C - dgeti quintana roo

Ejemplo 1
1.
Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y radio 6.
....
SOLUCIÓN
En este caso: h = -3, k = 2 y r = 6.
Al sustituir estos valores en la ecuación (1) de la sección 5.1., se obtiene:
Al desarrollar los binomios en la última igualdad y simplificar, se obtiene finalmente:
Ejemplo 2
2.
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el
punto común a las rectas:
y
.
..
..
SOLUCIÓN
Al resolver simultáneamente el sistema:
se obtiene
Asi que el centro de la circunferencia es el punto C(3, 1).
Ahora, como la circunferencia pasa por el punto 0(0, 0), se tiene
que
.
es el valor del radio.
Usando nuevamente la ecuación (1) de la sección 5.1. con
obtiene:
y
, se
..
Ejemplo 3
3.
Determine la ecuación de la circunferencia uno de cuyos diámetros es el segmento de
extremos
y
.
......
SOLUCIÓN
Si D denota el diámetro de la circunferencia, entonces, el radio r
es
.
Es decir,
(fórmula de la distancia).
Esto es,
Ahora, las coordenadas del centro C(h, k) son las coordenadas del punto medio del
segmento
Asi que:
. (Ver fig.).
y
Luego, la ecuación de la circunferencia pedida
es:
.
Ejemplo 4
La
4.
ecuación:
su centro C(h, k) y su radio r.
representa una circunferencia. Determine
....
..
SOLUCIÓN
La ecuación dada puede escribirse en las formas equivalentes:
Comparando esta última ecuación con la ecuación (1) de la sección 5.1., se deduce
que:
y
.
Luego, el centro de la circunferencia es el punto C(-3, 7) y su radio es r = 8.
Ejemplo 5
H
5. allar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 6), B(4, -2) y C(9,
3). Encuentre las coordenadas del centro y el radio.
....
....
SOLUCIÓN
Como A, B yC no están alineados, hay una circunferencia ð que pasa por A, B y C.
Su ecuación es la forma
x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0
Hallemos d, e y f.
Como A(0, 6) 
C,
02 + 62 + 2d.0 + 2e.6 + f = 0
Asi que: 36 + 12e + f = 0 (1)
Como B(4, -2)  C , 16 + 4 + 2d.4 + 2e.(-2) + f = 0
Es decir, 20 + 8d – 4e + f = 0 (2)
Como C(9, 3) 
C , 81 + 9 + 2d.9 + 2e.3 + f = 0
Asi que: 90 + 18d + 6e + f = 0 (3)
El sistema de ecuaciones (1), (2), (3) puede escribirse así:
12e + f = -36
8d – 4e + f = -20
18d + 6e + f = -90
o también:
cuya solución es: d = -4, e = -3, f = 0
Luego la ecuación de ð es : x2 + y2 – 8x – 6y = 0 que podemos escribir:
(x2 – 8x + 16) + (y2 – 6y + 9) = 25
ó (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25
Así que la circunferencia
C
circunscrita al triángulo ABC tiene centro en (4, 3) y radio 5.
..
Ejercicio 6
6.
Determine los puntos comunes a la circunferencia
recta
.
y a la
..
Ejercicio 7
7.
Determine los puntos comunes a la circunferencia
recta
y a la
.
..
..
SOLUCIÓN
Como en el caso anterior, los puntos comunes son las soluciones al sistema de ecuaciones:
(1)
(2)
De (2) se tiene:
(3).
Sustituyendo (3) en (1) se puede escribir:
La última ecuación, tiene como única solución x = 2 que corresponde a la abscisa del único
punto de intersección.
Sustituyendo el valor de x = 2 en (3) se obtiene:
el único punto común a la recta y a la circunferencia.
. De esta forma
En este caso, la recta es tangente a la circunferencia en el punto
La figura adjunta ilustra la situación.
es
.