líneas de transmisión

UNIDAD 2
LÍNEAS DE TRANSMISIÓN Y
DIAGRAMA DE SMITH
OBJETIVOS DE LA UNIDAD
 Conocer e identificar las diferentes líneas de transmisión
(feeder)
 Conocer los diferentes modos de propagación.
 Conocer el diagrama de Smith.
 Realizar cálculos de relación de onda estacionaria
 Realizar operaciones utilizando el diagrama de Smith.
CAPITULO 1. LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
La energía electromagnética no sólo se puede transmitir a través de un medio
infinito, sino también a través de un medio confinado en una línea de transmisión o
guía de ondas. La diferenciación de ambos términos nos sigue unas reglas
universalmente aceptadas.
Generalmente se discrimina «línea» de «guía» reservando el término «guía» para
las líneas constituidas por un solo conductor. Dado que se presentarán numerosos
resultados y propiedades que son totalmente generales, se utilizará
preferentemente el término «línea». Este término lo emplearemos para designar
cualquier objeto físico que se utilice como soporte para propagar campos, independientemente del número de conductores que tenga.
En la teoría de circuitos de baja frecuencia se asume implícitamente que las
dimensiones de los circuitos son muy pequeñas en comparación con la longitud de
onda. Gracias a ello, podemos suponer que cuando una corriente alterna circula
por un cable, por ejemplo, en un instante dado tanto la amplitud como la fase de
esta corriente es la misma en todos los puntos del cable. En las líneas que se
utilizan para transmitir señales de alta frecuencia generalmente no es posible
hacer este tipo de aproximaciones. A pesar de ello, y tal y como veremos en este
apartado, la teoría de líneas de transmisión nos permite aprovechar muchas de las
leyes y propiedades que se estudian en electrónica de baja frecuencia.
1.1 CORRIENTES Y VOLTAJES EN LÍNEAS
Comencemos deduciendo las ecuaciones básicas que deben satisfacer los
voltajes y corrientes en una línea de transmisión. Estas ecuaciones asumen
implícitamente que por la línea se propaga un modo TEM, es decir, que las
componentes longitudinales de los campos eléctrico y magnético son siempre
nulas. Esta hipótesis es necesaria para garantizar la unicidad en las definiciones
de V e I. Existen líneas no TEM en las cuales hay infinitas maneras de definir
voltajes y corrientes, pero incluso en estas líneas se pueden establecer convenios
que permiten utilizar los conceptos, definiciones y conclusiones que se van a
presentar en este apartado.
Para poder aplicar las leyes de Kirchoff dividiremos la línea a estudiar en
secciones de una longitud Az., que consideraremos muy inferior a la longitud de la
onda. Un modelo circuital preciso debe considerar las pérdidas y el
almacenamiento de energía en cada una de estas secciones. Un posible modelo
equivalente (existen muchos otros igualmente válidos) podría ser una red RLC
como la de la Figura 2.1.
En este modelo GAz. Simula las pérdidas dieléctricas, RA, las pérdidas en los
conductores y los elementos reactivos LAz. y CAz, el almacenamiento de energía
magnética y eléctrica, respectivamente. Aplicando las leyes de Kirchoff se
obtienen
las
siguientes
expresiones
(2.1)
(2.2)
R, G, L, y C son parámetros definidos por unidad de longitud. Dividiendo por la
longitud de la sección y tomando el límite a longitudes diferenciales se obtienen
las ecuaciones del telegrafista,
(2.3)
(2.4)
Figura 2.1 Modelo equivalente de una sección de línea de longitud muy
pequeña en comparación con la longitud de onda.
En aquellos casos en los que se puede utilizar la notación fasorial estas
ecuaciones quedan reducidas a un sistema de ecuaciones de una variable,
(2.5)
(2.6)
Derivando ambas expresiones con respecto a z y sustituyendo términos se
obtienen dos ecuaciones de Helmholtz desacopladas para V e /,
(2.7)
(2.8)
donde la constante de propagación viene dada por
En ausencia de pérdidas (R = G = 0) la constante de propagación coincide con la
de fase, la cual se puede expresar como
Como ya se ha visto en el análisis de ondas planas, las ecuaciones de Helmholtz
admiten como soluciones una superposición de una onda incidente y una
reflejada,
Imponiendo la relación (2.5)
Las líneas de transmisión se caracterizan habitualmente por un parámetro con
dimensiones de resistencia que recibe el nombre de impedancia característica, y
que se define como el cociente entre la tensión y la corriente en ausencia de
ondas reflejadas,
esta impedancia es un número real en una línea sin pérdidas. La impedancia
característica estándar que más se utiliza en las líneas de transmisión de alta
frecuencia es de 50 Ohm. Con esta definición la corriente puede expresarse como
1.1.1 LÍNEAS TERMINADAS EN CARGAS
Si una línea tiene una longitud finita, es razonable suponer que lo que se conecte
al final de la línea constituye una discontinuidad que será en general una fuente de
reflexiones. La impedancia característica nos brinda la posibilidad de calcular la
amplitud del voltaje reflejado a partir de la impedancia que se conecta al final de la
línea, la cual recibe el nombre genérico de impedancia de carga. Si se toma como
origen de coordenadas el punto de la línea en donde se conecta la carga, los
voltajes y corrientes totales deberán satisfacer la relación
Donde Z, es la impedancia de carga. Así pues particularizando (2.13) y (2.18) para
z = 0,
Con esta relación se llega a una conclusión importante: para evitar reflexiones en
una línea es necesario terminarla en una impedancia de carga igual a la
impedancia característica de la línea.
En líneas de transmisión es habitual definir un coeficiente de reflexión asociado a
la carga como el cociente entre el voltaje reflejado y el incidente en el plano de
conexión de la carga. Esta definición también se puede extender a cualquier punto
de la línea de transmisión,
Recordemos que todos los valores de z en estas ecuaciones son negativos,
puesto que se ha tomado como origen de coordenadas el plano de conexión de la
carga y las ondas de voltaje incidente se propagan hacia valores de z crecientes.
Consecuentemente, en una línea con pérdidas terminada en una carga arbitraria
el coeficiente de reflexión sufre una atenuación exponencial a medida que se mide
en puntos más alejados de la carga que genera las reflexiones.
También puede extenderse la definición de impedancia a cualquier punto de la
línea,
Donde en la última igualdad se ha supuesto que las pérdidas son despreciables.
El coeficiente de transmisión se define de la misma forma que en el caso de ondas
planas,
También son ampliamente utilizados los parámetros de pérdidas de inserción (IL)
y pérdidas por retorno (RL), que son el coeficiente de reflexión y el de transmisión
en dB,
El cociente Z/ZC recibe el nombre de impedancia normalizada. Asimismo, también
es habitual definir en líneas sin pérdidas una razón de onda estacionaria en voltaje
como
El voltaje oscila entre un máximo de amplitud V0+ (1 + | ΓL |) y un mínimo de
amplitud V+0 (1-- | ΓL | ). Así pues
1.2 TRANSMISIÓN DE POTENCIA
En alta frecuencia es difícil medir directamente voltajes y corrientes, en gran parte
debido a que no se pueden construir con facilidad circuitos abiertos y
cortocircuitos. No obstante, las ondas de voltaje y corriente también permiten
evaluar el flujo de potencia en la línea, que es habitualmente lo que se mide.
Según la teoría de circuitos este flujo es
Sustituyendo en las soluciones de la ecuación de ondas para V e I se obtiene
O
bien
Si las pérdidas no son elevadas la impedancia característica es real y por tanto
Esta potencia está expresada en términos de la amplitud del voltaje incidente en la
carga. Sin embargo es más práctico expresarla en función del voltaje suministrado
por el generador que alimenta la línea. Para ello simularemos el generador con
una impedancia interna ZG en serie con una fuente de voltaje VG tal y como se
muestra en la Figura 2.2. Suponiendo que este generador se encuentra en el
punto de coordenada Zgen, el voltaje en el punto de conexión del generador con la
línea será
Por otra parte, si se llama Zin a la impedancia de entrada vista por el generador,
Asi pues, el voltaje incidente en la carga resulta ser:
Figura 2.2. Línea de transmisión alimentada por un generador de impedancia ZG
Por tanto, el flujo total de potencia en la línea es:
Esta expresión general proporciona abundante información de interés práctico.
Veamos algunos de los resultados que se pueden obtener a partir de ella:
a) Si la carga está adaptada a la línea, entonces la potencia suministrada a la
carga se maximiza con un generador de impedancia nula.
Esta potencia máxima será igual a
No obstante, en la práctica los generadores de alta frecuencia se diseñan
para tener una impedancia de entrada igual a la característica de las líneas
convencionales, que suele ser de 50 Ohm. Gracias a ello es más fácil
diseñar el generador para que suministre a la línea una potencia más
estable y menos sensible con respecto a la carga que se conecte.
b) En ausencia de pérdidas en la línea, la potencia suministrada a la carga
puede hacerse independiente de la Idealización del generador si se utiliza 1) un
generador acoplado o 2) una carga acoplada. Si el generador está acoplado
En esta expresión queda patente como se distribuye la potencia en una línea.
La potencia suministrada a la carga P (0) es la diferencia entre la potencia
incidente en la carga Pinc menos la reflejada Pref Asimismo, es interesante
observar que una vez que el generador está acoplado, entonces la máxima
transferencia de potencia se produce cuando la carga está acoplada. Si es la
carga la que está acoplada,
c) En ausencia de pérdidas, si el generador y la carga están acoplados entonces la
potencia suministrada a la carga es igual a la mitad de la generada. La potencia
generada es donde Zin es la impedancia vista por el generador.
En numerosas ocasiones la impedancia del generador viene impuesta y es preciso
estudiar cómo modificar la impedancia que presenta la línea al generador para conseguir
máxima transferencia de potencia del generador a la línea. Para ello calculemos la
potencia suministrada a la línea. Esta potencia se puede obtener a partir de Zin y viene
dada por
Para obtener bajo qué circunstancias se maximiza esta potencia basta con igualar a cero
las derivadas con respecto a la parte real e imaginaria de la impedancia de entrada, lo
que da lugar a un importante resultado: la máxima transferencia de potencia se produce
cuando la impedancia vista por el generador es igual al complejo conjugado de la
impedancia del mismo.
A la potencia que suministra el generador a una impedancia igual al complejo conjugado
de su impedancia interna se le llama, potencia disponible, y viene dada por
(2.4
1)
1.3 MODOS DE PROPAGACIÓN Y PROPIEDADES DE CORTE
Cada una de las posibles soluciones a las ecuaciones de Maxwell en una línea de
transmisión recibe el nombre genérico de modo. Los modos en los que pueden
propagarse los campos se clasifican habitualmente según el valor que adopten las
componentes longitudinales de los campos magnético y eléctrico. Ya conocemos los
modos TEM, en los que tanto Ez como Hz son nulos. Por otra parte, también existirán
soluciones en las que se anule Ez (modos TE, también llamados modos H) o Hz, (modos
TM, también llamados modos E). No obstante, no todos los modos que se propaguen por
cualquier línea son de tipo TEM, TE o TM. Existen líneas que por su complejidad tienen
modos híbridos, en los cuales ni Ez ni Hz son nulos. (2.42)
Veamos cómo se determinan los modos y cuáles son sus propiedades más interesantes.
La complejidad de las ecuaciones de Maxwell fuerza la necesidad de hacer algunas
hipótesis de partida,
1) Los campos tienen una dependencia armónica.
2) No existen fuentes de campo en el interior de la línea.
3) El medio en el que se confinan los campos es isótropo, homogéneo, lineal y no
tiene pérdidas.
4) Los modos son ondas que se propagan en una única dirección y un único
sentido.
Tal y como se hace habitualmente, la dirección de propagación se hará coincidir con el
eje z, y el sentido de avance del modo será hacia z = +∞.
Estas hipótesis permiten escribir las expresiones generales para los fasores
representativos de los modos de la siguiente forma:
Donde β es la constante de fase de la onda guiada. No todas las funciones que adopten
esta forma van a satisfacer las ecuaciones de Maxwell. De hecho, al imponer estas
ecuaciones se llega a un interesante resultado:
Las componentes de los campos no son independientes entre sí, sino que existen
ecuaciones que permiten determinar todas las componentes transversales a la
dirección de propagación únicamente a partir de las longitudinales.
Estas ecuaciones de ligadura se obtienen sin necesidad de aplicar ninguna condición de
contorno, y son las siguientes:
donde por definición el factor kc llamado constante de corte, viene dado por
k es la constante de fase de una onda plana que se propagaría por el medio que confina
el campo en la línea si este medio fuera infinito,
Las Ecuaciones (2.47)-(2.50) serán referenciadas a menudo y para recordarlas las
llamaremos ecuaciones TPL (Transversales a Partir de Longitudinales).
En líneas como la coaxial o la guía circular es preferible utilizar coordenadas cilíndricas.
Las ecuaciones TPL en estas coordenadas son
En general, la constante de corte no va a ser nula, y en consecuencia ni la constante de
propagación ni la longitud de onda de los campos confinados coincidirán necesariamente
con las correspondientes a una onda que se propague por un medio ilimitado. De hecho,
puede darse la circunstancia de que por una misma línea se propague una superposición
de modos de distintas longitudes de onda.
Es importante recordar que el hecho de que se obtengan en medios infinitos longitudes
de onda distintas a las de una línea no implica que la frecuencia en la línea cambie. La
frecuencia de una onda está determinada por el generador que la produce, y no por el
medio en el que la onda se propaga. Generalmente Infrecuencia es un dato que se
impone a las ecuaciones de Maxwell, mientras que la longitud de onda es un resultado
que se obtiene cuando se especifica la geometría de la línea a través de las condiciones
de contorno, así como los medios constitutivos de la línea.
En los ejemplos de líneas que se van a estudiar en este capítulo se ilustrarán dos
propiedades importantes de la constante de corte:
1) Es un número real positivo.
2) Depende únicamente de las propiedades geométricas de la línea y a lo sumo de
sus medios constitutivos.
Existen líneas en las que la constante de corte ni siquiera depende del medio, sino
únicamente de la geometría. Por ejemplo: las guías rectangulares y circulares, la línea
coaxial y la línea de láminas planoparalelas. En guías no homogéneas, como por
ejemplo, las guías parcialmente llenas de un dieléctrico, la constante de corte depende
también de la permitividad de los medios.
Las propiedades de la constante de corte permiten definir una serie de términos de
interés:
Modos evanescentes. Modos que se atenúan a medida que se propagan por la línea.
Para que estos modos se atenúen es necesario que la constante de fase sea imaginaria,
y por tanto que la constante de corte sea superior a k. Dado que se ha hecho la hipótesis
de que la línea no tiene pérdidas, esta atenuación no es de carácter disipativo.
Frecuencia de corte. Frecuencia a la cual se anula la constante de fase. Utilizando la
propia definición de constante de corte podemos obtener inmediatamente una expresión
para esta frecuencia:
Es fácil aclarar el significado físico la frecuencia de corte. Supongamos que la frecuencia
con la que el generador alimenta la línea es inferior a la de corte. Entonces k < kc y en
consecuencia el modo sería evanescente. Así pues, la frecuencia de corte de un modo
es la mínima frecuencia a la cual debe sintonizarse el generador que alimenta la línea
para que el modo se propague.
Longitud de onda de corte. Se define como
Para que un modo se propague, es necesario que su longitud de onda de corte sea
superior a la de la onda plana asociada en el medio no confinado. A,
Longitud de onda en la guía. Es la distancia entre dos puntos de igual fase en ausencia
de reflexiones,
Modo fundamental. Modo de propagación que tiene la frecuencia de corte más baja. A
partir de esta definición se deduce inmediatamente que si deseamos que por la línea se
propague sólo un modo, entonces una forma de lograrlo consistiría en seleccionar una
frecuencia que sea superior a la de corte del modo fundamental, e inferior a la de corte
del modo inmediatamente superior. En estas condiciones se propagará sólo el modo
fundamental. Si la frecuencia viene impuesta, entonces sería necesario buscar otra
geometría de línea que tenga las constantes de corte apropiadas.
Los modos de orden superior dificultan la utilización práctica de la línea y complican el
análisis de los campos. Por tanto, en la práctica es habitual diseñar las líneas con
geometrías adecuadas que garanticen la propagación de un único modo. No obstante,
puede darse la circunstancia de que la configuración de campos del modo fundamental
no sea la más adecuada. En estos casos es posible seleccionar frecuencias suficientemente altas para que se propague el modo de orden superior que se desee, y utilizar
geometrías adecuadas en la excitación de la línea que permitan generar este modo sin
que aparezcan otros de frecuencia de corte más baja. No obstante, en estas
circunstancias cualquier posible discontinuidad que pudiera existir en la guía podría dar
lugar a propagación multimodo.
Modos degenerados. Son aquellos que tienen una misma frecuencia de corte.
Impedancia del modo. Los modos se caracterizan no sólo por una constante de
propagación sino también por una impedancia, que recibe el nombre de impedancia de
la onda o bien impedancia del modo. Esta impedancia se define de distinta forma para
cada tipo de modo. Para un modo TEM se definirá como la impedancia intrínseca del
medio. En el caso de los modos TE y TM la definiremos mediante las siguientes expresiones,
La impedancia del modo es por tanto un número real positivo en una línea constituida
por materiales sin pérdidas. En líneas disipativas es habitual extender estas definiciones
utilizando la constante de propagación en lugar de la de fase,
A continuación describiremos brevemente cómo se calculan los modos y qué
propiedades tienen, y justificaremos la utilidad de estas definiciones de impedancia.
1.4 MODOS TEM
1.4.1 Propiedades
La constante de fase coincide con la de una onda plana
Supongamos que las componentes longitudinales de E y H son nulas. Entonces las
Ecuaciones TPL, (2.47)-(2.50), indican que la única posibilidad que habría de que los
campos totales no fueran nulos sería haciendo que se anulase k,.. Por tanto, si por la
línea se propaga un modo TEM, entonces su constante de corte es nula. Así pues,
Con esta propiedad es evidente que si en una línea se propaga un modo TEM, éste será
siempre el modo fundamental.
Los campos satisfacen la Ecuación de Laplace en el plano perpendicular a la dirección
de propagación
Esta propiedad es un resultado directo de la ecuación de ondas. Si se impone esta
ecuación a las componentes transversales de los campos,
y se asumen soluciones de la forma
se obtiene la Ecuación de Laplace tanto para como para e como para h,
donde el subíndice t identifica las dos dimensiones transversales,
De esta forma la obtención de los campos en un modo TEM queda reducida a resolver
un problema en 2 dimensiones. El hecho de que el campo eléctrico satisfaga la Ecuación
de Laplace es especialmente relevante porque gracias a ello es posible utilizar algunos
resultados importantes de las leyes de la Electrostática.
Los campos son conservativos
Hagamos uso del siguiente teorema:
«Si el rotacional de un campo es nulo, entonces el campo es conservativo y puede
obtenerse a partir del gradiente de una función escalar.»
Las ecuaciones de Maxwell garantizan que los campos transversales cumplen este
requisito,
Así pues,
Este resultado tiene una importante consecuencia: en una guía construida con un tubo
conductor hueco de sección arbitraria no es posible propagar un modo TEM. Si así fuera
el potencial eléctrico en el interior del conductor sería constante, lo que daría lugar a un
campo nulo.
Las potenciales también satisfacen la Ecuación de Laplace
Si se impone que no hay cargas en el interior de la línea, la divergencia del campo
eléctrico es nula y por tanto el potencial también deberá satisfacer la Ecuación de
Laplace,
El mismo razonamiento se puede aplicar al potencial magnético.
1.4.2 CÁLCULO DE LOS MODOS TEM
Una vez conocido el campo eléctrico, el campo magnético se puede obtener a partir de
las ecuaciones de Maxwell,
Es interesante observar que en un modo TEM el módulo del campo eléctrico total
dividido por el del campo magnético total es independiente del punto donde se mide el
campo, e igual a la impedancia del modo. Gracias a ello es posible caracterizar de forma
«compacta» el modo en una línea sin pérdidas a partir de un sólo número real positivo
ZTEM
En resumen, el procedimiento para obtener la configuración de campos en un modo TEM
se podría esquematizar en los siguientes pasos: a) determinar la solución general de la
Ecuación de Laplace para el potencial eléctrico y aplicar las condiciones de contorno, b)
calcular el campo eléctrico a partir del gradiente del potencial, y finalmente c) calcular el
campo magnético a partir del rotacional del campo eléctrico.
1.5. MODOS TE Y MODOS TM
1.5.1 MODOS TE
Anulando la componente 7. del campo eléctrico las ecuaciones TPL se pueden
simplificar a las siguientes expresiones:
En este caso la constante de propagación no tiene por qué ser nula para obtener una
solución distinta a la trivial. Para determinar la componente longitudinal del campo
magnético es necesario resolver la ecuación de Helmholtz,
Puede demostrarse que en un modo TE las condiciones de contorno generales quedan
reducidas a
(2.85)
donde n es la coordenada normal a la superficie conductora. Imponiendo esta condición
de contorno a la solución general para h. se reducen el número de constantes arbitrarias
y posteriormente se pueden aplicar las ecuaciones TPL para determinar el resto de las
componentes. En resumen, el procedimiento para obtener la configuración de campos en
un modo TE se podría esquematizar en los siguientes pasos: a) obtener la solución
general a la ecuación de Helmholtz para la componente longitudinal del campo
magnético, b) aplicar las condiciones de contorno y obtener Kc. , y c) calcular las demás
componentes a partir de las ecuaciones TPL.
Si se particulariza la ecuación de Maxwell para el rotacional de E a un modo TE se
obtiene un interesante resultado,
Así pues, la impedancia de la onda tal y como se ha definido permite obtener una
relación entre los campos transversales similar a la existente en un modo TEM (Ecuación
2.79).
1.5.2 MODOS TM
Los campos de un modo TM se calculan de forma totalmente análoga a los de un modo
TE. Imponiendo que la componente longitudinal del campo magnético es nula en las
ecuaciones TPL se obtiene
Al igual que en el caso anterior, la constante de corte no es nula. La componente
longitudinal del campo eléctrico se puede obtener de la ecuación de Helmholtz en dos
dimensiones,
En este caso, las condiciones de contorno para e, permitirán obtener las constantes de
corte y por tanto las de propagación. Consecuentemente, los campos de un modo TM
pueden determinarse esencialmente en dos pasos: a) obtener la solución a la ecuación
de Helmholtz para e, y aplicar las condiciones de contorno. Con ellas se obtendrán los
valores de Kc. y se reducirá el número de constantes arbitrarias; b) calcular todas las
demás componentes de E y H a partir de las ecuaciones TPL.
Análogamente a como ocurre con los modos TE, se puede aprovechar la impedancia de
la onda para relacionar los campos transversales,
CAPITULO 2 LÍNEAS DE GEOMETRÍA SENCILLA
Una vez obtenidas las propiedades generales de los modos, es necesario particularizar
para poder conseguir más información de una línea. El siguiente paso a seguir es aplicar
las condiciones de contorno. Estas condiciones se obtienen a partir de la geometría de la
línea se aplican para reducir parcialmente el numero de constantes arbitraria que
aparecen en las soluciones generales de los campos. Sólo en algunos casos concretos
se obtendrá solución única, cuando sea posible conocer de qué forma se ha excitado la
línea.
La Figura muestra la geometría de las líneas que se van a considerar junto con la
nomenclatura que va a utilizarse. Se describirán las propiedades principales de cada
línea y los resultados finales de los campos.
2.1 LÍNEA DE LAMINAS PLANOPARALELAS
La estimación analítica de los campos en la línea de láminas planoparalelas es posible
haciendo la hipótesis de que la anchura de las láminas es muy superior a la separación
entre las mismas. La Tabla 3 muestra las expresiones analíticas para los campos
correspondientes; la Figura 2.4 muestra la distribución de campos en los primeros modos
de propagación, Esta línea soporta el modo TEM. y por tanto este modo es el
fundamental. Conociendo la diferencia de potencial entre las dos placas en una sección
arbitrarla de la línea, es posible determinar unívocamente los campos de este modo en
lodos los puntos de la línea. Utilizando estos campos y el modelo circular equivalente se
puede determinar la impedancia característica
Figura 2.3. Líneas de geometría sencilla: a) línea de láminas
planoparalelas, b) guía rectangular, c) línea coaxial y d) guía circular.
Para que se satisfagan las condiciones de contorno en la línea es necesario que se
anule la componente Ex en los modos TE y Ez en los modos TM. En ambos casos
existen infinitos valores de Kc que permiten satisfacer esta propiedad. Por tanto existen
infinitos modos TE y TM, los cuales se identifican con un único subíndice. Los modos de
frecuencia de corte inmediatamente superior al fundamental son degenerados: el TE1 y el
TM1. La constante de corte para ambos es inversamente proporcional a la separación
entre las láminas, y por tanto para poder alcanzar el mayor ancho de banda posible en
propagación monomodal es necesario minimizar esta separación. Resultados similares
pueden encontrarse en el resto de las líneas, en las que generalmente será necesario
reducir la sección para maximizar el ancho de banda. Esta reducción va siempre
acompañada por una disminución de la potencia máxima que puede transmitirse.
En la línea de láminas planoparalelas las impedancias de los modos TE y TM están
relacionadas con los campos transversales a partir de las siguientes expresiones,
Figura 2.4 —Vista frontal de la distribución de campos en una línea de láminas
planoparalelas. Modo TEM (a), modo TM1 (b), modo TE1 (c). La línea continua
corresponde al campo eléctrico, la discontinua al magnético.
Así pues, la impedancia de la onda tal y como la hemos definido es también un cociente
de componentes de campos transversales, cociente que no depende del punto de la
línea donde se determine el campo. Si se hubiera considerado un modo que se
propagase en sentido de z decreciente hubiera aparecido un signo negativo en el
cociente, de manera que la impedancia siempre es un número real positivo en una línea
sin pérdidas.
2.2 GUÍA RECTANGULAR
La guía rectangular es una de las líneas de transmisión más ampliamente utilizadas.
De hecho, es posible encontrar numerosos fabricantes que suministran una gran
variedad de componentes en bandas de frecuencia localizadas desde 0,3 GHz hasta 325
GHz. Esta guía es especialmente adecuada para propagar señales de frecuencias
elevadas, con longitudes de onda del orden de milímetros. Las expresiones de los
campos se encuentran en la Tabla 3, y la Figura 2.5 muestra algunos de sus modos de
propagación.
Al estar constituida por un conductor hueco, la guía rectangular tan sólo soporta modos
TE y TM. La dependencia de las componentes de los campos respecto de las
coordenadas transversales aparece como el producto de dos funciones oscilatorias
(senos y cósenos). Como consecuencia de ello, al imponer las condiciones de contorno
se obtiene una serie doblemente infinita de constantes de corte y por tanto cada modo
está caracterizado por dos subíndices distintos. En los modos TMmn ni m ni n se anulan,
puesto que haciendo cero cualquiera de estos dos órdenes en las ecuaciones de los
campos se obtiene la solución trivial (campos nulos).
Figura 2.5. Campos de distintos modos en una guía rectangular. De arriba a abajo,
modo TE10, TE20, TE11 y TM11. De izquierda a derecha, plano y = b/2, plano E y vista
frontal. El plano E es el x = a/2 para los modos TE0 y TM11, el x = 3a/4 para el TE20, y
el x = a para el TE11.
En la práctica las guías rectangulares más comúnmente empleadas se diseñan de forma
que a = 2b. Estas guías reciben el nombre de guías normalizadas, y su banda de
operación monomodal está delimitada por las frecuencias de corte de los modos TE10
(modo fundamental) y el TE20. El campo eléctrico del modo fundamental tiene dos
propiedades interesantes:
1. Es máximo en el centro de la cara ancha de la guía.
2. Es independiente de la coordenada y.
3. Apunta en una dirección constante y paralela a las caras laterales. Debido a ello, el
plano YZ recibe el nombre de plano E. Por motivos análogos el plano XZ se denomina
plano H.
Asimismo, es interesante observar que en el modo fundamental h, se anula en el centro
de la cara ancha de la guía, y por tanto en este plano tanto E como H son
perpendiculares a la dirección de propagación.
En la guía rectangular las impedancias de los modos TE y TM están relacionadas con los
campos transversales,
La guía rectangular también es especialmente útil para transmitir grandes cantidades de
potencia. La potencia máxima de pico que puede soportar una guía rectangular está
determinada por el campo de ruptura del dieléctrico donde se confinan los campos. Sin
embargo, la potencia máxima media que puede transportar la guía está más limitada por
las pérdidas conductoras y dieléctricas, las cuales pueden elevar considerablemente la
temperatura física de la guía. Las potencias máximas de pico en los modos TE mn, se
pueden calcular mediante la expresión
Donde Emax es el campo de ruptura (2,9 MV/m en el caso del aire seco a temperatura
ambiente y presión de una atmósfera). Esta expresión es aplicable cuando m y n son
iguales o mayores que la unidad. En caso de que no sea así podemos obtener la
potencia máxima con las siguientes expresiones
La potencia máxima de pico disminuye con la frecuencia de operación. Esta potencia
podría aumentarse llenando la guía con un dieléctrico en lugar de aire, puesto que el
campo de ruptura en los dieléctricos es mayor que el del aire. No obstante, la utilización
de dieléctricos puede limitar la potencia máxima media a causa de las pérdidas. La
capacidad de potencia también puede incrementarse presurizando la guía con aire o un
gas inerte.
2.3 GUÍA CIRCULAR
Las guías circulares presentan un ancho de banda menor que las coaxiales a igualdad
de radios externos, pero permiten transmitir mayor potencia y son más fáciles de
mecanizar. Las expresiones para los campos se encuentran en la siguiente Tabla 4, y la
Figura 2.6 muestra la distribución en algunos modos. A pesar de la aparente existencia
de dos constantes distintas a determinar en las expresiones de los campos, una de estas
dos constantes puede hacerse nula seleccionando apropiadamente la dirección
transversal que establezca el origen para el ángulo Φ.
Los campos de los distintos modos están expresados en términos de las funciones de
Bessel de primera especie Jn Estas funciones no pueden calcularse analíticamente pero sí
numéricamente con algoritmos muy sencillos, basados generalmente en fórmulas de
recurrencia.
Figura 2.6. Campos de distintos modos en una guía circular. De arriba a abajo, modo
TE, TM, y TEg,. De izquierda a derecha, plano lateral y vista frontal. En el modo TE, el
plano lateral corresponde al que se indica en el plano frontal con la línea de puntos.
Generalmente esta precisión es más que suficiente para simular campos en líneas y guías.
El programa MATLAB incorpora rutinas basadas en las librerías IMSL, con las que se
obtienen mayores precisiones.
Para que se satisfagan las condiciones de contorno en las paredes de la guía es necesario
que se anule la componente EΦ en p = a. Debido a que las funciones de Bessel y sus
derivadas presentan un comportamiento oscilatorio, para cada orden de J o de su derivada
existen infinitos valores de Kc que satisfacen las condiciones de contorno.
Por tanto, cada modo está etiquetado por dos subíndices. El primero se corresponde con el
orden de la función de Bessel, y el segundo indica la raíz de esta función, P nm (en el caso de
los modos TM), o de su derivada, Pnm (en los modos TE). A diferencia de la guía rectangular,
por convenio se suele asignar la letra n al primer subíndice, para mantener la compatibilidad
con la nomenclatura habitual de las funciones de Bessel. También por convenio las raíces se
identifican a partir del subíndice m = 1, y por tanto no existen modos TMNO ni TEno.
Tanto p’nm como Pnm están tabuladas en numerosas referencias.
El modo fundamental es el TE11 y el inmediatamente superior el TM01,. El ancho de banda en
propagación monomodal se puede aproximar por la expresión
donde a está expresada en cm. De forma análoga a como ocurre con la línea de láminas
planoparalelas y la guía rectangular, las impedancias de los modos TE y TM se pueden
obtener a partir de cocientes de campos transversales,
2.4 LÍNEA COAXIAL
El modo fundamenta de la línea coaxial es el TEM, para el cual las expresiones de los
campos son extremadamente sencillas. Al igual que como ocurre en la línea de láminas
planoparalelas, conociendo la diferencia de potencial entre los dos conductores en una
sección arbitraria de la línea es posible determinar una solución única para los campos de
este modo.
Los modos TE y TM están determinados por las funciones de Bessel de primera y segunda
especie, Jn e Yn. Las expresiones para los campos se muestran en la anterior Tabla 4. y la
siguiente Figura 2.7 muestra la distribución de estos campos para algunos modos de interés.
Las constantes de corte deben obtenerse numéricamente resolviendo las ecuaciones no
lineales que se indican en la Tabla 4, a las cuales se llega imponiendo las condiciones de
contorno.
Figura 2.7. Distribución de campos en distintos modos de una línea coaxial. De arriba a
abajo, modo TEM, TE, y TMg, De izquierda a derecha, plano lateral y vista frontal.
El modo inmediatamente superior al TEM es el TE11. Su constante de corte se puede
aproximar mediante la expresión
Las impedancias de los modos en la línea coaxial también pueden obtenerse a partir de la
ecuación (2.100).
La impedancia característica de esta línea puede determinarse mediante el modelo circuítal
equivalente, el cual se puede obtener a partir de las expresiones de los campos en el modo
TEM,
2.5 COEFICIENTES DE REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN
Cada vez que una onda incida en una discontinuidad, se generarán ondas reflejadas. El caso
más simple que puede ilustrar este tipo de situaciones consiste en una onda plana que incide
perpendicularmente en una frontera plana de dos medios eléctricamente distinta, y en la que
no existe ninguna densidad de corriente libre. En el medio de procedencia de la onda, que
llamaremos medio 1, los campos se pueden expresar como una superposición de una onda
incidente y una reflejada,
En el medio 2, medio al que se transmite la onda, no habría reflexión y por tanto todo el
campo existente en 2 se propagará en el sentido de z creciente,
Imponiendo las condiciones de contorno en la frontera de los medios (plano z = 0) es posible
obtener una relación entre el cociente de impedancias intrínsecas y las amplitudes de los
campos incidente y reflejado. Esta relación es
De la Ecuación (2.107) se puede obtener el cociente entre el campo reflejado y el incidente,
el cual se denomina coeficiente de reflexión Y. Este factor es idéntico para las dos
direcciones X e Y gracias a la isotropía de los medios, y
Es interesante observar que cuando el medio 2 es un conductor ideal, su impedancia
intrínseca tiende a cero y por tanto el coeficiente de reflexión tiende a -1.
A partir de las condiciones de contorno también se obtiene la amplitud del campo transmitido,
el cual también tiene la misma dirección que el campo incidente y se puede expresar como
donde el factor T recibe el nombre de coeficiente de transmisión.
2.5.1 POLARIZACIÓN
La dirección del campo eléctrico de una onda plana en un plano perpendicular a la dirección
de propagación define la polarización de dicha onda. Consideremos una onda plana se
propaga en la dirección Z. El campo eléctrico se puede expresar como,
Las amplitudes de las componentes del campo £, y Ey determinan los posibles tipos de
polarización. La expresión general para el campo en el dominio del tiempo es
Donde p representa la fase de las amplitudes del campo en cada dirección. Analizando esta
expresión se observa que para que el campo no cambie de dirección, es decir, para que la
onda sea linealmente polarizada, es necesario que o bien una de las dos amplitudes
sea nula o bien que
Cuando la dirección del campo varía con el tiempo se dice que la polarización de la onda es
no lineal. Este tipo de polarización incluye la polarización circular, de gran interés práctico, y
que se produce cuando el módulo del campo es constante. Dado que la perpendicularidad
con respecto a la dirección de propagación debe conservarse, la dirección del campo debe
mantenerse en el plano XY y por tanto el campo sólo puede variar rotando en tomo al eje de
propagación.
El sentido de la rotación está determinado por las fases de las amplitudes. A modo de
convenio, la institución americana IEEE define la polarización como positiva cuando al hacer
coincidir el pulgar de la mano derecha con el sentido de avance de la onda, el resto de los
dedos indica el sentido de rotación del campo. En este caso se dice que la onda es RHCP
(Right Hand Circularly Polarized), siendo LHCP (Eeft Hand Circularly Polarized) en caso
contrario. La Figura muestra los dos tipos de polarización circular para el campo eléctrico.
Se pueden obtener expresiones sencillas para los campos de las ondas RHCP y LHCP a
partir de (2.112) si se impone que el módulo del campo eléctrico sea constante y que la
derivada del ángulo formado por el campo eléctrico con el eje x sea positiva (en una onda
RHCP) o negativa (en una LHCP),
Figura 2.8. Polarización LHCP (a) y RHCP (b)
Si la onda se propagase hacia z = - ∞ sería necesario intercambiar los signos,
Una onda circularmente polarizada puede descomponerse como la suma de dos ondas
linealmente polarizadas con direcciones ortogonales (formando un ángulo de 90°) lo que
permite transmitir simultáneamente dos canales de información, uno en cada dirección, con
interferencias mínimas.
CAPITULO 3. EL DIAGRAMA DE SMITH: USOS Y APLICACIONES
La siguiente Figura 2.9. muestra el diagrama de Smith. Este diagrama es una herramienta
gráfica que fue ideada en 1939 por Phillip Smith, ingeniero de la compañía RCA, para el
cálculo y la transformación de impedancias en líneas de transmisión. A pesar de que en la
actualidad estas tareas se pueden realizar sin dificultad mediante ordenadores y calculadoras
electrónicas, el diagrama de Smith aún se emplea con profusión en los instrumentos de
medida de redes de alta frecuencia (analizadores vectoriales de redes) e incluso en
programas de CAD de circuitos de alta frecuencia para representaciones gráficas y diseño de
redes de acoplo. Asimismo, constituye una valiosa herramienta educativa para facilitar la
comprensión de las técnicas de acoplo.
3.1 LOCALIZACIÓN DE CARGAS
El diagrama de Smith es una representación del coeficiente de reflexión en un diagrama
polar. Cualquier coeficiente de reflexión se puede localizar en el diagrama simplemente
trazando un círculo de radio igual al módulo, y localizando la posición que corresponde en
este círculo a un ángulo igual a la fase del coeficiente de reflexión, tomando como origen de
coordenadas el semieje horizontal derecho. El centro del diagrama representa un coeficiente
de reflexión nulo (o bien una impedancia igual a la característica de la línea), mientras que la
periferia representa los coeficientes de reflexión de módulo unidad. En particular, el extremo
derecho del eje horizontal representaría un circuito abierto (fase = 0°) mientras que el
izquierdo sería un cortocircuito (fase = 180°).
3.2 CÁLCULO DE IMPEDANCIAS A PARTIR DEL COEFICIENTE DE REFLEXIÓN
Para determinar la impedancia a partir del coeficiente de reflexión, el diagrama de Smith
tiene un conjunto de círculos y arcos de círculo que representan líneas de resistencia y
reactancia constantes.
Figura 2.9. El diagrama de Smith. En la figura se muestra una carga de una impedancia
normalizada de valor 0,6 + j1,8. El coeficiente de reflexión es de módulo 0,78 y fase 54°.
La admitancia normalizada (punto simétrico) es de 0,17- j0.5, y VSWR es en torno a 9.
La impedancia en un punto de la línea situado a (0,2 - 0,175)‫ גּ‬es de 1,2 + J2,6. El primer
máximo de voltaje está a una distancia (0,25 - 0,175) ‫ גּ‬de la carga, y el primer máximo
de corriente a una distancia (0,5-0,175)‫ גּ‬Distribuido por Analog Instruments, Co-, P.O.
Box 808, New Providence, NJ 0974.
El semicírculo superior del diagrama constituye la zona inductiva, mientras que el inferior
abarca las reactancias capacitivas. La impedancia está normalizada respecto a la
impedancia característica de la línea. De este modo, la localización de una carga en un punto
del diagrama permite determinar simultáneamente tanto la impedancia tanto como el
coeficiente de reflexión.
3.3 CÁLCULO DE LA RAZÓN DE ONDA ESTACIONARIA (VSWR)
El diagrama de Smith también permite obtener la razón de onda estacionaria que se
establece en una línea cargada con una impedancia distinta a su impedancia característica.
Las cargas que presentan impedancias normalizadas reales y de módulo mayor que la
unidad tienen la peculiaridad de que su impedancia es numéricamente igual a la razón de
onda estacionaria que originan. Este resultado se obtiene inmediatamente comparando
Así pues, para obtener el valor de VSWR basta con trazar una circunferencia centrada en el
origen del diagrama y que pase por el punto que representa la carga. La escala del semieje
derecho proporciona el valor de VSWR en su intersección con la circunferencia,
3.4 TRANSFORMACIÓN DE IMPEDANCIAS
Las escalas de que dispone el diagrama de Smith permiten obtener gráficamente la
impedancia y coeficiente de reflexión en cualquier posición de la línea a partir del valor de
estos dos parámetros en cualquier otro punto de la línea.
En el caso de una línea sin pérdidas, para transformar una impedancia conocida en una
posición determinada basta con trazar un círculo centrado en el origen y que pase por el
punto correspondiente a la carga conocida. La distancia del segundo punto se localiza
mediante un desplazamiento por el círculo en el sentido de las agujas del reloj o viceversa,
dependiendo de que el segundo punto esté mas cerca o más lejos del generador que el
primero, este desplazamiento es igual a un ángulo dado por el doble de la longitud eléctrica
existente
entre
ambos
puntos, .
Es interesante observar que una vuelta completa en el diagrama equivale a un
desplazamiento de una semilongitud de onda a lo largo de la línea. También puede verse
que la impedancia en la línea se hace real en los puntos localizados en el eje horizontal, los
cuales aparecen en la línea cada cuarto de longitud de onda. En estos puntos se encuentran
los máximos (puntos de intersección con el semieje real derecho) y mínimos (puntos de
intersección con el semieje real izquierdo) de voltaje existentes en la línea.
Cuando la línea tiene pérdidas, el desplazamiento a través de la línea desde la carga
conocida da lugar a impedancias cuya representación en el diagrama de Smith corresponde
a una espiral que colapsa en el centro del diagrama. Para localizar la impedancia en
cualquier punto de una línea con pérdidas, es necesario recordar que el coeficiente de
reflexión a una distancia de la carga viene dado por
Así pues, la impedancia en cualquier punto de la línea podría localizarse desde el punto
correspondiente a desplazándose por el círculo de VSWR constante en dirección al
generador (sentido de avance de las agujas del reloj) hasta un punto P que estuviera a un
ángulo 2βl respecto del punto original, y después reduciendo el módulo del coeficiente de
reflexión en una cantidad 2βl Para ello bastaría con trazar una Línea que uniera P con el
centro del diagrama, y localizar el punto que tiene un coeficiente de reflexión de magnitud
e-2αl
Dado el carácter ambivalente de los círculos en el diagrama (representan simultáneamente
conductancias y resistencias, o bien reactancias y suceptancias), cuando se desea
transformar una admitancia de carga a una determinada distancia a lo largo de la línea, basta
con utilizar el mismo procedimiento que con las impedancias.
3.5 CÁLCULO DE ADMITANCIAS
El diagrama de Smith también permite determinar la admitancia a partir de la impedancia y
viceversa. Para comprobarlo basta con considerar la impedancia en un punto de la línea
situado a un cuarto de longitud de onda de la impedancia de carga.
Así pues, para obtener la admitancia normalizada en el diagrama de Smith basta con
localizar el punto simétrico al correspondiente a la impedancia con respecto al origen.
3.5.1 LOCALIZACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE VOLTAJE Y CORRIENTE
Los máximos de voltaje en una línea sin pérdidas se pueden determinar a partir de la
ecuación de voltajes, deduciéndose:
Así pues, el voltaje es máximo cuando se verifica la relación
En
estos puntos el coeficiente de reflexión es un número real positivo y por tanto la impedancia
es real y mayor que la unidad,
Consecuentemente, para localizar el primer máximo bastará con encontrar la distancia que
hay entre la impedancia de carga Z L, y el primer punto en el cual la impedancia sea real y
mayor que la unidad. El mínimo de voltaje estaría a una distancia igual a 1/4 de longitud de
onda. De Forma totalmente análoga pueden determinarse máximos y mínimos de corriente.
En este caso el máximo de corriente se obtendría buscando la distancia entre la impedancia
de carga y el primer punto en el cual la impedancia sea real y menor que la unidad.