Solucion Mayo 2015

Examen de Estadı́stica
Grado en Ingenierı́a de Telecomunicación
28 de Mayo de 2015
solución
Cuestiones
1h 45m
C1 (1.5 puntos).
Una variable aleatoria X mide el número de incendios provocados en Almerı́a
a lo largo del verano. Su función de probabilidad es:
Pr(X = x) = e−4/3
(4/3)x
x!
x = 0, 1, 2, ...
a) Calcule la probabilidad de que se produzca algún incendio provocado en el verano.
b) La situación se declara catastrófica si en el verano se registran más de 2 incendios provocados.
Si la situación ha sido declarada como catastrófica, ¿cuál es la probabilidad de que ese verano se
hayan registrado 5 incendios provocados?
c) Obtenga la función de probabilidad de la variable aleatoria Z = X + 2.
Pista: Calcule las probabilidades Pr(Z = 0), Pr(Z = 1), Pr(Z = 2), . . . y luego en general, Pr(Z = z).
Solución:
a) Pr(X ≥ 1) = 1 − Pr(X = 0) = 1 − e−4/3 ≈ 73.64 %
b) Se pide calcular la probabilidad condicionada
Pr(X = 5, X > 2)
Pr(X = 5)
=
Pr(X > 2)
1 − Pr(X ≤ 2)
!−1
5
2
4 −4/3 1 4
1 4
−4/3
−4/3
−4/3
e
1−e
− e
−
e
=
5! 3
3
2 3
Pr(X = 5|X > 2) =
≈
0.00925663
≈ 6.14 %
0.150631
c) Tenemos que
Pr(Z = 0) = Pr(X + 2 = 0) = Pr(X = −2) = 0
Pr(Z = 1) = Pr(X + 2 = 1) = Pr(X = −1) = 0
Pr(Z = 2) = Pr(X + 2 = 2) = Pr(X = 0) = e−4/3 ≈ 26.36 %
Pr(Z = 3) = Pr(X + 2 = 3) = Pr(X = 1) = e−4/3
(4/3)1
(4/3)3−2
= e−4/3
≈ 35.15 %
1!
(3 − 2)!
...
y en general
Pr(Z = z) = Pr(X + 2 = z) = Pr(X = z − 2) = e−4/3
1
(4/3)z−2
, si z = 2, 3, 4, ...
(z − 2)!
C2 (2 puntos).
El peso de unas piezas se distribuye normalmente. Se sabe que un 58 % de las
piezas pesan menos de 75 g, un 38 % entre 75 y 80 g, y el 4 % restante, más de 80 g.
a) Calcule la media y la desviación tı́pica de la distribución.
b) Las piezas se empaquetan en cajas de 10 unidades. Calcule la probabilidad de que una caja pese
más de 750 g.
c) Se toman tres cajas al azar. Calcule la probabilidad de que 2 de ellas pesen más de 750 g.
Solución:
a) Sea X: “peso de las piezas”, donde X ∼ N (µ, σ). Luego, P r(X < 75) = 0.58 y P r(X < 80) = 0.96.
Entonces:
75 − µ
75 − µ
= 0.20 =⇒ µ + 0.20σ = 75 (∗)
Pr Z <
= 0.58 =⇒
σ
σ
80 − µ
80 − µ
Pr Z <
= 0.96 =⇒
= 1.75 =⇒ µ + 1.75σ = 80 (∗∗)
σ
σ
Resolviendo el sistema de ecuaciones conformado por las expresiones (∗) y (∗∗), se obtiene que µ =
74.35 y σ = 3.226.
√
b) Considerando la variable Y : “peso de la caja”, se tiene que Y ∼ N (74.35 · 10, 10.407 · 10) =
N (743.5, 10.2). Luego,
750 − 743.5
Pr(Y > 750) = 1 − Pr(Y ≤ 750) = 1 − Pr Z ≤
10.2
= 1 − Pr(Z ≤ 0.637) = 1 − 0.738 = 0.262.
c) Considerando la variable W : “número de cajas entre 3 que pesan más de 750 g”, se tiene que W ∼
Bin(n = 3, p = 0.262). Luego,
3
Pr(W = 2) =
(0.262)2 (0.738) = 0.152.
2
Sea X(t) = N t(t) un proceso estocástico definido en términos del proceso de
Poisson N (t) que mide el número de sucesos que ocurren en el intervalo de tiempo (0, t), con parámetro
λ y función de autocorrelación dada por RN (t, t + τ ) = λt + λ2 t(t + τ ), si τ > 0.
C3 (1.5 puntos).
a) Clasifique el proceso X(t) según su espacio de estados y su espacio de tiempos.
b) Calcule E[X(t)] y RX (t, t + τ ) si τ > 0.
c) Estudie la estacionariedad en sentido débil de X(t).
Solución:
a) X(t) es un proceso estocástico continuo en ambos espacios (de tiempos y de estados).
2
b) Calculemos E[X(t)] :
E[X(t)] = E[N (t)/t] =
1
1
E[N (t)] = λt = λ
t
t
(cte en t).
Calculemos RX (t, t + τ ) con τ > 0 :
N (t) N (t + τ )
RX (t, t + τ ) = E[X(t)X(t + τ )] = E
t
t+τ
1
1
=
E[N (t)N (t + τ )] =
RN (t, t + τ )
t(t + τ )
t(t + τ )
1
λ
=
(λt + λ2 t(t + τ )) = λ2 +
(dependiente de t).
t(t + τ )
t+τ
c) X(t) cumple la primera condición para ser estacionario en sentido débil (es decir, E[X(t)] no depende
λ
de t). Sin embargo, dado que RX (t, t + τ ) = λ2 + t+τ
, X(t) no satisface la segunda condición (ya
que RX (t, t + τ ) depende del tiempo a través de t y no únicamente a través del incremento τ ). Por lo
tanto, X(t) no es estacionario en sentido débil.
Probability
Table entry for z is
the area under the
standard normal curve
to the left of z .
z
TABLE A Standard normal probabilities (continued)
z
.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
.5000
.5398
.5793
.6179
.6554
.6915
.7257
.7580
.7881
.8159
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
.9332
.9452
.9554
.9641
.9713
.9772
.9821
.9861
.9893
.9918
.9938
.9953
.9965
.9974
.9981
.9987
.9990
.9993
.9995
.9997
.5040
.5438
.5832
.6217
.6591
.6950
.7291
.7611
.7910
.8186
.8438
.8665
.8869
.9049
.9207
.9345
.9463
.9564
.9649
.9719
.9778
.9826
.9864
.9896
.9920
.9940
.9955
.9966
.9975
.9982
.9987
.9991
.9993
.9995
.9997
.5080
.5478
.5871
.6255
.6628
.6985
.7324
.7642
.7939
.8212
.8461
.8686
.8888
.9066
.9222
.9357
.9474
.9573
.9656
.9726
.9783
.9830
.9868
.9898
.9922
.9941
.9956
.9967
.9976
.9982
.9987
.9991
.9994
.9995
.9997
.5120
.5517
.5910
.6293
.6664
.7019
.7357
.7673
.7967
.8238
.8485
.8708
.8907
.9082
.9236
.9370
.9484
.9582
.9664
.9732
.9788
.9834
.9871
.9901
.9925
.9943
.9957
.9968
.9977
.9983
.9988
.9991
.9994
.9996
.9997
.5160
.5557
.5948
.6331
.6700
.7054
.7389
.7704
.7995
.8264
.8508
.8729
.8925
.9099
.9251
.9382
.9495
.9591
.9671
.9738
.9793
.9838
.9875
.9904
.9927
.9945
.9959
.9969
.9977
.9984
.9988
.9992
.9994
.9996
.9997
.5199
.5596
.5987
.6368
.6736
.7088
.7422
.7734
.8023
.8289
.8531
.8749
.8944
.9115
.9265
.9394
.9505
.9599
.9678
.9744
.9798
.9842
.9878
.9906
.9929
.9946
.9960
.9970
.9978
.9984
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.5239
.5636
.6026
.6406
.6772
.7123
.7454
.7764
.8051
.8315
.8554
.8770
.8962
.9131
.9279
.9406
.9515
.9608
.9686
.9750
.9803
.9846
.9881
.9909
.9931
.9948
.9961
.9971
.9979
.9985
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.5279
.5675
.6064
.6443
.6808
.7157
.7486
.7794
.8078
.8340
.8577
.8790
.8980
.9147
.9292
.9418
.9525
.9616
.9693
.9756
.9808
.9850
.9884
.9911
.9932
.9949
.9962
.9972
.9979
.9985
.9989
.9992
.9995
.9996
.9997
.5319
.5714
.6103
.6480
.6844
.7190
.7517
.7823
.8106
.8365
.8599
.8810
.8997
.9162
.9306
.9429
.9535
.9625
.9699
.9761
.9812
.9854
.9887
.9913
.9934
.9951
.9963
.9973
.9980
.9986
.9990
.9993
.9995
.9996
.9997
.5359
.5753
.6141
.6517
.6879
.7224
.7549
.7852
.8133
.8389
.8621
.8830
.9015
.9177
.9319
.9441
.9545
.9633
.9706
.9767
.9817
.9857
.9890
.9916
.9936
.9952
.9964
.9974
.9981
.9986
.9990
.9993
.9995
.9997
.9998
3
Examen de Estadı́stica
Grado en Ingenierı́a de Telecomunicación
28 de Mayo de 2015
solución
Problemas
1h 45m
P1 (2.5 puntos).
Un mensaje de correo electrónico puede viajar por dos rutas diferentes (A y
B). La ruta A está formada por dos servidores (S1 , S2 ) conectados en paralelo y la ruta B por dos
servidores (S3 , S4 ) conectados en serie, como se muestra en la siguiente figura:
S1
A
S2
B
S3
S4
Se sabe que el 30 % de los mensajes viajan por la ruta A. Además la probabilidad de error en la
transmisión del mensaje es de 0.01 para el servidor 1, 0.015 para el servidor 2, 0.02 para el servidor 3
y 0.003 para el servidor 4. Teniendo en cuenta que los servidores son independientes,
a) Calcule la probabilidad de que un mensaje que viaja por la ruta A llegue sin errores. Calcule la
misma probabilidad para un mensaje que viaja por la ruta B.
b) Calcule la probabilidad de que un mensaje llegue sin errores.
c) Si un mensaje llega sin errores, calcule la probabilidad de que haya viajado por la ruta A.
d) Se seleccionan 10 mensajes al azar. Calcule la probabilidad de que sólo uno de ellos viaje por la
ruta A.
Solución:
a) Definamos los eventos:
Ē ≡ “Mensaje recibido sin error”;
A ≡ “Mensaje viaja por la ruta A”;
B ≡ “Mensaje viaja por la ruta B”;
FSi ≡ “El servidor Si funciona correctamente”.
Tenemos que:
Pr(Ē|A) = Pr(FS1 ∪ FS2 ) = 0.99 + 0.985 − (0.99 × 0.985) = 0.99985.
Pr(Ē|B) = Pr(FS3 ∩ FS4 ) = 0.98 × 0.997 = 0.9771.
b)
Pr(Ē) = Pr(Ē|A) × Pr(A) + Pr(Ē|B) × Pr(B) = 0.99985 × 0.3 + 0.9771 × 0.7 = 0.9839
.
4
c)
Pr(A|Ē) =
Pr(Ē|A) × Pr(A)
0.99985 × 0.3
=
= 0.3049.
0.9839
Pr(Ē)
d) Definiendo N : “número de mensajes que viajan por la ruta A”, donde N ∼ Bin(n = 10, p = 0.3), se
tiene que:
10
Pr(N = 1) =
× 0.31 × 0.79 = 0.12.
1
P2 (2.5 puntos).
Un programa informático se ha implementado de forma que realiza 2 operaciones en cadena (o en serie) de manera independiente. Si T1 y T2 denotan el tiempo de ejecución (en
min) de dichas operaciones y se sabe que T1 ∼ Exp(λ1 = 1) y T2 ∼ Exp(λ2 = 2), se pide:
a) Obtenga la densidad del tiempo total de ejecución, T1 + T2 , a partir de la densidad conjunta del
vector (Y1 , Y2 )0 con componentes Y1 = T1 + T2 e Y2 = T2 .
b) Calcule Pr(T1 + T2 > 5 min).
c) Complete el siguiente código en MATLAB para aproximar por simulación la probabilidad del
apartado b). Justifique su respuesta.
n = 1000000;
u1 = rand(n,1);
u2 = rand(n,1);
t1 = - log(1-u1);
t2 = ________________ ;
t = t1+t2;
p = sum(_____________)/n
d) Inmediatamente a continuación de las 2 operaciones anteriores se añade (o encadena) una tercera
operación que se ejecuta independientemente de las anteriores y cuyo tiempo de ejecución (en
min) es T3 ∼ Exp(λ3 = 3). Bajo este escenario con 3 operaciones en serie, obtenga la densidad del
nuevo tiempo total de ejecución, T1 + T2 + T3 , a partir de la densidad conjunta del vector (Z1 , Z2 )0
con componentes Z1 = Y1 + T3 y Z2 = T3 . Tenga en cuenta que Y1 y T3 son independientes.
Solución:
a) Dado que T1 y T2 son variables Exponenciales independientes, T1 ∼ Exp(λ1 = 1) y T2 ∼ Exp(λ2 = 2),
se verifica que la función de densidad conjunta del vector aleatorio (T1 , T2 )0 viene dada por
fT1 ,T2 (t1 , t2 ) = fT1 (t1 )fT2 (t2 ) = e−t1 2e−2t2 ,
t1 > 0, t2 > 0.
A partir de la densidad conjunta del vector (T1 , T2 )0 obtendremos en primer lugar la densidad conjunta
del vector (Y1 , Y2 )0 , teniendo en cuenta que:
Y1 = T1 + T2 ,
J=
Y2 = T2
1
0
−1
1
⇒
T1 = Y1 − Y2 ,
!
⇒ det(J) = 1.
5
T2 = Y2
t2
y2
t1
y1
Por lo tanto, la densidad conjunta del vector (Y1 , Y2 )0 es igual a:
= fT1 ,T2 (y1 − y2 , y2 ) · 1
fY1 ,Y2 (y1 , y2 )
= e−(y1 −y2 ) 2e−2y2
2e−y1 e−y2 ,
=
si y1 > y2 , y2 > 0.
Ahora obtendremos la densidad marginal de Y1 a partir de la densidad conjunta fY1 ,Y2 (y1 , y2 ).
Z y1
fY1 (y1 ) =
fY1 ,Y2 (y1 , y2 )dy2
0
y2 =y1
= 2e−y1 −e−y2 y =0
2
2e−y1 (1 − e−y1 ),
=
si y1 > 0.
b)
Z
Pr(T1 + T2 > 5) = Pr(Y1 > 5) =
∞
2e−y1 (1 − e−y1 )dy1 = 2e−5 − e−10 = 0.0134.
5
c) El código completo serı́a como se indica a continuación.
n = 1000000;
u1 = rand(n,1);
u2 = rand(n,1);
t1 = -log(1-u1);
t2 = -log(1-u2)/2;
t = t1+t2;
p = sum(t>5)/n
Las variables t1 y t2 almacenan valores de las v.a. Exponenciales de parámetros λ1 = 1 y λ2 = 2,
generados a través del método de la transformación inversa según se detalla a continuación.
u = F (t) con u ∼ U (0, 1) ⇒ u = 1 − e−λt ⇒ 1 − u = e−λt
⇒ ln(1 − u) = −λt ⇒ t = − ln(1 − u)/λ.
La última linea de código calcula la frecuencia relativa de observar el suceso de interés, {T1 + T2 > 5}.
Con esta frecuencia relativa se aproxima la probabilidad del apartado b), Pr(T1 + T2 > 5).
6
d) Dado que Y1 y T3 son variables independientes, Y1 con función de densidad calculada previamente en
el apartado a) y T3 ∼ Exp(λ3 = 3), se tiene que la función de densidad conjunta del vector (Y1 , T3 )0
vienen dada por
fY1 ,T3 (y1 , t3 ) = fY1 (y1 )fT3 (t3 ) = 2e−y1 (1 − e−y1 )3e−3t3 ,
y1 > 0, t3 > 0.
A partir de la densidad conjunta del vector (Y1 , T3 )0 obtendremos en primer lugar la densidad conjunta
del vector (Z1 , Z2 )0 , teniendo en cuenta que:
Z1 = Y1 + T3 ,
⇒
Z2 = T3
J=
1
0
−1
1
t3
Y1 = Z1 − Z2 ,
T3 = Z2
!
⇒ det(J) = 1.
z2
y1
z1
Por lo tanto, la densidad conjunta del vector (Z1 , Z2 )0 es igual a:
fZ1 ,Z2 (z1 , z2 )
=
fY1 ,T3 (z1 − z2 , z2 ) · 1
=
2e−(z1 −z2 ) (1 − e−(z1 −z2 ) )3e−3z2
=
6e−z1 e−2z2 − 6e−2z1 e−z2 ,
si z1 > z2 , z2 > 0.
Ahora obtendremos la densidad marginal de Z1 a partir de la densidad conjunta fZ1 ,Z2 (z1 , z2 ).
Z z1
fZ1 (z1 ) =
fZ1 ,Z2 (z1 , z2 )dz2
Z0 z1
Z z1
=
6e−z1 e−2z2 dz2 −
6e−2z1 e−z2 dz2
0
0
z2 =z1
z2 =z1
= 3e−z1 −e−2z2 z2 =0 − 6e−2z1 −e−z2 z2 =0
=
3e−z1 (1 − e−2z1 ) − 6e−2z1 (1 − e−z1 )
=
3e−z1 (1 − e−2z1 ) − 6e−2z1 (1 − e−z1 )
=
3e−z1 (1 − 2e−z1 + e−2z1 ),
7
si z1 > 0.