Práctico 5 una función entera. Demostrar que si existe n tal que |f(z
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Centro de Matemática Facultad de Ciencias Universidad de la República Análisis complejo - Curso 2009 Práctico 5 1. Sea f : C → C una función entera. Demostrar que si existe n tal que |f (z)| < |z|n para todo z ∈ C entonces f es un polonomio. 2. Sea f una función entera. Demostrar que la condición f (z) → ∞ para z → ∞ implica que f es un polinomio. 3. Sea f meromorfa en todo el plano (i.e. sus singularidades son aisladas y son polos). Demostrar que si f (1/z) también es meromorfa entonces f es el cociente de dos polonomios. 4. Mostrar que si f es holomorfa en un entorno del origen existe N tal que |f (n) (0)| < n!nn para todo n > N . 5. Sean f, g holomorfas en un entorno del origen y tales que el origen es un polo de orden m para f y de orden n para g . ¾Que se puede decir sobre el orden del polo en el origen para f g, f /g y f + g ? 6. Calcular la integral en el círculo de centro cero y radio uno de ez z −n . 7. Probar que si la parte real de una función holomorfa está acotada por arriba en el entorno de una singularidad aislada entonces dicha singularidad es evitable. 8. Clasicar las singularidades de : z/sin(z) exp(1/z) z cos(1/z) 1/(z(ez − 1) cot(z) 1
