La longitud de la sombra que proyecta un edificio , a una hora

La longitud de la sombra que proyecta un edificio , a una hora determinada, y
la altura del edificio son magnitudes directamente proporcionales. Indica las
expresiones algebraicas de las funciones de proporcionalidad directa q se
obtienen en los siguientes casos
a) Un edificio de 24 m, a las 8 de la mañana, proyecta una sombra de 30 m.
b) El mismo edificio, a las 10 de la mañana, proyecta una sombra de 20 m.
-Construye una tabla de valores para los 6 m, 12 m, 18 m, 24 m de altura del
edificio y representa graficamente ambas funciones.
-Determina la pendiente de cada recta.
-¿Qué crees que ocurriría a las 11 de la mañana: las sombras serán mayores o
menores?
Solución:
Cuando te dicen que dos magnitudes son directamente proporcionales es que se pueden
escribir 𝑦 = 𝑘 · 𝑥 donde 𝑥 y 𝑦 son las magnitudes proporcionales y 𝑘 es la constante de
proporcionalidad, que hay que determinar. Para poder hacerlo necesitas saber 1 dato de cada
magnitud en un mismo instante, y luego resolver la ecuación.
Supongamos que 𝑥 es la altura del edificio y 𝑦 es la longitud de la sombra (esto es a las 8 de la
mañana)
𝑦 = 𝑘 · 𝑥 ⟹ 30 = 𝑘 · 24 ⟹ 𝑘 =
Luego:
30 5
=
24 4
5
a) para las 8 de la mañana, se tiene que la ecuación es 𝑦 = 4 𝑥
Por otra parte, como el edificio es el mismo, sigue teniendo 24 m de altura, pero a las 10 de la
mañana, la sombra es de 20 m. Por lo tanto, a esta hora 𝑥 = 24, 𝑦 = 20:
20
5
𝑦 = 𝑘 · 𝑥 ⟹ 20 = 𝑘 · 24 ⟹ 𝑘 =
⟹𝑘=
24
6
Luego:
5
b) para las 10 de la mañana, se tiene que la ecuación es 𝑦 = 6 𝑥
Estas ecuaciones nos permiten conocer la sombra de cualquier edificio a estas horas, sea cual
sea su altura (𝑥)
Hacemos las tablas:
Hora: 8:00
𝑥 (altura edif)
6
12
18
24
Hora: 10:00
5
Sombra: 𝑦 = 4 𝑥
5
30
·6=
= 7,5
4
4
5
𝑦 = · 12 = 15
4
5
𝑦 = · 18 = 22,5
4
5
𝑦 = · 24 = 30
4
𝑦=
𝑥
6
12
18
24
𝑦=
5
6
5
·6=5
6
5
𝑦 = · 12 = 10
6
5
𝑦 = · 18 = 15
6
5
𝑦 = · 24 = 20
6
𝑦=
La pendiente de cada recta es, en
cada ecuación, el número que
multiplica a 𝑥.
En la recta que simula las 8:00
5
horas, la pendiente es 𝑚 = 4,
mientras que a las 10:00 horas, la
5
pendiente es 𝑚 = 6.
Con lo cual, vemos que las
pendientes van siendo menores
conforme avanza la mañana. Así, a
las 11 de la mañana se prevé que
las sombras sean menores que las que hay a las 10 de la mañana. (La explicación está en los
5
5
valores de las pendientes: a las 8 vale 4 = 1,25, mientras a las 10 vale 6 = 0,83.)