GUÍA : Operatoria con vectores.

𝑎⃗
Operatoria con vectores
Al igual que la fuerza, el desplazamiento es un vector, ya que es la diferencia entre la posición
inicial y la posición final, luego tiene una magnitud, dirección y sentido. En cambio la trayectoria
tiene solo magnitud. Para sumar dos trayectorias basta con sumar sus magnitudes. Pero para
sumar dos desplazamientos, su suma depende de la dirección de los desplazamientos.
Hay dos formas de sumar vectores libres.
El método del paralelogramo, y método del triángulo o polígono.
Propiedades del algebra vectorial:
Conmutativa: 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = 𝑏⃗⃗ + 𝑎⃗
Asociativa: 𝑎⃗ + (𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗) = (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) + 𝑐⃗
Elemento neutro: 𝑎⃗ + ⃗0⃗ = 𝑜⃗ + 𝑎⃗ = 𝑎⃗
El módulo del vector resultante es menor o igual que la suma de los módulos de los vectores. Es
igual solo cuando los sumandos tienen la misma dirección y el mismo sentido.
Dado un vector 𝑎⃗ , existe un vector opuesto -𝑎⃗ , de igual modulo y dirección, pero sentido
contrario, de forma que al sumarlos se obtiene el vector nulo, esto es:
𝑎⃗ + −𝑎⃗ = 𝑜⃗
Al igual que en el caso de los números, la sustracción de vectores es la operación inversa de la
adición de vectores. Restar dos vectores consiste en sumarle al primero el vector opuesto del
segundo:
𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = 𝑎⃗ + −𝑏⃗⃗
Gráficamente, si se emplea el método del paralelogramo para la
sustracción, la diagonal del paralelogramo obtenido que une los
puntos extremos de los vectores representa la resta de los dos
vectores.
En resumen
*La suma de dos o más vectores es un vector. La adición de vectores
es asociativa, conmutativa, tiene un elemento neutro y elemento
inverso para cada vector.
*La resta de vectores, consiste en sumar el primer vector con el opuesto del segundo.
*Para representar la suma o resta de vectores libres. Se puede utilizar las diagonales de un
paralelogramo como representación de ellas
*La adición de vectores en general se puede representar gráficamente mediante el método del
polígono.
Resuelve los siguientes problemas:
1.- el minutero de un reloj mide 5cm. si el minutero parte de 0, representa gráficamente el vectro
desplazamiento de su punta o extremo después de
1.1.- quince minutos.
1.2.-media hora
1.3.-tres cuartos de hora1.4.-una hora.
2.- dos vectores de desplazamiento centrados en el origen tienen módulos iguales a 6cm y 8cm
¿Cuál debe ser la dirección y sentido de cada uno de ellos para que la resultante tenga modulo
igual a:
2.1.- 14cm
2.2.-2cm
2.3.-6cm
3.- Representa cada una de estas situaciones anteriores.
Vectores en el plano cartesiano.
Recuerde que en los cursos anteriores conociste el plano cartesiano., que permite la ubicación de
puntos en el plano mediante sus coordenadas.
Analicemos:
Si el vector 𝑎⃗ se trasladara , de modo que su origen se situara en (0,0).¿En que punto se ubicaría su
extremo?
¿Cómo se representa en sus coordenadas el vector 𝑎⃗ ¿Por qué?
¿Cómo se puede calcular el módulo de 𝑎⃗
En general como se representa un vector en función de sus coordenadas extremas?
Existen varias formas de representar analíticamente un vector:
Utilizaremos: ⟨𝑥, 𝑦⟩
Y le modulo como: ‖𝑎⃗‖
Cuando el punto de aplicación de un vector está en el origen de un sistema de coordenadas, su
extremo coincidirá con un punto del plano y se representa utilizando ese punto, por ejemplo:
𝑣⃗ = ⟨𝑥, 𝑦⟩
En este caso se puede determinar el modulo aplicando el teorema de Pitágoras:
‖𝑣⃗‖ = √𝑥 2 + 𝑦 2
En general si un vector tiene su origen en ⟨𝑥, 𝑦⟩ y su extremo en ⟨𝑥`, 𝑦`⟩
Entonces:
𝑣⃗ = ⟨𝑥` − 𝑥, 𝑦` − 𝑦⟩
Y su módulo está dado por:
‖𝑣⃗‖ = √(𝑥` − 𝑥)2 + (𝑦` − 𝑦)2
La adición de vectores en forma analítica se efectúa en términos de sus coordenadas:
𝑣⃗ + ⃗⃗⃗⃗
𝑣` = ⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑥`, 𝑦`⟩ = ⟨𝑥 + 𝑥`, 𝑦 + 𝑦`⟩
Actividades:
1.- Dibuja y luego calcula el módulo de los siguientes vectores centrados en el origen del plano y
cuyo extremo es el punto:
1,1,. A(3,4)
1.2.-B(-7,12)
1.3.-C(-9,-12)
1.4.-E(-1,0)
1.5.-F(-13,12)
1.6.-F(0,-4)
2.- Si : 𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗1 = ⟨−4,5⟩ ; ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣2 = ⟨6, −3⟩ y ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣3 = ⟨−2, −2⟩, grafica y determine las componentes del
vector resultante y el módulo en cada uno de los casos siguientes:
2.1.- 𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗1 − ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣2 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣3
2.2.- ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2𝑣1 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3𝑣2 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣3
2.3.- 𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗1 − ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣2 − ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣3
2.4.- 𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣2 − ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣3
2.5.- 𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣2 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣3
2.6.- 𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗1 − 3𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗2 + 4𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗3
3.- Dados los vectores: 𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗1 = ⟨3, −2⟩ ; ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣2 = ⟨−1,5⟩ y ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣3 = ⟨4,6⟩. Determine:
3.1.- 𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣2 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣3
3.2.- ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2𝑣1 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3𝑣2 +2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣3
3.3.- 2 𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗1 − ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣2 −3 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣3
3.4.- ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4𝑣2 − 5𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗3
3.5. - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
−2𝑣1 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣2 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣3
3.6.- -3 𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗1 − 3𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗2 + 4𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗3
4.- Sobre un cuerpo actúan las fuerzas: ⃗⃗⃗⃗
𝐹1 = ⟨6,8⟩ ; ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹2 = ⟨−15,20⟩ y ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹3 = ⟨−4, −16⟩. Calcule:
4.1.-La magnitud del vector resultante.
4.2.-La dirección del vector resultante.
Traslación de figuras planas:
Observe la figura
Compare las medidas de los trazos AA` BB`
CC` DD` ¿Qué se puede concluir?
¿Corresponde a una transformación isométrica?
¿Esta transformación se puede representar utilizando vectores?
si se conocen las coordenadas de ABCD: ¿Cómo se pueden obtener las coordenadas de A`B`C`D`
Recuerde que: una traslación es una transformación isométrica que desplaza todos los puntos de
una figura en igual magnitud, dirección y sentido. Luego tal como las fuerzas y los
desplazamientos, se puede utilizar un vector para representarlas ç
Para obtener la imagen de una figura bajo una transformación, basta con sumar el vector de
traslación, en este caso, a cada uno de los vértices de la figura, coordenada a coordenada.
Ejemplo, la traslación del triángulo cuyos vértices son:
⃗⃗ = ⟨−2,2⟩ y 𝐶⃗ = ⟨−3,6⟩ ,según el vector ⃗⃗⃗⃗
𝐴⃗ = ⟨−4,4⟩ ; 𝐵
𝐹1 = ⟨6,8⟩ ; 𝑣⃗ = ⟨2,1⟩
Analíticamente:
𝐴⃗ = ⟨−4,4⟩ +⟨2,1⟩ = ⟨−2,5⟩
⃗⃗ = ⟨−2,2⟩+⟨2,1⟩ = ⟨0,3⟩
𝐵
𝐶⃗ = ⟨−3,6⟩+⟨2,1⟩ = ⟨−1,7⟩
⃗⃗⟨2,1⟩ de los puntos del triángulo
La traslación anterior se denota como: 𝑇
ABC.
Es decir:
⃗⃗⃗⃗
𝐴` = ⟨−2,5⟩
; ⃗⃗⃗⃗
𝐵` = ⟨0,3⟩
; ⃗⃗⃗⃗
𝐶` = ⟨−1,7⟩´
Composición de traslaciones:
Si al resultado de una traslación se le aplica una nueva traslación, se habla de composición de
traslaciones.
Si al triangulo anterior se aplica ahora ⃗⃗⃗⃗
𝑇`⟨4, −6⟩, se obtiene:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴`` = ⟨−2,5⟩ + ⟨4, −6⟩ = ⟨2, −1⟩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵`` = ⟨0,3⟩+⟨4, −6⟩ = ⟨4, −3⟩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶`` = ⟨−1,7⟩+⟨4, −6⟩ = ⟨3,1⟩
En resumen:
*La traslación de una figura en el plano cartesiano da origen a una nueva figura, que es
congruente con la anterior; es decir, mantiene la forma y sus medidas.
*Una composición de traslaciones resulta de aplicar una traslación a otra traslación ya realizada.
⃗⃗⟨𝑥, 𝑦⟩ es una traslación en el plano cartesiano, entonces ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
*Si 𝑇
𝑇 −1 ⟨𝑥, 𝑦⟩ es su traslación inversa, y
corresponde a la trasformación que tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido contrario, O
⃗⃗⟨−𝑥, −𝑦⟩
sea, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑇 −1 ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝑇
Actividades:
1.- Los vértices de un cuadrilátero son A(1,0) , B(0,2) ; C(-3,0) y D(0,-1) ¿Cuáles son los vértices
del cuadrilátero si se le aplica una traslación de vector (3,-2)?
2.-Considera dos circunferencias de igual radio, una con centro O (-2,3) y la otra con centro
A (-1-1).determina el vector que permite trasladar la circunferencia de centro O a la posición con
centro en A. Luego determina el vector de la traslación opuesta a la realizada. ¿Qué puedes
concluir?
3.- Determina las traslaciones inversas de cada una de las siguientes traslaciones:
⃗⃗⃗⃗1 ⟨2,3⟩
3.1.- 𝑇
⃗⃗⃗⃗2 ⟨−3,4⟩
3.2.- 𝑇
⃗⃗⃗⃗3 ⟨−6, −7⟩
33.- 𝑇
3.4.- ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑇4−1 ⟨0, −4⟩
Producto de un escalar
Sobre un cuerpo se aplican dos fuerzas, una se representa por el vector 𝐹⃗ (2,-3) , y la otra por el
vector 𝑔⃗ (-6,9)
Analicemos..
Representa en el plano cartesiano los vectores 𝐹⃗ y 𝑔⃗. A partir del origen ¿Qué tienen en común?
Representa en el mismo plano una fuerza que sea el triple de la fuerza 𝐹⃗ .¿Cual es su
representación anañlitica?
¿Cuál es el valor de 𝛼 tal que se cumpla que : 𝑔⃗ = ∝ 𝐹⃗
En general cuando se calcula el producto por un escalar de un vector, se obtiene un nuevo vector,
que conserva la dirección del vector original, pero cuya magnitud y sentido cambian según el valor
por el cual fue multiplicado.
Propiedades del producto de un escalar por un vector:
Dados los escalares: α y β , y los vectores : 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗ , se cumplen las siguientes propiedades:
1.- α (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ )= α 𝑎⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
α𝑏
2.- (α + β) 𝑎⃗ = α 𝑎⃗ + β 𝑎⃗
3.- α (β 𝑎⃗ )= (α β ⃗⃗⃗⃗⃗
)𝑎
4.- 1 𝑎⃗ = 𝑎⃗
⃗⃗
5.- 0 𝑎⃗ = 0
En resumen:
*El producto de un escalar por un vector es otro vector dado por α 𝑎⃗ = α (x,y) = =( α x, α y). se
dice que el vector α 𝑎⃗ es un vector ponderado de 𝑎⃗ .
*Dos vectores paralelos se pueden expresar como uno ponderado del otro:
Es decir: α 𝑎⃗ = 𝑏⃗⃗ , O BIEN 𝑏⃗⃗ = β 𝑎⃗
*El vector ponderado tiene las siguientes características:
1.- mantiene la dirección del vector original
2.-‖α 𝑎⃗ ‖ = |α |‖𝑎⃗ ‖
3.- Si el escalar es positivo el vector ponderado mantiene el sentido
4,. Si el escalar es negativo, el vector ponderado cambia de sentido.
5.- si el escalar es nulo, entonces el vector se anula.
Actividades:
1.- copia en tu cuaderno los vectores que se indican en
el gráfico y determina:
1.1-𝑢
⃗⃗+𝑣⃗
1.2-3 𝑢
⃗⃗+𝑣⃗
1.3.- 2𝑢
⃗⃗-3𝑣⃗
1.4.- 𝑢
⃗⃗+𝑣⃗ + 𝑤
⃗⃗⃗ 1.5.-3 𝑢
⃗⃗-2𝑣⃗ + 4𝑤
⃗⃗⃗
2.- Calcula el resultado de las siguientes operaciones:
2.1.- 3⟨−4,4⟩ -2⟨2,1⟩ +4 ⟨−2,5⟩
2.2.- -2⟨−2,2⟩+5⟨0,1⟩ +3 ⟨0,3⟩
2.3.- 2⟨−2,5⟩-⟨3,1⟩ +2 ⟨0,6⟩
2.4.- 4⟨−2,3⟩-4⟨1,1⟩ -3 ⟨1,3⟩
3.- Dado el producto de α 𝑎⃗ , con 𝑎⃗ ≠ 0¿Qué característica cumple el producto , en cada
caso?:Justifique representando gráficamente.
3.1.- si α >1 3.2.- si α =1
3.3.- si. 0< α <1
3.4.- si, α =0
3.5.-si α =-1
3.6.- si, α <-1
Homotecia:
Las transformaciones isométricas son trasformaciones geométricas que preservan la forma y el
tamaño de las figuras; sin embargo, no todas las trasformaciones geométricas son así. Por ejemplo
en la figura que se indica se puede apreciar que el cuadrilátero ABCD, de vértices.
A(10,-2) ; B(4,-8) ; C(12,-12) ; D(14,-6) y sus respectivas imágenes en el cuadrilátero: A`B`C`D`y
el cuadrilátero A`` B`` C`` D`` .
Analicemos:
¿Cómo describirías los cuadriláteros obtenidos, respecto del original?
¿Corresponde en cada caso, la imagen a una trasformación isométrica?¿porque?
¿Existe una proporción entre los lados?
*Se puede establecer que en esta transformación, la figura mantiene los ángulos, tiene la misma
forma original, pero no así las medidas de sus lados, en consecuencia las figuras son semejantes.
*La razón entre los lados correspondientes corresponde al módulo o razón de semejanza, y este
valor es una constante.
*Cuando esto ocurre se dice que una de las figuras es la imagen de la otra bajo una HOMOTECIA.
La homotecia está definida por el punto O, que es el centro de la homotecia, y un número K, que
es la razón entre el módulo de los vectores correspondientes a esa transformación,
*Se representa como H(O, K) , el número K es siempre distinto de cero, y puede ser positivo o
negativo.
*Si la homotecia tiene una razón K, se concluye que la magnitud del vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴` es K veces la
⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
magnitud del vector 𝑂𝐴
*En el caso que la homotecia tiene una razón negativa ( K<0 ) , vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴` está en la misma
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
dirección , pero en sentido contrario al vector 𝑂𝐴.
Ejemplo:
Considere el triángulo ABC , de coordenadas A( 2,-4) ; B(0,-2) y C(6,3) , y el origen O(0,0) .
Encuentre su imagen bajo la homotecia H(O,-2)
Para aplicar una homotecia es necesario determinar primero los vectores desde el centro de la
homotecia O a cada uno de los puntos.
En este caso , ya que el centro de homotecia está en el origen O(0,0) , los vectores son ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 (2,-4) ;
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵(0, −2) ; 𝑂𝐶 (6,3).
A estos vectores se le aplica la homotecia; luego,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-2 (2,-4 ) = (-4,8)
𝑂𝐴`
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-2 (0,-2) = (0,4)
𝑂𝐵`
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-2 (6,3) = (-12,-6)
𝑂𝐶`
Entonces su imagen es el triángulo A`B`C` observa que la proporción que existe entre los lados de
los triángulos corresponde a la razón o módulo de homotecia.
Se puede verificar que dos figuras son homotéticas si, al unir mediante rectas los puntos o
vértices correspondientes de ellas, estas rectas concurren en un único punto que es el cetro de
homotecia.
Composición de homotecias.
Al igual que con las traslaciones, se puede realizar una composición de homotecias; es decir, se
puede aplicar una homotecia a la imagen de la homotecia de la figura.
La composición de homotecias, cuando su centro de homotecia es el mismo, es una homotecia
con igual centro, y cuya razón corresponde al producto de las razones de las homotecias
originales.
Aplicaciones:
11.-dados los puntos A(3,7) y Q(0,-2) y 𝐻1 (0, −2) y 𝐻2 (0, −1,5) , determinar el Homotetico de A
respecto de la composición de homotecias: 𝐻2 𝑜𝐻1
Respuesta:
Se obtiene el vector
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 = (3 − 2,7 − 5) = (1,2) 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑙𝑎 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑡𝑒𝑐𝑖𝑎 𝐻1
Luego: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴` = −2(1,2) = −2, −4)
Luego se aplica la homotecia 𝐻2 al vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴` , se obtiene:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴``= -1,5(-2,-4) = ( 3,6)
⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Luego A`` se obtiene: 𝑂
𝑂𝐴`` = (2,5) + ( 3,6) = ( 5,11). Es decir, el homotético de A es el
punto (5,11)
Resumen:
*Una homotecia es una trasformación geométrica que no afecta a la forma de la figura, pero si
puede cambiar su tamaño y orientación.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , tal
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ en un vector 𝑂𝑃`
*Una homotecia de centro O y razón k , con k≠ 0 , transforma un vectr 𝑂𝑃
que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃` = 𝑘 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃
*se escribe H(O,k). Algunas de sus características son:
*Las figuras generadas mediante una homotecia son semejantes a las figuras originales.
Los lados correspondientes entre dos figuras homotéticas son paralelos.
*Si la razón es positiva, la homotecia preserva el sentido de las figuras. Si la razón es negativa, la
homotecia invierte las figuras.
*La composición de homotecias de centro C es otra homotecia de centro C.
Actividades:
1.- Considere un cuadrilátero ABCD de coordenadas; A (3,-3); B (6,-6); C (10,1); D (4,3) y el origen
O(o, o). Encuentre su figura homotética, respecto de:
1.1.- H(O,-1)
1.2.- H( O;3/2)
2.- Considere un cuadrado ABCD, tal que el punto de intersección de sus diagonales es E.
Construya el grafico de las siguientes transformaciones homotéticas:
2.1.- 𝐻1 𝑜𝐻2 , con 𝐻1 (𝐸, 3) y 𝐻2 = ( 𝐸, 1/2)
2.2.- 𝐻3 𝑜𝐻4 , con 𝐻3 (𝐴, 2) y 𝐻4 = ( 𝐴, −3/2)
3.- Verifica que el arrea de una figura homotética es igual al producto del área de la figura original
por el cuadrado de la razón de homotecia.
Producto punto:
En física se define el trabajo mecánico como el producto entre la fuerza aplicada a un cuerpo y su
desplazamiento. Mientras mayor sea la fuerza aplicada y/o el desplazamiento logrado, mayor será
el trabajo realizado.
Ya que tanto la fuerza, como el desplazamiento son vectores, el trabajo depende de las
direcciones en que se aplica la fuerza y en que se produce el desplazamiento; en particular,
depende del ángulo que forman estos vectores entre sí. El trabajo mecánico se calcula de acuerdo
al modelo matemático:
𝑊 = ‖𝐹⃗ ‖. ‖𝑑⃗‖. 𝑐𝑜𝑠𝛼
Analicemos:
Considerando la expresión que define el trabajo mecánico ¿W es un escalar o un vector?
Dada la fuerza aplicada a un cuerpo y su correspondiente desplazamiento ¿Qué condiciones deben
cumplirse para que el trabajo mecánico sea máximo?
¿Es posible que se aplique fuerza sobre un cuerpo y este cuerpo se desplace, pero que el trabajo
sea nulo?
La operación que permite obtener el trabajo mecánico W a partir de una fuerza y el
desplazamiento, se conoce como producto punto o producto escalar.
El producto punto de dos vectores es un número y dicho producto será un número positivo, nulo
o negativo, según sea el ángulo que formen los vectores.
También el producto punto es nulo, si algunos de los factores son nulos.
Actividades:
1.-Calcule el producto punto entre los vectores, considerando los datos que se indican:
1.1.- ‖𝑎⃗‖ = 5 ; ‖𝑏⃗⃗‖ = 7 ; 𝛼 = 30º
1.2.- ‖𝑎⃗‖ = 7 ; ‖𝑏⃗⃗‖ = 7 ; 𝛼 = 90º
1.3.- ‖𝑎⃗‖ = 3/5 ; ‖𝑏⃗⃗‖ = 1 ; 𝛼 = 45º
1.4.- ‖𝑎⃗‖ = 10 ; ‖𝑏⃗⃗‖ = 3 ; 𝛼 = 180º
2.- para cada par de vectores que se indican, calcule ‖𝑎⃗‖ ‖𝑏⃗⃗‖ Y |𝑎⃗ . 𝑏⃗⃗| . Luego verifica que se
cumpleque : |𝑎⃗ . 𝑏⃗⃗| ≤ ‖𝑎⃗‖ ‖𝑏⃗⃗‖ , en cada caso. ¿Qué debe ocurrir para que se cumpla que que:
|𝑎⃗ . 𝑏⃗⃗| = ‖𝑎⃗‖ ‖𝑏⃗⃗‖
2.1.- 𝑎⃗ = (3,2) 𝑦 𝑏⃗⃗ = ( 5,1)
2.2,. 𝑎⃗ = (4,7) 𝑦 𝑏⃗⃗ = ( 3, −1)
2.3.- 𝑎⃗ = (−2,0) 𝑦 𝑏⃗⃗ = ( 8,2)
1 2
2.4.- 𝑎⃗ = (2 , 3) 𝑦 𝑏⃗⃗ = ( −2,3)
3.- analiza lo que ocurre con el producto punto de 𝑎⃗ 𝑦 𝑏⃗⃗ si:
3.1.- 𝑎⃗ 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑦 𝑏⃗⃗ se mantiene constante.λ
3.2.- 𝑎⃗ 𝑦 𝑏⃗⃗ aumentan.
3.3.- 𝑎⃗ 𝑦 𝑏⃗⃗ son perpendiculares.
3.4.- 𝑎⃗ 𝑦 𝑏⃗⃗ son paraleleos.
Producto cruz y vectores en el espacio.
Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, y `producto de esta acción el cuerpo gira, se dice que se
ha producido una torque sobre el cuerpo. Un ejemplo es la fuerza que se aplica para abrir una
puerta, otro es la fuerza que aplicamos al pedal de la bicicleta.
El torque sobre un cuerpo se puede calcular como el producto cruz entre la fuerza aplicada y la
posición del punto de aplicación de la fuerza respecto del eje de giro del cuerpo: 𝜏⃗ = 𝐹⃗ × 𝑟⃗
El producto cruz o vectorial entre : 𝑎⃗ 𝑦 𝑏⃗⃗ entre dos vectores en el espacio , se define como un
tercer vectro : 𝑝⃗ , perpendicular a ambos
El módulo de 𝑝⃗ = 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ corresponde al área del paralelogramo formado por los vectores 𝑎⃗ 𝑦 𝑏⃗⃗
Entonces:
‖𝑝⃗ ‖ = ‖𝑎⃗ ‖. ‖𝑏⃗⃗ ‖𝑠𝑒𝑛𝛼 Donde 𝛼 es el angulo agudo formado por los vectores 𝑎⃗ 𝑦 𝑏⃗⃗
El vector resultado del producto punto se obtiene a partir del producto denominado “caja” ,
disponiendo los vectores de la forma:
Dados 𝑢
⃗⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧) y 𝑣⃗ = (𝑥`, 𝑦`, 𝑧`)
𝑖 𝑗 𝑘
‖𝑢
⃗⃗ × 𝑣⃗‖ = | 𝑥 𝑦 𝑧 | = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐𝑘
𝑥` 𝑦` 𝑧`
𝑦
𝑖 |𝑦`
𝑧
𝑥 𝑦
𝑥 𝑧
𝑧`| − 𝑗 |𝑥` 𝑧`| + 𝑘 |𝑥` 𝑦`|
Datos claves:
1.-Para calcular la superficie de un paralelogramo en el espacio:
𝑖 𝑗
‖𝑢
⃗⃗ × 𝑣⃗‖ = | 𝑥 𝑦
𝑥` 𝑦`
𝑘
𝑧 | = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐𝑘
𝑧`
De donde, la superficie está dada por:
√𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
2.- Para calcular el volumen de un cuerpo en
el espacio:
U=(x,y,z) , v=(x`, y`, z`) , w=(x`` , y`` , z`` )
𝑥
𝑥`
Volumen = |
𝑥``
𝑦
𝑦`
𝑦``
𝑧
𝑧` |
𝑧``
3.- Área del triángulo que se determina por los extremos de dos
vectores y el origen.
1
A=2 ‖𝑢 × 𝑣‖
𝑖 𝑗 𝑘
‖𝑢 × 𝑣‖ = | 𝑥 𝑦 𝑧 | = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐𝑘
𝑥` 𝑦` 𝑧`
1
A=2 ‖𝑢 × 𝑣‖=√𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
4.- Para probar que tres vectores son coplanares:
Esta explicado más adelante.
5.-Para Hallar el área del triángulo formado por los extremos de tres vectores en el espacio esta
dado por:
⃗⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑈
⃗⃗ = (𝑥`, 𝑦`, 𝑧`)
,𝑉
⃗⃗⃗⃗ = (𝑥`` , 𝑦`` , 𝑧`` )
, 𝑊
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ − 𝑈
⃗⃗ = (𝑥` − 𝑥 , 𝑦` − 𝑦 , 𝑧` − 𝑧 )
𝑈𝑉 = 𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ − 𝑈
⃗⃗ = (𝑥`` − 𝑥 , 𝑦`` − 𝑦 , 𝑧`` − 𝑧 )
𝑈𝑊 = 𝑊
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
A= ‖𝑈𝑉
𝑈𝑊 ‖
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑈𝑊
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = (| 𝑥 − 𝑥`
‖𝑈𝑉
𝑥 − 𝑥``
𝑦 − 𝑧`
𝑧 − 𝑧`
|,|
𝑦 − 𝑧`` 𝑧 − 𝑧``
𝑥 − 𝑥`
𝑥 − 𝑥`
|,|
𝑥 − 𝑥`` 𝑥 − 𝑥``
𝑦 − 𝑦`
|)
𝑦 − 𝑦``
Modelo para determinar la ecuación del plano.
U=( 𝑋1 , 𝑌1 , 𝑍1 ) , V=( 𝑋2 , 𝑌2 , 𝑍2 ) , W= ( 𝑋3 , 𝑌3 , 𝑍3 )
Ecuación del plano en función de los segmentos que interceptan a los ejes.
La ecuación del plano que corta a los ejes x,y,z en los puntos :a,b y c respectivamente es:
𝑥 𝑦 𝑧
+ + =1
𝑎 𝑏 𝑐
Distancia de un punto a un plano:
𝑃0 =( 𝑋0 , 𝑌0 , 𝑍0 ) al plano:𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0
𝑑=|
𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0
√𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
|
Angulo con que se cortan dos planos en el espacio:
Dados los planos:
𝜋1 : 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐𝑧1 + 𝑑1
𝜋2 : 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑧2 + 𝑑2
𝑐𝑜𝑠𝜃 = |
𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏2 + 𝑐1 𝑐2
√𝑎12
+ 𝑏12 + 𝑐12 . √𝑎22 + 𝑏22 + 𝑐22
|
Ejercicios misceláneos de aplicación:
1.- Dados Los vectores V (1,45º) y V’ (2,180º).determine el producto escalar.
2.- Con los vectores V (1,2); V’ (2,-1) y V’’ (-1,1). Calcule:
2.1.-V*V’ (escalar)
2.2.- V’*V’’ (escalar)
3.- repita los ejercicios anteriores, ahora con producto cruz.
4.- ¿Qué ángulo forman los vectores del ejercicio 1.-
5.- ¿Qué ángulo forman los vectores del ejercicio 2?
6.-dados los vectores (2,30º) y (2,5), multiplíquelos en producto cruz y escalar
7.- ¿Qué ángulo forman los vectores del ejercicio anterior?
8.- ¿Qué v vector multiplicado en producto escalar a (1,2) dará como resultado 0?, ¿Qué ángulo
formaran?
10.- Dados los vectores V (4,30º), V’ (3,0º) y V’’ (2,1). Determine:
10.1.-(VxV’’)*V’’
10.2.-(VxV’’)*V’
10.3.- (V’*V)xV’’
11.- dados los vectores:
A=i-j+k
B=2i+3j-2k
C=-i+3j-k
Calcule el volumen del paralelepípedo que tiene por lados A, B y C respectivamente.
13.- Dados los vectores:
A= 3i-3j+2k
B= (3,4,0)
Calcule:
13.1.-AxB y BxA
13.2.-el área del paralelogramo formado por ambos vectores.
13.3.-Un vector de módulo 3 perpendicular al plano formado por A y B
13.4.- (A+B)x(A-B)
14.- Dados A(5,3,4) y B= 6i-j+2k. Calcular:
14.1.- Su producto escalar
14.2.-El ángulo que forman
14.3.-Los cosenos directores del vector B
(35, 30º, 0.94, -0.16, 0.31)
15.- Siendo los vectores A=(x, 5,3) y B=(y,1,0) y sabiendo que A-B=4j+3k y que el modulo de su
suma vale 9 . Determinar x, y
(  3)
16.- Calcule el producto escalar de los vectores V=3i+5j-k y W=(-2,0,4)
(10)
17.- Hallar el vector unitario perpendicular a los vectores V(1,2,3) y W(-1,0,2)
(
1
3 5
4i  5 j  2k ) 
18.- Un vector A tiene componentes (1,2,3). Otro vector B, tiene modulo
(BxA) vale 1 . Determine B para que sea perpendicular a A
( (1,1,1) , (1, -17/13 , 7/13)
19.- dados los: A=(0,0,1) , B=(0,1,1) , C=(1,2,1) .
Hallar el área del triángulo ABC.
3 y su componente x
1
(2 √2)
20:- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son las intersecciones del plano x+2y+3z=1. Con los
ejes coordenados.
1
(12 √14)
21.- Calcular el volumen del tetraedro determinado por los puntos:
A=(-1,0-1) , B=(2,-4,0) , C=(1,1,1) , D=(-3,0,0)
3
( 2)
22.- Dados los vectores:
U=(3,-2,5),
vértices.
v=(-4,1,6)
,
w=(2,0,-1) . Calcular el volumen del tetraedro que determinan los
29
(6)
23.- Dados los vectores: u=(3,2,5) , v=(4,1,6) . Hallar el área del triángulo que se determina.
1
( √78)
2
24.- Probar si los vectores: A=(1,2,-1) , B=(1,3,0) , C=(0,2,4) son coplanares.
(4x-y+z=0, recta en 𝑅 3)
25.- Dados .os vectores: A=(1,2,0) , B=(0,3,-1) , C=(1,0,1) y D=-1,2,m) . Hallar el valor de m para
que los vectores sean coplanares.
(m=-1)
26.- dados los: A=(0,0,1) , B=(0,1,-1) , C=(-1,2,1) .
Hallar el área del triángulo ABC.
20:- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son las intersecciones del plano
- x+2y+3z=1. Con los ejes coordenados.
21.- Calcular el volumen del tetraedro determinado por los puntos:
A=(-1,0-1) , B=(2,-4,0) , C=(1,1,1) , D=(-3,-1,0)
22.- Dados los vectores:
U=(3,-2,5),
vértices.
v=(-4,1,6)
,
w=(-2,0,-1) . Calcular el volumen del tetraedro que determinan los
23.- Dados los vectores: u=(3,-2,5) , v=(4,2,6) . Hallar el área del triángulo que se determina.
24.- Probar si los vectores: A=(1,2,-1) , B=(1,3,0) , C=(0,2,4) son coplanares.
(Recta en 𝑅 3)
25.- Dados los vectores: A=(1,2,0) , B=(0,3,-2) , C=(2,0,1) y D=(-1,2,m) . Hallar el valor de m
para que los vectores sean coplanares.
Ecuación vectorial de la recta en el plano.
Representa los siguientes vectores en el plano:
(-2,1) ; (2,-1) ;(0,1) ; (4,-2) ; (1,-0,5) ; ( 3,1,5)
Se observa que los, en algunos casos, los vectores están sobre una misma recta.
Si uno o más vectores pueden escribirse como un vector ponderado de otro , entonces pertenecen
a la misma recta.
La colinealidad de puntos se puede expresar y verificar vectorialmente por medio de la
ponderación.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λ 𝑀𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Si M , N y P son tres puntos colineales, entonces existe algún número real λ , tal que: 𝑀𝑃
En un plano cartesiano, se puede representar una recta L , que pasa por el origen O(0,0) y con
un vector director 𝑑⃗ = (𝑑1 , 𝑑2 ) paralelo a la recta L. Si P es un punto que pertenece a la recta
L, por ejemplo P(x,y) , entonces siempre existe un numero real λ, tal que:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 = λ 𝑑⃗ . Observa:
Luego la ecuación de la recta expresada en coordenadas cartesianas es:
(𝑥, 𝑦) = 𝜆(𝑑1 , 𝑑2 )
Ahora cuando la recta no pasa por el origen, además del vector director es necesario determinar
un vector que indique la ubicación de la recta en el plano.
En este caso, pera representar la recta L con vector director 𝑑⃗ , pero que pasa por el punto
𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 ) , se considerea que si P es un punto cualquiera de la recta , de coordenadas P(x,y) ,
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
existe un numero real 𝜆 , tal que : 𝑃
0 𝑃 = 𝜆𝑑 y por lo tanto :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃0 + 𝜆𝑑⃗
Utilizando el vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑝0 𝑑𝑒 𝑃𝑜 y considerando el vector 𝑝⃗ de P , resulta:
𝑝⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑝0 + 𝜆𝑑⃗
Además, si 𝑑1 𝑦 𝑑2 son las componentes del vector 𝑑⃗ , la ecuación
vectorial de la recta, expresada en coordenadas cartesianas esta
dada por:
(𝑥 , 𝑦) = (𝑥0 , 𝑦0 )+ 𝜆(𝑑1 , 𝑑2 )
Ejemplo: dados los puntos A(2,3) y B(5,2) , determinar la ecuación
vectorial de la recta que pasa por ellos.
Se utiliza el vector 𝑏⃗⃗ como vector posición de la recta. Luyego, se calcula su vector director, que
corresponde al vectro ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 , entonces 𝑑⃗=𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ = (2,3) − (5,2) = (−3,1)
De esta manera, se puede escribir la ecuación vectorial de la recta como
(𝑥 , 𝑦) = (5,2)+ 𝜆(−3,1)
Nota: también se puede usar el vector 𝑎⃗ como vector posición.
1
Veamos ahora que sucede cuando 𝜆 = 2 . Al reemplazar en la aciuacion:
1
7 5
(𝑥 , 𝑦) = (5,2)+ (−3,1) = ( , )
2
2 2
Que coincide con el punto medio del trazo AB en el plano.
Observación:
*Una recta que pasa por el origen , L: 𝑝⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑝0 + 𝜆𝑑⃗ , es una traslación en el vector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑝0 de la recta
𝑝⃗ = 𝜆𝑑⃗
*Una ventaja importante de una ecuación vectorial de una recta es que permite obtener
ecuaciones para un segmento específico de la recta por medio de una restricción del parámetro λ
Por ejemplo, la ecuación: (𝑥 , 𝑦) = (2, −1)+ 𝜆(1,2), con 1 ≤ 𝜆 ≤ 3
Describe el segmento de recta que une los puntos (3,1) y (5,5) (obtenidos al reemplazar por el
mínimo y el máximo valor del parámetro lambda.
Actividades:
1.- Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos dados.
1.1.- A(-4,6) y B(4,-2)
1.2.- A(-4,2) y B(4,-6)
1.3.- A(--2, 6) y B(4,-4)
1.4.- A(3,-1) y B(0,2)
1.5.- A(-4,6) y el origen
1.6.- A(0,6) y el origen.
2.- ¿Se puede determinar la ecuación vectorial de la recta a partir de los puntos (1,1) y (4,4) . en
caso afirmativo. ¿Cuál es su ecuación vectorial?
3.- Dado el punto P(2,-2) y el punto Q(-4,4) ¿Cuál es el punto medio del segmento PQ.
4.- Dada la ecuación vectorial de la recta 𝐿1 = (𝑥, 𝑦) = (1 + 2𝜆, −1 + 3𝜆)
Determine tres puntos que pertenezcan a la recta.
5.- ¿A qué recta pertenecen los puntos A(-1,-4) , B(1,1) y C(0,5)? Justifique analíticamente.
a) 𝐿1 = (𝑥, 𝑦) = (1 + 2𝜆, −1 + 3𝜆)
b) 𝐿2 = (𝑥, 𝑦) = (−1 + 2𝜆, 3 − 2𝜆)
c) 𝐿3 = (𝑥, 𝑦) = (2 − 𝜆, −1 + 2𝜆)
d) 𝐿4 = (𝑥, 𝑦) = (−2 − 𝜆, −3 + 2𝜆)
e) A ninguna de las rectas.
6.- Determina la ecuación vectorial de una recta paralela a: (𝑥, 𝑦) = (2, −5) + 𝜆(1, −4)
Luego grafica ambas rectas.
Ecuación vectorial de una recta y su ecuación cartesiana.
Como ya sabemos la ecuación vectorial de una recta está determinada por un punto contenido en
ella y una dirección: por consiguiente, por un punto de la recta y un vector paralelo a ella.
Consideremos una recta L en el plano, cuyo vector directos es 𝑑⃗ = (6,4) y A(5,7) un punto
contenido en ella.
Analice:
¿Cuál es su ecuación vectorial?
¿Cómo se obtiene un punto B que pertenece a ella?
¿Cómo se obtiene la ecuación cartesiana de la recta?
¿Conocidos los puntos A y B se puede graficar la recta?
En general ¿Cómo se grafica una recta en el plano, a partir de su ecuación vectorial?
Resumen:
*Se escribe la ecuación vectorial de la recta:
(𝑥, 𝑦) = (5,7) + 𝜆(6,4)
*Para determinar el punto B, se asigna un valor arbitrario al parámetro. λ=2 , se obtiene B(17,15)
*Se escribe la ecuación punto pendiente: 2x-3y+11=0
Otra forma es:
(𝑥, 𝑦) = (5 + 6𝜆, 7 + 4𝜆)
Es decir:
𝑥 = 5 + 6𝜆
𝑦 = 7 + 4𝜆
𝜆=
𝜆=
𝑥−5
6
𝜆=
𝑦−7
4
𝑥−5
𝑦−7
=
6
4
4(𝑥 − 5) = 6(𝑦 − 7) ,de donde se obtiene: 2𝑥 − 3𝑦 − 11 = 0
Ejemplo 2: ecuación vectorial a partir de la ecuación cartesiana:
Dada la recta: 4𝑥 + 3𝑦 + 7 = 0
Se determina un punto arbitrario de la recta:
Si x= -1 , entonces y=-1 , luego un punto es (-1,-1)
4
Para obtener el vector director, se determina la pendiente de la recta, esto es: 𝑚 = − 3
𝑑
Luego el vector director es: 𝑚 = 𝑑2 , entonces (𝑑1 , 𝑑2 ) corresponde al vector director.
1
En este caso, un vector director es: (3,-4)
Por lo tanto una ecuación vectorial de la recta será: (𝑥, 𝑦) = (−1, −1) + 𝜆(3, −4)
Resumen:
*La ecuación de la recta en el plano, se puede representar como: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
*La ecuación vectorial de la recta: : (𝑥, 𝑦) = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑝0 + 𝜆𝑑⃗ = (𝑥0 , 𝑦0 ) + 𝜆(𝑑1 , 𝑑2 ) , donde 𝑑⃗ es el vector
director de la recta, ⃗⃗⃗⃗⃗(𝑥
𝑝0 0 , 𝑦0 ) es el vector posición y 𝜆 su parámetro.
*Si 𝑑⃗ es un vector director cuyas coordenadas son (𝑑1 , 𝑑2 ) , la pendiente “m” de la recta
𝑑
correspondiente esta dada por: 𝑚 = 𝑑2
1
Actividades:
1.- Dada la ecuación vectorial de la recta: (𝑥, 𝑦) = (1,2) + 𝜆(4,8) , determine la ecuación
cartesiana correspondiente.
2.- Encuentre la ecuación cartesiana correspondiente a la recta que pasa po el punto (5,-2) y es
paralela al vector 𝑑⃗ = (−2,3)
3.- Encuentre la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (-3,2) y es paralela a la recta
de ecuación: y=3x-2
4.- Decida si los puntos (0,0) , (0,11) y (-3,0) pertenecen a la recta anterior.
5.- Determine la ecuación vectorial para cada recta.
5.1.- 4x+2=3y-3
5.2.- 2x-5y+1=0
6.- Indica cual es la posición relativa entre las rectas dadas:
𝐿1 : 𝑥 − 𝑦 − 2 = 0
y
𝐿2 : (𝑥, 𝑦) = (1,2) + 𝜆(2,2)
7.De
la
(𝑥, 𝑦) = (2, −3) + 𝜆(1,2) y el punto P(2,1) , obtenga la recta .
7.1.- paralela a la dada que pasa por P
7.2.- Perpendicular a la dada y que pasa por P
8.- Obtenga la recta que pasa por el punto A(2,-1) y tiene la misma pendiente que:
8.1.- (𝑥, 𝑦) = (0,3) + 𝜆(1,1)
8.2.- 2x-3y=6
recta
Ecuación de la recta en el espacio.
Para representar la ecuación vectorial de una recta en el espacio , podemos generalizar a partir de
la ecuación vectorial en el plano, es decir, dado un punto: 𝑃 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) que esta contenido en una
recta L , cuyo vector director tiene coordenadas 𝑑⃗ = (𝑑1 , 𝑑2 , 𝑑3 ). Entonces la ecuación de la recta
en el espacio estará dada por:
(𝑥 , 𝑦, 𝑧) = (𝑥0 , 𝑦0, 𝑧0 )+ 𝜆(𝑑1 , 𝑑2 , 𝑑3 )
La forma paramétrica de esta recta se obtiene al despejar las coordenadas, es decir:
𝑥 = 𝑥0 + 𝜆𝑑1
𝑦 = 𝑦0 + 𝜆𝑑2
𝑧 = 𝑧0 + 𝜆𝑑3
Ejemplo: consideremos la reta que pasa por los puntos: P(1,3,-2) y Q(2,1,-2). En este caso, el
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, −2,0) , luego la ecuación vectorial es:
vector director está dado por: 𝑑⃗ = 𝑃𝑄
(𝑥 , 𝑦, 𝑧) = (1,3, −2)+ 𝜆(1, −2,0)
Ejemplo2. ¿Cómo podemos determinar si tres puntos son colineales y por lo tanto que pertenecen
a una misma recta?
Dados los puntos: P(1,1,1) ; Q(1,0,-1) y R(1,2,3) . Debemos probar que los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑄𝑅 son
paralelos:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,-2) y 𝑄𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0,2,4)
𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜆𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ahora debemos comprobar que existe un número real 𝜆 , tal que: 𝑄𝑅
Veamos si se cumple:
(0,2,4) = 𝜆(0, −1, −2) , de donde 𝜆 = −2 . Por lo tanto los puntos P, Q y R son efectivamente
colineales.
1.- Pruebe si se puede determinar la ecuación vectorial de la recta a partir de los puntos P(1,1) y
Q(4,4)
Ecuación vectorial de un plano en el espacio:
Un plano queda determinado por:
*Tres puntos no colineales
*Dos rectas paralelas
*Una recta y un punto exterior a ella.
Completaremos lo anterior con algunas herramientas matemáticas:
Un plano en el espacio 𝜋 , también puede estar determinado por un punto 𝐴(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) y dos
vectores directores no paralelos,𝑟⃗ = (𝑟1 , 𝑟2 , 𝑟3 ) 𝑦 𝑠⃗ = (𝑠1 , 𝑠2 , 𝑠3 )
Observando la figura, para cualquier punto P(x,y,z) del plano 𝜋 se cumpleque:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝝀𝒓
⃗⃗ + 𝝁𝒔
⃗⃗
𝑂𝑃
Por lo que
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ + 𝝁𝒔
⃗⃗
𝐴𝑃 = 𝝀𝒓
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑃
es
,
un
con
vector
que
pertenece
𝝀𝒚𝝁
numeros
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ + 𝝁𝒔
⃗⃗
𝑂𝑃 = 𝑂𝐴 + 𝝀𝒓
al
𝜋
plano
reales,
luego
,
entonces:
entonces:
Entonces la ecuación vectorial del plano en el espacio queda determinada por:
⃗⃗ + 𝝁𝒔
⃗⃗ , siendo 𝑝⃗ 𝑦 𝑎⃗
𝑝⃗ = 𝑎⃗ + 𝝀𝒓
Los vectores posición de los puntos A y P , respectivamente , con 𝝀 𝒚 𝝁 numeros reales.
Si la ecuación del plano se expresa en función de las coordenadas o componentes de los puntos ,
se tiene:
(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 ) + 𝝀(𝒓𝟏 , 𝒓𝟐 , 𝒓𝟑 ) + 𝝁(𝒔𝟏 , 𝒔𝟐 , 𝒔𝟑 )
Igualando componentes a componentes, se encuentra las ecuaciones paramétricas del plano:
𝒙 = 𝒂𝟏 + 𝝀𝒓𝟏 + 𝝁𝒔𝟏
𝒚 = 𝒂𝟐 + 𝝀𝒓𝟐 + 𝝁𝒔𝟐
𝒛 = 𝒂𝟑 + 𝝀𝒓𝟑 + 𝝁𝒔𝟑
Las ecuaciones paramétricas se pueden reescribir como sistemas de ecuaciones, par a ser
eliminados los parámetros 𝝀 𝒚 𝝁 , para así obtener la ecuación cartesiana de un plano.
Ejemplo:
Dados
los
puntos
A(2,-2,1)
,
y
los
vectores
⃗⃗ = (𝟏, 𝟎, −𝟏) 𝒚 𝒔
⃗⃗ = (−𝟐, 𝟑, 𝟐) . Determine la ecuación vectorial del plano.
𝒓
directores:
⃗⃗ + 𝝁𝒔
⃗⃗ , entonces:
Como: 𝑝⃗ = 𝑎⃗ + 𝝀𝒓
𝑝⃗ = (2, −2,1) + 𝝀(𝟏, 𝟎, −𝟏) + 𝝁(−𝟐, 𝟑, 𝟐)
ejemplo 2: Escriba la ecuación vectorial y cartesiana del plano que contiene los puntos P(1,1,1) ,
Q(2,1,2) y R(0,2,-1).
Primero se encuentran LOS VECTORES DIRECTORES:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒑
⃗⃗ − 𝒒
⃗⃗ = (𝟏, , 𝟏, 𝟏) − (𝟐, 𝟏, 𝟐) = (−𝟏, 𝟎, −𝟏)
𝑟⃗ = 𝑸𝑷
⃗⃗ − 𝒓
⃗⃗ = (𝟏, 𝟏, 𝟏) − (𝟎, 𝟐, −𝟏) = (𝟏, −𝟏, 𝟐)
𝑠⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑹𝑷 = 𝒑
Por lo Tanto la ecuación vectorial del plano es:
𝜋: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,1,1) + 𝝀(−𝟏, 𝟎, −𝟏) + 𝝁(𝟏, −𝟏, 𝟐)
Ejemplo 3: Dados tres puntos P(0,0,-1) , Q(1,2,1) y R(1,4,4) no colineales. Obtener un punto T ,
tal que los cuatro puntos formen un paralelogramo.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑝⃗ + (𝑞⃗ − 𝑝⃗) + (𝑟⃗ − 𝑝⃗) = 𝑞⃗ + 𝑟⃗ − 𝑝⃗ = (2,6,6)
𝑡⃗ = 𝑝⃗ + 𝑃𝑄
Entonces T=(2,6,6)
Intersección de rectas y planos en el espacio.
Si consideramos una recta y un plano en el espacio, se pueden dar las siguientes situaciones o
posiciones relativas:
Recta paralela al plano.
Ejemplo, consideremos el plano:
𝜋: 4𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 2
𝑥 = 4 + 2ℎ
Y la recta L {𝑦 = 6 + 3ℎ}
𝑧 = −2
Determine la intersección entre la recta y el plano?
Solución:
Consideremos que el punto: (𝑥0 , 𝑦0, 𝑧0 ) es un punto que pertenece tanto al plano como a la recta..
Entonces debe satisfacer:
𝝅: 𝟒𝒙𝟎 + 𝟑𝒚𝟎 − 𝒛𝟎 = 𝟐
𝑳 ∶ 𝒙𝟎 + 𝟒 + 𝟐𝒉𝟎
𝒚𝟎 = 𝟔 + 𝟑𝒉𝟎
𝒛𝟎 = −𝟐
Entonces se tiene cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas.
Reemplazando las ecuaciones de la recta en la ecuación del plano , se obtiene:
𝟒(𝟒 + 𝟐𝒉𝟎 ) + 𝟑(𝟔 + 𝟑𝒉𝟎 ) − (−𝟐) = 𝟐
De donde: 𝒉𝟎 =-2
Por lo tanto: 𝒙𝟎 = 𝟎 , 𝒚𝒐 = 𝟎
, 𝒛𝟎 = −𝟐
El punto obtenido es entonces (0,0,-2). Este punto satisface la ecuación dl plano y de la recta,
por lo tanto estamos en el caso en que la recta es secante al plano.
Caso2:
Si consideramos dos planos en el espacio, estos pueden ser paralelos, secantes o coincidentes.
Ejemplo:
𝜋1 : 4𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 6
Consideremos los planos:
y
𝜋2 : 3𝑥 + 4𝑦 + 4𝑧 = 12
Se grafican los planos revisando los puntos de intersección en cada eje.
Eje X
𝜋1
𝜋2
3
( , 0,0)
2
(4,0,0)
Eje Y
Eje z
(0,2,0)
(0,0,6)
(0,3,0)
(0,0,3)
Observamos en la gráfica que los puntos P y Q son
los puntos de intersección de ambos planos.
Entonces:
El punto P se ubica en
el plano XZ , por lo que
su ordenada es cero
Por tanto , si y=0 ,
entonces el sistema se
reduce a :
4𝑥 + 𝑧 = 6
3𝑥 + 4𝑧 = 12
Resolviendo
este
sistema se obtiene:
12
30
𝑃 = ( ;0; )
13
13
El punto Q se ubica en
el plano YZ , por lo que
su abscisa es cero
Por tanto , si x=0 ,
entonces el sistema se
reduce a :
3𝑦 + 𝑧 = 6
4𝑦 + 4𝑧 = 12
Resolviendo
este
sistema se obtiene:
3 3
𝑄 = (0; ; )
2 2
La intersección de los dos planos es una recta, ya que los planos son secantes.
12
30
Para determinar su ecuación. Consideramos que pasa por el punto: 𝑃 = (13 ; 0 ; 13)
Y que su vector director es:
𝑑⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 = 𝑞⃗ − 𝑝⃗ = (0;
Entonces
la
3 3
12
30
12 3
21
; ) − ( ; 0 ; ) = (− ; ; − )
2 2
13
13
13 2
26
ecuación
vectorial
de
la
12
30
12 3
21
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ( ; 0 ; ) + 𝜆 (− ; ; − )
13
13
13 2
26
recta
es:
Actividades:
1.- Obtenga el punto de intersección de la recta: 𝑥 = 2𝑡 ; 𝑦 = 3𝑡 + 1 ; 𝑧 = 𝑡 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜: 3𝑥 +
2𝑦 − 11𝑧 − 5 = 0
2.- ¿Cuál es la posición relativa del plano : : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 1 = 0 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠:: 𝑥 −
𝑧
1 = 2 − 𝑦 = 3?
3.- dados los siguientes planos:
𝑥+𝑦 =1 ;
Determina los valores de m para los cuales:
3.1.-Se cortan en un plano
3.2.-Se cortan en una recta
3.3.-No se cortan.
𝑚𝑧 + 𝑧 = 0