EJERCICIOS DE CONTROL ESTADISTICO DE PROCESO. Texto

EJERCICIOS DE CONTROL ESTADISTICO DE PROCESO.
Texto:
Control Estadístico de la Calidad Douglas Montgomery Editorial Limusa Wiley, 3ª
Edición
Ejercicios de Revisión Capítulos 2 y 3
Los siguientes ejercicios complementan a los que se encuentran en los referidos
capítulos del texto, que también deben ser resueltos en su totalidad.
1º) El contenido de jabón en unas cajas sigue una distribución normal. Si el 80%
de las cajas contienen menos de 429,20 gramos de jabón, y el 90% de las cajas
contienen más de 418,60 gramos:
a) Determine la media y la desviación típica de la distribución.
b) ¿Cuál es el porcentaje de cajas cuyo contenido se encuentra en el intervalo
(420 ± 5 ) gramos?
Solución:
a) µ =425 grms, σ=5 grms
b) 47,72 % .
2º) Una pieza debe caer dentro de la especificación (200 ± 4) mm., para que sea
considerada como buena. Las piezas que caen por debajo del límite inferior de la
especificación, son consideradas como defectuosas y deben ser desechadas;
mientras que, las que caen por encima del límite superior de la especificación,
pueden ser corregidas, y llevadas a los límites de la especificación. Para producir
estas piezas, se dispone de una máquina que las fabrica según una Distribución
Normal, con media 200 mm., y desviación típica de 5 mm .El costo de producción
para una pieza es de $ 7000, y el costo de la corrección es de $ 2000; mientras que
el precio de venta de la pieza, es de $ 15000.
a) ¿Cuál es el ganancia esperada en la producción de una pieza? .
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un lote de 10 piezas, alguna caiga fuera de
los límites de especificación?
Solución:
a) $ 4400
b) 0,9960
3º) El proceso de llenado de unas botellas de refresco, sigue una distribución normal
con media 220 cc .
a) Determine la desviación típica del proceso, si el 8% de las botellas resultan con
un contenido inferior a 200 cc.
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que una botella resulte con un contenido superior
a250 cc. ? .
Solución:
a) 14,23 cc
b) 0,0174
4º) El consumo diario de un cierto producto sigue una distribución gamma con
media 6 y varianza 18. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día, el consumo sea
más de 9?
Solución: 0,1991
6°) El contenido de refresco en una botella sigue una Distribución
Normal con media 200 cc y desviación típica 20 cc. Al final del proceso
de producción existe un dispositivo de control que rechaza las botellas
con un contenido inferior a 180 cc.
a) ¿Qué porcentaje de la producción resultará rechazada?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una botella que aprobó el control ,
contenga más de 210 cc ?
Solución:
a) 15,87 %
b) 0,3667
7°) La duración de unas pilas sigue una Distribución Normal con media
20 horas. Se sabe que el 80% de estas pilas sobrepasan las 15 horas
de funcionamiento. Un radio lleva 4 pilas conectadas en serie, es decir,
que si falla alguna, entonces falla el radio.
¿Cuál es la probabilidad de que el radio falle antes de las 18 horas de
uso?
¿Por cuánto tiempo podría garantizarse la operación del radio, para
tener probabilidad 0,95, de cumplir con lo garantizado ? .
Solución :
a) 0,8393
b) 6,70 horas aproximadamente
8º) El proceso de llenado de ciertas cajas sigue una Distribución
Normal, y se exige que la desviación típica no exceda de 25 gramos.
Con el objeto de mantenerlo controlado, se toman muestras periódicas
de 12 cajas, y si la desviación típica de la muestra es de 30 gramos ó
más, se detiene el proceso.
a) ¿Cual es el nivel de significación de esta prueba ?.
b) Si el proceso se desajusta, y pasa a llenar las cajas con una
desviación típica de 40 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que la
prueba no lo detecte?
9º) El contenido de unas cajas de cereal sigue una Distribución Normal
con una desviación típica de 25 gramos. Una muestra aleatoria de 36
cajas arrojó una media de 500 gramos.¿ Con qué nivel de confianza
puede decirse que el contenido medio de todas las cajas de
cereal, está entre 495 y 505 gramos .
Solución: 76,99 %
10°) El siguiente diagrama de tallo y hoja representa el resultado de una
muestrade 40 estudiantes, al medir el peso de cada uno de ellos:
Frecuencia Tallo Hoja3 4 o 6781 5 * 44 5 o 55799 6 * 0222333447 6 o
55566887 7 * 01113345 7 o 566782 8 * 142 8 o 69 Asumiendo
normalidad , encuentre intervalos del 99% de confianza para la mediay
para la desviación estándar de la población.
11º) En el pasado un cierto proceso industrial producía un 6% de piezas
defectuosas. Después de introducir ciertos cambios, se encuentra que
en una muestra de 300 piezas, solo hay 10 defectuosas. ¿ Puede
afirmarse a un nivel de significación del 5%, que los cambios han sido
efectivos para mejorar la calidad del proceso ? .
12º) Los siguientes datos representan la resistencia en Kg /cm2, de
cierto tipo de concreto según sea el tipo de arena usada en su
fabricación:
Arena de grano ordinario: 208 203 229 215 220 223 233 228 209
Arena de grano fino :
208 181 207 173 165 190 181 184 212
A un nivel de significación del 5%, ¿se puede concluir que el tipo de
arena es un factor influyente en la calidad del concreto ? .
Solución: t = 4,531 . Si es significativamente influyente
13º) Un fabricante de radios recibe periódicamente de su proveedor un
lote de pilas alcalinas, el cual examina por muestreo. Este fabricante
exige que la duración promedio de estas pilas sea de 50 horas como
mínimo. Una muestra aleatoria dio el siguiente resultado:
Duración (Horas)
46-48
48-50 50-52
52-54
Frecuencia
2
3
4
1
Asumiendo normalidad en la duración de las pilas.
a) ¿Aconsejaría Ud., a un nivel de significación del 5%, que se acepte
el lote? .
b) Al mismo nivel de significación anterior. ¿Aceptaría Ud., la hipótesis
de que la desviación típica en la duración de estas pilas es de 1 hora
como máximo?
6 Ejercicios De Control Estadístico de Calidad U.C.V Angel F. Arvelo
Resistencia Frecuencia80 - 100 4100 - 120 8120 - 140 9140 - 160 3160 - 180 1a)
Obtenga un intervalo del 95 % de confianza para la resistencia media de
estascuerdas.b) Obtenga un intervalo del 95 % de confianza para su desviación
típica.c) A un 5% de significación, pruebe la hipótesis de que la resistencia media
deestas cuerdas es de 135 por lo menos. Asuma normalidad en la resistencia de
las cuerdas.19°) La vida de una componente sigue una distribución exponencial con
media 10horas. Se dispone de 30 componentes que serán usadas una tan pronto
falle laanterior.a) Calcule la confiabilidad para un servicio de 335 horas.b) ¿Cuántas
componentes se necesitan para que la confiabilidad sea de 0,99 por lo
menos?Solución : a) 0,2520°) Una orden de producción establece que las
especificaciones para una piezadeben ser de (20.00 ± 1.00 ) mm.El ingeniero de
producción debe decidir entre dos máquinas para ejecutar estaorden.La siguiente
tabla da los parámetros de producción para cada máquina y
suscostos:Media
(
mm)
Desviación
típica(m
m)Costo
($
/
pieza)Máquina A 19,95 0,85 1,00Máquina B 20,02 0,50 1,20Si la pieza es
defectuosa, el fabricante pierde el costo de producirla; y si resultaconforme a las
especificaciones la puede vender en $ 1,80¿Cuál de las dos máquinas debe elegir
para producir las piezas?.
Solución: Conviene la máquina “B” porque da una ganancia esperada mayor. $
0,52 para B y $ 0, 37 para A.21°) Un fabricante anuncia que la resistencia media a
la compresión de unosbloques marca "A", excede a la media de otros bloques marca
"B" en 12 Kgs/cm2,como mínimo.Para demostrarlo, ensaya bajo condiciones
similares 21 bloques marca "A" y 31bloques marca "B" . La muestra de los bloques
marca "A" ,arrojó una resistenciamedia a la compresión de 86,7 Kgs/cm2, con una
desviación típica muestral de de6,28 Kgs/cm2, mientras que la muestra de los
bloques marca "B" dio una
7 Ejercicios De Control Estadístico de Calidad U.C.V Angel F. Arvelo
resistencia media de 77,8 Kgs/cm2, con una desviación típica muestral de
5,61Kgs/cm2. Asumiendo que la resistencia de los bloques de cada una de las
marcas, sedistribuye normalmente e independencia.a) Pruebe a un nivel de
significación del 5% , si las varianzas en las resistenciasde las dos marcas son
iguales .b) Pruebe a un nivel de significación del 5% ,la afirmación enunciada por
elfabricante. .22°) Un Ingeniero Industrial afirma que si una cierta operación se
efectúa por uncierto método, se logrará una economía en tiempo de 10 segundos
en promedio,por lo menos.Se realizan observaciones de tiempos sobre grupos
diferentes de obreros, por losdos procedimientos, el convencional y el propuesto por
él,
obteniendo:Método
convencional
(seg.)
:
180,1
176,3
183,6
185,4 179,2Método propuesto (seg.):173,4 170,7 175,4 169,6 170,1 168,4
172,9 Asumiendo que el tiempo de ejecución por ambos métodos, sigue cada uno,
unaDistribución Normal, y a un nivel de significación del 5%:a) ¿Puede afirmarse
que sus varianzas son iguales? .b) ¿Puede aceptarse como cierta, la afirmación
hecha por el Ingeniero Industrial ?23°) Se afirma que al añadir un cierto aditivo a la
gasolina, aumentará elrendimiento en el consumo de la misma, obteniéndose como
mínimo 1 Kilómetropor litro más, en promedio .Se seleccionaron 12 automóviles,
que en primer lugar usaron gasolina sin eladitivo, y posteriormente, sin cambiar de
conductores ni de ruta, usaron gasolinacon el aditivo. Se observó el rendimiento en
cada caso, obteniéndose lossiguientes resultados en Kilómetros por
litro: Automóvil: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Sin el aditivo: 4,1 4,9 6,2 6,9 6,8 4,4 5,7 5,8
6,9 4,9 6,0 4,9Con el aditivo:5,2 5,7 7,6 8,0 7,7 5,5 6,7 6,5 7,4 5,3 7,0 5,6 Asumiendo
que el consumo de gasolina en cada caso sigue una DistribuciónNormal:a) ¿Podría
aceptarse como cierto, a un nivel de significación del 5%, que el usodel aditivo,
aumenta el rendimiento medio en el consumo de combustible, en 1kilómetro por
litro, por lo menos ? .b) Dé un intervalo del 95% de confianza para en incremento
en el rendimientomedio, dado por el aditivo.24°) Para una cierta etapa de un proceso
de producción es necesario adquirir unamáquina, y hay que decidir entre dos
modelos "A" y "B" .Puesto que el modelo "B" es más económico, la empresa
preferiría seleccionarlo,a menos de que exista una evidencia significativa de que
fabrica una mayor proporción de piezas defectuosas, en cuyo caso preferiría
seleccionar el modelo"A", a pesar de ser más cara.
8 Ejercicios De Control Estadístico de Calidad U.C.V Angel F. Arvelo
Ud. como Ingeniero de Producción, decide tomar sendas muestras de
cadamáquina,
obteniendo
como
resultado:Modelo "A" Modelo "B"Piezas Producidas 400 600Piezas Defectuosas
12 21¿ Cual modelo recomendaría Ud. ? .Seleccione un nivel de significación del
5%.
Texto:
Control Estadístico de la CalidadDouglas MontgomeryEditorial Limusa Wiley, 3ª
Edición
Ejercicios de Revisión Capítulo 5 y 7
: Resolver la totalidad de los Ejerciciosdel Capítulo 5 , y los Ejercicios del 7.1 al 7.10
del Capítulo 7.1º) Se quiere construir un gráfico de control (
X
, S ) para una importantecaracterística de calidad.Se toman del proceso de
producción, 40 subgrupos racionales de tamaño 12 cadauno, a intervalos regulares
de tiempo, y se les calcula su media
X
y su desviaciónestándar S.El resumen de los resultados obtenidos es:
X
iii
140
2980
S
iii1
40
120
a) Encuentre los límites de control para el gráfico (
X
,
S
).b) ) Encuentre los límites de advertencia para el gráfico
X
c) Suponga que todos los puntos en ambas gráficas , caen entre los límites decontrol
,y que la decisión de detener al proceso se toma al encontrar la segundamuestra
fuera de los límites de control.De ocurrir un deslizamiento en la media del proceso
en 2 unidades hacia laderecha, ¿cuál es la probabilidad de detener al proceso en la
quinta muestrasubsiguiente o antes.d) Si las especificaciones son 75 ± 4, estime el
porcentaje de piezas defectuosasque actualmente fabrica el proceso, calcule los
índices de capacidad C
p
yC
pk
, ydiga sus conclusión acerca de la capacidad del proceso , para producir
artículosconformes a estas especificaciones .Solución: c) 0,3180 b). C
p
= 0,4343 C
pk
= 0,38
2º) En algunos textos de “Control Estadístico de Calidad”, existen tablas como la
Tabla 7.3 Pag. 360 del libro de Douglas Montgomery , que permiten estimar
laproporción de piezas no conformes, para ciertos valores del coeficiente
decapacidad potencial Cp ; y así por ejemplo, en esa tabla se lee que paraCp =
0,50, la proporción estimada de piezas no conformes es de 66.800 y de133.600
piezas no conformes por cada millón de piezas producidas, paraespecificaciones
unilaterales y bilaterales respectivamente.
Justifique dichas estimaciones
13 Ejercicios De Control Estadístico de Calidad U.C.V Angel F. Arvelo
b) Calcule el riesgo del consumidor para este plan. Escriba la expresión exacta,
yluego aproxímela.c) Suponga que Ud. considera que este riesgo es muy alto, y Ud.
quisiera que elriesgo fuera de 0.05 para el productor, y 0,10 para el consumidor.
¿Cuál deberíaser el plan simple correspondiente?d) Si se decide aplicar un plan de
muestreo doble, ¿cuál es el sugerido por lanorma MIL STD 105 E?e) ¿Cuál es el
riesgo del consumidor para este plan?. Escriba la expresión exacta,y luego
aproxímela.f) Suponga que Ud. considera que este riesgo es muy alto, y Ud. quisiera
que elriesgo fuera de 0.05 para el productor, y 0,10 para el consumidor. ¿Cuál
deberíaser el plan doble correspondienteg) Si se decide aplicar un plan de muestreo
por variables, ¿ cuál es el plansugerido por la Norma MIL STD 414, bajo el nivel
general IV?h) Si la muestra sugerida en h) arroja:
X
= 19,95 , S = 0,06 . Analice, si este lotedebe o no ser aceptadog) Si se decidiera
aplicar un plan con inspección rectificadora, tal que a un lote con5% de
defectuosas le conceda apenas una probabilidad 0,10 de ser aceptado,¿Cuál es el
plan simple que minimiza la inspección total media?. Asuma que elproveedor
cumple con el AQL convenido del 1%.h) ¿Cual es el máximo porcentaje promedio
de defectuosos que pudiera ingresar al proceso bajo la vigencia del plan hallado en
g)i) Calcule la inspección total media para el plan hallado en g)
8°) A un proveedor nuevo se le va a examinar el primer lote que envía, a nivelgeneral
de inspección II, según lo establecido en la norma MIL STD 105 E .Este proveedor
envía su producto en lotes de tamaño 2500 y el AQL convenidoes de 0,25%,
mientras que el LTPD es del 1,5%a) ¿Cuál es el plan simple sugerido? .b) Calcule
el riesgo del productor y el del consumidor, para este plan.c) Suponga que Ud.
considera que estos niveles de riesgo son muy altos, y Ud.quisiera reducirlos a 0,05
para el productor, y a 0,10 para el consumidor aplicandoun plan de muestreo doble
con n
2
=2n
1
. ¿Cuál debería ser el plan doble?d) ¿Cual es la probabilidad de que un lote con 1%
de defectuosos apruebe lainspección con este plan de muestreo
doble?e) Suponga que las especificaciones para este producto exigen 10.00 0.08,
yUd. decide un plan por variables en lugar de uno por atributos, con Nivel GeneralIII,
¿ cuál es el plan sugerido por la Norma MIL STD 414
14 Ejercicios De Control Estadístico de Calidad U.C.V Angel F. Arvelo
f) Si la muestra sugerida en e) , arroja:
X
= 10,04 , S = 0,02 . ¿ Qué decisión debetomarse respecto al lote ? .Solución: a) n=
200 , c= 1 b) 0,09 y 0,1969 c) n
1
= 240 n
2
= 480 c
1
=0c
2
= 3e) n= 30 M= 0,897 f) Se rechaza9º) Un primer lote de tamaño 4000 fabricado por
un proveedor nuevo, va a ser sometido a un plan de muestreo para la aceptación.El
AQL convenido es de 0,15 %, mientras que el LTPD es de
1%.Las especificaciones exigidas para el producto son 80.00 0.50a) Si se decide un
plan simple por atributos, ¿cuál es el plan sugerido por laNorma MIL STD
105 D, utilizando un nivel general de inspección II. ?.b) ¿Cuál es el riesgo del
productor para este plan simple?. Escriba la expresiónexacta, y luego aproxímela.c)
Si se decide un plan doble por atributos, ¿cuál es el plan sugerido por la NormaMIL
STD 105 D, utilizando este mismo nivel general de inspección II. ?.d) ¿Cuál es el
riesgo del consumidor para este plan doble?.e) Suponga que Ud. considera que
estos riesgos no resultan convenientes, y Ud.quisiera que fuesen de 0,05 para el
productor, y de 0,10 para el consumidor.e.1) Diseñe el plan de muestreo simple
correspondiente.e.2) Diseñe el plan de muestreo doble correspondiente, con n
2
=2n
1
.f) Si se decide un plan por variables, ¿cuál es el plan sugerido por la Norma MILSTD
414 bajo el nivel de inspección IV?g) Si la muestra sugerida en f), arroja:
X
= 79,80, S = 0,16. ¿ Qué decisión debetomarse respecto al lote ?.Solución: a)
n= 315, c= 1 b) 0,0819 c) n
1
=n
2
= 200 c
1
=0c
2
= 2 d) 0,1702e.1) n= 507 c= 2 e.2) n
1
= 400 n
2
= 800 c
1
=1c
2
= 3 f) n= 50 M= 0,503g) Se rechaza el lote10°) Lotes de tamaño 700 provienen de
un proceso que tiene un porcentajepromedio estimado del 0,15 % de defectuosos,
y van a ser sometidos a un plan demuestreo doble por atributos, con inspección
rectificadora.Se quiere que en caso de llegar un lote con 1% de defectuosos, su
probabilidad deaceptación sea de apenas 0,10a) ¿Cual es el plan de muestreo
recomendado, para minimizar la inspección totalmedia?b) Con este plan, ¿qué
garantía se le podría ofrecer al consumidor, sobre elporcentaje promedio de
defectuosas que recibirá ?.c) Suponga que ocurre un desajuste, y el porcentaje
promedio de defectuosos delproceso cambia a 0,7%.Para esta nueva situación:
15 Ejercicios De Control Estadístico de Calidad U.C.V Angel F. Arvelo
Encuentre la inspección total mediaVerifique que a pesar del desajuste se sigue
cumpliendo con lo garantizado.Solución: a) n
1
= 235 n
2
= 125 c
1
=0c
2
= 1 b) AOQL = 0,16% c ) ATI = 565,75 AOQ = 0,13% < 0,16%11) Un proveedor que
estaba siendo inspeccionado bajo Inspección Normalacaba de ser pasado a
Inspección Estricta.Los lotes enviados por este proveedor son de tamaño 1.000, y el
AQL convenidoes de 0,65 % ,a) Si se decide un plan por atributos, con muestreo
simple ¿cuál es el plansugerido por la Norma MIL STD 105 E, utilizando un nivel
general de inspecciónII. ?.b) Bajo la vigencia de este plan, y suponiendo que el
proveedor está cumpliendocon el AQL convenido, ¿cuál es la probabilidad de que
después de habérseleexaminado los cinco lotes subsiguientes, aún deba
permanecer bajo InspecciónEstricta ?.c) Si se decide un plan por variables, y las
especificaciones establecen que lapieza debe medir 40.00 0.10 , ¿cuál es el plan
sugerido por la Norma MIL STD414 para Inspección Estricta, con un nivel general
IV?d) Si la muestra sugerida en c) , arroja:
X
= 40,01 , S = 0,04 . ¿Qué decisión debetomarse respecto al lote
?Solución: a) n=125 c=1 b) 0,6630 c) n= 35 M= 1,23 d) Se acepta el lote