1 Derivadas Parciales (Parte 1) FUNCIONES DE VARIAS

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Derivadas Parciales (Parte 1)
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Hasta ahora nos hemos preocupado del Cálculo Diferencial e Integral de funciones
de una variable, sin embargo, en el mundo real las cantidades físicas dependen de dos o
más variables, por ejemplo : el volumen de un cilindro recto circular depende del radio
y de la altura , la presión ejercida por un gas ideal encerrado es una función de su
temperatura
y de su volumen , la temperatura de un punto
(
) de un
objeto en el espacio puede depender del tiempo y además de las tres coordenadas
rectangulares
, de , un fabricante puede saber que el costo de producir cierto
artículo depende del material, la mano de obra, el equipo, el costo de mantenimiento y
los gastos materiales (¡cinco variable!) etc.
Como usualmente se trabajará con funciones de dos o tres variables se presenta la
Definición formal de una función de dos variables.
DEFINICION 1.1
Sea
. Una FUNCION DE DOS VARIABLES es una
regla que asigna a cada par ordenado de números reales (
)
en un único número real denotado por
.
NOTACION :
se tiene ahora :
Manteniendo la notación utilizada para funciones de una variable
En lo que resta de esta unidad
se considera una región o dominio (ver Apéndice
OBSERVACION 1.1 En este caso Dominio de
sea necesario precisarlo se utiliza el concepto.
mientras que el RANGO de
)
, o bien, en el caso que
está dado por el conjunto de imágenes, esto es :
Además las variables e corresponden a las variables independientes mientras que
corresponde a la variable dependiente.
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DEFINICION 1.2
Si
es una función dada por
entonces la GRAFICA de
que se denota por
conjunto
es el
Tal como en el caso de una función de una variable en que su gráfica está dada por una
curva de ecuación
contenida en el plano
, así la gráfica de una función
de dos variables está dada por una superficie con ecuación
contenida en el
espacio
Existe otro método gráfico de gran utilidad para describir una función
consiste trazar en el plano
las gráficas de las ecuaciones
,éste
, para varios
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valores de la constante . Las gráficas así obtenidas se llaman CURVAS DE NIVEL DE
y un conjunto de tales curvas se llama MAPA de CONTORNO de
OBSERVACION Las curvas de nivel se usan frecuentemente en la elaboración de
mapas orográficos o planos de configuración, mapas hidrográficos, mapas
meteorológicos o climáticos donde las curvas de nivel corresponden a las isotermas
(temperatura constante) o bien isobaras (presión atmosférica constante)
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FUNCIONES DE TRES O MAS VARIABLES
Las definiciones de funciones de tres o más variables son simplemente generalizaciones
de la Definición 1.1 . Por ejemplo
es una función de tres variables si es una regla de correspondencia que asigna a cada
trío ordenado (
) en un único número real dado por
EJEMPLO El volumen de una caja rectangular está dado por la función
por la función
está dado
OBSERVACION
i) Como en este caso, la gráfica de una función está dado
por
es decir, está contenida en
de modo que no es posible representarla graficamente.
ii) La idea equivalente a las curvas de nivel está dada por las
superficies de nivel , definidas por
, donde : constante. Si
mide la temperatura de un cuerpo contenido en
entonces las superficies de nivel se
llaman superficies isotermas y si
representa el potencial eléctrico entonces se
llaman superficies equipotenciales.
LIMITES Y CONTINUIDAD
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Consideremos la función
definida en un entorno reducido de
( , ), es decir, puede que (
) no esté definida en ( , ). Interesa dar ahora el
significado correspondiente a la expresión.
lim
(
)
(
)
(
,
)
El análisis para el concepto de límite de funciones de una variable encuentra
algunas dificultades, por ejemplo ya no es posible recurrir a la gráfica de la superficie
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, puesto que éstas son más difíciles de obtener; por otra parte la idea intuitiva
de que (
) "tiende" a un punto ( , ) tampoco tiene la simpleza de las funciones de
una variable en las cuales las alternativas de acercamiento eran solamente dos : por la
izquierda y por la derecha, mientras que ahora existen infinitas maneras de acercarse al
punto ( , ). Entonces para que lim
, exista, se requiere que tienda al
mismo número
por toda trayectoria posible que pase por (
DEFINICION 2.2
Sea
( ,
lim
,
)
2
:
).
tal que está definida en un entorno de
Se dice que
es CONTINUA en ( ,
) ssi
.
OBSERVACION Analogamente a lo que ocurre en funciones de una variable, La
Definición significa que :
i)
está definida en
ii) Existe lim
)
iii) El límite anterior es igual a
esto es
lim
DERIVADAS PARCIALES
Supongamos que
es una función de 2 variables
e . Si
se mantiene
constante, digamos
entonces
es una función que depende solamente de
. Su derivada en
se llama derivada parcial de con respecto a en
También se puede mantener fijo
y obtener la derivada parcial de
con
respecto a
en
La formalización de esta idea está dada por :
DEFINICION 3.1
2
Sea
:
y sea ( ,
llama DERIVADA PARCIAL de
( , ) al límite.
) un punto interior de se
con respecto a en el punto
lim
cuando existe
Se llama DERIVADA PARCIAL de
punto ( , ) al límite.
lim
con respecto a
en el
6
cuando existe
La derivada parcial de
NOTACION
denota por
o
(
) con respecto a
en (
,
) se
lo mismo para
Análogamente la derivada parcial de
denota por :
con respecto a
o
,
lo mismo para
DERIVADA PARCIAL de
en
, se
con respecto a
lim
DERIVADA PARCIAL de
con respecto a
lim
En este caso es más claro que la derivación parcial de con respecto a corresponde a
la razón a la cual cambia (
) cuando varía , mientras que se mantiene constante.
Análogamente se interpreta la derivada parcial de
con respecto a .
Por lo tanto la técnica de derivación parcial consiste en :
1. Para encontrar
.
, considérese a
como constante y derívese
(
) con respecto a
2. Para encontrar
.
, considérese a
como constante y derívese
(
) con respecto a
EJEMPLO
Considerando
Si
, hallar
y
como constante se obtiene, por derivación respecto a
:
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Considerando
EJEMPLO
como constante se obtiene , por derivación respecto a
Si
:
hallar
entonces
Por otra parte :
entonces ( )
(
)
Por lo tanto :
INTERPRETACION GEOMETRICA
Supongamos que
se conserva fija en el valor
, entonces las ecuaciones
corresponden a la curva 1 de intersección entre el plano
y la superficie
(Ver Figura 3.1 (a) ). En este caso ( , ) puede interpretarse como la
pendiente de la tangente a la curva 1 en el punto
,
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Similarmente
,
2:
(
,
) representa la pendiente de la tangente a la curva de intersección
en el punto
EJEMPLO Una lámina de metal plana se encuentra en el plano
y la temperatura
en (
) está dada por
(
) , donde se mide en grados y
e en
centímetros.
Calcule la tasa de cambio o variación de con respecto a la distancia en el punto(1,2)
en la dirección a) del eje
; b) del eje .
Aquí la tasa de cambio con respecto a la distancia corresponde a la derivada parcial de
modo que :
a)
(
)
(1,2)
b)
(
)
(1,2)
(grados por cms.)
0
(grados por cms.)
DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Si es una función de dos variables y si tiene derivadas parciales en cada punto
(
) de una región entonces
y , son a su vez funciones de e que pueden tener
también derivadas parciales.
En este caso resultan cuatro segundas derivadas parciales de .
EJEMPLO
Encontrar las cuatro segundas derivadas parciales de
(
)
(
( )
(
)
)
(
)
)
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(
)
( )
(
)
(
)
Notar que las derivadas parciales
,
llamadas DERIVADAS PARCIALES
MIXTAS son iguales, situación que ocurrirá para el tipo de funciones que utilizaremos
con mayor frecuencia . La formalización de esta situación está dada por el siguiente
teorema.
TEOREMA (DE CLAIRAUT) Si ,
,
,
y
son continuas en un
conjunto abierto entonces :
( , )
( , ) para todo ( , )
TEOREMA
Si
DEFINICION
admite primeras derivadas parciales en un entorno de p y si
estas derivadas parciales son continuas en p entonces
es
diferenciable en p.
Sea
una función de dos variables que admite
primeras derivadas parciales . Entonces
i) Las DIFERENCIALES de las variables independientes
están dadas por
ii) La DIFERENCIAL (o DIFERENCIAL TOTAL) de la
variable dependiente está dada por
Como las derivadas parciales
y
son continuas en un entorno del punto (6,3)
entonces la aproximación obtenida es aceptable.
REGLA DE LA CADENA
Recordemos que si
y son funciones de una variable tales que
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y
entonces la función compuesta entre
y la derivada
y
está dada por
se puede precisar aplicando la Regla de la Cadena, esto es :
Interesa ahora generalizar esta idea a funciones de varias variables
Para el caso de funciones de 2 variables, la situación más simple está dada por :
siendo e funciones de la variable , entonces
problema de determinar
TEOREMA
(Regla de la Cadena A) Sean
e
diferenciales en
. Entonces
diferenciable en y
y tiene sentido el
funciones
es