Diagrama de Frecuencia Relativa

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
ININ4010
Prof. DAVID GONZÁLEZ BARRETO
SOLUCIÓN ASIGNACIÓN 4
1. La gráfica siguiente representa el número de hijos por familia, en un grupo de 15 familias encuestadas. Número de hijos por familia
6
Frecuencia
5
4
3
2
1
0
1
2
3
Número de hijos
4
5
A partir de la gráfica, a) Elabore el diagrama de frecuencia relativa correspondiente. b) Construya el diagrama de frecuencia acumulada. c) Determine cuál es la probabilidad de que al seleccionar una familia al azar, ésta tenga exactamente 2 hijos. d) ¿Cuál es la probabilidad de que una familia seleccionada al azar tenga entre 3 y 5 hijos? Solución a) Para obtener las frecuencias relativas, se divide el valor de cada columna, entre el total de familias encuestadas. Diagrama de Frecuencia Relativa
Probabilidad
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
1
2
3
4
5
Número de hijos
b) Diagrama de frecuencia acumulada Diagrama de frecuencia acumulada del número de hijos por familia
100
Frecuencia Acumulada
80
60
40
20
0
1
2
3
Número de hijos por familia
4
5
c) La información para determinar esta probabilidad se puede extraer directamente del diagrama de frecuencia relativa. De forma exacta se calcula como p(x = 2) = 5/15 = 1/3 d) Ésta probabilidad se puede obtener a partir del diagrama de frecuencia acumulada. Cuando x = 1, F(x) = 0.4, y cuando x=2, F(x) es aproximadamente 0.733. Por lo tanto, la probabilidad de que x esté entre 2 y 5, es igual a 1 – F(2) = 0.266. El mismo resultado se obtiene al sumar las columnas del diagrama de frecuencia relativa, desde x = 3 hasta x = 5. 2. La gráfica siguiente representa la distribución acumulada del número de aviones vendidos mensualmente por un fabricante, durante un año. Frecuencia relativa acumulada del número de aviones vendidos por mes
100
Número de meses
80
60
40
20
0
1
2
3
Número de aviones
4
A partir de la gráfica, estime: a) El número promedio de aviones vendidos por mes b) El porcentaje de los meses en que se vendieron 2 o más aviones c) El porcentaje de los meses que se vendieron entre 3 y 4 aviones 5
Solución a) Número promedio de aviones vendidos De la gráfica anterior, se puede obtener la siguiente tabla: Frecuencia Número de Frecuencia relativa Aviones acumulada (%) 33 1 33 33 2 66 16 3 82 9 4 91 9 5 100 De aquí que el promedio de aviones vendidos es igual a: 1 · 33 2 · 33 3 · 16 4 · 9
100
1.83 b) El porcentaje de los meses en que se vendieron 2 o más aviones es igual al ciento por ciento, menos el porcentaje de los días en que se vendieron menos de dos aviones: 100% ‐ 33% = 67%. c) El porcentaje de los meses en que se vendieron entre 3 y 4 aviones, es: 16% + 9% = 25% 3. Para un sistema determinado, se dispone de cuatro alternativas de diseño. Los valores dentro de cada cuadro indican la confiabilidad del componente. Alternativa A Alternativa B Alternativa C Si todas las alternativas tienen el mismo costo, y se quiere obtener el diseño que ofrezca mayor confiabilidad, ¿cuál es la alternativa que debe seleccionarse? Solución a) Cálculos para la alternativa A La probabilidad de que falle el subsistema Es igual a la probabilidad de que simultáneamente fallen los dos componentes. Dado que 0.9 es la probabilidad de no falla de cada componente, la probabilidad de falla de cada uno es 0.1. Luego, la probabilidad de que simultáneamente fallen los componentes es: 0.1x0.1 = 0.01. Por lo tanto, la probabilidad de no falla del subsistema es 1‐ 0.01 = 0.99. El segundo subsistema tiene idéntica configuración, por lo cual su confiabilidad es también 0.99. Como ambos subsistemas están en serie, la confiabilidad de todo el sistema es igual al producto de las confiabilidades: 0.99x0.99 = 0.9801. a) Cálculos para la alternativa B La confiabilidad del subsistema mostrado es: 0.92x0.92 = 0.8464. Como este subsistema está en paralelo con otro subsistema de iguales características, la confiabilidad del sistema completo es 1‐(1‐0.8464)2 = 0.9764. a) Cálculos para la alternativa C Como los 4 componentes están en serie, la confiabilidad del sistema es 0.994 = 0.9605. Por lo tanto, la alternativa de mayor confiabilidad es la A, con un valor de 0.9801. 4. Dado el siguiente sistema a) Determine la probabilidad de que el sistema representado funcione, dado que cada uno de sus componentes tiene una confiabilidad (probabilidad de funcionar), de 0.95. b) Un ingeniero ha sugerido emplear otros componentes, con las confiabilidades que se indican en la tabla siguiente. COMPONENTE
CONFIABILIDAD A 0.95 B 0.97 C 0.99 D 0.98 E 0.88 F 0.92 Si se asume que los componentes de la opción a) tienen el mismo costo de los componentes de la opción b), ¿cuál es la alternativa que debe seleccionarse para alcanzar una mayor confiabilidad? Solución a) Al igual que en el ejercicio anterior, se procede a determinar las confiabilidades de cada uno de los subsistemas. Como B y C están en paralelo, su confiabilidad es: 1‐(1‐PB)(1‐PC). Éste subsistema está en serie con el componente D. Por lo tanto, la confiabilidad del subsistema, Es PD(1‐(1‐PB)(1‐PC)). Éste, a su vez, está en paralelo con el componente A. Entonces, la confiabilidad del subsistema Es 1‐(1‐PA)(1‐PD(1‐(1‐PB)(1‐PC))). Es: Por otro lado, la confiabilidad de 1‐(1‐PE)(1‐PF) Por consiguiente, la confiabilidad del sistema completo es: (1‐(1‐PE)(1‐PF))(1‐(1‐PA)(1‐PD(1‐(1‐PB)(1‐PC)))) = 0.995 Para la parte B, al reemplazar los datos de las probabilidades de los componentes, se obtiene una confiabilidad de 0.989. Por lo tanto, se debería seleccionar la configuración a 5. La probabilidad de que cierto tipo de componente sobreviva a una prueba de impacto es ¾. Encuentre la probabilidad de que exactamente 2 de los siguientes 4 componentes probados sobrevivan. Solución Si cada uno de los ensayos se considera como una prueba independiente y con probabilidades constantes, puede suponerse que el número de componentes que no fallan en n pruebas se distribuye binomialmente. Al reemplazar los datos en la siguiente ecuación: 1
Se tiene: 4
2
2
3/4
1
3/4
2
27/128 6. Pedro Pérez, director de control de calidad de la compañía de automóviles Kyoto Motor, se encuentra realizando su revisión mensual de transmisiones automáticas. En el procedimiento, se retiran 10 transmisiones de la pila de componentes y se les revisa en busca de defectos de fabricación. A lo largo del tiempo, solo el 2% de las transmisiones tienen defectos (suponga que los defectos se presentan de manera independiente en diferentes transmisiones). a) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra de Pedro contenga más de dos transmisiones con defectos de fábrica? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las transmisiones elegidas tenga defectos de fábrica? Solución a) P(X>2) = 1‐ P(X≤2) 2
2
1
10
0
0.02
1
10
1
0.98
0.02
10
2
0.98
2
1
2
8.639 · 10 0.02
0.98 0.99913 b) En este caso simplemente se debe determinar P(X=0) 0
10
0
0.02
0.98
0
0.817 7. En un cierto proceso de manufactura se conoce que en promedio, uno de cada 100 artículos es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto producto inspeccionado sea el primero que se encuentra defectuoso? Solución Como las probabilidades son constantes e independientes, se puede aplicar la distribución geométrica. 1
1
5
1
100
100
5
9.606 · 10 La probabilidad de que exactamente el quinto producto se encuentre defectuoso, es 9.606 x 10‐3 8. Un banco está evaluando la calidad del servicio que ofrece en horas de mayor congestión telefónica. De acuerdo con estudios preliminares, se ha estimado que la probabilidad de establecer comunicación en horas de alta congestión es p= 0.05. Con base en esta información ¿Cuál es la probabilidad de que se un cliente requiera realizar 4 intentos para poder establecer comunicación con el banco? 4
1 0.05 0.05 4
0.0429 La probabilidad de establecer comunicación en el cuarto intento es 0.0429.