análisis de fourier - Ingeniería Mecánica Aplicada y Computacional

DEPARTAMENTO DE
INGENIERÍA MECÁNICA,
ENERGÉTICA
Y DE MATERIALES
ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
ANEXO:
Análisis de
Fourier
3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES
- A.1 -
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
- A.2 -
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A.1
ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
Introducción
Por regla general, el estudio de vibraciones en sistemas mecánicos suele iniciarse
analizando la respuesta de un sistema discreto básico de un grado de libertad ante
solicitaciones de tipo armónico, para, posteriormente, extender los resultados obtenidos al
caso de solicitaciones periódicas cualesquiera. Ello permite analizar el comportamiento de
sistemas mecánicos ante excitaciones periódicas. La principal ventaja de las excitaciones
periódicas es que basta con analizar un periodo de la excitación para extender las
conclusiones obtenidas a la totalidad del dominio temporal.
No obstante, resulta también de interés ampliar el campo de trabajo para poder incluir las
vibraciones aleatorias, ya que ésta será la realidad con la que nos encontremos en una
gran parte de los casos con los que podamos enfrentarnos. Además, muchos de los
algoritmos empleados en los analizadores de vibraciones para determinar las frecuencias
naturales y los modos de vibración de un sistema mecánico están desarrollados desde la
perspectiva de las vibraciones aleatorias.
El estudio de la vibraciones mecánicas de carácter aleatorio se caracteriza por el uso de la
estadística y del análisis espectral, análisis en el dominio de la frecuencia; mediante el cual
una función periódica puede ser descompuesta en sus componentes armónicas, lo que es
conocido también como Análisis de Fourier.
En este Anexo se introduce el Análisis de Fourier, basado en la Transformada de Fourier, a
partir de las Series de Fourier. Se estudiarán sus propiedades más significativas con un
cierto detalle de cara a su posterior aplicación en el ámbito del Análisis Modal. El estudio
de la Transformada de Fourier Finita y de la Transformada de Fourier Discreta permitirá
analizar las aproximaciones que se llevan a cabo en el ámbito señalado y los errores
presentes en su aplicación.
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- A.3 -
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A.2
ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
Series de Fourier
Sea una función periódica f(t) de periodo T. Se verificará entonces:
f(t+T) = f(t+2T) = ...= f(t+nT) = f(t)
(1)
La teoría matemática de las Series de Fourier demuestra que si la función periódica f(t) es
continua y tiene definidas las derivadas por la izquierda y por la derecha en cada punto del
intervalo [0,T], dicha función puede expresarse como serie de funciones armónicas en la
forma
1
f (t ) = a 0 +
2
∞
j =1
a j cos(2πjf 0 t ) +
∞
j =1
b j sen(2πjf 0 t )
(2)
donde f0 es la llamada frecuencia fundamental, y es igual a 1/T.
Por otra parte los coeficientes aj y bj vienen dados por las expresiones
aj =
2
T
bj =
2
T
T2
−T 2
T2
−T 2
f (t ) cos(2πjf0 t )dt
j = 0, 1, 2, ...
(3)
f (t ) sen(2πjf0 t )dt
j = 1, 2, ...
(4)
donde las funciones sen(2πjf0t) y cos(2πjf0t) forman un sistema ortogonal, ya que se
verifican las siguientes relaciones
T2
−T 2
T2
−T 2
T2
−T 2
T2
−T 2
T2
−T 2
sen(2πjf0 t )dt = 0
j = 1, 2, ...
(5)
cos(2πjf0 t )dt = 0
j = 0,1, 2, ...
(6)
sen(2πif0 t ) cos(2πjf0 t )dt = 0
i, j = 0, 1, 2, ...
(7)
sen 2 (2πjf0 t )dt =
T
2
j = 1, 2, ...
(8)
cos 2 (2πjf0 t )dt =
T
2
j = 1, 2, ...
(9)
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- A.4 -
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T2
−T 2
ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
cos(2πif0 t ) cos(2πjf0 t )dt = 0
i≠j
(10)
sen(2πif0 t ) sen(2πjf0 t )dt = 0
i≠j
(11)
T2
−T 2
Puede ayudar a justificar la ecuación (2) el considerar que f(t), que es una función
periódica de periodo T, se obtiene como serie de funciones periódicas cuyos periodos son
divisores exactos del periodo T.
La Serie de Fourier definida por las expresiones (2), (3) y (4) puede escribirse también de
otra forma más compacta haciendo:
A j = a 2j + b 2j
θ j = arctg
(12)
bj
(13)
aj
de donde resulta que aj y bj pueden expresarse en la forma
a j = A j cos θ j
(14)
b j = A j sen θ j
(15)
Sustituyendo estos resultados en (2)
1
f (t ) = a 0 +
2
1
= a0 +
2
∞
j =1
∞
j =1
A j (cos θ j ⋅ cos(2πjf0 t ) + sen θ j ⋅ sen(2πjf0 t )) =
A j cos(2πjf0 t − θ j )
(16)
FORMA EXPONENCIAL COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER
Más utilidad que las dos anteriores expresiones (2) y (16), tiene una tercera forma de
expresar la Serie de Fourier, conocida con el nombre de forma compleja de la Serie
Fourier. Las relaciones de Euler establecen que
1
cos(2πjf0 t ) = (e i 2 πjf0t + e −i 2 πjf0t )
(17)
2
sen(2πjf0 t ) =
(
1 i 2 πjf0t
e
− e −i 2 πjf0t
2i
)
(18)
haciendo
Fj =
1
(a j − ib j )
2
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(19)
- A.5 -
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
y sustituyendo (17), (18) y (19) en la ecuación (2) resulta
1
f (t ) = a 0 +
2
éæ a j − ib j
êçç
j =1 ë
êè 2
∞
ö i 2 πjf0 t æ a j + ib j
÷÷e
+ çç
ø
è 2
ö −i 2 πjf0 t ù
÷÷e
=
ø
∞
1
= a 0 + (Fj e i 2 πjf0t + Fj* e −i 2 πjf0t )
2
j =1
donde F*j es el complejo conjugado de Fj. Teniendo en cuenta (3) y (4) se verifica
aj = a-j
bj = -b-j
(20)
(21)
y por tanto, dada la expresión (19), se tendrá que
F*j = F-j
(22)
sustituyendo este resultado en (20)
f (t ) =
∞
j= 0
Fj e i 2 πjf0t +
∞
j =1
F− j e −i 2 πjf0t =
∞
j= 0
Fj e i 2 πjf0t +
−∞
j = −1
Fj e i 2 πjf0t
(23)
y podremos obtener:
f (t ) =
∞
−∞
Fj e i 2 πjf0t
(24)
Recordando (3), (4) y (19), los coeficientes Fj tendrán la forma:
Fj =
1
(a j − ib j ) = 1
2
T
T2
−T 2
f (t )cos(2πjf0 t )dt −
i
T
T2
−T 2
f (t ) sen(2πjf0 t )dt
(25)
teniendo en cuenta que, según la fórmula de Euler,
e − i2 πjf0t = cos(2πjf0 t ) − i sen(2πjf0 t )
sustituyendo en (25), resulta finalmente
Fj =
1
T
T2
−T 2
f (t )e −i 2 πjf0t dt
j = 0, ±1, ±2, ...
(26)
las expresiones (24) y (26) constituyen la forma compleja de la Serie de Fourier, a la que
cabe darle una interpretación geométrica de cierto interés.
Fj es un número complejo que puede ser asociado con un vector en el plano. Su módulo o
magnitud |Fj| y su argumento θj están relacionados con las expresiones (12) y (13). A su
vez, (Fj e i 2 πjf0t ) es otro número complejo de la misma magnitud que puede ser expresado:
Fj e i 2 πjf0t = Fj e
(
i 2 πjf0t + θ j
)
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(27)
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Este número complejo puede ser
considerado como un vector de
magnitud |Fj| que gira en sentido
contrario a las agujas del reloj con
velocidad angular 2πjf0 (Figura 1).
Por otra parte, el correspondiente
término con (j) negativo es otro vector
de la misma magnitud |Fj| y
argumento (-θj).
ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
Figura 1
Explicitando el signo (-) cuando (j) es negativo, el número complejo (F− j e − i 2 πjf0t ) resulta ser
un vector simétrico al de la Figura 1, que gira con velocidad angular 2πjf0 en el sentido de
las agujas del reloj.
Ambos
vectores
aparecen
representados en la Figura 2,
juntamente con su resultante.
A partir de dicha figura puede
deducirse que esta resultante es un
movimiento armónico real de
amplitud (2|Fj|) y de frecuencia jf0.
En función de los coeficientes aj y bj
esta amplitud será:
2 Fj = 2
a 2j
4
+
b 2j
4
= a 2j + b 2j
Figura 2
(28)
lo cual está de acuerdo con la expresión (12). En la Figura 2, puede observarse que las
componentes imaginarias de los dos términos en (j) y en (-j) se anulan entre sí. Por eso,
aunque la expresión (24) es un sumatorio de números complejos, el resultado de dicho
sumatorio es real.
La expresión (26) indica el modo de extraer la componente Fj a la frecuencia jf0, de la
función f(t). Recuérdese que la función f(t) tiene un conjunto de componentes armónicas de
frecuencias múltiplo de la frecuencia fundamental f0. Según lo que se acaba de ver, f(t)
puede considerarse como la suma de un conjunto de parejas de vectores que giran con
velocidades angulares opuestas de valor 2πjf0
Como la función f(t) es periódica, será nula la integral extendida a un periodo de cualquiera
de sus componentes armónicas, pues cada una de estas componentes tiene un periodo
que divide exactamente al periodo T. Si se multiplica la función f(t) por e-i2πjf0t, todos los
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- A.7 -
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
vectores Fk que componen f(t) sufren una modificación en su velocidad angular, en el
sentido de que ésta queda disminuida en (2πjf0) radianes, ya que
(F e
k
i 2 πkf0 t
)⋅ e
− i 2 πjf0 t
= Fk e i 2 π (k − j )f0t
(29)
el vector Fk gira ahora con velocidad angular 2π(k-j)f0. Como esta frecuencia sigue siendo
múltiplo de la frecuencia fundamental f0, la integral de este término extendida a un periodo
T seguirá siendo cero a no ser que k=j. Dicho de otra forma, el multiplicar la función f(t) por
e-i2πjf0t tiene como resultado el parar la componente (j), verificándose entonces que
T2
−T 2
f (t )e − i 2 πjf0t dt = T ⋅ Fj
(30)
de donde se deduce la expresión (26). Obsérvese que es el carácter periódico de f(t) lo
que determina que sus componentes aparezcan a frecuencias discretas múltiplo de la
frecuencia fundamental f0. El contenido en frecuencia de una función periódica f(t) puede
representarse gráficamente (Figura 3).
Figura 3
VALOR CUADRÁTICO MEDIO DE UNA SEÑAL PERIÓDICA
Una propiedad de especial interés en una señal periódica es su valor cuadrático medio. En
el caso de una función armónica, su valor cuadrático medio puede calcularse muy
fácilmente.
1
T
0
2
2πt ö
a2
ç a ⋅ sen
÷ dt =
T
2T
è
Tæ
4πt ö
a2
dt =
ç 1 − cos
T
2
è
Tæ
0
(31)
Si se tiene una función periódica f(t) desarrollable en Serie de Fourier en la forma
exponencial compleja vista en la expresión (24)
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- A.8 -
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∞
f (t ) =
−∞
ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
Fj ⋅ e i 2 πjf0t
(24')
se llama espectro de potencia de esta función al conjunto de los valores cuadráticos
medios de sus componentes en frecuencia. Hay que recordar que la amplitud de la
componente de frecuencia jf0 es (2|Fj|). Por tanto su valor cuadrático medio asociado será,
teniendo en cuenta las ecuaciones (28) y (31):
(2 F )
2
j
2
=
a 2j
2
+
b 2j
(32)
2
resultado que está de acuerdo con la expresión (2).
El espectro de potencia puede ser representado gráficamente de 2 formas (Figura 4).
Dichas representaciones se suelen llamar, respectivamente, espectros de dos bandas y
espectro de una banda; y cualquiera de ellas sirve para indicar la composición en
frecuencia de la función f(t). En este sentido, el espectro de potencia proporciona la misma
información que la Serie de Fourier de la Figura 3, aunque es evidente que con él la
información de fase se ha perdido.
Figura 4
RESPUESTA DE UN SISTEMA DE 1 GDL ANTE UNA FUERZA
PERIÓDICA
Recordemos que la ecuación de equilibrio de un sistema de 1 gdl es:
mx + cx + kx = f (t )
(33)
Si f(t) es periódica podrá desarrollarse en Serie de Fourier, según (24):
f (t ) =
∞
−∞
Fj ⋅ e i 2 πjf0t
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(24'')
- A.9 -
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
y como el sistema es lineal, la respuesta será la suma de las respuestas a cada término de
la serie (24''). Siendo cada una de estas respuestas la respuesta ante una fuerza de
carácter armónico - que puede calcularse multiplicando por la correspondiente función de
transferencia -, se tendrá que:
[H(jf ) ⋅ F e ]
(34)
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- A.10 -
x(t ) =
∞
−∞
0
j
i 2 πjf0 t
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A.3
ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
Integral de Fourier
Para extender el resultado del Apartado anterior sobre las Series de Fourier al caso de las
funciones no periódicas, basta hacer tender a infinito el periodo T de la función f(t).
Cuando el periodo T tiende a infinito, la frecuencia fundamental f0 - definida como f0=1/T tiende a cero.
Por otro lado, esta frecuencia
f0 es la que separa las
frecuencias de los distintos
armónicos (Figura 3), por lo
que al tender a cero la función
discreta de dicha figura tiende
a adoptar la forma de una
función continua (Figura 5).
Figura 5
No obstante, conviene precisar que las dimensiones de aj y de A(f) no son las mismas: las
dimensiones de A(f) son las de aj, pero por unidad de frecuencia; esto es, A(f) tiene las
dimensiones de una densidad de aj. Para que aj tuviera la misma dimensión de A(f) habría
que multiplicar ésta por δ(f-jf0) - siendo δ la función δ de Dirac -.
Así pues, cuando f0 → df resulta que
Fj → F(f).df
(35)
1/T = f0 → df
(36)
jf0 → f
(37)
Sustituyendo estos valores en la expresión (26) resulta que
F(f ) =
∞
−∞
f (t )e − i 2 πft dt
(38)
expresión en la que se ha simplificado el término df presente a ambos lados de la igualdad.
Además, el sumatorio de (24) se convertirá en una integral, y se tendrá
f (t ) =
∞
−∞
F(f ) ⋅ e i 2 πft df
(39)
ésta es la expresión de la función f(t) como Integral de Fourier. A la función F(f), definida
mediante la ecuación (38) - y con contenido en todas las frecuencias -, se le llama
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- A.11 -
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
Transformada de Fourier (TDF) de f(t). Análogamente, f(t) es la Transformada de
Fourier Inversa (TDFI) de F(f).
La función F(f) es una función compleja (al igual que Fj), en la que se podrá separar la
parte real y la parte imaginaria. Por analogía con la expresión (19):
1
(A (f ) − iB(f ))
2
a partir de la expresión (38) se deduce que
F(f ) =
A (f ) = 2
B(f ) = 2
∞
−∞
∞
−∞
(40)
f (t ) ⋅ cos(2πft )dt
(41)
f (t ) ⋅ sen(2πft )dt
(42)
de estas expresiones se deduce claramente que A(f) es una función simétrica de f, es
decir: A(f) = A(-f), mientras que B(f) es una función antisimétrica: B(f) = -B(-f).
La Transformada de Fourier (TDF) admite una interpretación análoga a la realizada para
el coeficiente Fj de la Serie de Fourier. Así, los términos:
F(f )df =
1
(A (f ) − iB(f ))df
2
(43)
1
(A (f ) + iB(f ))df
(44)
2
son dos vectores que giran con velocidades angulares (2πf) y (-2πf), dando como
resultante un movimiento armónico de frecuencia (f) y de amplitud (2⋅F(f)⋅df).
F(f )df =
La Transformada de Fourier F(f) de una función f(t) tiene unas condiciones matemáticas de
existencia bastante restrictivas. Puede demostrarse que para que la función f(t) tenga TDF
es necesario que esté acotada la integral
∞
−∞
f (t )dt < ∞
(45)
según esta condición, ninguna función periódica tendría TDF, al estar esta integral
extendida desde (-∞) hasta (+∞). Más adelante se verá cómo puede ser superada esta
dificultad recurriendo a la función δ(t), que no es una función propiamente dicha, sino una
función generalizada.
SIMETRÍA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Esta propiedad consiste en que la TDF de la TDF de una función f(t) está directamente
relacionada con dicha función f(t).
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- A.12 -
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
Sea F(f) la TDF de f(t) y Φ(g) la TDF de F(f). Se verificarán las relaciones
f (t ) =
F(f )e i 2 πft df
∞
−∞
Φ (g) =
∞
−∞
F(f )e − i 2 πfg df
[f(t) es la Transf. de Fourier Inversa de F(f)]
(46)
[Φ(g) es la TDF de F(f)]
(47)
a partir de esta última expresión, es evidente que se verificará:
Φ (− g) =
∞
−∞
F(f )e i 2 πfg df
(48)
comparando las expresiones (46) y (48) se puede concluir que:
Φ(-g) = f(g)
(49)
o bien que
f(t) = Φ(-t)
(50)
Por lo tanto, la TDF de la TDF de una función f(t), es otra función Φ(t) simétrica de la
función original f(t) respecto del eje de ordenadas.
TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA
A partir de la TDF de la función f(t)=ei2πf0t, y mediante la relación de Euler, se obtendrán las
TDF de funciones senoidales y cosenoidales. En principio, esta función f(t) - que es
periódica - no tiene Transformada de Fourier porque no cumple la condición de
acotamiento (45).
Sin embargo, si se prueba la función generalizada δ(-) delta de Dirac, como TDF y se halla
la TDFI se obtiene para el valor f-f0
F(f) = δ(f-f0)
f (t ) =
∞
−∞
F(f )e
(51)
i 2 πft
df =
∞
−∞
δ(f − f0 )e
donde se ha tomado en cuenta que
∞
−∞
i 2 πft
df = e
i 2 πf0 t
(52)
δ(t − a )f (t )dt = f (a ) , y de donde se puede deducir
que ei2πf0t y δ(f-f0) son función y transformada respectivamente.
De esta forma, y como la TDF es lineal, se podrá determinar la TDF de la función seno y
coseno. Utilizando la relación de Euler,
é e i 2 πf0t + e − i 2 πf0t ù
f1 (t ) = a ⋅ cos(2πf0 t ) = a ê
2
ë
i 2 πf0 t
ée
− e − i 2 πf0t ù
f2 (t ) = a ⋅ sen(2πf0 t ) = a ê
ú
2i
ë
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(53)
(54)
- A.13 -
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
y aplicando las ecuaciones (51) y (52)
F1 (f ) =
a
[δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )]
2
[TDF de la función cos
real]
(55)
F2 (f ) =
a
[δ(f − f0 ) − δ(f + f0 )]
2i
[TDF de la función sen
imag.]
(56)
Así pues, el concepto de transformada de Fourier puede extenderse a funciones
armónicas (y, por consiguiente, también a las periódicas), a través de la función δ de
Dirac.
Con más generalidad, la TDF de un par de términos cualesquiera de la Serie de Fourier
f (t ) = a j cos(2πjf0 t ) + b j sen(2πjf0 t )
(57)
será
F(f ) =
(
)
(
)
1
1
a j − ib j δ(f − jf0 ) + a j + ib j δ(f + jf0 )
2
2
(58)
es muy fácil comprobar que la TDFI de la función F(f) de la expresión (58), viene dada por
la función f(t) de la expresión (57).
Por lo tanto, la TDF de una función periódica cualquiera f(t) podrá calcularse a partir
de la correspondiente Serie de Fourier. Recordando (24)
f (t ) =
∞
Fj ⋅ e i2 πjf0t
(24''')
−∞
como la TDF es una operación lineal y teniendo en cuenta (51) y (52):
F(f ) =
∞
[F ⋅ δ(f − jf )]
j
−∞
0
(59)
Este resultado permite recordar la indicación hecha anteriormente acerca de la diferencia
en la dimensión de Fj y F(f), donde se advirtió que para que Fj tuviera la misma dimensión
que F(f) había que multiplicarla por la función δ de Dirac.
TEOREMA DE CONVOLUCIÓN
La convolución o producto de convolución entre dos funciones x(t) e y(t), se denota
como x(t) * y(t) y se define como la integral
x(t ) ∗ y (t ) =
∞
−∞
x(τ) ⋅ y (t − τ) ⋅ dτ
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(60)
- A.14 -
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
El Teorema de la Convolución es una de las herramientas más utilizadas en el Análisis
de Fourier, y se podría enunciar en la siguiente forma: "Dadas dos funciones x(t) e y(t), que
tienen como TDF a las funciones X(f) e Y(f) respectivamente, si z(t) es la función que
resulta del producto de convolución de las funciones x(t) e y(t), su TDF Z(f) es el producto
de las funciones X(f) e Y(f)".
z(t) = x(t) * y(t)
(61)
Z(f) = X(f) ⋅ Y(f)
(62)
Para demostrar este teorema basta calcular la TDF de la función z(t) definida mediante la
expresión (38)
Z (f ) =
∞
−∞
(
∞
−∞
)
x(τ)⋅ y (t − τ)dτ e −i 2 πft dt
permutando el orden de las integrales
Z (f ) =
∞
−∞
(
x(τ)
∞
−∞
(63)
)
y (t − τ)e −i 2 πft dt dτ
(64)
haciendo el cambio de variable σ = t - τ en la integral anterior
Z (f ) =
=
∞
−∞
∞
−∞
(
x(τ)
∞
−∞
)
y (σ)e −i 2 πfσ dσ e −i 2 πfτ dτ =
x(τ) ⋅ Y (f ) ⋅ e −i 2 πfτ dτ = Y (f )⋅ X (f )
(c.q.d.)
(65)
El teorema de la convolución se aplica también en sentido inverso: si Z(f) es el producto de
convolución de las funciones X(f) e Y(f) definido en la forma
Z (f ) = X (f ) ∗ Y (f ) =
∞
−∞
X (g) ⋅ Y (f − g)dg
(66)
entonces la función z(t), la TDFI de Z(f), es el producto de las funciones x(t) e y(t). Para
demostrarlo puede utilizarse el Teorema de la Convolución y la propiedad de simetría (50).
Aplicando la TDF a (66) y teniendo en cuenta (50) resulta:
z(-t) = x(-t) ⋅ y(-t)
(67)
o bien, finalmente
z(t) = x(t) ⋅ y(t)
(68)
Los Teoremas de la Convolución en tiempo y en frecuencia facilitan el cálculo de TDF
directas o inversas, y tienen también importantes aplicaciones en los siguientes apartados.
En la Figura 6, se representa esquemáticamente el Teorema de la Convolución directa.
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
Figura 6
CONVOLUCIÓN CON LA FUNCIÓN IMPULSO δ(t-a)
Es interesante observar (Figura 7) el efecto que, sobre una función cualquiera f(t), tiene el
producto de convolución con la función impulso:
f (t ) ∗ δ(t − a ) =
∞
−∞
f (t − τ) ⋅ δ(τ − a )dτ
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(69)
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
y teniendo en cuenta las propiedades de integración de la función δ de Dirac:
f (t ) ∗ δ(t − a ) = f (t − a )
(70)
que indica como el efecto de realizar una convolución con la función impulso situada
en “a“, es el de trasladar el origen de la función f(t) a dicho punto.
Figura 7
EJEMPLOS Y TABLA DE TRANSFORMADAS DE FOURIER
Ejemplo 1: TDF de una función constante
f(t) = a
(71)
Esta es una función que tampoco cumple la desigualdad (45). Sin embargo, la TDFI de la
función
F(f) = a⋅δ(f)
(72)
resulta ser f(t):
f (t) =
∞
−∞
a ⋅ δ(f ) ⋅ e i 2 πft df = a
(73)
con lo que queda demostrado que la TDF de una función constante es una función δ de
Dirac situada en el origen f0=0. En virtud de la propiedad de simetría, la TDF de una
función impulso será una función constante.
f(t) = a ⋅ δ(t)
(74)
F(f ) =
(75)
∞
−∞
a ⋅ δ(t ) ⋅ e − i 2 πft dt = a
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
Tabla 1 – Ejemplos de Transformadas de Fourier (TDF)
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
Tabla 1 (continuación) – Ejemplos de TDF
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
Ejemplo 2: TDF de un pulso rectangular
f(t) = a
t ≤ T0
f(t) = 0
t > T0
(76)
la TDF de esta función
F(f ) =
∞
−∞
f (t ) ⋅ e −i 2 πft dt = a
T0
e − i 2 πft dt
(77)
− T0
ya que f(t) es cero fuera del intervalo [-T0, T0]. Sustituyendo la función exponencial por
medio de la relación de Euler
T0
F(f ) = a
(cos(2πft ) − i ⋅ sen(2πft ))dt =
−T
0
a
[sen(2πft ) + i ⋅ cos(2πft )]T−0T0
2πf
a
(sen(2πfT0 ) − sen(− 2πfT0 )) + a i(cos(2πfT0 ) − cos(− 2πfT0 )) =
2πf
2πf
a
= sen(2πfT0 )
πf
=
(78)
luego, la TDF de un pulso rectangular es una función senoidal decreciente.
Ejemplo 3: TDF de un tren de impulsos
Dado el tren de impulsos de la Figura 8,
cuya expresión analítica es
∞
f (t ) =
a ⋅ δ(t − nT )
(79)
n=−∞
Esta función es una función periódica y por
tanto debe admitir desarrollo en Serie de
Fourier:
f (t ) =
∞
n= −∞
a ⋅ δ(t − nT ) =
∞
j = −∞
Figura 8
Fj ⋅ e i 2 πjf0t
(80)
siendo f0=1/T. Los coeficientes Fj podrán calcularse a partir de la expresión (26)
Fj =
1
T
T2
−T 2
f (t ) ⋅ e −i 2 πjf0t dt =
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1 ∞
T n=−∞
T2
−T 2
a ⋅ δ(t − nT ) ⋅ e −i 2 πjf0t dt
(81)
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
pero por ser (-T/2) y (+T/2) los límites de integración, sólo el impulso correspondiente a n=0
cae dentro del intervalo de integración. Por tanto,
Fj = a/T
(82)
sustituyendo en la expresión (80), se tendrá
f (t ) =
∞
n= −∞
a ⋅ δ(t − nT ) =
a ∞ i 2 πjf0t
e
T j= −∞
(83)
Estudiada la función, es fácil obtener su TDF considerando (51) y (52):
F(f ) =
a ∞
δ(f − jf0 )
T j= −∞
(84)
de donde se puede concluir que la TDF de un tren de impulsos es otro tren de impulsos
cuyo periodo y amplitud están relacionados con los del primer tren.
TRANSFORMADA DE FOURIER FINITA (TDFF)
En la expresión (38) de la TDF el dominio de la integración está extendido de (-∞) a (+∞).
En la práctica, cuando se trata de calcular TDF de funciones determinadas
experimentalmente, nunca se dispone de registros de duración infinita. Entonces, la TDF
debe ser calculada mediante la expresión
F(f , T ) =
T2
−T 2
f (t ) ⋅ e − i 2 πft dt
El cálculo de esta TDFF de f(t)
puede verse como el cálculo
de la TDF de una función g(t),
obtenida mediante el producto
de f(t) por un pulso rectangular
r(t) de valor unidad y extendido
de (-T/2) a (+T/2), según puede
verse en la Figura 9 para el
caso en que f(t) es una función
coseno.
(85)
Figura 9
La aplicación de la TDFF a la función f(t) es idéntica a la aplicación de la TDF, a la función
g(t), pues g(t) se supone nula fuera del intervalo [-T/2, T/2]. Aplicando el Teorema de la
Convolución en frecuencia, la TDFF de f(t) será igual al producto de convolución de las
TDF de f(t) y r(t).
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
F(f , T ) = G(f ) = G(f , T ) =
T2
−T 2
g(t ) ⋅ e −i 2 πft dt = F(f ) ∗ R (f )
(86)
Para el caso concreto en el que f(t) sea, por ejemplo, una función coseno
f(t) = a0⋅cos(2πf0t)
t ≤ T/2
(87)
La TDF de f(t) viene dada por las expresiones (53) y (55)
F(f ) =
a0
[δ(f − f 0 ) + δ(f + f 0 )]
2
(88)
mientras que la TDF del pulso rectangular puede encontrarse en la expresión (78)
R (f ) =
1
sen(2πfT )
πf
(89)
entonces, de acuerdo con la expresión (86)
G(f ) = F(f ) ∗ R (f ) =
∞
−∞
F(g) ⋅ R (f − g)dg
(90)
sustituyendo los resultados de las expresiones (88) y (89)
G(f ) =
a0
2π
sen(2π(f − g)T )
[
δ(g − f0 ) + δ(g + f0 )] ⋅
dg
−∞
∞
f −g
(91)
teniendo en cuenta las propiedades de integración de la función δ de Dirac,
G(f ) =
a 0 é sen(2π(f − f0 )T ) sen(2π(f + f0 )T ) ù
+
ê
2π ë
f − f0
f + f0
(92)
donde se puede comprobar que la convolución de R(f) con la doble función impulso de la
expresión (88) produce el efecto de una doble traslación de R(f) a los puntos (-f0) y (+f0).
En la Figura 10, se muestra la TDF y la TDFF de f(t).
Figura 10
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
Puede comprobarse que el área comprendida bajo las dos TDF de la Figura 10, - la finita y
la infinita -, es la misma. La figura indica que la realización de la TDF en intervalos de
longitud finita, introduce distorsiones y errores en la información que se obtiene acerca del
contenido en frecuencia de la función analizada. Este error se conoce en la literatura
técnica con el nombre de leakage.
El efecto del leakage es doble. Por una parte, limita la resolución en frecuencia que se
puede obtener mediante la TDFF, ya que dos frecuencias serán indistinguibles cuando su
diferencia sea menor que el semiperiodo de la función sen(2πfT)/πf. Este semiperiodo es
1/(2T). Así pues, si se quiere aumentar la resolución en frecuencia, no hay más
remedio que aumentar la longitud T del intervalo de tiempo. El segundo efecto del
leakage, viene producido por las oscilaciones que aparecen en la función R(f) a ambos
lados del máximo absoluto. El resultado es una distorsión en las frecuencias a (f0).
Para disminuir estos dos errores del leakage se han sugerido varios procedimientos, de los
cuales el más popular es el debido a Hanning, que consiste en modificar la forma del pulso
rectangular con el que se ha realizado la convolución de la señal original. Conviene
recordar que la TDF de este pulso es la que se repite, desplazada a (-f0) y a (+f0), en la
TDFF de f(t). Interesa que la forma del pulso sea tal que las oscilaciones de R(f) sean las
menores posibles. A la función r(t) con la que se realiza la convolución, se le suele llamar
ventana. La ventana de Hanning viene definida por la función
πt ö
1æ
r (t ) = ç 1 + cos
t ≤T
2è
T
(93)
en la Tabla 1 vista anteriormente, se representa esta función y su TDF.
DENSIDAD ESPECTRAL
La densidad espectral es a la TDF lo mismo que el espectro de potencia es a la Serie de
Fourier.
Supóngase que se tiene una
señal no periódica, cuya TDF es
una función continua, y que se
quiere estudiar el valor cuadrático
medio de su composición en una
estrecha banda de frecuencias
centrada en f0 (Figura 11).
Figura 11
Se verificará que
f (t ) =
∞
−∞
F(f ) ⋅ e i 2 πft df
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(94)
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
El contenido de esta función alrededor de la frecuencia f0 se podrá expresar
aproximadamente como:
f (t ) f = F(f0 ) ⋅ ∆f ⋅ [(cos(2πf0 t ) + i ⋅ sen(2πf0 t ))] +
0
+ F(− f0 ) ⋅ ∆f ⋅ [(cos(2πf0 t ) − i ⋅ sen(2πf0 t ))]
Teniendo en cuenta que
F(f ) =
1
[A(f ) − i ⋅ B(f )]
2
(95)
(96)
resulta
f (t ) f = ∆f ⋅ [A (f0 ) ⋅ cos(2πf0 t ) + B(f0 ) ⋅ sen(2πf0 t )]
0
(97)
el valor cuadrático medio de esta componente será
[( ) ]
æ A (f0 )2 B(f0 )2 ö
2
m f (t ) f = ∆f ⋅ ç
+
= ∆f 2 ⋅ 2 ⋅ F(f0 )
(98)
ç 2
0
2
è
a esta función |F(f)|2 se le conoce con el nombre de densidad espectral. Es una función
real que proporciona información acerca del contenido en frecuencia de la función f(t).
2
2
RESPUESTA DE UN SISTEMA DE 1 GDL ANTE UNA FUERZA
CUALQUIERA POR EL MÉTODO DE LA TDF
Resulta sencillo calcular la respuesta de un sistema de 1 gdl ante una excitación de tipo
general - f(t) -, teniendo en cuenta que la TDF de la fuerza indica su contenido en
frecuencia, y que para una excitación de una frecuencia determinada la respuesta del
sistema se halla multiplicando por la función de transferencia H(f). Así, sea F(f) la TDF de
la fuerza de excitación f(t)
F(f ) =
∞
−∞
f (t ) ⋅ e − i 2 πft dt
(99)
la respuesta del sistema será la suma - es decir, la integral - de las respuestas para cada
frecuencia. Esto es,
x(t ) =
∞
−∞
H(f ) ⋅ F(f ) ⋅ e i 2 πft df
(100)
pero, además, x(t) estará relacionado con su TDF a través de la TDFI:
x(t ) =
∞
−∞
X (f ) ⋅ e i 2 πft df
(101)
comparando las expresiones (100) y (101) se concluye que
X(f) = H(f) ⋅ F(f)
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(102)
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
es decir, que la TDF de la respuesta del sistema es el producto de la función de
transferencia por la TDF de la fuerza excitadora. Este resultado permite calcular la
respuesta del sistema ante cualquier fuerza excitadora, siempre que se disponga de
medios para calcular TDF directas e inversas.
Como ejemplo de aplicación se va a calcular la respuesta ante una excitación impulso δ(t).
Se tendrá que
F(f ) =
δ(t ) ⋅ e − i 2 πft dt = 1
∞
−∞
X(f) = H(f)
(103)
(104)
y la respuesta h(t) ante un impulso unitario será
x(t ) = h(t ) =
∞
−∞
H(f ) ⋅ e i 2 πft df
(105)
de donde se concluye que la función de transferencia H(f) es la TDF de la respuesta
h(t) a un impulso unitario. Esta es una propiedad verdaderamente importante para el
análisis experimental de vibraciones, porque la función h(t) es mucho más fácil de
determinar físicamente que la función de transferencia. De hecho, la función de
transferencia siempre se determinará a partir de la respuesta h(t) a un impulso unitario,
calculando su TDF.
Por otro lado, la respuesta de un sistema de 1 gdl ante una excitación de tipo general
puede expresarse también mediante la integral de convolución en la forma
x(t ) =
∞
−∞
f (t − τ) ⋅ h(τ)dτ
(106)
es decir, con la notación introducida anteriormente
x(t) = f(t) * h(t)
(107)
Aplicando el Teorema de la Convolución, se tendrá que
X (f ) = F(f ) ⋅ H (f )
(108)
donde H (f ) es la TDF de h(t).
Comparando la expresión (108) con la expresión (102), se vuelve a concluir que la función
de transferencia es la TDF de la respuesta h(t) al impulso unitario.
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
TRANSFORMADA DE
FOURIER DISCRETA (TDFD)
CONCEPTO DE TDFD
La TDF explicada en los apartados anteriores puede, en la práctica, ser calculada de un
modo analógico o de un modo digital. En el primero de estos modos, la función f(t) es
filtrada mediante un filtro de banda tan estrecha como sea posible; el resultado de esta
operación es el extraer la componente armónica de la función f(t) en la frecuencia deseada.
La amplitud de esta componente es el valor de la TDF en ese punto.
El cálculo analógico de las TDF exige filtros muy precisos, y es una operación muy lenta a
las bajas frecuencias características de las vibraciones mecánicas. Además, en
vibraciones aleatorias aparecen otras funciones como la densidad espectral, la densidad
espectral cruzada, la autocorrelación, etc., que para ser calculadas analógicamente, exigen
costosos equipos adicionales.
Actualmente, el Análisis de Fourier se realiza, en la mayoría de los casos, digitalmente.
Para ello, una vez que la función f(t) ha sido convenientemente filtrada y acondicionada
(por las razones que se verán posteriormente), se procede a digitalizarla en un convertidor
analógico-digital.
Figura 12
Así, la función f(t)
queda reducida a un
conjunto de N valores
discretos (Figura 12)
que se almacenan
digitalmente en la
memoria de una
computadora.
A partir de este momento, todas las operaciones que se realizan sobre estos datos, se
realizan numéricamente, con todas las ventajas que esto tiene en cuanto a rapidez y
eliminación de fuentes de error. Además, el tratamiento numérico de estos datos puede
realizarse con una gran versatilidad, obteniéndose todas las características de f(t) que se
deseen utilizando el programa adecuado.
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
Se llama Transformada de Fourier Discreta (TDFD) a la TDF que se obtiene digitalmente
a partir de una función f(t) discretizada. Las expresiones de la Serie de Fourier para una
función continua eran, respectivamente
f (t ) =
∞
Fj ⋅ e i2 πjf0t
(109)
−∞
Fj =
1
T
T2
−T 2
f (t ) ⋅ e −i2 πjf0 t dt
j = 0, ±1, ±2, ...
(110)
Es natural adoptar, para la TDFD, una expresión análoga a la expresión (110) en la que la
integral se sustituye por un sumatorio extendido al dominio finito T. Supóngase que este
dominio se ha subdividido en N intervalos de longitud t0
Fj =
N−1
t0
T
fk ⋅ e −i2 πjf0kt0
(111)
k =0
Ahora bien, se verifica que
N ⋅ t0 = T
(112)
f0 = 1/T
(113)
introduciendo estos valores en la expresión (111) resulta
2π
Fj =
−i k⋅ j
1 N−1
1 N−1
fk ⋅ e −i(2 πjk N ) =
fk ⋅ e N
N k=0
N k =0
(114)
que también puede expresarse
Fj =
1
N
N−1
fk ⋅ WNk⋅j
(115)
k =0
donde e-i2πN se ha denominado WN.
Esta expresión puede ser considerada como una expresión aproximada para calcular los
coeficientes de la expresión de f(t) en Serie de Fourier. Haciendo modificaciones análogas
en la expresión (109) se llega a que
fk =
N−1
j=0
Fj ⋅ e i(2 πjk N ) =
N−1
Fj ⋅ WN−k⋅j
(116)
j=0
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
que es la fórmula inversa de la (114) ó (115). En concreto, la expresión (116) es la fórmula
inversa exacta de la expresión (115), en el sentido de que permite recalcular exactamente
los valores de fk utilizados. Efectivamente
fk =
N−1
Fj ⋅ e i(2 πjk N ) =
j=0
=
N−1
j= 0
é1
ê
ëN
1 N −1 é N −1 − i2 πj((r − k ) N ) ù
fr ⋅ ê e
N r = 0 êë j = 0
N−1
ù
fr ⋅ e −i(2 πjr N ) ⋅ e i(2 πjk N ) =
r =0
(117)
pero el paréntesis de la expresión anterior es igual a N si r=k, y es cero si r≠k, pues es una
suma vectorial de N vectores unitarios uniformemente espaciados angularmente entre 0 y
(2π(r-k)(N-1)/N) radianes. Por tanto
fr =
1
N
N−1
fr ⋅ (N ⋅ δ rk ) = fk
(118)
r =0
Las fórmulas (114-115) y (116) son expresiones aproximadas para la Serie de Fourier de la
función f(t); estas aproximaciones implican por tanto el carácter periódico - con periodo T de la función f(t) discretizada. A pesar de que en realidad f(t) no es una función periódica,
sino una función cualquiera, las expresiones (114-115) y (116) se generalizan, y se
consideran respectivamente como la Transformada de Fourier Discreta Directa e
Inversa. Posteriormente, se estudiarán los errores introducidos por esta aproximación.
Seguidamente se van a considerar, desde otro punto de vista, las hipótesis implicadas en
la aceptación de las expresiones (114-115) y (116) como TDFD. Estas hipótesis están
resumidas en la Figura 13. Supóngase una función cualquiera f(t) con su TDF F(f), Figura
13a. Discretizar la función f(t) es equivalente a multiplicarla por un tren de funciones
impulso ∇(t, t0).
∇(t , t 0 ) =
∞
δ(t − nt 0 )
(119)
−∞
Este peine de funciones impulso aparece en la Figura 13b juntamente con su TDF, (84) e
incluida en la Tabla 1. La función resultante del producto f(t)⋅∇(t,t0) es la función f(t)
discretizada a lo largo de todo el dominio de la variable tiempo.
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
Figura 13
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
Esta función producto tendrá una TDF que, en virtud del Teorema de la Convolución, será
el producto de convolución de F(f) por el tren de funciones impulso 1/t0⋅∇(f,1/t0). Teniendo
en cuenta que la convolución con la función impulso equivale a un desplazamiento a lo
largo del eje de abscisas. La TDF de la función f(t)⋅∇(t,t0) será la que aparece reflejada en
la Figura 13c y cuya expresión matemática es
F(f ) ∗ ∇(f ,1 t 0 ) =
∞
F(f − n t 0 )
(120)
−∞
En la figura 13c puede observarse que la TDF exacta de una función discretizada es
todavía una función continua. En dicha figura, la función f(t)⋅∇(t,t0) está definida sobre un
dominio de longitud infinita. Para tener en cuenta que en la realidad no podrá ser así y que
habrá que considerar un nº finito de valores, habrá que multiplicar por la función
rectangular r(t), que aparece en la Figura 13d, juntamente con su TDF, R(f).
La función producto f(t)⋅∇(t,t0)⋅r(t) se muestra en la figura 13e. Su TDF será el doble
producto de convolución F(f)*1/t0⋅∇(f,1/t0)*R(f), que aparece en la misma Figura. También
esta TDF sigue siendo continua. Como una TDF continua no puede ser guardada en la
memoria del ordenador, hay que realizar una segunda discretización, esta vez en el
dominio de la frecuencia.
Esta segunda discretización se realiza multiplicando dicha TDF por otro tren de funciones
impulso ∇(f,1/T). El resultado de este producto aparece en la Figura 13g. Por el Teorema
de la Convolución este producto en el dominio de la frecuencia equivale a una convolución
en el dominio del tiempo. Convolución que se debe realizar precisamente entre la función
f(t)⋅∇(t,t0)⋅r(t) y el tren de funciones impulso T⋅∇(t,T).
Recordando otra vez que la convolución con la función impulso equivale a una traslación
en el eje de abscisas, se llega a la conclusión de que en la Figura 13g aparece la TDFF
discreta de una función en el tiempo, que es la función f(t) discretizada y multiplicada por el
pulso rectangular r(t), y considerada además como función periódica de periodo T. Se tiene
pues en síntesis, la interpretación de lo que es la TDFD y de las aproximaciones que
representa.
Si se recuerda la propiedad de simetría de la TDF, resulta lógico que así como una función
periódica tiene TDF discreta, una TDF discretizada debe ser la TDF exacta de una función
periódica. En otras palabras, el carácter digital de la función y de su TDF implican la
periodicidad de ambas funciones. Es evidente que éste es uno de los distintos errores que
se cometen al calcular transformadas de Fourier Discretas. Más adelante, se estudiarán
estos errores y la forma de eliminarlos o, al menos, de disminuir su influencia. Así por
ejemplo, de la Figura 13g se deduce que no tienen sentido las componentes a frecuencias
superiores a 1/(2t0), dada la periodicidad de la TDFD.
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
PROPIEDADES DE LA TDFD
A continuación, se enuncian y demuestran algunas de las propiedades más importantes de
la TDFD definida por las expresiones (115) y (116).
1ª Linealidad
Sean fk y gk dos sucesiones de N valores uniformemente espaciados en el tiempo y
tomados a partir de las funciones f(t) y g(t). Si Fj y Gj son sus correspondientes TDFD, se
verifica que la TDFD de fk+gk viene dada por Fj+Gj.
En efecto,
1
N
N−1
(fk + gk ) ⋅ e −i2πkj N = 1
N−1
N
k =0
fk ⋅ e −i2 πkj N +
k =0
1
N
N−1
gk ⋅ e −i2 πkj N = Fj + G j
(121)
k =0
2º Simetría
Si Fj es la TDFD de fk, se verifica que (f-k) es la TDFD de (N⋅Fj). Para demostrarlo, basta
calcular f-k a partir de la expresión (116)
f −k =
N−1
Fj ⋅ e i(2 πj(−k ) N ) =
j= 0
1
N
N−1
(N ⋅ F )⋅ e
j
j =0
−i(2 πjk N )
(122)
3º Fórmula de Inversión
Esta fórmula permite calcular TDFD inversas a partir de la TDFD directa. La fórmula es la
siguiente
∗
é N−1
ù
fk = ê Fj∗ ⋅ e i(2 πj(−k ) N )
êë j=0
donde (*) indica el conjugado de un número complejo.
(123)
Para demostrar esta fórmula basta conjugar como se indica en la expresión
Fj = Aj + i Bj
(124)
(125)
Fj* = Aj - i Bj
sustituyendo, y teniendo en cuenta que el conjugado de un producto es el producto de los
conjugados,
∗
é N−1 ∗ i(2 πj(−k ) N ) ù
=
ê Fj ⋅ e
ëê j=0
N−1
Fj ⋅ e i2 πjk N
(126)
j= 0
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
que coincide con la expresión (116).
4º TDFD de una función par
Sea fj una función par. Su producto por la función coseno será una función par, mientras
que su producto por la función seno será impar. Entonces
N−1
1 N−1
1 N−1
æ 2πjk ö i
æ 2πjk ö
(127)
Fj =
fk ⋅ e −i2 πjk N =
fk ⋅ cosç
fk ⋅ senç
÷−
N k =0
N k =0
N k =0
è N
è N
pero el sumatorio imaginario es cero porque fk repite valores para k ≥ N/2 (recuérdese el
carácter periódico de la TDFD) y el sumatorio está extendido a un número entero de ciclos;
luego
1 N−1
æ 2πjk ö
(que es un número real)
(128)
Fj =
fk ⋅ cosç
N k =0
è N
5º TDFD de una función impar
Análogamente a lo realizado para funciones pares, puede demostrarse que la TDFD de
una función impar viene dada por la expresión
i N−1
æ 2πjk ö
(129)
Fj = −
fk ⋅ senç
N k =0
è N
6º TDFD de una función compleja
Sea f(t) una función compleja definida en la forma
f(t) = r(t) + i⋅s(t)
(130)
fk = rk + i⋅sk
(131)
La TDFD de fk se define igualmente por medio de la expresión (115)
Fj =
1
N
N−1
fk ⋅ e −i2 πjk N =
k =0
1
N
N−1
(rk + i ⋅ sk ) ⋅ e −i2πjk N
(132)
k =0
TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN DISCRETA
La convolución continua de dos funciones x(t) e y(t) se definía en la forma
x(t ) ∗ y (t ) =
∞
−∞
x(t − τ ) ⋅ y (τ )dτ
(133)
La convolución discreta se obtiene suponiendo que x(t) e y(t) vienen dadas por valores
discretos y sustituyendo la integral por el sumatorio correspondiente. Si se dispone de N
valores discretos de x(t) e y(t).
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(x ∗ y )m =
N−1
k =0
ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
(x k−m ⋅ y k )
(134)
la aplicación de esta fórmula no puede hacerse sin recurrir al carácter periódico que la
TDFD supone para xk e yk, pues si no xk-m puede no estar definida.
El Teorema de la Convolución para la TDFD establece que la TDFD de
zm =
N−1
k =0
(x k−m ⋅ y k )
(135)
viene dada por la función
Zj = Xj* ⋅ Yj⋅N
(136)
Para demostrar este teorema, hay que sustituir los valores de xk-m y de yk dados por las
expresiones (123) y (116) en la expresión (135).
∗
é N−1 ∗ −i2 πj(k−m ) N ù é N−1
i2 πnk N ù
zm =
(137)
ê Xj ⋅e
ú ⋅ ê Yn ⋅ e
ú ë n=0
k =0 ê
ë j =0
si xk-m es real la conjugación del corchete podrá omitirse porque dicho corchete es real. Se
tendrá entonces, permutando los sumatorios
N−1
é N−1
ù
X ∗j ⋅ Yn ⋅ e i2 πjm N ⋅ ê e i2 π (n− j )k N
(138)
j=0 n=0
ë k =0
el corchete de la expresión (138) es análogo al de la expresión (117), y por las mismas
razones que aquél es igual a
zm =
N−1
N−1 N−1
e i2 π (n− j )k N = N ⋅ δnj
(139)
k =0
siendo δnj la δ de Kronecker. La expresión (138) se reduce en tal caso a
zm =
N−1
j =0
(X
∗
j
)
⋅ Yj ⋅ e i2 πjm N ⋅ N
(140)
pero esta expresión coincide con la de la TDFD inversa. Luego
Zj = Xj* ⋅ Yj⋅N
(141)
con lo cual queda demostrado el Teorema de la Convolución en el tiempo. Existe también
un Teorema de la Convolución en frecuencia que establece que si xk e yk son dos
funciones discretas cuyas TDFD son Xj e Yj, entonces, si Zm es el producto de convolución
de Xj* e Yj, zk es el producto de xk e yk.
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Zm =
N−1
j= 0
(X
∗
j −m
⋅ Yj
ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
)
(142)
sustituyendo Xj-m e Yj mediante la fórmula de la TDFD
∗
N−1
é 1 N−1
ù é1
Zm =
x k ⋅ e −i2 πk ( j−m ) N ú ⋅ ê
ê
j = 0 ë N k =0
ëN
reordenando términos
Zm =
1
N2
N−1
y n ⋅ e −i2 πnj N
ù
é N−1
ù
x k ⋅ y n ⋅ e −i2 πkm N ê e −i2 πj(n−k ) N
n=0
ëê j=0
N−1 N−1
k =0
(143)
n =0
(144)
teniendo en cuenta que el corchete es δkn⋅N, resulta:
1 N−1
(145)
x k ⋅ y k ⋅ e −i2 πkm N
N k =0
en esta expresión se reconoce la forma de la TDFD de Zk, por lo que se habrá de verificar
Zm =
zk = xk ⋅ yk
(c.q.d.)
(146)
ERRORES DE LA TDFD
La TDFD permite calcular TDF de cualquier tipo de función, incluso de las que no están
definidas analíticamente. Sus cálculos pueden ser realizados por un ordenador en un
pequeño intervalo de tiempo y por un coste mínimo. Sin embargo, como la TDFD no es
más que una aproximación de la TDF, al utilizarla se cometen errores de los que es
necesario conocer el alcance y el significado. Además, estos errores pueden en ocasiones
eliminarse o, al menos, reducir sus efectos.
En el cálculo de TDFD pueden distinguirse tres fuentes principales de error:
El error propio del carácter digital de las funciones del tiempo y de la frecuencia, que
recibe el nombre de aliasing.
El error originado por la necesidad de considerar intervalos finitos de la función
temporal. A este error - que ya ha aparecido al hablar de la TDF continua - se le da
el nombre de leakage.
El error inherente del proceso de digitalización, pues el valor de la función debe ser
redondeado o truncado para poder expresar con el nº de cifras limitado que el
ordenador puede considerar. Este último tipo de error carece de importancia si el
ordenador considera un nº de cifras adecuado, y por ello toda la atención se dirigirá
al aliasing y al leakage.
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
Aliasing
Para explicar este tipo de error se hace necesario volver a acudir a la Figura 13. Entre la
TDF exacta de la Figura 13a y la TDFD de la Figura 13g, se han introducido dos fuentes
principales de error: la convolución con la función pulso rectangular, y el carácter periódico
que adquiere la TDF al realizar la convolución con el tren de funciones impulso. El primero
de estos errores es el leakage, que se verá posteriormente. Es el segundo de estos errores
- el aliasing -, el que se considera a continuación.
El efecto del aliasing aparece muy claramente si se comparan las TDF de la Figura 13a y
13c. La primera de las citadas figuras muestra la TDF exacta, mientras que en la segunda
ya hay aliasing. Este se ha introducido como consecuencia de la discretización de la
función temporal, y fundamentalmente consiste en dotar a la TDF de un carácter periódico
que en realidad no tiene. Si t0 es el intervalo de digitalización en el tiempo, 1/t0 será el
periodo introducido en el dominio de la frecuencia. La TDF periódica se obtiene sumando
infinitas funciones F(f) desplazadas cada una respecto a la anterior una distancia 1/t0.
El efecto del aliasing es, por lo tanto, doble. Por una parte, elimina el sentido de las
frecuencias mayores que 1/(2t0) y menores que -1/(2t0), ya que los valores de la TDF de la
Figura 13c exteriores a dicho intervalo no son más que meras repeticiones de los valores
interiores. Esta propiedad se conoce con el nombre de Teorema de Shannon: con un
intervalo de discretización de t0 no es posible obtener información acerca del contenido de
la señal original a frecuencias superiores a 1/(2t0). A esta frecuencia se le llama
frecuencia de Nyquist.
Otra forma de explicar esta
misma limitación es recordar
que para detectar la
frecuencia de una función
armónica,
hay
que
muestrear el valor de la
función al menos dos veces
por periodo. En la figura 14,
se observa como una
frecuencia
f/N
es
indistinguible
de
la
frecuencia f(N+1)/N si sólo
se dispone de la información
de los valores discretizados.
Figura 14
Además de la frecuencia límite mencionada, el aliasing tiene otro importante efecto que
afecta negativamente a la precisión de los valores calculados y que puede comprenderse
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
observando las figuras 13a y 13c. Hay valores de F(f) por encima de la frecuencia de
Nyquist que, cuando F(f) es desplazada, caen durante el intervalo [-1/(2t0), +1/(2t0)],
perturbando los valores de la TDF dentro de este intervalo. Así por ejemplo, el valor de la
TDF para la frecuencia f que es tomado como correcto es la suma siguiente
æ1 ö æ 1 ö æ2 ö æ 2 ö
F(f ) + Fçç + f ÷÷ + Fçç − + f ÷÷ + Fçç + f ÷÷ + Fçç − + f + L
è t0
è t0
è t0
è t0
(147)
Para corregir este tipo de error hay que tener en cuenta que si la función no tiene
componentes a frecuencias superiores a la de Nyquist, este error no se produce. Lo que se
debe entonces hacer es filtrar la función a analizar con un filtro que elimine todas las
frecuencias altas (por encima de 1/(2t0).
Leakage
Ya se ha hablado del leakage al tratar de la Transformada de Fourier Finita. La TDFF
equivale, según se demostró, a la convolución de la verdadera TDF de la función original,
con la TDF de un pulso rectangular unitario de longitud T. En la Figura 13d aparece este
pulso rectangular y su TDF. Esta TDF presenta la forma de una función armónica cuya
amplitud tiende hiperbólicamente a 0. El semiperiodo de esta función armónica es 1/T.
Los errores producidos por el leakage se deben también a un doble mecanismo de
actuación. Por una parte, la convolución con el lóbulo central de la TDF R(f) del pulso
rectangular tiende a promediar las componentes a frecuencias contiguas en la TDF F(f).
Quiere esto decir que se disminuye la resolución de la Transformada de Fourier, en
proporción a la anchura 2/T de dicho lóbulo. Así, por ejemplo, en la Figura 10 se vio cómo
la TDF de una función coseno, que consta de dos funciones impulso, aparece como una
doble función R(f). Si no se desea perder resolución, y se quiere evitar este defecto, hay
aumentar la longitud del periodo T en la TDFF.
El segundo tipo de error producido por el leakage se debe a los lóbulos laterales de
amplitud decreciente que aparecen en la TDF R(f) del pulso rectangular r(t). Estos lóbulos
tienden a distorsionar la composición en frecuencia según puede verse comparando las
figuras 13c y 13e. Además este error no se corrige como el de la falta de resolución,
aumentando simplemente el intervalo T. Para disminuir este error es necesario reducir en
lo posible las oscilaciones de la TDF del pulso rectangular. Para ello, lo que se suele hacer
es cambiar la forma de este pulso, al que - como ya se ha dicho - se le suele denominar
también ventana. Hay que buscar ventanas distintas de la rectangular, cuya TDF presente
menos oscilaciones que la de ésta. Entre la multitud de formas propuestas que se pueden
encontrar en la bibliografía, la más popular sin duda es la ya citada de Hanning. La forma
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
de esta ventana viene dada por la expresión (93) y su transformada de Fourier puede
encontrarse en la Tabla 1.
En la Figura 15, aparece la ventana rectangular y la ventana de Hanning juntamente con
sus respectivas TDF (en módulo). En dicha figura puede verse que la TDF de la ventana de
Hanning presenta unas oscilaciones mucho menores que las de la ventana rectangular. Sin
embargo, éste es el precio de una mayor anchura en el lóbulo central, con lo cual, algo de
lo que se gana en fiabilidad del resultado se pierde en resolución por el efecto antes citado.
Otro efecto de la ventana de Hanning es reducir el valor de la amplitud de la señal
considerada a la correspondiente frecuencia. Así, para una señal armónica, dicha amplitud
se reduce en 6.02 db.
Figura 15
Hasta ahora, todo lo que se ha dicho del leakage es válido para la TDFF continuas y
discretas. A partir de ahora, se realizarán consideraciones y se presentarán algunos
ejemplos característicos de la TDFD.
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En la Figura 16,
puede verse la TDF
de
un
pulso
triangular,
función
que resulta al hacer
la convolución de dos
pulsos rectangulares;
por ello, su TDF es
igual al cuadrado de
la TDF del pulso
rectangular. En la
Figura 17, aparece la
TDF de un pulso
triangular truncado, y
se puede observar la
distorsión debida al
truncamiento.
En la Figura 18, aparece una
función periódica triangular. Se ha
registrado un intervalo de 8
segundos correspondiente a 8
periodos de 1 segundo. En dicha
figura aparece la TDF de esta
función, con picos asociados a
frecuencias de 1, 3, 5 ... Hz.
Puede comprobarse que esta
TDF es exacta.
ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
Figura 16
Figura 17
Figura 18
A primera vista, este resultado no deja de ser sorprendente, porque deberían aparecer los
efectos del leakage. No es así, y la explicación es sencilla. Se ha dicho anteriormente que
la TFFD es la TDF exacta de una señal discreta en el tiempo de duración T, que se supone
periódica con ese mismo periodo T. Como el intervalo T de la función de la Figura 18
comprende un número entero de periodos de f(t), el superponer este intervalo repetido no
introduce ningún error en la función f(t), y por tanto la TDF que aparece da valores exactos.
No se puede decir que esta TDF es exacta, sino sólo que da valores exactos. La razón de
este hecho está en que la TDF continua de la función f(t) definida en el intervalo finito de 8
segundos, sí que presenta los efectos del leakage. ¿Cómo es entonces que la función
discreta no los presenta?.
La razón se encuentra explicada en la Figura 19, y se fundamenta en el hecho de que la
discretización de la TDF se realiza precisamente en los ceros de la TDF del pulso
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
rectangular, con lo cual la TDFD no se ve afectada por estos errores. Esto sólo sucede
cuando el pulso rectangular contiene un número entero de periodos de la función original.
Figura 19
En la Figura 20, aparece la
misma función periódica
triangular, pero sin que el
número
de
periodos
comprendido en el intervalo T
sea entero. En este caso, en
su correspondiente TDFD,
aparecen ahora claros los
efectos del leakage.
Figura 20
En la Figura 21, aparece la misma función triangular de la Figura 18, pero con frecuencia
doble. En este caso, los picos de la TDFD aparecen desplazados hacia la derecha
Figura 21
Como el número de puntos de discretización no ha aumentado, los efectos del aliasing se
hacen notar, y sólo se puede obtener información acerca de la frecuencia fundamental y
del primer armónico, pues todos los demás armónicos quedan por encima de la frecuencia
de Nyquist. Como no se han filtrado las frecuencias altas, los errores de magnitud
producidos por el aliasing están presentes en los resultados de todas estas figuras.
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
En la Figura 22,
aparece una función
armónica y su TDFD.
Como el número de
periodos es entero y
no hay aliasing, por
no haber en este
caso más que una
frecuencia,
el
resultado es exacto.
Figura 22
Es evidente que - en la práctica - no se puede nunca garantizar la condición referente al
número de periodos. Por ello, no hay más remedio que utilizar la ventana de Hanning, con
objeto de reducir el leakage.
Figura 23
En la Figura 23,
aparece la función
armónica de la Figura
22 multiplicada por la
ventana de Hanning, y
su TDF. El resultado
es una disminución de
la
resolución
en
frecuencia.
En la Figura 24, aparece la misma función armónica (y su TDTD), pero con un número de
periodos no enteros. En la Figura 25, se muestra dicha función multiplicada por la ventana
de Hanning. Comparando ambas figuras, se observan los efectos del leakage y de la
ventana de Hanning. Dicha ventana disminuye la resolución, pero los valores de la
frecuencia que proporciona son más fiables.
Figura 24
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Figura 25
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ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER
TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT)
Se ha visto anteriormente que la TDFD venía definida por las relaciones
Fj =
1
N
f (t ) =
N−1
fk ⋅ e −i2 πkj N
(148)
k =0
N−1
Fj ⋅ e i2 πj N
(149)
j= 0
El cálculo directo de estas expresiones supone aproximadamente N2 multiplicaciones por
la función exponencial. En tiempo de ordenador esto tiene un precio excesivamente alto.
La preocupación por la resolución de este problema llevó a Cooley y Tukey a desarrollar -a
mediados de los años 60- el algoritmo de la Transformada Rápida de Fourier ó FFT (Fast
Fourier Transform). Este algoritmo está basado en el cálculo de la TDFD de un conjunto de
valores de fk a partir de la TDFD de subconjuntos parciales de dichos valores. Con esto, el
número de multiplicaciones por la función exponencial se reduce considerablemente a N⋅
log2N. Por ejemplo, para el caso en que N=215 N2 es aproximadamente 109, mientras que
N.log2N es 4,9⋅105. El factor de reducción en el tiempo de cálculo es aproximadamente
2000, visto lo cual no es preciso hacer muchos más comentarios.
La FFT necesita que el número de puntos N sea una potencia de 2. Si el número de
puntos de que se dispone no cumple esta condición, caben dos posibilidades: truncar la
serie de puntos hasta la potencia de 2 inferior, o completar con ceros hasta la potencia de
2 inmediatamente superior. Esta segunda alternativa es preferible, porque así no se pierde
ninguna información.
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- A.41 -