Tema 5: Introducción a la Física Moderna

Cuestiones y Problemas resueltos, Tema 5: INTRODUCCIÓN A LA
FÍSICA MODERNA
1.
CL-S03 Postulados de la teoría de la Relatividad Especial y consecuencias
sencillas sobre la longitud, el tiempo y la masa.
CL-SO6 Enuncie los postulados de la teoría de la Relatividad Especial y
comente sus consecuencias sobre la longitud y el tiempo.
Respuesta:
Postulado 1º
Todas las leyes de la Física (no sólo las de la Dinámica) deben de ser las
mismas para todos los observadores inerciales (moviéndose con velocidad
constante unos con respecto a otros).
Postulado 2º:
La velocidad de la luz es la misma para todos los observadores
inerciales
Consecuencias:
Contracción de la longitud
Los objetos parecen más cortos al observarse en movimiento (que en reposo)
Dilatación del tiempo
La duración de un proceso parece ser mayor cuando sucede en un sistema
en movimiento respecto al observador que cuando está en reposo respecto
al mismo.
La masa de los objetos parece aumentar con la velocidad a la que son
observados según:
m0
m  m0 
v2
1 2
c
2.
CL-J08 Un observador terrestre mide la longitud de una nave espacial que
pasa próxima a la Tierra y que se mueve a una velocidad v<c, resultando ser
L. Los astronautas que viajan en la nave le comunican por radio que la
longitud de su nave es L0.
a) ¿Coinciden ambas longitudes?. ¿Cuál es mayor?. Razone sus respuestas.
b) Si la nave se moviese a la velocidad de la luz, ¿cuál sería la longitud que
mediría el observador terrestre?
Respuesta:
a) Recuerda la relación que existe entre la longitud de un objeto cuando es
medida en reposo respecto al objeto (longitud propia, LP) a cuando es medida
en movimiento respecto al objeto, siendo v la velocidad relativa del objeto a
medir respecto a quien efectúa la medida.
A dicha a longitud
denominaremos L.
LP 
L
2
v
1  
c
 L
Ejercicios Física Moderna/1
De la igualdad anterior se sigue que sólo si v es nula, lo que no es el caso,
ambas longitudes coinciden. Evidentemente, cuanto más pequeña sea v
frente a c, más parecidos serán los valores de ambas longitudes. Puesto que
( es siempre mayor que 1, L será siempre menor que LP, es decir; siempre
medirá menos quien efectúa la medida en movimiento respecto al objeto que
quien la efectúa en reposo respecto al mismo.
b) Observa el enunciado de este apartado: “Si la nave se moviese a la
velocidad de la luz”..., lo que no es físicamente posible ya que sabemos que
sólo se pueden mover a la velocidad de la luz las partículas, como los
fotones, de masa en reposo nula.
No obstante si sucediese eso (que no puede suceder) si se expresa la
igualdad anterior del modo siguiente:
2
LP
v
1    L
c
, se observa que al ser el radicando nulo, y no serlo, evidentemente, LP, debe
de ser también nulo el valor de L, es decir; desde la Tierra se mediría una
longitud nula para la nave espacial.
3.
¿Qué es una onda electromagnética?. Explica sus características
Respuesta:
Consiste en la propagación por el espacio de un campo eléctrico y otro
magnético que oscilan y son entre sí perpendiculares y perpendiculares a la
dirección de propagación.
Como características ( consecuencia de la definición) podemos citar que se
propaga a la velocidad de la luz y que no necesita medio material para
hacerlo. Como cualquier onda, transporta momento lineal y energía.
4.
Los rayos X, la luz visible y los rayos infrarrojos son radiaciones
electromagnéticas. Ordénalas en orden creciente de sus frecuencias e indica
alguna diferencia entre ellas.
Respuesta:
Se han enumerado en orden decreciente de frecuencia, luego en el creciente,
será el opuesto: rayos infrarrojos, luz visible y rayos X. Las diferencias están
en función de la frecuencia pues a > frecuencia > energía. Los rayos X son
los más energéticos y por eso se pueden emplear en medicina (huesos)
aunque con períodos cortos de exposición para no dañar a los tejidos.
La característica más destacada de la luz visible es precisamente esa; que es
visible, es decir; que impresiona el sentido de la vista.
La radiación infrarroja se puede emplear para fotografiar el calor porque los
cuerpos lo emiten principalmente a esas frecuencias .
Ejercicios Física Moderna/2
5.
Explica por qué hay una frecuencia umbral en el efecto fotoeléctrico
Respuesta:
La energía que la radiación electromagnética transmite a los electrones de un
metal se hace en forma de fotones (E=h<) y esta energía se emplea en
parte en desligar a dichos electrones del metal (trabajo de extracción o
función trabajo) y el resto en suministrales energía cinética. Si la radiación
incidente no posee una energía mínima ( lo que equivale a una frecuencia
mínima) igual a la función trabajo no desprenderá los electrones del metal y
no se observará el efecto fotoeléctrico.
6.
CL-S02¿En que consiste el efecto fotoeléctrico? Explique su origen y sus
principales características. Represente la variación de la energía cinética de
los fotoelectrones emitidos en función de la frecuencia de la señal luminosa
incidente.
Respuesta:
El proceso por el cual se liberan electrones de un material por la acción de
la radiación se denomina efecto fotoeléctrico.
Los metales contienen electrones que se mueven más o menos libremente.
No escapan del metal a temperaturas normales porque no poseen suficiente
energía. Un modo de aumentar la energía de los electrones es calentar el
metal. Los electrones "evaporados" se llaman termoelectrones ( y el
resultado de esta emisión, efecto termoiónico o efecto Édison). Este es el
tipo de emisión en las válvulas electrónicas. Sin embargo, como muestra la
experiencia de Hertz, los electrones también se pueden liberar por el efecto
fotoeléctrico.
Estudiando experimentalmente este efecto se observa que:
Para cada metal existe una frecuencia umbral <0, por debajo de la cual
a)
no se produce el efecto fotoeléctrico (por muy grande que sea la
intensidad de la luz incidente)
b)
Para una radiación de frecuencia dada, la intensidad de la corriente
eléctrica depende de la intensidad de la radiación
incidente.
La velocidad máxima con la que salen los
c)
electrones no depende más que de la frecuencia
de la radiación incidente.
El efecto fotoeléctrico es prácticamente
d)
instantáneo. El retraso entre la llegada de la
1014Hz
radiación adecuada y la emisión de los
electrones es del orden de 10-9 s .
A partir de la ecuación de Einstein, (Ecmax = h<N0 ), la representación de
la energía cinética máxima de los fotoelectrones frente a la frecuencia de la
radiación incidente, para un metal dado es:
Donde la abscisa en el origen representa, evidentemente, la frecuencia
umbral y la pendiente, la cte de acción de Planck (luego la representación
para cualquier otro metal es una recta paralela a la dada).
Ejercicios Física Moderna/3
7.
Una superficie emite electrones por efecto fotoeléctrico cuando sobre ella
incide luz verde, pero no lo hace cuando es amarilla. Se pregunta si debe
esperarse emisión de electrones cuando la superficie sea iluminada con luz:
a) roja b) azul
Resolución:
Se sabe que la luz visible del espectro se descompone en los colores
siguientes (de menor a mayor frecuencia) Rojo, Anaranjado, Amarillo, Verde,
Azul, Añil, Violeta.
La luz roja, de menor frecuencia que la amarilla no producirá efecto
fotoeléctrico ya que no lo produce el amarillo.
La luz azul, de mayor frecuencia que la verde también producirá efecto
fotoeléctrico ya que este lo produce.
8.
CL-S07 Para un determinado metal, el potencial de frenado es V1 cuando se
le ilumina con una luz de longitud de onda 81 y V2 cuando la longitud de onda
de la luz incidente es 82. A partir de estos datos, exprese el valor de la
constante de Planck.
Si V1=0, ¿qué valor tiene 81?
Respuesta:
Vamos a expresar la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico en función
de la longitud de onda, relacionando la energía cinética máxima de los
fotoelectrones con el potencial de detención, frenado o corte:


c
c 
h h
 Ecmax

0
eV
Donde 8 representa la longitud de onda de la radiación incidente , 80 la
longitud de onda umbral o máxima que arranca los fotoelectrones, e la carga
del electrón y V el potencial de detención. . Si aplicamos dos veces la
relación anterior AL MISMO METAL (misma 80), resulta:
2 1
12
c
 c


h
h
eV
(1
)


1
 
0
1
1
 1
(1) - (2)

 hc  

  e  V1  V2  
 1 2 
h c  h c  eV (2)
2
 2
0
e  V1  V2   12
h
c  2  1 
Observando (1) se ve que si V1=0, entonces 8= 80, es decir; si el potencial
de detención es nulo también es nula la energía cinética máxima de los
fotoelectrones lo que corresponde a la situación de hacer incidir sobre el
metal una radiación de longitud de onda igual a la umbral.
Ejercicios Física Moderna/4
9.
CL-J03 ¿Qué tipos de radiaciones emiten las substancias radiactivas
naturales? Explique, de cada una de ellas, su naturaleza u origen y sus
propiedades fundamentales
Respuesta:
Se obtienen emiten tres tipos de partículas:
* Partículas con carga positiva (")
* Partículas con carga negativa ($)
* "Partículas" sin carga
La naturaleza de los rayos " y $ se obtuvo midiendo su relación q/m.
Partículas ". Resultaron ser núcleos de helio, animadas de gran velocidad (•
c/20). Según la energía con la que se emiten su poder de penetración o
alcance varía. Su valor normal es tal que una lámina de Al de 5 x 10-4 cm las
detiene.
Partículas $ . Son electrones de gran velocidad (• 0,99c) y energía (• 5
MeV). Más penetrantes que las partículas " (0,05 cm de Al).
Rayos (. Del tipo de los rayos X pero de menor longitud de onda y en
consecuencia más energéticos (0,1 ...3 MeV). Necesitan hasta 8 cm de Al
para su detención.
El origen de dichas radiaciones hay que buscarlo en el propio núcleo atómico.
Las partículas " son núcleos de helio y no pueden proceder de otro lugar.
Esto se comprueba además por el hecho de que el átomo que emite esta
partícula se transforma en otro elemento diferente con dos unidades menos
de número atómico.
Las partículas $ son electrones y se podía suponer, en principio, que
provenían de la corteza, sin embargo, al estudiar químicamente los cambios
que acompañan a la emisión $ se comprueba que el átomo se transforma en
otro de una unidad más de número atómico y por ello su núcleo debe de
emitir un electrón.
Los rayos ( son fotones, pero los rayos X más energéticos, que proceden de
la transición electrónica a la capa más interna (capa K) son mucho menos
energéticos ( 1- 100 KeV). No se pueden justificar estos rayos por tránsitos
electrónicos y admitimos que se emiten en virtud de procesos de reajuste
energético que tiene lugar en el interior del núcleo tras la emisión " o $ que
lo dejó en un estado excitado.
10.
Describe las reacciones nucleares de fisión
y fusión . ¿Por qué en ambas reacciones
se desprende energía?.
Respuesta:
En las reacciones de fisión, el núcleo de un
elemento pesado, como el uranio, se
fisiona o rompe en dos núcleos de masas
intermedias al ser bombardeado por
neutrones de la velocidad adecuada.
Ademas de esos dos núcleos se liberan
también 2 0 3 neutrones por núcleo
Ejercicios Física Moderna/5
fisionado que son los que reproducen el proceso (reacción en cadena).
En el caso de la fusión, dos núcleos ligeros (de hidrógeno, por ejemplo) se
fusionan si se les suministra la energía suficiente para vencer las
repulsiones, dando lugar a un núcleo más pesado.
En ambos casos (fisión y fusión) se libera energía porque la energía de enlace
por nucleón es menor ,en los núcleos ligeros o en los muy pesados que en
los intermedios por lo que ambos procesos se producirán liberando energía.
[ver gráfico adjunto]
11.
CL-S04 Describa las reacciones nucleares de fisión y fusión. Explique el
balance de masa y de energía en dichas reacciones.
Respuesta:
Ver cuestión anterior
12.
CL-J06 Defina las siguientes magnitudes asociadas con Ios procesos de
desintegración radiactiva: actividad (A), constante de desintegración (8),
periodo de semidesintegración (T) y vida media (J). Indique para cada una de
ellas la correspondiente unidad en el sistema internacional de unidades.
Resolución:
La actividad o velocidad de desintegración es, por definición, la rapidez con
la que se desintegran los núcleos radiactivos. Experimentalmente dicha
velocidad es directamente proporcional al nº de núcleos radiactivos
presentes. La constante de proporcionalidad 8recibe el nombre de constante
de desintegración y su valor es específico de cada elemento radiactivo.
Matemáticamente:
dN
A
 
def
dt
 N
Si en la actualidad se dispone de N núcleos radiactivos, el tiempo que debe
de transcurrir para que se desintegren la mitad de ellos recibe el nombre de
período de semidesintegración (T).
Considerando como muerte de un núcleo radiactivo el instante en el que deja
de existir porque se desintegra transformándose en otro elemento, llamamos
vida media (J) al tiempo de vida promedio de los núcleos radiactivos, pues
evidentemente, al no desintegrarse todos a la vez, no todos viven el mismo
tiempo: Sería el equivalente en las personas a la esperanza de vida.
Unidades SI: Tanto T como J , al tratarse de tiempos se medirán en s. La
actividad en desinteg/s y la constante radiactiva, ver relación anterior, en s-1
13.
CL-S08 Defina período de semidesintegración y vida media. ¿Cuál de estas
dos magnitudes es mayor?. Razone la respuesta.
Respuesta:
La primera parte se encuentra respondida en la cuestión anterior. Es menor
el período de semidesintegración que la vida media por cuanto la relación de
ambas con la constante radiactiva es:
L2
1
T
; =  T  L2  0,69


Ejercicios Física Moderna/6
14.
Obtén la energía asociada a un fotón de 8 = 3.500 D. h = 6,626 x 10-34 J.s
Resolución:
Se parte de la ecuación de Planck relacionando la frecuencia con la longitud
de onda, que es el dato.
E  h  h
15.
c
 6,626.10-34 J.s 

3.108 m / s
 5, 68.10 19 J
10 10 m
3500 D 
D
CL-S04 Un equipo láser de 630 nm de longitud de onda, concentra 10 mW
de potencia en un haz de 1 mm de diámetro.
a) Deduzca razonadamente y determine el valor de la intensidad del haz en
este caso.
b) Razone y determine el número de fotones que el equipo emite en cada
segundo.
Resolución:
a) A partir de la definición de intensidad:
I
E
102 W
4  104
t 

Wm2
4 2
2

S
 5  10  m
ya que Br2 es área en el que se concentra la energía que emite el láser.
b) La energía de UN fotón en función de su longitud de onda viene dada, a
partir de la relación de Planck por:
E  h 
hc

Como en cada segundo el rayo láser emite una energía de 10-2J en forma de
fotones, la energía de un fotón por el numero de fotones emitidos en ese
segundo ha de ser igual, evidentemente, a los 0,01 J, es decir;
energía de
UN fotón

hc

n
16.
energía emitida en 1 s
por el haz láser


n

102

nº fotones emitidos por segundo
102 J .630  109 m
6,63  10
34
8
J s .3  10 m s
1
 3,17  1016 fotones
La luz roja posee una longitud de onda de 6500 .10-10 m. Calcula la cantidad
de movimiento que posee un fotón de esa luz.
Resolución:
El cálculo es inmediato a partir de la relación de De Broglie:
 h 6, 626,1034 J.s
h
  p  
 1, 02.10 27 kgm / s
10

p
6500.10 m
Ejercicios Física Moderna/7
17.
Una fuente de luz monocromática emite una radiación electromagnética de
8 = 4800 D con una potencia de 20 W. ¿Cuántos fotones por segundo
emite esa fuente?.h = 6,626 x 10-34 J.s
Resolución:
La energía asociada a un fotón de la longitud de onda que se da es, como
sabemos:
E  h  h
c
 6,626.10-34 J.s 

3.108 m / s
 4,14.10 19 J
10
10 m
4800 D 
D
Como la fuente emite cada segundo una energía de 20 J (recuerda el
significado de potencia), resulta inmediato calcular cuántos fotones debe de
emitir para que la energía de todos ellos sea de 20 J:
nº fotones 
emitidos por segundo
18.
20 J
 4,83.1019 fotón
19
4,14.10 J / foton
Las energías cinéticas de los fotoelectrones varían entre 0 y 4 x 10-19 J
cuando la luz que incide sobre la superficie tienen una 8 = 3000 D. ¿Cuál es
el potencial de detención?. ¿Cuál es la longitud de onda umbral para ese
material?. h = 6,626 x 10-34 J.s . e = 1,6 x 10-19 C.
Resolución:
Los electrones del metal tienen diferentes energías: Son los que tienen la
máxima energía en el seno del metal los más fáciles de extraer o, de otro
modo, los que saldrán con mayor energía cinética al incidir sobre ellos una
radiación.
Si queremos detener a esos electrones debemos realizar un trabajo sobre
ellos que los detenga, de modo que se cumpla:
Ec max  

1
4.10 19 J
2
me vMAXe  4.10 19 J  eVD  VD 
 2,5V
2
1, 6.10 19 C
trabajo de
detencion
Como sabemos, la energía irradiada se emplea en desligarles del metal y en
comunicarles energía cinética (que será la máxima posible para los electrones
más energéticos, es decir; los menos ligados al metal) de modo que podemos
trabajo de
poner:
extraccion
c
c
1
h
 h 0  Ec  h  h
 Ec   0 

energia
E
1


c
0
suministrada

a un electron
 hc
1


1
4.1019 J

3.107 m 6,626.1034 J s  3.108 m s1
1010 D
 7569,7D
 7,569710 m  7,569710 m 
m
7
Ejercicios Física Moderna/8
7
19.
La energía requerida para extraer un electrón del Na es 2,3 eV. ¿Muestra el
Na efecto fotoeléctrico para la luz anaranjada de 8 = 6.800 D? h = 6,626
x 10-34 J.s ; e = 1,6 x 10-19 C.
Resolución:
El Na producirá el efecto fotoeléctrico con la luz anaranjada si la energía de
la misma es superior a 2,3 eV y no lo producirá si es inferior.
Trabajo de extracción ( o función trabajo): 2, 3 eV
1, 6.10 19 J
 3, 68.10 19 J
eV
Energía de la luz naranja:
E  h  h
c
 6,626.10-34 J s

3.108 m s1
 2, 92.10-19 J
10-10 m
6.800 D 
D
Al ser esa energía menor que el trabajo de extracción NO se producirá efecto
fotoeléctrico.
20.
Sobre una superficie de Al incide luz de 8 = 2.000 D. En el Al se requieren
4,2 eV para extraer electrones. ¿Cuál es la Ek
a) ; del fotoelectrón más rápido emitido?
b) ¿Cuál es el potencial de detención?
c) ¿Cuál es la 8 umbral para el Al?
Resolución:
a) A partir de la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:
 h0

h  0  Ec
se puede calcular, con los datos, el término de la izda y el primer sumando
de la dcha, con lo que se puede evaluar la Ec:
4,2eV

c
Ec  h  0  h  0  6,62.1034 J s

3.108 m / s
1,6.1019 J

4,2
eV


1010 m
eV
2000 D 
D
 3,21.1019 J
b) Si al ser emitidos los fotoelectrones se les somete a un campo con sentido
el de su movimiento, el campo los acabará frenando denominándose
potencial de detención a la ddp mínima necesaria para frenarlo. Desde el
punto de vista energético, la energía cinética que pierde es debido al trabajo
de frenado:
E
3,21.10 19 J
Ec  Ecinicial  eVD  VD  cinicial 
2 V
e
1, 6.1019 C
c) Como se conoce el trabajo de extracción resulta evidente el modo de
calcular la longitud de onda umbral:
Ejercicios Física Moderna/9

1,6.1019 J
4,2
eV


eV
hc 6,62.1034 J s  3.108 m / s

0  

 0 

19

c
4,2.1
,6.10
J
0
h  h
 0
0
21.
 2,995.107 m  2995D
En un experimento de efecto fotoeléctrico se
obtiene el gráfico adjunto. Dibuja el mismo
gráfico para un metal que requiera una
energía doble para extraer un electrón.
Resolución:
A partir de la ecuación de Einstein del efecto
fotoeléctrico:
 h 0
 h 0


h  0  Ec  Ec  h  0
Siendo la función subrayada la que se representa. Observa que,
matemáticamente se trata de una recta de pendiente h (cte de Planck). ¿Qué
sucederá con la representación gráfica en el caso de un metal de doble
trabajo de extracción?, Su frecuencia umbral (abscisa en el origen) será
también el doble y la pendiente de la línea la misma por ser dicha pendiente
la cte universal h. En el mismo gráfico se realiza la representación pedida
mediante una línea descontinua
22.
Cuando se ilumina el cátodo de una célula fotoeléctrica con luz
monocromática de frecuencia 1,2 x 1015 Hz, se observa el paso de una
corriente que puede llegar a anularse aplicando una ddp de 2 V.
a) ¿frecuencia umbral?
b) ¿Qué tensión habrá que aplicar para suprimir la corriente que se produzca
cuando se ilumina la citada celda con luz monocromática de 8 = 150 nm?
Resolución:
a) Se parte de la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:
 h0

h  0  Ec
Es dato la frecuencia incidente y, mediante el potencial de detención, se
puede obtener la energía cinética máxima de los fotoelectrones, con lo que
resulta inmediato el cálculo de la frecuencia umbral.
eVD
 Ec0  eVD  (1,6.1019 C)2V  3,2.1019 J
W

E

E

E
c0
cF
 c
h  Ec 6,62.1034 J s  1,2.1015 s1  3,2.1019 J


h  h 0  Ec  0 
6,62.1034 Js
h
 7,2.1014 s1
b) Sigue dando vueltas a las ideas anteriores. En este caso como se conoce
Ejercicios Física Moderna/10
el trabajo de extracción y la longitud de onda incidente, pide el potencial de
detención:
...del apartado anterior



34
15 1
19
19
h  h0  Ec  h0  h  Ec  6, 62.10 J s  1,2.10 s  3,2.10 J  4, 75.10 J
c
c
6, 62.10 34 J s  3.108 m / s
 h0  Ec  Ec  h  h0 
 4, 75.10 19 J  8, 49.10 19 J


10 9 m
150 nm
nm
eVD
E
8, 49.10 19 J
 Ec0  eVD  VD  c0 
 5, 31V
W
1, 6.10 19 C
e
 Ec  EcF  Ec0
h
23.
Por efecto fotoeléctrico se emiten electrones desde una superficie metálica.
Calcula la frecuencia umbral del metal sabiendo que cuando la luz incidente
tiene una 8 = 3.000 D , se necesita aplicar una ddp de 3 V a la superficie
del metal para detener la emisión.
Resolución:
Ejercicio semejante a varios anteriores. A partir del potencial de detención se
obtiene la energía cinética máxima con la que se emitieron los fotoelectrones
más energéticos y, como se sabe la energía incidente, se obtiene la
frecuencia umbral.
eVD
 Ec0  eVD  (1,6.1019 C)3V  4,8.1019 J
W

E

E

E
cF
c0
 c
6,62.1034 J s  3.108 m / s
 4,8.1019 J
10

10 m

c
3000 D 
h  Ec
c
D
h

 h 0  Ec  0  

h
6,62.1034 Js

 2,75.1014 s1
24.
CL-J06 Un láser de helio-neón de 3 mW de potencia emite luz
monocromática de longitud de onda 8 =632,8 nm. Si se hace incidir un haz
de este láser sobre la superficie de una placa metálica cuya energía de
extracción es 1,8 eV: a) Calcule el número de fotones que inciden sobre el
metal transcurridos 3 segundos. b) La velocidad de los fotoelectrones
extraídos y el potencial que debe adquirir la placa (potencial de frenado) para
que cese la emisión de electrones.
Resolución:
a) Como se conoce la potencia del láser y el tiempo de emisión, es inmediato
el cálculo de la energía que emite. A partir de la longitud de onda se obtiene
la energía con la que se emite UN fotón, con lo que resulta obvio hallar el
número de fotones emitidos:
Ejercicios Física Moderna/11
3
Eradiación  P.t  3.103 W
  3s  9  10 J
J/ s
Efotón  h 
nº fotones 
hc


hc


6,62.1034 J s  3.108 m / s
 3,14.1019 J
9
632,8.10 m
Eradiación
9  103 J

 2,86  1016
19
Efotón
3,14.10 J
b) Lo primero, pasar a J el trabajo de extracción y después aplicar la
ecuación del efecto fotoeléctrico
Para hallar el potencial de detención no hay más que aplicar al caso el
teorema de las fuerzas vivas: el incremento de energía cinética de los
fotoelectrones más rápidos es igual al trabajo eléctrico de detención:
1,6x1019 J
0  1,8eV  1,8 eV
 2,88x1019 J
eV
hc
3,14x1019 J

h  0  Ecmax  Ecmax 
Ecmax  1,6.10
20
1
J
2

h
9,1x1031kg

me
2,88x1019 J


0

v2max  vmax 
Ec  1,6.1020 J  1,6  1019 C.V  V 
25.
 1,6x1020 J
2  1,6.1020 J
 1,88  105 m / s
31
9,1x10 kg
1,6.1020 J
 0,1V
1,6  1019
CL-J09 El cátodo metálico de una célula fotoeléctrica es iluminado
simultáneamente por dos radiaciones monocromáticas de longitudes de onda
1 = 228 nm y 2 = 524 nm. Se sabe que el trabajo de extracción de un
electrón para este cátodo es W0 = 3,4 eV.
a) ¿Cuál de estas radiaciones es capaz de producir efecto fotoeléctrico?
¿Cuál será la velocidad máxima de los electrones extraídos?.
b) Calcule el potencial eléctrico de frenado o de corte.
Resolución:
a) A partir de la relación del efecto fotoeléctrico, expresada en términos de
la longitud de onda, resulta:
hc
hc
 W0  Ecmax  Ecmax 
 W0 


6,62.1034 Jsx3.108 m s1
1,6.1019 J

 3,4 eV x
 3,27.1019 J
eV
m
228nm x 9
10 nm
El valor correspondiente a la longitud de onda de 524 nm da lugar a una
energía cinética máxima de los fotoelectrones NEGATIVA, lo que carece de
sentido. Es pues sólo la longitud de onda de 228 nm la que produce el efecto
fotoeléctrico.
Ejercicios Física Moderna/12
Como se ha calculado la velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos,
es inmediato el cálculo de la máxima velocidad de los mismos:
Ecmax 

1  2
m vmax  vmax 
2
2  3,27.1019 J
 8,48  105 m / s
31
9,1x10 kg
b) A partir del teorema de las fuerzas vivas, que relaciona el trabajo total con
el incremento de la energía cinética, se obtiene:
Vc
e






19
Ec  q  Vi  Vf   0  Ecmax  1,6.10 C xVc 
Ecmax 3,27.1019 J
 Vc 

 2,044V
e
1,6.1019 C
26.
Cuando incide sobre el K luz de 8 = 3.000 D, los fotoelectrones emitidos
tienen una energía cinética máxima de 2,03 eV.
a) ¿Cuál es la energía del fotón incidente?
b) ¿Cuál es la energía de extracción del K?
c) ¿Cuál sería el potencial de detención si la luz incidente tuviese una 8 =
4.000 D ?
Resolución:
a) Como se conoce la longitud de onda incidente la energía a ella asociada
es:


c
6, 62.10 34 J s  3.108 m / s
Eh

 6, 62.10 19 J
10

10 m
3000 D 
D
b) Cuando se dice que “los fotoelectrones emitidos tienen una energía
cinética máxima de 2,03 eV“ se quiere expresar que es ese potencial el que
es necesario aplicar para detener a los electrones más rápidos. Ya se ha
tratado esta cuestión:
eVD
W
 Ec0  eVD  (1, 6.10 19 C.2, 03eV)  3,25.10 19 J
 Ec  EcF  Ec0
Apartado a)
0




h  h0  Ec  h0  h  Ec  6, 62.10 19 J  3,25.10 19 J  3, 37.10 19 J
c) Viene a ser una mezcla de los dos apartados anteriores . Se sabe, por el
apartado anterior, el trabajo de extracción. A partir de la longitud de onda
incidente se obtiene la energía de la misma, con lo que en la relación de
Einstein del efecto fotoeléctrico sólo se desconoce la energía cinética de los
electrones más rápidos. El teorema de las fuerzas vivas nos relaciona,
finalmente, esa energía con el trabajo de detención y, en consecuencia, con
Ejercicios Física Moderna/13
el potencial necesario para detener a esos electrones:
h0

eVD
c
 Ec0  eVD ; h  0  Ec  h  0  (eVD ) 
W

Ec  EcF  Ec0
 VD 
27.
h
c
 0


e
6,62.1034 J s
3.108 m / s
 3,37.1019 J
10
10 m
4000 D 
D
 1V
19
  1,6.10 C 
CL-J01 Si la energía de extracción de un metal debida al efecto fotoeléctrico
es de 3,7 eV, determine:
a)La velocidad máxima con que son emitidos los electrones de la superficie
del metal cuando incide sobre ella una radiación UV (ultravioleta) de una
longitud de onda  = 300 nm.
b)La máxima longitud de onda que tiene que tener dicha radiación, para que
sean emitidos los electrones del metal.
Resolución:
a) La aplicación del principio de conservación de la energía a los
fotoelectrones más energéticos de un metal nos lleva a plantear la igualdad
siguiente:
energia
incidente
energia
incidente

h 
h 0

 EK
 0 (trabajo
extraccion)

En funcion de la frecuencia

hc


hc
0

 EK
 0 (trabajo
extraccion)

En funcion de la longitud de onda
, con los significados ya conocidos. Como el dato es de longitud de onda y
teniendo en cuenta que pide la velocidad máxima de esos electrones, resulta:
energia
incidente

hc


hc
0



1 2
mv  v 
2
 hc

 0 
2
 
 
m
0 (trabajo
extraccion)




8
1
19 
34
6,62.10 J s  3.10 m s
1,6.10 J 
2
 3,7 eV 
9


10 m
eV
300 nm 


nm

 
31
9,1.10 Kg
 2,77.105 m / s
Ejercicios Física Moderna/14
b) La energía mínima de la radiación incidente (que corresponde a máxima
longitud de onda por ser ambas magnitudes inversamente proporcionales)
será aquella que arranque o desligue a los electrones del metal sin
comunicarles energía cinética, luego corresponde al denominado trabajo de
extracción o función trabajo:
hc
hc 6,62.1034 J s  3.108 m / s
 0 

 3,355.107 m 
19
0
0
1,6.10 J
3,7 eV 
eV
 335,5nm
0 
28.
Calcula la 8 asociada a un electrón de 13,6 eV de energía cinética.
Resolución:
Hay que aplicar la ecuación de De Broglie que relaciona el momento lineal de
una partícula con la longitud de onda asociada. En consecuencia, hay que
obtener previamente el momento lineal a partir del dato de la energía
cinética:
2
2 2
p

1 2 m v
Ec  m v 

 p  2mEc 
2
2m
2m
 2  9,1.1031kg  13,6 eV .
 1,99.10
24
1,6.1019 J

eV
h
6,62.1034 J.s
kgm / s     

p 1,99.1024 kgm / s
 3,33.1010 m  3,33D
29.
Un electrón se acelera desde el reposo con una ddp de 100 V. Calcula la
velocidad que alcanza y la 8DeBroglie
Resolución:
El trabajo eléctrico sobre el electrón se emplea en incrementar su energía
cinética (teorema de las fuerzas vivas). Relacionaremos la energía cinética
que alcanza con el momento lineal, que es la magnitud que aparece en la
relación de De Broglie.
Naturalmente la velocidad del electrón se obtiene de su energía cinética.
Ejercicios Física Moderna/15
eV

1  2
W
 EcF  eV  m vF  vF 
2
Ec  EcF  Ec0
2eV

m
2  1,6.1019 C  102 V
 5,93.106 m/ s
31
9,1.10 kg
 2
 2
PF

m2 vF

 PF  2meV 
2m
2m

 2  9,1.1031kg  1,6.1019 C  102 V  5,396.1024 kgm / s
h
6,62.1034 J
10
m  1,23 D
  
 1,23.10




24
5,396.10 kgm / s
PF
1D
30.
¿Qué energía mínima requiere un electrón para poder observar con él un
objeto de 5 D?
Resolución:
Ejercicio semejante en parte al anterior. Nos dan la longitud de onda. A partir
de ella empleando la relación de De Broglie obtendremos el momento lineal
de la partícula y con él, su energía cinética:
 h 6, 62.1034 J
h
  P  
 1, 324.1024 kgm / s
10
10
m

P
5D.
D

2
2
2 2
P
1, 324.1024 kgm / s 

1 2 m v
Ec  m v 


 9, 63.10 19 J
31
2
2m
2m
2  9,1.10 kg
31.
Halla la 8 De Broglie para una partícula " de 1 keV (m0 = 3728 MeV)
Resolución:
Observa que se da la masa en reposo de la partícula " en términos de
energía (lo que es muy frecuente en el dominio nuclear), Mediante la relación
masa-energía de Einstein obtendremos la masa en Kg:
E0  m0 c2  m0 
E

c2
1, 6.10 13 J
MeV
 6, 63.1027 kg
2
8
3.10 m / s 
3728MeV 
Como se sabe la energía cinética de la partícula (1keV), se puede obtener de
ella el momento lineal , necesario para aplicar la ecuación de De Broglie:
Ejercicios Física Moderna/16
2
2  2
P

1,6.1016 J
1 2 m v
Ec  m v 

 P  2mEc  2  6,63.1027 kg  1keV

keV
2
2m
2m
h
6,62.1034 J
 1,456.1021kgm / s     
 4,55.1013 m  0,00455D
21
P 1,456.10 kgm / s
32.
CL-J03 a) Determine la frecuencia de la onda asociada a un fotón con 200
MeV de energia b) Calcule su longitud de onda y su cantidad de movimiento:
Resolución:
a) La relación energía -frecuencia es la ya conocida (Planck):
eV
J
200 MeV  106
 1,6.1019
E
MeV
eV
 4,82  1022 s1
E  h    
6,63.1034 J s
h
6,63.1034 J s  3.108 m s1
 6,21 1013 m
eV
J
200 MeV  106
 1,6.1019
MeV
eV
La relación entre el momento lineal y la energía de una partícula de masa en
reposo nula como el fotón es:
b)

c hc



E

E
 ...  1,06  1019 kgms1.
c
h
h
También,(De Broglie) =  p   ...

p
E  pc  p 
33.
AND-J98 El período de semidesintegración de un
nucleído radiactivo de masa atómica 200 u, que
emite partículas beta, es de 50s. Una muestra,
cuya masa inicial era de 50 g, contiene en la
actualidad 30 g del nucleído original.
a) Indica las diferencias entre el nucleído original
y el resultante y representa gráficamente la
variación de la masa del nucleído original.
b) Calcula la antigüedad de la muestra y su actividad actual
Resolución:
a) Recordando la que la partícula $ es un electrón, el proceso de emisión se
puede representar por:
A
Z
X
0
1
e
A
Z 1
Y
Luego el núcleo-hijo se diferencia del padre en que tiene un protón más. La
variación es la conocida ley general:
m  m0e
 L2 
 
 t
 T1/ 2 
y su representación gráfica, la de la figura:
b) Para hallar la antigüedad de la muestra no hay más que calcular, en la ley
de la desintegración radiactiva, el tiempo transcurrido desde que se tenían
Ejercicios Física Moderna/17
50 g hasta los 30 g actuales:
30 g  50 g .e
 L2 

t
 50s 
5
50.L  
 3  s  36, 85
t
L2
A partir de la definición de velocidad de desintegración o actividad y previo
cálculo del nº de núcleos que se tiene en los 30 g, resulta:
L2

t


T1/ 2

d  N0e


L2



t

T1/ 2 
 definicion dN
L2
  N  e
 
 N
  N
v  
0 

dt
dt
T

1/ 2




u
nucleo

22
 N  30 g  1,66.1024 g  200 u  9,04.10 nucleos

L2
nucleos  1,25.1021nucleos / s
 v  9,04.1022
50s
34.
La ley de desintegración de una sustancia radiactiva es: N = N0e-0,02t. ¿Cuál
será su período de semidesintegración?
Resolución
Por definición, el periodo de semidesintegración es el tiempo que debe
transcurrir para que el nº de átomos radiactivos de un determinado elemento
se reduzca a la mitad, es decir; si t=T½, entonces N=N0/2. Si llevamos esta
relación a la ley radiactiva que da el ejercicio, resulta:
N0
2
 N0 e 
 T1 
2
0,02T1
2
tomando logaritmos neperianos
en la igualdad anterior

 L2  0,02T1 
2
L2
unidades de tiempo
0,02
Observa cómo no es posible decidir las unidades del resultado porque se
desconoce en qué se mide el tiempo
35.
El período de semidesintegración del Po-210 es 130 días. Si disponemos
inicialmente de 1 mg de polonio, al cabo de cuánto tiempo quedarán 0,25
mg?
Resolución:
Como los datos hacen referencia a la masa y no al nº de átomos radiactivos,
expresaremos del siguiente modo la ley radiactiva. La relación entre el
período de semidesintegración y la cte radiactiva se puede deducir de la ley
de desintegración llegándose a 8=L2/T1/2, con lo que se obtiene:
Ejercicios Física Moderna/18
m  m0 e
t
 m0 e
 L2 
 
 t
 T1/ 2 
; 0,25mg=1mg e
 L2 

t
 130d 
 L0,25  
L2
t
130d
 1
L 
L0,25
2L2
4
t
   
 260d
L2
L2
L2



130d
130d
130d
En este caso, al resultado obtenido se puede llegar directamente a partir de
la definición de período de semidesintegración:
Tiempo total transcurrido: :260d



al cabo de T1/2 130d
al cabo de T1/2 130d
1mg 
 0,5mg 
 0,25 mg
36.
CLS03 El período de semidesintegración del 234U es de 2,33 x 105 años.
Calcule:
a) La constante de desintegración y la vida media.
b) Si se parte de una muestra inicial de 5 .107 átomos de dicho isótopo,
¿cuántos núcleos quedarán al cabo de 1000 años?
Resolución:
Aplicando las ecuaciones de la desintegración radiactiva, resulta:
L2
L2




 2,97  106 a1
5

T1
2,33  10 a

2
a) 

1 T12 2,33  105 a

 3,36  105 a
Tvida media  
 L2
L2

b) N  N0e
37.




L2 

t
 T 
1
 2
7
 5.10 núcleos  e

L2

5
 2,33.10 a

3
10 a

 4,985  107 núcleos
CL-S07 El isótopo 214 U tiene un período de semidesintegración de 250.000
años. Si partimos de una muestra de 10 gramos de dicho isótopo, determine:
a) La constante de desintegración radiactiva.
b) La masa que quedará sin desintegrar después de 50.000 años.
Resolución:
a) La relación entre el período de semidesintegración y la constante
radiactiva es:
L2
L2
a1  2,773.106 a1


T1
250.000
2
Se ha operado con el tiempo en años porque en años vienen los datos y no
es necesario expresarlos en el SI.
Ejercicios Física Moderna/19
b) Operando con la masa en gramos (pues la ley de desintegración radiactiva
sólo obliga a expresar la masa o la cantidad de materia en las mismas
unidades en ambos miembros), se tiene:
m  m0e
t
 m  10ge

L2

250000
a


50000 a

 8,7g
Con el significado ya conocido: m0, la masa inicial del elemento radiactivo y
m , la masa que queda sin desintegrar al cabo de un tiempo t
38.
CL-S02 Tenemos 10 mg de 210Po, cuyo periodo de semidesintegración es de
138 días. Calcule:
a) ¿Cuanto tiempo debe transcurrir para que se desintegren 6 mg ?.
b) Cuantos átomos quedan sin desintegrar al cabo de 365 dias ? . Nota: El
numero de Avogadro NA= 6, 023x1023 átomos/mol. Masa atómica del
210
Po=209,9828 u
Resolución:
a) Expresando la ley radiactiva en función de la masa, se tiene:
 L2 
10-6
 L2 

 

 t
t
4
L2
t
 T1/ 2 
m  m0e  m0e
; 4 mg=10 mg e  138d   L

t
10
138d
2
5

4
L
10  138d  L5  L2  182,4d
t
L2
L2

138d
b) Ahora se trata de operar con el número de átomos que (inicialmente)
tenemos en los 10 mg
N0


365L2

mol
átomos
N  102 g 
 e 138  4,59  1018 átomos
 6,023  1023
209,9828 g
mol
39.
El 212Bi tiene un T1/2=60,5 min. ¿Cuántos átomos se desintegrarán por
segundo en 50 g de Bi?.
Resolución:
A partir de la ley de desintegración radiactiva: N=N0e-8t se puede obtener la
expresión de la actividad o velocidad de desintegración (expresando datos
y resultados en el SI):
Ejercicios Física Moderna/20


definicion
v

d N0et 
dN
det
L2


 N0
  N0et  N 
N
dt
dt
dt
T1/ 2
N
103 kg
u
atomo


.50 g 


27
60s
1
,66.10
kg
212,9973
u
g
60,5min 
min
atomo
 2,7.1019
s
L2
40.
Un isótopo radiactivo artificial tiene un período de semidesintegración de 10
días. Se tiene una muestra de 25 mg de ese isótopo.
a) ¿Qué cantidad del mismo se tenía hace 1 mes?
b) Calcula la cte de desintegración.
Resolución:
a) y b) Tal como se pregunta, la situación inicial era HACE UN MES. A partir
del período de semidesintegración
se obtendrá la cte radiactiva y, con ella, ya se puede aplicar la ley de
desintegración. Operaremos con las masas en mg.

L2
L2

T1/ 2 10s
t
 L2

 10 s

 30 s

m  m0 e ; 25mg=m0 e  m0  8  25mg=200mg
1/ 8
En este caso al resultado obtenido se puede llegar directamente a partir de
la definición de período de semidesintegración:
Tiempo total transcurrido: :30d



al cabo de T1/2 10d
al cabo de T1/2 10d
al cabo de T1/2 10d
200 mg 
 100mg 
 50 mg 
 25mg
41.
Una muestra radiactiva contiene 1010 átomos y tiene una actividad de 10
desintegraciones/s. ¿Cuántos átomos habrá al cabo de 1 año?
Resolución:
A partir de la definición de actividad o velocidad de desintegración, se ha
visto en el ejercicio 27 que su valor, en función del nº de átomos radiactivos
existentes es v=N8. Una vez calculado el valor de esa constante, la
continuación es evidente:
Ejercicios Física Moderna/21
atomo
10
v
   10 s
 109 s1
N 10 atomo
N  N0et  N  1010 e
109 s1  365246060 s 
0,9689...



10 0.031536
 10 e

 9,689.109 nucleos radiactivos
42.
Una muestra de material radiactivo contiene 500 millones de núcleos
radiactivos. El período de semidesintegración es 30 s. Determina:
a) El nº de núcleos radiactivos que existen en la muestra después de 15 s.
b) La cte 8 de decaimiento exponencial o cte radiactiva del núcleo.
Resolución:
b) Para responder a la cuestión a) es necesario conocer el valor de 8 , o cte
radiactiva, por lo que comenzaremos por el apdo b).
A partir de la ley general de la desintegración radiactiva es sencillo relacionar
el período de semidesintegración con la cte radiactiva, resultando:

L2
L2

 2, 31.102 s1
T1/ 2
30s
a) Conocida la cte radiactiva, la ley general de la desintegración permite
responder a este apartado:
2
2



N  N0 e
43.
 t
 5.10
8
 L2

 30 s

15 s

e
 2,5 2.108  3,54.108
Re cuerda que el exponente
de la exponencial debe de
ser SIEMPRE adimensional
CL-J00 El 210
83 Bi se desintegra espontáneamente por emisión beta con un
período de semidesintegración de 5 días. Inicialmente tenemos 16.10-3 kg de
dicho isótopo.
a) ¿Qué cantidad quedará al cabo de 15 días?
b) ¿Cuántos protones y neutrones tiene el núcleo que resulta después de
dicha emisión?
Resolución:
a) Como se ha visto ya, la cte radiactiva se calcula conocido el período de
semidesintegración y se prosigue con la ley de la desintegración. Se va a
operar con las masas en g (más cómodo)
Ejercicios Física Moderna/22

L2 L2

T1/ 2 5d
 L2 

15 d
5d 
16g
=2g
; m=16 g . e  m 
8
1/ 8
En este caso, al igual que en ejercicios anteriores, al resultado obtenido se
puede llegar directamente a partir de la definición de período de
semidesintegración:
m  m0 e
t
Tiempo total transcurrido: :15d



al cabo de T1/2  5d
al cabo de T1/2  5d
al cabo de T1/2  5d
16 g 
 8 g 
 4 g 
2 g
b) Esta cuestión se responde recordando que en toda reacción nuclear se
conserva la carga y el nº de nucleones:
210
83
Bi  AZ X 
0
1
e
nº nucleones: 210=A+0  A=210

Conservacion de: 
carga: 83=Z+(-1)  Z  84
210
84
X
..luego 84 p y (210-84) n=126 n
44.
51
Cr , cuyo período de
CL-S00 Tenemos un mol del isótopo radiactivo 24
semidesintegración es de 27 días . Calcule:
a) La constante radiactiva
b) ¿Cuántos gramos de Cr quedarán al cabo de 6 meses? Dato: Número de
Avogadro=6,023 x 1023 átomos/mol
Resolución:
Este ejercicio es semejante a otros ya resueltos. No hay más que operar con
las relaciones de la desintegración radiactiva:
a)  
L2
L2

 2,567.10 2 d1
T1/ 2 27d
b)Puesto que se pide “¿cuántos GRAMOS...?” es conveniente operar con la
masa en esta unidad. Recuerda que el nº que expresa la masa en gramos de
un mol de átomos coincide con el que expresa la masa atómica. En nuestro
51
Cr es 50,945g ya que su masa
caso, la masa de un mol de átomos de 24
atómica es 50,945 u.
0,00984
 L2 





180 d
t
4,6209
 27 d 
m  m0e  50, 945g.e
 50, 945g. e
 0,501g
Ejercicios Física Moderna/23
45.
CL-J04 Se tiene un mol de un isótopo radiactivo, cuyo período de
semidesintegración es de 100 días. Conteste razonadamente a las siguientes
preguntas:
a) ¿Al cabo de cuánto tiempo quedará sólo el 10% del material inicial?.
b) ¿Qué velocidad de desintegración o actividad tiene la muestra en ese
momento?. Dar el resultado en unidades del SI.
Dato: Número de Avogadro NA=6,023 x 1023 átomos/mol
Resolución:
a) A partir de la ley de desintegración:
N=N0e-8t se puede obtener t...si se conoce 8. Hallemos en primer lugar la cte
radiactiva a partir del período:

L2
T
Al sustituir en la ecuación de partida, se tiene: N  N0e
 L2 
 t
 T 
Teniendo en cuenta los datos, (N=N0/10) :
 L2 
 N0

t
 L2 
 N0 e  100d   L10   

t 
 10
100d 


L10

 t  100d  L2  332,19 d
b) Recordemos que la velocidad de desintegración o actividad es, por
definición:



 L2 

 t
N

 T  



d  N0e


N




 L2 


t



dN
L2
L2
L2
1
átomos


 T 





v
N0e
N
mol  NA
dt
dt
T
T
100  24  3600s 10
mol
 4,83  1015 átomos/s

46.
CL-S05 La actividad del 14C se puede usar para determinar la edad de
algunos restos arqueológicos. Suponga que una muestra contiene 14C y
presenta una actividad de 2,8.107 Bq. La vida media del 14C es 5370 años.
a) Determine la población de núcleos de 14C en dicha muestra.
b) ¿Cuál es la actividad de una muestra después de 1000 años?.
Resolución:
a) Como sabemos, la actividad o velocidad de desintegración de una muestra
radiactiva es, por definición , el nº de núcleos que se desintegran en la
unidad de tiempo, siendo su unidad SI el Bq (1Bq=1 desintegración/s) .
Matemáticamente se tiene:

d N0et 
dN
t

 N0    e   N0et  N
v
dt
dt
N
La actividad depende, como se ve, de la constante radiactiva, específica de
Ejercicios Física Moderna/24
cada clase de núcleo y del número de núcleos presentes. Como este número
disminuye con el tiempo a causa de la desintegración radiactiva, también lo
hará la actividad.
No se da, directamente, el valor de 8, pero si el de su inversa la vida media
(J), con lo que de la igualdad anterior, se obtiene:
1
v  N  N  N  v 

7 núcleos
 2,8.10
 (5730  365  24  3600 s )  5,06.1018 núcleos
s
b) La actividad dentro de 1000 años, que va a ser menor que la actual, tal
como se ha dicho, al quedar menos núcleos radiactivos sin desintegrar, se
va a calcular a partir de la relación anterior teniendo en cuenta que 5,06.1018
REPRESENTA EL Nº DE NÚCLEOS ACTUAL, es decir; N0, mientras que N ES
EL Nº DE NÚCLEOS DENTRO DE 1000 AÑOS.
vdentro de
v
v
1000 a
v  N    actual 
 vdentro de  actual
Nactual Ndentro de
Nactual
1000 a
cte
t
Nactuale



t
 Ndentro de  vactual  e T 
T
1000 a
1000 a
1000a

 2,8.10 núcleos  e 5730a  2,35.107 núcleos
s
s
Observa que, al ser SIEMPRE el exponente del nº e adimensional, el
numerador y el denominador del exponente han de venir expresados en las
mismas unidades, no necesariamente en las del SI. Por esta razón se ha
dejado el tiempo en años, ya que al ser el dato, resulta más cómodo.
7
47.
CL-S06 Una muestra arqueológica contiene 14C que tiene una actividad de
2,8.107 Bq. Si el período de semidesintegración del 14C es de 5730 años,
determine:
a) la constante de desintegración del 14C en s-1 y la población de núcleos
presentes en la muestra.
b) la actividad de la muestra después de 1000 años.
Resolución:
a) A partir de la definición de período de semidesintegración, se obtiene su
relación con la constante de desintegración:

L2
L2

 3,83.1012 s1
T 5730  365,25  24  3600s
La relación entre la actividad y el número de núcleos presentes, se deduce
a partir de la definición de aquella:
Ejercicios Física Moderna/25
d N0e t 
dN

  N0e  t  N 
A
 

dt
dt
def
N
N
A

7
2,8.10 núcl / s
 7,3.1018 núcleos
1
3,83.1012 s

b) Teniendo en cuenta la relación anterior, el cálculo es inmediato:
A   N0e  3,83.10

t
12
1
18
s  7,3.10 núcleos  e

L2
1000 a
5730 a

N
 2,48.107 núcleos / s  2,48.107 Bq
Observa que, por comodidad, el tiempo se ha expresado en años en el
exponente del nº e, lo que es correcto por cuanto dicho exponente es
adimensional, y exige, por tanto, emplear la misma unidad de tiempo en el
numerador y denominador.
48.
Completa las siguientes reacciones nucleares, colocando en el lugar de X el
núcleo o partícula correspondiente:
27
13
Al  01n  42 He  X
12
6
Cl  X  42 He  48Be
11
5
B  42 He 
14
7
31
15
P    01n  X
59
27
Co  01n 
60
27
Co  X
NX
Resolución:
Teniendo en cuenta que en toda reacción nuclear se conserva, entre otras
cosas, tanto la carga (Z) cono el nº de nucleones (A), resulta fácil completar
las reacciones anteriores (recuerda que la radiación gamma no lleva asociada
ni carga ni masa):
27
13
Na

24
Al  n  He  11X
59
27
1
0
4
2
1
0
Co  n 
60
27
Ejercicios Física Moderna/26


0
Co  0 X
P

30
P    n  15 X
31
15
1
0
12
6


0
Cl  0 X  42He  48Be

N  01X
neutron
11
5
4
2
B  He 
14
7
49.
CL-J98 Cuando se bombardea con un protón un núcleo de litio, 37 Li , éste
se descompone en dos partículas ".
a) Escribe y ajusta la ecuación nuclear del proceso
b) Calcula la energía liberada en dicha desintegración, siendo los pesos
atómicos del litio, el hidrógeno y el helio 7,0182 u, 1,0076 u y 4,0029 u,
respectivamente. Expresa el resultado en eV
Resolución:
a) Para escribir la ecuación correspondiente a la reacción nuclear hay que
tener en cuenta la conservación de carga y nº de nucleones. Como se sabe
la partícula " no es más que el núcleo del átomo de helio mientras que el
protón se puede considerar como el del hidrógeno.
7
1
4
3 Li  1H  2 2 He
Aunque en este proceso se pueda producir emisión de radiación gamma,
nada se dice sobre este punto.
b) Para calcular la energía liberada en el proceso hay que calcular la variación
de masa en el mismo y después evaluar la energía a la que da lugar, según
la conocida relación de Einstein. Desde luego habrá que expresar las
unidades de masa atómica en el SI:
defecto de masa
que se transforma
Masa de reactivos: (7,0182+1,0076)u=8,0258 u (masa
en energia)



Masa de productos: 2  4,0029u=8,0058u

 (8,0258  8,0058)u  0,02u
E  mc2



 0,02 u
Relacion de Einstein
masa-energia
50.
2
1,66.1027kg
3.108 m/ s   2,989.1012 J

u
A
CV-J98 El núcleo 1532 P se desintegra emitiendo un electrón; 32
15 P  Z X 
e .
0
1
32
Determina los valores de A y Z del núcleo hijo. Si la masa atómica del 15P es
31.973908 u, y la energía cinética del electrón es de 1,71 MeV, calcula la
masa del núcleo X.
Resolución:
La conservación de la carga y del nº de nucleones permite responder a la
primera parte:
32
15
P  AZ X 
0
1
e.
nº nucleones: 32=A+0  A=32
 32
Conservacion de: 
16 X
carga: 15=Z+(-1)  Z  16
En cualquier proceso se conserva la masa-energía y basándonos en este
principio resolveremos la segunda cuestión. Se supone que se conoce la
masa en reposo del electrón (9,1093897.10-31 Kg). Llamaremos y a la masa
(en u) del núcleo hijo. Expresaremos la masas en términos de energías .
Ejercicios Física Moderna/27
Vamos a suponer que el núcleo residual queda en reposo, lo que es bastante
razonable pues si un núcleo, inicialmente en reposo pues nada se dice acerca
de su energía cinética.
32
15
P  AZ X 
0
1
e
27
2

1, 66.10 kg
  3.10 m / s  
energia de reactivos=31,973908 u 
u

9
 4, 77845610 J

1,494486.1010 J



27

2
1, 66.10 kg
8
energia de productos= y u 
3.10 m / s  

u

Energia
TOTAL
del
electron
 

 9,1093897.10 kg  3.10 m / s   1, 71MeV  1, 6.10 J

MeV
 
3,5558451013 J
8
13
31
2
8
Conservacion de la
masa-energia
 4, 77845610
 y  31, 9501 (u)
51.
CL-J08 El isótopo del fósforo
9
32
15
J  y1, 494486.10
10
J  3, 55584510
13
J
P cuya masa es 31,9739 u, se transforma
por emisión beta en cierto isótopo estable del azufre (número atómico
Z=16) de masa 31, 9721 u. EL proceso, cuyo período de
semidesintegración es 14,28 días, está acompañado por la liberación de
cierta cantidad de energía en forma de radiación electromagnética. Con estos
datos:
a) Escriba la reacción nuclear y el tipo de desintegración beta producido .
Calcule la energía y la frecuencia de la radiación emitida.
b) Calcule la fracción de átomos de fósforo desintegrados al cabo de 48
horas para una muestra formada inicialmente sólo por átomos de fósforo
32
15
P
Resolución:
a) Expresemos la reacción nuclear que se indica:
32
15
P  0z e 
A
16
S 
32  0  A  A  32
15  Z  16  Z  1
La primera de las dos igualdades es la de conservación el nº de nucleones y
la segunda, la de conservación de la carga.
Observa que se ha puesto Z para la carga de la partícula beta pues a priori
no se sabe si corresponde a la emisión de un electrón (Z=-1) o de un
positrón (Z=1). De hecho se pregunta por el “tipo de desintegración beta”.
La conservación de la carga indica que se trata de la emisión de un electrón.
Ejercicios Física Moderna/28
Se ha incluido la emisión de un fotón (emisión gamma) ya que así lo indica
el enunciado: “...acompañado por la liberación de cierta cantidad de energía
en forma de radiación electromagnética”
La energía de la radiación emitida se puede obtener a partir la conservación
masa-energía para el proceso descrito (no se consideran energías cinéticas
por cuanto, al no conocerse datos de velocidades de las partículas, se
supone despreciables las energías cinéticas frente a la energía debida a la
variación de masa):
32
15
P
0
1
32
e +16
S+
9
4,7769.10 J


2
1,66.1027kg
31,9739 u 
 3.108 m / s 
u
4,7766.109 J


2
1,66.1027kg
3.108 m / s 
 31,9721 u 
u






2
 9,11.1031kg 3.108 m / s  E  E  3.1013 J

8,2.1014 J
Donde, como se ve, se puede despreciar la energía correspondiente a la
masa del electrón al ser mas de 1000 veces menor de las correspondientes
a los núcleos. Una vez obtenida la energía asociada al fotón es inmediato
calcular la frecuencia del mismo:
E
3.1013 J
 4,51020 s1
E  h    
34
h 6,62.10 J s
b) Como se sabe, la ley de la desintegración radiactiva es:
N  N0et
, con N0, el nº núcleos radiactivos presentes cuando se comienza a contar
el tiempo y N, los que queda, por no haberse desintegrado aún, al cabo de
un tiempo t.
La constante radiactiva, 8 la obtenemos al conocerse el período de
semidesintegración:

L2
L2

 2,022.103 h1
T1 14,28.24h
2
Donde se ha operado con el tiempo en horas pues así lo requiere este
apartado.
Hay que observar que, aunque se desconoce el valor de N0 y N, no importa
Ejercicios Física Moderna/29
por cuanto se pide “la fracción de átomos desintegrados”, es decir:
núcleos desinte-grados

N0  N
N0
 1
3 1
N
 1  et  1  e2,022.10 h .48h  0,0925
N0
O, si se prefiere el 9,25% de los núcleos iniciales se han desintegrado al
cabo de 48 h.
52.
CL-J01 Calcule:
40
a) La energía media de enlace por nucleón de un átomo de 20 Ca , expresada
en MeV (megaelectrón-voltios).
b) La cantidad de energía necesaria para disociar completamente 1 g de
40
20 Ca , expresando dicha energía en Julios.
40
Datos:
p = 1,0073 u; n = 1,0087 u; NA
20 Ca = 39,97545 u
23
= 6,023 x 10 átomos / mol
1 u equivale a 931 MeV
Resolución:
a) De la nomenclatura del núcleo de calcio que se da, se deduce que el
mismo contiene 20 protones y otros tantos neutrones. Calculemos la masa
de ese conjunto de partículas:
m(P+N)=20(1,0073+1,0087)u=40,32u
Sin embargo, la masa real del referido núcleo es: 39,97545 u, lo que quiere
decir que si se toman 20 protones y 20 neutrones y con ellos se quiere
formar un núcleo de calcio “desaparece” una masa de valor (40,3239,97545)u=0,34455 u. Dicho defecto de masa es el que se ha
transformado en energía que se ha consumido en el proceso de formación del
núcleo. Vamos a calcularla:
E  mc2  0,34455 u
2
1,66.1027 Kg
3.108 m / s  

u
MeV
13
1
,6.10
J


factor de conversion de J
en MeV, que es en lo que
se pide
 321,83MeV
Esa energía, como se ha dicho, se ha consumido en formar el núcleo del
átomo de calcio, pero se pregunta cuánta se ha consumido POR NUCLEÓN.
Como el núcleo lo forman 40 nucleones, resulta:
Energía de enlace por nucleón:
E 321, 83 MeV

 8, 0457 MeV
A
40
b) Se ha calculado en el apdo anterior la energía que se consume al formar
un núcleo de Ca. El principio de conservación de la energía nos asegura que
Ejercicios Física Moderna/30
esa misma energía se desprenderá al deshacerlo...solo que el ejercicio habla
de hacerlo con 1 gramo de Ca, luego hay que calcular previamente el nº de
átomos de calcio en 1 g.
E  1 g de Ca 
6,0221367.1023 at de Ca 321,83 MeV 1,6.1013 J



40 g de Ca
at de Ca
MeV
 7,75.1011J
Como puede verse, cuando se trabaja con cantidades a escala macroscópica,
las energías afectadas son enormes. Se ha optado por dar el resultado en J
porque se hace en MeV el nº sería todavía mucho mayor (en un factor de
1013).
Observa cómo se pueden efectuar cálculos con cantidades macroscópicas
(g, kg..) a partir de las atómicas (u) de dos modos:
1º a Partir de la masa en g o kg de la unidad de masa atómica
2º Haciendo intervenir al nº de Avogadro
53.
CL-S01 La masa del núcleo del isótopo
31
15
P
es 30,970 u. Calcule:
a) El defecto de masa. b) La energía media de enlace por nucleón en MeV
(megaelectrónvoltio)
Datos: Masa del protón: 1,0073 u; masa del neutrón: 1,0087 u.
Resolución:
Ejercicio completamente análogo al anterior por lo que se pasa a resolver sin
más comentarios:
a) Defecto de masa:
[(15.1,0073+16.1,0087)-30,970] u=0,2787u
b) Ahora calcularemos primero la energía asociada a ese defecto de masa
necesaria para formar el núcleo y después, la energía por cada uno de los 31
nucleones del núcleo.
2
1, 66.1027 kg
MeV
3.108 m / s  
E  mc  0,2787u
 260, 3208 MeV 

1, 6.1013 J
u
E 260, 3208 MeV
 
 8, 3974 MeV (siendo A el nº de nucleones)
A
31
2
54.
Calcula la energía que se desprende por nucleón en la reacción termonuclear:
6
3
Li  21H  2 42 He Datos : 63 Li  6, 0151 u; 21H  2, 0141 u; 42 He  4, 0026 u
Resolución:
Ejercicios Física Moderna/31
Ejercicio sencillo semejante a otros resueltos (y otros a resolver) de
transformación de masa en energía:
defecto de masa
que se transforma
Masa de reactivos: (6,0151+2,0141)u=8,0292 u (masa
en energia)

 
Masa de productos: 2  4,0029u=8,0058u

0,0234u




 (8,0292  8,0058)u
E  mc2  0,0234 u
2
1,66.1027 kg
3.108 m / s   3,4971.1012 J

u
E 3,4971.1012 J

 4,3713.1013 J
A
8



Observa que A representa el total de nucleones de los dos nucleos
que se fisionan
55.
Una de las fuentes de energía del Sol es la que procede de la
1
reacción: 4 1H 
4
2
He  2 01e
Muestra que en cada ciclo se libera una energía de unos 26 MeV
4
Datos: 1H=1,0073 u
He=4,0026 u
Resolución:
Este ejercicio sigue siendo un ejemplo sencillo de transformación de masa en
energía. No se va a considerar la masa del positrón por ser despreciable
frente a la del resto de las partículas involucradas
defecto de masa
0,0266u




que se transforma
Masa de reactivos: 4  1,0073 u=4,0292 u (masa
en energia)


(4,0292
 4,0026)u

Masa de productos: 4,0026u

27
2
1,66.10 kg
MeV
E  mc2  0,0266 u
 24,85 MeV
3.108 m / s  

1
,6.1013 J
u

Factor de conversion
de Julios en MeV
56.
Una de las reacciones posibles en la fisión del 235U da lugar a la formación
del 94Sr y 140Xe liberándose 2 neutrones
a) Formula la reacción y calcula la energía liberada
b) Determina qué cantidad de 235U debe gastarse por hora en una central
nuclear de 3000 MW
Datos:
235
94
140
1
92 U  234, 9943 u ; 38 Sr  93, 9754 u ; 54 Xe  139, 9196 u ; 0 n=1,0087 u
a) Para poder formular la reacción hay que recordar que la fisión requiere de
un neutrón que la inicie al bombardear el núcleo pesado:
235
1
94
140
1
92 U  0 n  38 Sr  54 Xe  2 0 n
Como en el proceso no se habla de las energías cinéticas, no se
considerarán.
Ejercicios Física Moderna/32
Masa de reactivos: (234,9943+1,0087)u=236,003 u
 defecto de masa

 
Masa de productos: 93,9752+139,9196+2  1,0087 u=235,9122u
2
1,66.1027 kg
 (236,003  235,9122)u  0,0908u ; E  mc2  0,0908 u
3.108m/ s  
u
 1,357.1011J
b) Se calculará primero la energía que consumen en 1 h la central nuclear
(que extrae de la fisión del uranio):
Econsumida  3.109
1h
J
 3600 s  1, 08.1013 J
s
¿Qué cantidad de uranio hay que fisionar para que libere en una hora esa
energía?. Suponemos que no existen pérdidas. El proceso a seguir ya es
evidente pues sabemos, apdo a), la energía liberada en la fisión de 1 núcleo
de uranio: Hallaremos cuántos núcleos de uranio hay que fisionar y,
posteriormente, su masa.
Nº de núcleos de uranio a fisionar
1, 08.1013 J

 7, 959.1023 nucleos
11
1, 357.10 J / nucleo
Masa de uranio a fisionar
234,9943 u 1,66.1027 Kg
 7,959.10 nucleo 

 0,31056 Kg
u
nucleo
23
57.
CL-S99 El deuterio y el tritio son dos isótopos del hidrógeno. Al incidir un
neutrón sobre un núcleo de deuterio se forma un núcleo de tritio,
emitiéndose radiación gamma en el proceso.
a) Escriba y ajuste la reacción nuclear citada.
b) Calcule la longitud de onda del fotón emitido, así como su momento lineal
o cantidad de movimiento
Resolución:
a) Teniendo en cuenta que el deuterio y el tritio son los isótopos de
hidrógeno ordinario con 1 y 2 neutrones en su núcleo, respectivamente y que
la radiación gamma carece de carga y masa, al aplicar la conservación de las
dos magnitudes citadas al proceso descrito, se tiene:
1
0
n  21H  31H  
b) Para poder calcular la longitud de onda y momento lineal del fotón emitido
en forma de radiación  es preciso calcular la energía con la que es emitido,
para lo que es necesario hacer un balance de energía al proceso del anterior
apartado. Observa que al no conocerse la energía cinética con la que el
neutrón incide sobre el deuterio, se va a suponer despreciable. El balance
energético es:
Ejercicios Física Moderna/33
energía de reactivos



27
1,66.10 kg
 9.1016 m2s2 
1,008986  2,014740  u 
u

masa, en kg, de reactivos
energía de productos



1,66.1027kg
 3,017005u 
 9.1016 m2s2  Efotón
u



masa, en kg, del producto
Si en la igualdad anterior se despeja la energía del fotón y se opera, teniendo
en cuenta la relación de la energía de un fotón tanto con su longitud de onda
como con su momento lineal, resulta:
h 
Efotón  1,00412  1012 J 
hc
hc 6,63.1034 J s  3.108 m s1


 1,98.1013 m

E
1,00412.1012 J
pc 
E
p
c

relación E, p para
partíc de m0  0
Ejercicios Física Moderna/34

1,00412.1012 J
 3,35.1021 kgm / s
3.108 ms 1