v1 5 4 1 S v2 2 Introducción al Método de los Elementos Finitos Parte 1 Introducción al MEF para problemas elípticos Alberto Cardona, Víctor Fachinotti Cimec-Intec (UNL/Conicet), Santa Fe, Argentina 1. Introducción al MEF para problemas elípticos • Problemas elípticos “modelo” y solución por MEF – Problema simple 1-D – Generalización a 2-D • Propiedades básicas del método Introducción al Método de los Elementos Finitos 2 (1.1) Formulación variacional del problema 1-D • Sea el problema de valores de frontera: (D) donde u ' = du ; dx − u '' = f ( x) , u (0) = u (1) = 0 0 < x <1 f ( x) es una función continua dada. • Integrando 2 veces, vemos que el problema tiene solución única u. • (D) puede describir cualquiera de los siguientes problemas de Mecánica del continuo: A. Barra elástica B. Cuerda elástica C. Conducción del calor en una barra Introducción al Método de los Elementos Finitos 3 A) Barra elástica Barra elástica sujeta en ambos extremos y sometida a carga axial de intensidad f(x) Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos y material elástico lineal: σ = Eu ' −σ ' = f Ley de Hooke u (0) = u (1) = 0 Ec. de equilibrio Cond. de borde donde E es el módulo de elasticidad. Asumiendo E=1 (D) − u '' = f ( x) , 0 < x <1 u (0) = u (1) = 0 Introducción al Método de los Elementos Finitos 4 B) Cuerda elástica Cuerda elástica sujeta en ambos extremos, con tensión unitaria y sometida a carga transversal de intensidad f(x) Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos y material elástico lineal: (D) − u '' = f ( x) , 0 < x <1 u (0) = u (1) = 0 Introducción al Método de los Elementos Finitos 5 C) Conducción de calor en una barra Barra sometida a fuente de calor distribuida f(x), con temperatura nula en ambos extremos. Bajo condiciones estacionarias y material lineal: −q = ku ' Ley de Fourier −q ' = f u (0) = u (1) = 0 Ec de equilibrio Cond de borde donde k es el conductividad. Asumiendo k=1 (D) − u '' = f ( x) , 0 < x <1 u (0) = u (1) = 0 Introducción al Método de los Elementos Finitos 6 Problemas de minimización y variacional Veremos que la solución al problema (D) es también solución del problema de minimización (M) y de un problema variacional (V) Para formular (M) y (V) introducimos nueva notación. 1. Producto interno (v,w): 1 (v, w) = ∫ v( x) w( x) dx 0 para funciones reales acotadas continuas por tramos v, w. 2. Espacio lineal V: V = {v / v funcion continua sobre [ 0,1] , v ' es continua p/tramos y acotada en [ 0,1] , v(0) = v(1) = 0 3. Funcional lineal } F :V → 1 F (v) = (v ', v ') − ( f , v) 2 Introducción al Método de los Elementos Finitos 7 Problemas de minimización y variacional (cont) Problema (M): (M) Hallar u ∈ V / F (u ) ≤ F (v ) ∀ v ∈ V (V) Hallar u ∈ V / (u ', v ') = ( f , v ) ∀ v ∈ V Problema (V): Nota: en el contexto de los problemas (A) y (B) F (v ) es la energía potencial total asociada al desplazamiento v 1 (v ', v ') es la energía elástica interna 2 ( f , v) es el potencial de cargas Problema (M): principio de mínima energía potencial en Mecánica Problema (V): principio de trabajos virtuales en Mecánica Veremos la equivalencia de los problemas (D), (V) y (M) Introducción al Método de los Elementos Finitos 8 La solución de (D) es solución de (V) 1. Multiplicamos −u '' = f por una función arbitraria v ∈ V (func. de test). Integramos sobre (0,1): −(u '', v) = ( f , v) 2. Integramos por partes el lado izquierdo, y usamos v(0)=v(1)=0: −(u '', v) = −u '(1)v(1) + u '(0)v(0) + (u ', v ') = (u ', v ') 3. Al ser v arbitraria: (u ', v ') = ( f , v) ∀ v ∈V (1.1) Introducción al Método de los Elementos Finitos 9 o sea, u es solución de (V) Los problemas (M) y (V) tienen la misma solución v ∈V y w = v − u / v = u + w ∧ w ∈V . 1. Sea u solución de (V). Sea 1 Luego: F (v) = F (u + w) = ( u '+ w ', u '+ w ') − ( f , u + w) = 2 1 1 = ( u ', u ') − ( f , u ) + (u ', w ') − ( f , w) + ( w ', w ') ≥ F (u ) 2 2 = 0 por (1.1) F (u ) ≥0 o sea, u es solución del problema (M). • Sea u solución de (M). Luego ∀ v ∈V y ε ∈ : F (u ) ≤ F (u + ε v) (*) Definiendo: g (ε ) 1 ε2 F (u + ε v) = (u ', u ') + ε (u ', v ') + (v ', v ') − ( f , u ) − ε ( f , v) 2 2 Por (*) g (ε ) tiene un mínimo en ε = 0 . Luego : g '(0) = (u ', v ') − ( f , v) = 0 g ( ε ) min en 0 o sea, u es solución del problema (V). Introducción al Método de los Elementos Finitos 10 La solución de (V) es única 1. Sean u1 , u2 soluciones de (V): u1 , u2 ∈ V y (u '1 , v ') = ( f , v) ∀ v ∈V (u '2 , v ') = ( f , v) ∀ v ∈V 2. Sustrayendo, y eligiendo v = u1 − u2 ∈ V ∫ 1 0 (u '1 − u '2 ) 2 dx = 0 lo cual muestra que: u '1 ( x) − u '2 ( x) = (u1 − u2 ) ' ( x) = 0 ∀ x ∈ (0,1) 3. Usando la condición de borde: u1 (0) = u2 (0) = 0 ⇒ u1 ( x) = u2 ( x) ∀ x ∈ [ 0,1] o sea, la solución a (V) es única. Introducción al Método de los Elementos Finitos 11 Equivalencia de soluciones a (D), (V) y (M) 1. Hasta ahora hemos visto que si u es solución a (D), luego es solución a los problemas equivalentes (V) y (M) : ( D) ⇒ (V ) ⇔ ( M ) Mostraremos que si u es solución de (V), luego u satisface (D). 2. Sea u ∈V / 1 1 0 0 ∫ u ' v ' dx −∫ fv dx = 0 ∀ v ∈ V Asumimos u '' existe y es continua. Integ.p/partes y usando v(0) = v(1) = 0 1 1 0 0 − ∫ u '' v dx − ∫ fv dx + u ' v 0 = 0 1 − ∫ (u ''+ f )v dx = 0 0 Como (u ''+ f ) es continua, luego: (u ''+ f ) ( x) = 0 1 ∀ v ∈V 0 < x <1 o sea, u es solución de (D). Introducción al Método de los Elementos Finitos 12 Equivalencia de soluciones (D), (V) y (M) Resumiendo: Hemos demostrado que 1. La solución de la ecuación diferencial es solución de un problema variacional 2. La solución del problema variacional es también solución de un problema de minimización y viceversa 3. La solución del problema variacional es única 4. Si se cumple un requisito de regularidad (u” continua), la solución del problema variacional es también solución de la ecuación diferencial Notar: Las soluciones a los problemas variacional y de minimización vistos hasta ahora tienen dimensión infinita, no pueden hallarse en computadora. Veremos ahora cómo el MEF construye aproximaciones de dimensión finita a las soluciones de (V) y (M). Introducción al Método de los Elementos Finitos 13 (1.2) MEF p/problema modelo c/funciones lineales p/tramos 1. Construiremos un subespacio de dimensión finita Vh del espacio V , consistente en funciones lineales p/tramos. 2. Sea 0 < x0 < x1 xM < xM +1 = 1 una partición del intervalo (0,1) en subintervalos I j = ( x j −1 , x j ) de longitud h j = x j − x j −1 , j = 1, M + 1 La cantidad h = max h j es una medida de la densidad de la partición. Introducción al Método de los Elementos Finitos 14 Subespacio de funciones lineales por tramos 1. Sea Vh = {v / v es lineal en cada subintervalo I j v es continua en el [ 0,1] } v(0) = v(1) = 0 Ejemplo de v ∈ Vh Notar que Vh ⊂ V 2. Para describir v ∈ Vh elegimos los valores η j = v( x j ) en los nodos x j , Introducción al Método de los Elementos Finitos j = 1, M 15 Subespacio de funciones lineales por tramos 3. Definimos funciones de base ϕ j ( x) ∈ Vh , ⎧1 si i = j = = ϕ j ( xi ) δ ij ⎨ ⎩0 si i ≠ j j = 1, M i, j = 1, M ϕ j ( x) : función continua lineal por tramos que verifica la propiedad delta. 4. Toda función v ∈ Vh puede ser escrita en forma única como combinación lineal de las funciones de base ϕi ( x) : M v ( x ) = ∑ ηi ϕi ( x ) i =1 x ∈ [ 0,1] , ηi = v( xi ) Luego, Vh es un espacio vectorial lineal de dimensión M con base: Introducción al Método de los Elementos Finitos {ϕi }i =1 M 16 MEF para problema modelo (D) 1. Formulación como problema de minimización discreto: (M h ) Hallar uh ∈ Vh / F (uh ) ≤ F (v) ∀ v ∈ Vh (método Ritz) 2. De la manera ya vista, es equivalente al problema variacional discreto: (1.2) (Vh ) Hallar uh ∈ Vh / (uh ', v ') = ( f , v) ∀ v ∈ Vh (método Galerkin) 3. Notar, que si uh ∈ Vh satisface (1.2), luego en particular (uh ', ϕ j ') = ( f , ϕ j ) (1.3) j = 1, M (además, si se cumple (1.3), luego vale (1.2) ∀ v ∈ Vh ) M 4. Siendo uh ( x) = ∑ ξi ϕi ( x) , ξi = uh ( xi ) , escribimos (1.3) en la forma: i =1 ∑ ξ (ϕ ', ϕ ') = ( f , ϕ ) M i =1 i i j j j = 1,… , M Sistema de M ecuaciones algebraicas lineales con M incógnitas ξi Introducción al Método de los Elementos Finitos 17 Forma matricial A ξ (1.5) ⎡ (ϕ1 ', ϕ1 ') (ϕ1 ', ϕ 2 ') ⎢ (ϕ ', ϕ ') (ϕ ', ϕ ') 2 2 ⎢ 2 1 ⎢ ⎢ ⎢⎣(ϕ M ', ϕ1 ') = b (ϕ1 ', ϕ M ') ⎤ ⎧ ξ1 ⎫ ⎧ b1 ⎫ ⎥ ⎪ξ ⎪ ⎪b ⎪ ⎥ ⎪⎨ 2 ⎪⎬ = ⎪⎨ 2 ⎪⎬ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ (ϕ M ', ϕ M ') ⎥⎦ ⎩⎪ξ M ⎭⎪ ⎪⎩bM ⎭⎪ A : matriz de rigidez b : vector de cargas bi = ( f , ϕi ) Los elementos aij = (ϕi ', ϕ j ') pueden calcularse fácilmente. Notar: (ϕ ', ϕ ') = 0 i j si i − k >1 Luego A es tridiagonal Introducción al Método de los Elementos Finitos 18 Sistema de ecuaciones Entonces: x j +1 1 1 1 1 dx + dx = + ∫ x j −1 h 2 x j h2 h j h j +1 j j +1 a jj = (ϕ j ', ϕ j ') = ∫ xj 1 1 dx = − x j −1 h 2 hj j a j ( j −1) = (ϕ j ', ϕ j −1 ') = − ∫ 1. A es simétrica pues: xj (ϕ ', ϕ ') = (ϕ i j j j = 1, M j = 2, M ', ϕi ') M 2. A es definida positiva pues siendo v( x) = ∑ ηi ϕi ( x) i =1 M ⎛M ⎞ ', ' ', ' η ϕ ϕ η η ϕ η ϕ = ⎜ ∑ i i ∑ j j ⎟ = ( v ', v ' ) ≥ 0 ∑ i ( i j ) j i , j =1 j =1 ⎝ i =1 ⎠ M Como v(0) = 0 Entonces: luego: ⎧> 0 casi siempre ⎨ ⎩ = 0 solo si v ' = 0 luego (v ', v ') = 0 ⇔ v = 0 o sea: η j = 0 ηT Aη > 0 ∀ η ∈ M j = 2, M ,η ≠ 0 A simétrica y definida positiva Introducción al Método de los Elementos Finitos 19 Propiedades sistema de ecuaciones (1.5) 1. A sim > 0 A es no singular y el sistema (1.5) tiene solución única 2. A es rala, o sea pocos elementos de A son distintos de cero. Esto se debe a que ϕ j tiene soporte local ( ϕ j ≠ 0 en un intervalo pequeño, interfiriendo con pocas funciones ϕ k ). 1 3. Si la partición es uniforme, h j = h = y logramos M +1 0⎤ ⎡ 2 −1 ⎢ −1 2 −1 ⎥ ⎥ 1⎢ ⎥ A= ⎢ −1 h⎢ ⎥ 2 1 − ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 −1 2 ⎥⎦ Introducción al Método de los Elementos Finitos 20 (1.3) Estimación de error del MEF para problema modelo Sean − u '' = f ( x) , u (0) = u (1) = 0 ⎧ u solucion de (D) ⎨ ⎩ Hallar uh ∈ Vh uh solucion de (Vh ) 0 < x <1 / (uh ', v ') = ( f , v) ∀ v ∈ Vh Recordando que (u ', v ') = ( f , v) y como Vh ⊂ V ∀ v ∈V ( ( u − u ) ', v ') = 0 ∀ v ∈V h Ecuación del error donde u − uh es el error de la aproximación Veremos que en cierto modo, uh es la mejor aprox posible a la sol exacta u Norma asociada al producto escalar ( , ): Desigualdad de Cauchy: ( v, w ) ≤ w ( w, w ) 1 2 = ( ∫ w dx ) 1 2 1 2 0 v w Introducción al Método de los Elementos Finitos 21 Estimación de error del MEF para problema modelo ( u − uh ) ' Teo 1.1) ≤ (u − v ) ' ∀ v ∈ Vh D) Sean v ∈ Vh arbitraria y w = uh − v ∈ Vh . Reemplazando v por w en la ecuación del error: ( u − uh ) ' 2 = ( ( u − uh ) ', ( u − uh ) ') + ( ( u − uh ) ', w ') = ( ( u − uh ) ', ( u − uh + w ) ') = = ( ( u − uh ) ', ( u − v ) ') ≤ =0 ecuacion del error ( u − uh ) ' ( u − v ) ' ∀ v ∈V Cauchy Luego ( u − uh ) ' ≤ (u − v ) ' ∀ v ∈ Vh Para lograr una estimación cuantitativa del error, usamos una uh ∈ Vh elegida convenientemente. Por el resultado anterior: ( u − uh ) ' ≤ ( u − uh ) ' Introducción al Método de los Elementos Finitos 22 Estimación del error Haremos uh ∈ Vh interpolante de u , o sea: uh ( x j ) = u ( x j ) j = 0, M +1 En Análisis Numérico, se ve que: u′( x) − uh′ ( x) ≤ h max u ′′( y ) 0 ≤ y ≤1 Luego, por el teorema y (1.12): h2 max 0≤ y ≤1 u ′′( y ) u ( x ) − uh ( x ) ≤ 8 ( u − uh )′ Mediante análisis detallado, se puede mostrar : ≤ h max u ′′( y ) 0 ≤ y ≤1 ( u − uh ) ≤ o ( h2 ) Notar: • No necesitamos construir explícitamente uh , sino sólo la estimación de error del interpolante. • u ′ es una deformación o tensión, y tiene interés práctico la estimación de su error Introducción al Método de los Elementos Finitos 23 (1.4) MEF para la ecuación de Poisson Sea el problema: con ⎧−Δu = f en Ω (D) ⎨ ⎩ u = 0 sobre Γ ∂ 2u ∂ 2u Δu = 2 + 2 ∂x1 ∂x2 Puede corresponder a muchos problemas físicos: conducción de calor, potencial electromagnético, desplazamiento de una membrana fija en la frontera, etc. Teorema de la divergencia: ∫ Ω con: ⎧ A1 ⎫ A=⎨ ⎬ ⎩ A2 ⎭ Fórmula de Green: div A dx = ∫ A ⋅ n ds Γ ∂A1 ∂A2 div A = + ∂x1 ∂x2 ∫ Ω ⎧ n1 ⎫ n=⎨ ⎬ ⎩n2 ⎭ ∇v ⋅∇w dx = ∫ v ( ∇w ⋅ n ) ds − ∫ v Δw dx Γ Introducción al Método de los Elementos Finitos Ω 24 Formulación variacional 1. Si u satisface (D), luego es solución de: Hallar u ∈ V (V) con / a (u , v ) = ( f , v ) ∀ v ∈ V a (u , v) = ∫ ∇u ⋅∇v dx (forma bilineal) ( f , v) = ∫ f v dx Ω ∂v ∂v V = {v : (i) v es continua en Ω ; (ii) , continuas a trozos en Ω ; ∂x1 ∂x2 Ω (iii) v = 0 sobre Γ D) Multiplicamos (D) por una v ∈ Vh arbitraria e integramos } ( f , v) = − ∫ v Δu dx = − ∫ v ( ∇u ⋅ n ) ds + ∫ ∇u ⋅∇v dx = a (u , v) Ω Γ Ω = 0 ( v = 0 en Γ ) a ( u ,v ) 2. Como en el caso 1-D, si u suficientemente regular : con (M) Hallar u ∈ V / ( D) ⇔ (V ) ⇔ ( M ) F (u ) ≤ F (v ) ∀ v ∈ V Energía potencial total: F (v ) = 1 a ( v, v ) − ( f , v ) 2 Introducción al Método de los Elementos Finitos 25 Subespacio de funciones lineales por tramos 1. Construiremos un subespacio de dimensión finita Vh ⊂ V consistente en funciones lineales p/tramos. 2. Asumimos Γ poligonal. Sea una triangulación de Ω : Th = K1 , K 2 , K m con triángulos no superpuestos K i / Ω= K ∪K ∪ ∪K = K 1 2 ∩ K = {∅} m ∪ K ∈Th K ∈Th y de forma que no haya ningún vértice de algún triángulo ubicado sobre el lado de otro. El parámetro de malla h = max diam( K ) mide la densidad de triangulación. K ∈Th Introducción al Método de los Elementos Finitos 26 Subespacio de funciones lineales por tramos (cont) 3. Definimos Vh = {v : (i) v es continua en Ω ; (ii) v K es lineal para K ∈ Th ; (iii) v = 0 sobre Γ Notar Vh ⊂ V 4. Parámetros p/def. v ∈ Vh : valores v( N i ) de v en los nodos N i Excluimos los nodos de frontera pues v = 0 sobre Γ. 5. Def. funciones de base : ϕ j (x) ∈ Vh i = 1, } M de Th / ⎧1 si i = j ϕ j ( N i ) = δ ij = ⎨ ⎩0 si i ≠ j i, j = 1, M Soporte de ϕ j (x) = {x / x ∈ Th con nodo N j } Introducción al Método de los Elementos Finitos 27 Subespacio de funciones lineales por tramos (cont) 6. Toda función v ∈ Vh tiene luego la representación: M v ( x ) = ∑ ηi ϕi ( x ) i =1 x ∈ Ω , ηi = v ( N i ) 7. Formulamos luego el siguiente MEF p/el problema de Poisson (D): Hallar uh ∈ Vh (Vh ) / a (uh , v) = ( f , v) ∀ v ∈ Vh 8. De manera similar al caso 1-D, este problema es equivalente a resolver el sistema de ecuaciones: A ξ = b donde ahora: a = a (ϕ , ϕ ) = ∇ϕ ⋅∇ϕ dx ij i j ∫ i j Ω ξ i = uh ( N i ) bi = ( f , ϕi ) = ∫ f ϕi dx Ω 9. Nuevamente A es simétrica, definida positiva y no singular, con lo cual el sistema de ecuaciones tiene solución única. Además, A es rala pues: aij = 0 si Ni , N j ∉ al mismo triángulo Introducción al Método de los Elementos Finitos 28 Noción de mejor aproximación 1. uh ∈ Vh es la mejor aproximación a la solución u en el sentido: ∇u − ∇ u h ≤ ∇ u − ∇ v con v a ( v, v ) 1 2 = (∫ Ω ∇v dx 2 ) 1 ∀ v ∈ Vh 2 2. En particular, si encontramos uh ∈ Vh tal que ∇u − ∇ u h ≤ ∇ u − ∇ u h podremos probar convergencia. Ejemplo, usando el interpolante uh ( N j ) = u ( N j ) j = 1, M tendremos: ∇u − ∇uh ≤ Ch con C>0 cte independiente de h, que depende de: • • tamaño derivadas segundas de u menor ángulo de los triángulos K ∈ Th 3. Puede mostrarse luego: u − uh ≤ ( ∫Ω (u − uh ) 2 dx ) 1 2 ≤ Ch 2 4. Así, si u es sufic. regular, el error y su gradiente tienden a cero con h → 0 Introducción al Método de los Elementos Finitos 29 Cálculo matriz rigidez 1. Los elementos aij = a (ϕi , ϕ j ) son calculadas por suma de contribuciones de los distintos triángulos: a (ϕi , ϕ j ) = ∫ ∇ϕi ⋅∇ϕ j dx = Ω Notar que a K (ϕ i , ϕ j ) ≠ 0 ∑∫ K ∈Th sólo si K ∇ϕi ⋅∇ϕ j dx = ∑ a (ϕ , ϕ ) K ∈Th K i j Ni , N j ∈ K 2. Sean N i , N j y N k los nodos del triángulo K. Luego, la matriz de rigidez del elemento K: ⎡ a K ( ϕ i , ϕ i ) a K (ϕ i , ϕ j ) a K ( ϕ i , ϕ k ) ⎤ AK ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a K (ϕ j , ϕ j ) sim. ⎥ a K (ϕ j , ϕ k ) ⎥ ⎥ a K (ϕ k , ϕ k ) ⎥ ⎦ 3. La matriz de rigidez global A es armada luego en 2 etapas: 1. Cálculo de las matrices de rigidez elementales 2. Sumatoria de las contribuciones de cada elemento (ensamble) El vector de cargas b es armado de la misma manera. Introducción al Método de los Elementos Finitos 30 Cálculo matriz rigidez elemental 1. Trabajamos con las restricciones de las funciones de base al triángulo K: ψi ϕi K 2. ψ i es una función lineal / ⎧1 en el nodo i {ψ i ( x),ψ j ( x),ψ k ( x)} base de fcs lineales en K ψi = ⎨ ⎩0 en los nodos j , k 3. Si w( x) es una función lineal en K, tiene luego la representación: w( x) = w( N i )ψ i ( x) + w( N j )ψ j ( x) + w( N k )ψ k ( x) 4. La matriz de rigidez elemental: AK ⎡ a (ψ i ,ψ i ) a (ψ i ,ψ j ) a (ψ i ,ψ k ) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ a (ψ j ,ψ j ) a (ψ j ,ψ k ) ⎥ ⎢ ⎥ a (ψ k ,ψ k ) ⎥ ⎢ sim. ⎣ ⎦ Introducción al Método de los Elementos Finitos 31 Ejemplo ψ i ( x, y ) = α i + β i x + γ i y α i , βi , γ i ψ i ( xi , yi ) = 1 ψ i (x j , y j ) = 0 ψ i ( xk , yk ) = 0 / Resolviendo: αi = βi = x j yk − xk y j y j − yk 2Δ 2Δ ; γi = xk − x j 2Δ ⇒ ⎡1 xi ⎢1 x j ⎢ ⎢⎣1 xk yi ⎤ ⎧α i ⎫ ⎧1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y j ⎥⎥ ⎨ β i ⎬ = ⎨0 ⎬ yk ⎥⎦ ⎩⎪ γ i ⎭⎪ ⎩⎪0 ⎭⎪ ⎡1 xi 1 Δ = det ⎢⎢1 x j 2 ⎢⎣1 xk yi ⎤ y j ⎥⎥ yk ⎥⎦ (área triángulo) ⎧∂ψ i ⎫ ⎧∂ψ i ⎫ ⎧ βi ⎫ ⎧ βi ⎫ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ∂x ⎪ a (ψ i ,ψ i ) = ∫ ∇ψ i ⋅∇ψ i dx = ∫ ⎨ ⋅⎨ dx = ∫ ⎨ ⎬ ⋅ ⎨ ⎬ dx = ( βi2 + γ i2 ) Δ ⎬ ⎬ K K ∂ψ K γ ⎩ i ⎭ ⎩γ i ⎭ ⎪ i ⎪ ⎪∂ψ i ⎪ ⎩ ∂y ⎭ ⎩ ∂y ⎭ Luego: a (ψ i ,ψ j ) = ∫ ∇ψ i ⋅∇ψ j dx = ( βi β j + γ iγ j ) Δ K Introducción al Método de los Elementos Finitos 32 Ejemplo Matriz de rigidez elemental: AK ⎡( β i2 + γ i2 ) ⎢ Δ⎢ ⎢ ⎢ sim. ⎣ (β β (β i j + γ iγ j ) 2 j +γ 2 j ) ( β i β k + γ iγ k ) ⎤ ⎥ ( β j β k + γ jγ k )⎥⎥ ( β k2 + γ k2 ) ⎥⎦ Ilustraremos el proceso de ensamble para el caso siguiente: Elemento 1) i=1; j=2; k=3 α11 = 0 1 h 1 γ 11 = − h β11 = − Sustituyendo: α 21 = 0 α 31 = 0 β 21 = 1 h β 31 = 0 γ 21 = 0 γ 31 = ⎡ 2 −1 −1⎤ ⎧ξ1 ⎫ 1 ⎪ ⎪ A1ξ1 = ⎢⎢ −1 1 0 ⎥⎥ ⎨ξ 2 ⎬ 2 ⎢⎣ −1 0 1 ⎥⎦ ⎩⎪ξ3 ⎭⎪ Introducción al Método de los Elementos Finitos 33 1 h Ejemplo Por similaridad: ⎡ 2 −1 −1⎤ ⎧ξ 4 ⎫ 1 ⎪ ⎪ A 3ξ 3 = ⎢⎢ −1 1 0 ⎥⎥ ⎨ξ1 ⎬ 2 ⎢⎣ −1 0 1 ⎥⎦ ⎩⎪ξ 6 ⎭⎪ ⎡ 2 −1 −1⎤ ⎧ξ5 ⎫ 1 ⎪ ⎪ A 5ξ 5 = ⎢⎢ −1 1 0 ⎥⎥ ⎨ξ 7 ⎬ 2 ⎪ ⎪ ⎣⎢ −1 0 1 ⎥⎦ ⎩ξ1 ⎭ Elemento 2) i=3; j=6; k=1 α 32 = 0 α 62 = 0 α12 = 0 1 h 1 γ 32 = h β 62 = 1 h β12 = 0 β32 = γ 62 = 0 γ 12 = − 1 h Luego: ⎡ 2 −1 −1⎤ ⎧ξ3 ⎫ 1 ⎪ ⎪ A 2ξ 2 = ⎢⎢ −1 1 0 ⎥⎥ ⎨ξ 6 ⎬ 2 ⎢⎣ −1 0 1 ⎥⎦ ⎩⎪ξ1 ⎭⎪ ⎡ 2 −1 −1⎤ ⎧ξ1 ⎫ 1 ⎪ ⎪ A 4ξ 4 = ⎢⎢ −1 1 0 ⎥⎥ ⎨ξ 4 ⎬ 2 ⎪ ⎪ ⎣⎢ −1 0 1 ⎥⎦ ⎩ξ5 ⎭ Introducción al Método de los Elementos Finitos ⎡ 2 −1 −1⎤ ⎧ξ 2 ⎫ 1 ⎪ ⎪ A 6ξ 6 = ⎢⎢ −1 1 0 ⎥⎥ ⎨ξ1 ⎬ 2 ⎢⎣ −1 0 1 ⎥⎦ ⎩⎪ξ 7 ⎭⎪ 34 Ensamble primer elemento ⎡ 2 −1 −1⎤ ⎧ξ1 ⎫ 1 ⎪ ⎪ A1ξ1 = ⎢⎢ −1 1 0 ⎥⎥ ⎨ξ 2 ⎬ 2 ⎢⎣ −1 0 1 ⎥⎦ ⎩⎪ξ3 ⎭⎪ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 1 ⎜ Aξ= ⎜ 2 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 −1 −1 −1 −1 1 0 0 1 Introducción al Método de los Elementos Finitos ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎧ξ1 ⎫ ⎪ξ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ξ3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ξ 4 ⎬ ⎪ξ ⎪ ⎪ 5⎪ ⎪ξ 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ξ 7 ⎭ 35 Ensamble segundo elemento ⎡ 2 −1 −1⎤ ⎧ξ3 ⎫ 1 ⎪ ⎪ A 2ξ 2 = ⎢⎢ −1 1 0 ⎥⎥ ⎨ξ 6 ⎬ 2 ⎢⎣ −1 0 1 ⎥⎦ ⎩⎪ξ1 ⎭⎪ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 1 ⎜ Aξ= ⎜ 2 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 +1 −1 −1 − 1 0 −1 −1 − 1 1 0 0 1+ 2 −1 −1 1 0 Introducción al Método de los Elementos Finitos ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎧ξ1 ⎫ ⎪ξ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ξ3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ξ 4 ⎬ ⎪ξ ⎪ ⎪ 5⎪ ⎪ξ 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ξ 7 ⎭ 36 Ensamble tercer elemento ⎡ 2 −1 −1⎤ ⎧ξ 4 ⎫ 1 ⎪ ⎪ A 3ξ 3 = ⎢⎢ −1 1 0 ⎥⎥ ⎨ξ1 ⎬ 2 ⎢⎣ −1 0 1 ⎥⎦ ⎩⎪ξ 6 ⎭⎪ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 1 ⎜ Aξ= ⎜ 2 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 +1+1 −1 −1 − 1 −1 −1 − 1 −1 1 0 0 1+ 2 0+0 −1 −1 0+0 2 −1 −1 −1 1+1 Introducción al Método de los Elementos Finitos ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎧ξ1 ⎫ ⎪ξ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ξ3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ξ 4 ⎬ ⎪ξ ⎪ ⎪ 5⎪ ⎪ξ 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ξ 7 ⎭ 37 Ensamble cuarto elemento ⎡ 2 −1 −1⎤ ⎧ξ1 ⎫ 1 ⎪ ⎪ A 4ξ 4 = ⎢⎢ −1 1 0 ⎥⎥ ⎨ξ 4 ⎬ 2 ⎢⎣ −1 0 1 ⎥⎦ ⎩⎪ξ5 ⎭⎪ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 1 ⎜ Aξ= ⎜ 2 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 +1+1+ 2 −1 −1 − 1 −1 − 1 −1 −1 − 1 −1 − 1 1 0 0 1+ 2 −1 0+0 −1 −1 0+0 2 +1 0 −1 −1 0 −1 1 Introducción al Método de los Elementos Finitos 1+1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎧ξ1 ⎫ ⎪ξ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ξ3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ξ 4 ⎬ ⎪ξ ⎪ ⎪ 5⎪ ⎪ξ 6 ⎪ ⎪ξ ⎪ ⎩ 7⎭ 38 Ensamble quinto elemento ⎡ 2 −1 −1⎤ ⎧ξ5 ⎫ 1 ⎪ ⎪ A 5ξ 5 = ⎢⎢ −1 1 0 ⎥⎥ ⎨ξ 7 ⎬ 2 ⎢⎣ −1 0 1 ⎥⎦ ⎩⎪ξ1 ⎭⎪ ⎛ 2 +1+1+ 2 +1 ⎜ −1 ⎜ ⎜ −1 − 1 1 ⎜ −1 − 1 Aξ= ⎜ 2 ⎜ −1 − 1 ⎜ 0+0 ⎜ ⎜ 0 ⎝ −1 −1 − 1 −1 − 1 −1 − 1 0 + 0 1 0 0 1+ 2 −1 2 +1 0 0 −1 1+ 2 Introducción al Método de los Elementos Finitos −1 −1 1+1 −1 0 ⎞ ⎧ξ1 ⎫ ⎟ ⎪ ⎪ ⎟ ⎪ξ 2 ⎪ ⎟ ⎪ξ3 ⎪ ⎟ ⎪ ⎪ ⎟ ⎨ξ 4 ⎬ −1 ⎟ ⎪ξ5 ⎪ ⎟ ⎪ ⎪ ⎟ ⎪ξ 6 ⎪ 1 ⎟⎠ ⎪⎩ξ 7 ⎭⎪ 39 Ensamble sexto elemento ⎡ 2 −1 −1⎤ ⎧ξ 2 ⎫ 1 ⎪ ⎪ A 6ξ 6 = ⎢⎢ −1 1 0 ⎥⎥ ⎨ξ1 ⎬ 2 ⎢⎣ −1 0 1 ⎥⎦ ⎪⎩ξ 7 ⎭⎪ ⎛ 2 +1+1+ 2 +1+1 ⎜ −1 − 1 ⎜ ⎜ −1 − 1 1 ⎜ −1 − 1 Aξ= ⎜ 2 ⎜ −1 − 1 ⎜ 0+0 ⎜ ⎜ 0+0 ⎝ −1 − 1 −1 − 1 −1 − 1 −1 − 1 0 + 0 1+ 2 0 0 1+ 2 −1 2 +1 0 0 −1 1+ 2 −1 Introducción al Método de los Elementos Finitos −1 −1 1+1 −1 0+0 ⎞ ⎟ −1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ −1 ⎟ ⎟ ⎟ 1 + 1 ⎠⎟ 40 ⎧ξ1 ⎫ ⎪ξ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ξ3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ξ 4 ⎬ ⎪ξ ⎪ ⎪ 5⎪ ⎪ξ 6 ⎪ ⎪ξ ⎪ ⎩ 7⎭ Sistema de ecuaciones global −1 −1 −1 −1 0 0 ⎛4 ⎜ 0 0 0 0 −0.5 ⎜ −1 1.5 ⎜ −1 0 1.5 0 0 0 −0.5 ⎜ 0 1.5 0 −0.5 0 ⎜ −1 0 ⎜ −1 0 −0.5 0 0 1.5 0 Aξ= ⎜ −0.5 −0.5 0 0 0.5 0 ⎜0 ⎜ 0 −0.5 0 0 −0.5 0 0.5 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎧ξ1 ⎫ ⎧ b1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ξ 2 ⎪ ⎪b2 ⎪ ⎪ξ3 ⎪ ⎪b3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ξ 4 ⎪ ⎪b4 ⎪ ⎪⎪ξ5 ⎪⎪ ⎪⎪b5 ⎪⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎪ξ 6 ⎪ ⎪b6 ⎪ ⎪ξ 7 ⎪ ⎪b7 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Notar que la ecuación 1 está completa (no hay más elementos que contribuyan allí) : 4ξ1 − ξ 2 − ξ3 − ξ 4 − ξ5 = b1 Puede mostrarse, de manera similar, que: h2 1 b1 = ( f + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 ) 6 con: f i = ∫ ψ 1i f dx i La ecuación es idéntica a la que se obtiene por diferencias finitas. El término a derecha cambia. Introducción al Método de los Elementos Finitos 41