], x , a , b , h): aproXima una tabla de valores de la funci6n f( x) en el
intervalo
[a,b] , con tamar'\o de paso h.
VECTOR([X, 3x
2
-
Para el ejemplo, aproXime la expresi6n
exp(x)]. x, 0 , 1, 0.1) . 0
En situaciones como la del ejemplo anterior, donde se sabe de la existencia de una unica raiz
a para una ecuaci6n f( x) = 0 en un determinado intervalo cerrado [a,b], se puede usar
alguno de los siguientes metodos numericos lIamados cerrados para encontrar una
aproximaci6n de dicha rafz .
38
METODOS NUMERICOS
2.1 METODOS CERRADOS
Los metodos numericos que en cada paso dan un intervalo cerrado donde se encuentra la
rafz buscada , son Ilamados metodos cerrados. Aquf estudiaremos dos de tales metodos: el
metodo de Bisecci6n y el m~todo de Posici6n Falsa .
2.1.1 Metodo de Biseccl6n : Supongamos que f es una funci6n continua en un intervalo
[a,b] y--f( a)f(b) < O. Entonces, por teorema del valor intermedio para funciones continuas,
existe al men os un a E(a,b) tal que f(a) = O . Asumiremos en 10 que sigue que la raiz en
este intervalo es (mica (aunque el metodo tambien se puede aplicar cuando hay mas de una
raiz en (a,b)).
En general,
despu~s
EI metodo de Bisecci6n consiste en dividir sucesivamente el intervalo [a,b] por la mitad,
hasta que la longitud del subintervalo que contiene a la ra lz a sea menor que alguna
tolerancia especificada £ .
Para empezar tomamos a 1 = a , b, = b Y x,
x 1 = ~(al + b1 )
2
= a1 + b1 -
2
es el punto medio de [a"b, ] ,
0
sea
a 1 : primera aproximaci6n de la ralz a
b-a
Como lim ­
0
n. 2"
10 que significa q~
x
FIGURA 2.5
ex.
I
a,
Si f (Xl) = 0
I
b - a
0 _ 1 __
I
2
I
x~
b,
< £ , entonces a = Xl Y el proceso term ina.
.
Si f(a 1)f(x 1) < O, entonces aE(a 1, x 1)
tomamos a 2 =
Xl'
II
x
y .tomamos a 2 =a 1 , b 2 =X 1 ; en caso contra rio
b 2 = b1 .
Ahora aplicamos nuevamente el proceso anterior al intervalo [a 2 ,b 2 ], asl:
de {n -
Capitulo 2. SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO·lINEAL EN UNA VARIABLE
X2
=
~(a2 + b2 ) = a 2 + b2 2
2
a2
I
:
39
segunda aproximaci6n de la raiz a
•x
I
En general, despues de (n -1 )-pasos, la raiz a E(an' bn) Y tomamos
an + bn
bn - an I
'--_x_n_=_ _2_ _=_a_n_+_ -_"--_-2_-_"------.J: n-esima aproximaci6n de la raiz a
sea
a
x•
u.,
o~ Ia -
1
b- a
xn I ~ -2 (b n - a n) = ­ 2n
Como lim b - a = 0 • entonces lim xn = a , es decir, la sucesi6n { xn} n converge a la raiz a;
n-+CXl 2 n
n-+CXl
.
10 que significa que el metodo de Biseccion siempre converge.
Dado
E
> 0, si b2~ a <
E ,
entonces
I xn - a 1<E :
En particualr, si
E
=5
x 10 - (k+1)
para un
cierto entero no-negativo k, y N es el menor entero positivo para el cual b -n a < E, entonces
2
IxN - a I~ 5 x 1O-( k+1) , asl que
xN = a' aproximara a la raiz a con una precision de por 10
menos k cifr;ls decimales exactas .
Algoritmo 2.1 (Biseccion) Para encontrar una aproximaci6n a' de una raiz a E(a,b) de
una ecuaci6n f(x) = 0 do'nde f es una funci6n continua en [a,b] y f(a)f(b) < 0 :
Entrada: f( x); los extremos a, b del intervalo; una tolerancia Tol , y un numero maximo de
iteraciones N .
Salida: Una raiz aproximada a'
0
un mensaje.
Paso 1: Tomar n = 1 .
Paso 2: Mientras que n :s: N seguir los pasos 3-6:
40
Capitulo 2. SOLUCI6N NUMERICA DE
MElODOS NUMERICOS
Paso 3: Tomar c
a+b
De
b-a
= - - 0 c = a + - - (calcular xn )
2
acuerdo
con
f(xs) :: -7.019. .x 10 -
2
Paso 4: Si f( c) = 0 0 b - a < Tol , entonces salida: "Una rafz aproximada de la
2
ecuaci6n dada es u' = c ". Terminar.
los
4
.
resultados
ObseNe
I f(.91015625) 1= 4.42.. x 10-
de
que el
4
aproximaci6n de u 2 que xs?
Si usamos el metodo de Bisecci6n
Paso 5: Tomar n = n + 1.
u3
Paso 6: Si f(a)f(c) < 0, entonces tomar b = c, de 10 contrario tomar a
E
[3.7 , 3.8], con la misma precisi6n de
a2 '
= c.
u 1 '" -.458984375 =
Paso 7: Salida: "Se alcanz6 el numero maximo de iteraciones N pero no la tolerancia".
Terminar.
Para el ejemplo 2.2 anterior, usemos el metodo de Bisecci6n en el inteNalo [0.9,1.0] para
Algunas de las desventajas del metoda de
aproximar la rafz u 2
No tiene en cuenta la magnitud de los xn , 5610 tiene en cuenta su signa. 10 Debemos
,
con una precisi6n de por 10 menos tres cifras decimales exactas .
encontrar
n
tal
Iu 2 -
que
xn I ~ 5 x 10"::;
pero
como
b - a 1.0 - 0.9 0.1
0.1_4
xn ~ -n- =
n
= n ' basta encontrar n tal que - n ~ 5 x 10 . La soluci6n de
2
2
2
2
.
esta ultima desigualdad es n ~ 8 , asi que Xs aproximara a u 2 con por 10 menos tres cifras
Iu 2 -
I
decimales exactas.
la respuestcf fina l, pase desaperclbidl. Aunque el metodo converge siemprt, convergencia de otros metodos que inicial [a,b] tan pequel'lo como sal , buen punto de arranqtJe para la
La TABLA 2.2 siguiente , muestra los calculos para obtener xs.
signo de
n
an
bn
1
2
.9
.9
1.0
.95
.95
.925
xn
f( an)
f(x n)
-1
-1
.121.. .
4.50... x1 0 - 2
.9
.925
.9125
-1
7.42.. .x10 -
4
.9
.9125
.90625
-1
-1.1 L x 10 - 2
5
.90625
.9125
.909375
-1
-1.88 ... x 10- 3
6
.909375
.9125
.9109375
-1
2.76.. .x 10- 3
7
.909375
.9109375
.91015625
-1
4.42... x10 - 4
8
.909375
.91015625
.909765625
-1
-7.19 ... x 10 -4
3
3
TABLA 2.2
~
Instrucci6n en DERIVE:
BISECCION(f(x), x , a, b , N) aproXima las primeras N iteraciones en el metodo de Bisecci6n
aplicado a la funci6n f(x) en el inteNalo (a,b] .
BISECCION( 3x 2
-
exp( x), x, 0.9 , 1.0 , 8)
0
Para el ejemplo aproXime la expresi6n
Ejercicio 2.1 Use el mi!todo x - tanx = 0 . con una un inteNalo fa,b] que la