SUCESIONES Diremos que {an} es convergente si lim an = L (finito) nð Si {an}y {bn}son convergentes tales que lim an = L lim bn = M ; Entonces: nð nð {an} (ð,*,/){bn}= L(ð,*,/) M Si lim -|an| = 0 ð lim -an= 0 nð nð Dada {an} diremos que C ð R es una cota superior de {an} si C an; B ð R es una cota inferior si B ð an . Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y continua es convergente, ya que tiende a su cota. SERIES NUMÉRICAS Diremos que una serie ðan es convergente si lim ðan = L (finito) ð nð Series Geométricas (ðKrn−1; K,r ð R) n=1 La serie geométrica converge si -|r-|<1 y converge a k Sn= −−−−−−−− 1−r Si ðan y ðbn son convergentes a A y B respectivamente entonces: ðan ð ðbn= A ð ð Si ðC*an ; C=cte. ð C*ðan = C*A El carácter de convergencia de una serie no cambia si se le suprimen los n primeros términos. Si dos series coinciden a partir de un término n, las dos tienen el mismo carácter. Dada ðan convergente ð lim an = 0 1 nð ð ðððnp es convergente para p>1. n=1 CRITERIO DE LA INTEGRAL Sea yðð(x) una función continua, positiva y decreciente en [1, +ð) y tal que ð(n)= an entonces: +ð +ð ðð(x)dx y ðan tienen el mismo carácter. 1 n=1 CRITERIO DE COMPARACIÓN ðan y ðbn de términos positivos. Si ðan ð ðbn ð si ðbn converge se tendrá que ðan converge. Y si ðan diverge entonces ðbn diverge. COMPARACIÓN AL LÍMITE (para series de términos positivos) Si ð lim an/bn = L (finito, positivo) anð L*bn nð Entonces si an converge bn converge y viceversa. Si lim an/bn = 0 si bn converge an converge. nð Si lim an/bn = +ð si bn diverge an diverge. nð ðð SERIES ALTERNAS (ð(ðððn+1 an ó ð(ðððn an ) n=1 n=1 Criterio Para Series Alternas. Si lim an =0 y { an } es decreciente, entonces la serie es convergente. 2 nð CONVERGENCIA ABSOLUTA Dada ðan de términos de cualquier signo. ð-|an-| converge ð ðan es convergente y diremos que ðan converge absolutamente. Si ð-|an--| diverge y -ðan converge, diremos que an converge condicionalmente. CRITERIO DE LA RAZÓN Si lim |an+1|/|an|= L; L<1 la serie converge absolutamente. nð Si L=1 no se puede concluir. Si L>1 la serie diverge. CRITERIO DE LA RAÍZ Si lim (|an|ðððn=L; L<1 la serie converge absolutamente. nð Si L=1 no se puede concluir; si L>1 la serie diverge. ESTIMACIÓN DEL RESTO Criterio de la Integral. Resto(Rn)=S−Sn=an+1 + an+2+ an+3+... +ð +ð ðð(x)dx ð Rnð ðð(x)dx n+1 n Para Series Alternas |Rn |ð |an+1 |<error ðð SERIES DE POTENCIA (ðCn(x−a)n; serie de potencia centrada en a) 3 n=0 ð ðxn =1/(1−x) ð |x|<1 n=0 ð ðxn/n!= ex n=0 Si una serie de potencia es convergente para x=x1 ð converge absolutamente para cualquier valor de x tal que |x|<|x1|. Si una serie de potencia es divergente para x=x2 ð también es divergente para cualquier valor de x tal que |x|>|x2|. SERIE DE TAYLOR Cn=ðn(a)/n! De lo que se obtiene: ð ð(x)= ððn(a)(x−a)n/n!; si a=0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin. n=0 4