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ANGULOS Y ROTACIONES EN EL PLANO
Lie. Luis Estrada Navas
*
INTRODUCCION
En este articulo caracterizamos los angulos del plano mediante las rotaciones de
este. Damos Ia forma canonica que adopta Ia matriz asociada a una rotacion, como
elemento del grupo ortogonal propio o'~- (2, R), lo cual permite definir en forma
intrinseca los conceptos de seno y coseno de un angulo , y obtener en particular sus
formulas de adici6n utilizando Ia multiplicacion matricial.
1.
ANGULOS Y ROTACIONES
La geometria elemental euclidea plana define un angulo ~ APB como el
subconjunto del plano formado porIa union (conjuntista) de dos semirrectas PA, ffi con
un extremo comun P. Si a denota el conjunto de todos los angulos del plano, Ia medida
angular m no es mas que una aplicacion:
m:a~R
4APB
~
m4APB=
e
(l.l)
sujeta a condiciones adecuadas (ver, por ejemplo, [ l]) que permite definirla relacion .:: de
congruencia de angulos: dos angulos son congruentes si tienen Ia misma medida angular.
Esta relacion es de equivalencia entt, e induce por consiguiente en el conjunto cociente
Ci = a/~ Ia aplicacion inyectiva:
(1.2)
si m4 APB =:e, que asigna a cada clase [ 4 APB] de angulos congruentes Ia medida 8
comun a todos ellos. Gracias a Ia inyectividad de m se suele identificar cada clase de
angulos congruentes con su numero real 8 , y se habla asi de "angulo 8 "para indicar " Ia
clase de todos los cingulos cuya medida es e". Esta identificacion permite transportar Ia
estructura de grupo aditivo de R al conjunto.a.; se tiene asi el grupo aditivo (a,+) de los
anguJos (COEJ>recision: de las ciases de anguJos. congruent~) .
Sea PA una semirrecta fija con extremo P. Si PX se hace girar en torno a su
Profesor del Departamento de Fisica y Matematicas. Facultad de Ciencias y Letras. Universidad de Costa Rica.
165
PB,
PA,
ex tremo, su posieion final t>-8 otra semirrecta,
Ia cual, junto con
forma un angulo,
el 4 APB. Reciproeamcnte, dado el angulo 4 APB, se puede considerar generado porIa
rotaeion que transforma Ia semirrecta PA en Ia semirrecta PB. (ver figura 1)
-
-
p
Figura 1
Es de no tar que cada rotacion determina 110 solo el angulo 4 APB sino toda Ia clase
de los angulos congruentes con este. Por otro !ado, las semirrectas
PB quedan
individuadas por sendos vectores unitarios u, v paralelos a PAy a PB respectivamente. Por
tanto, una rotacion no es mas que una transformacion £: E2 ~ E2 del espacio
veetorial euclideo en el mismo tal que f u = v, y que, intuitivamente, goza de las dos
propiedades siguicntes:
(R1) f conserva Ia norma:
PA,
II f X II= II
X
II, v X£ E2
(R2) f conserva Ia orientacion del espacio:
La imagen por f de una base e1, e2 de E2 es otra base, fe1, fe2 que tiene su misma
orientacion.
Las consideraciones anteriores sugieren caracterizar los angulos mediante las
rotaciones que los generan. En lo que sigue precisamos con rigor estas ideas.
2.
ENDOMORFISMOS DE E2
Sea E2 el espacio vectorial euclideo bidimensional sobre R, y sea e1 = (1 ,0), e2 =
(0,1) Ia base canonica de E2. Si v = V1 e1 + V2e2 es un vector de E2, entonces
II v II = ( vt + v~ !~
convierte a E2 en un espacio vectorial norrnado; II vii se llama Ia norma de v.
La norma anterior permite dotar a E2 de producto escalar
166
(2.1)
(2.2)
para u, v £ ' E2 cualesquiera. En particular, si u
entonces (2.2) adopta Ia forma usual
.
= Ul
Cl + U2 e2, v = Vl Cl + V2 e2,
como se comprueba de inmediato.
Sea End (E2) el espacio vectorial de_ los endomorfismos de E2. Con Ia comp~sieion
de aplicaciones, (fg) u = f [ gu ], V f, ge .End (E2), V u.£ E2, End (E2) es un algebra
asociativa sobre R con elemento unidad Ia aplicacionidentica 1 (u) = u, V u E: E2. Sea
ademas R2x2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 a coeficientes
reales. Con el producto de matrices R2x2 es tambien un algebra asociativa sobre IR con
elemento unidad Ia matriz identidad
Un endomorfismo f queda conocido dando las imagenes de los vectores de una base.
Si, por ejemplo 1
f e1 =a e1 + b e 2
f e 2 =c el + d e2
(2.3)
entonces es conocido el siguiente teorema (vcr por ejemplo [2]):
Teorema 2.1
La aplicacion
End (E 2)----+ R2x2
(2.4)
es un isomorfismo de espacios vectoriales sobre IL
De acuerdo a lo anterior, (2.4) es mas aun, es isomorfismo de algebras, y si
u = Ul el + U2 e2 lo representamos porIa matriz columna
f u = (a
b
c ) (ul)
. \12
d
(:1)
2
entonces
(2.5)
. En lo ~e sigl~e identificarc~os libremen.te cada endomorfismo f con su matriz(~ ~)
a traves delJSomodtsmo (2.4). Ast, el determmante de £, det
f, es el determinante de su
matriz:
167
det f
=
I I
ah cd
(2.6)
= ad - be
Los endomorfismos f de E2 que poseen inverso £- 1, con f f l = f·l f=I , se Haman
regula res, y ohviamente constituyen un subgrupo multiplicativo de End ( E2) llama do el
grupo lineal GL (2, lR). Estcin caracterizados porIa siguiente proposicion:
Proposicion 2.2
f es regular (;::::) det f :/= 0
Demostracion:
Dado f mediante su matriz (2.4) entonces fl, si existe, tiene por matriz
f·l
=(1/det f)
puesto que
d
( -h
-e)
a
(
1 :)
(2.7)
= (1/det f) (ad- he
hd- hd
-ac + ac) =
ad- he
r
Luego, para que exista 1 es necesario que det f #:0 ; yes suficiente, pues en virtud
de (2.7) si det f #: 0, t 1 se puede calcular.
Sea A~ ~una matriz. Su matriz traspuesta, denotada portA, es Ia que se ohtiene
de A comhinando filas por columnas:
y es inmediato que
det tA = det A.
(2.8)
Una matriz A se llama ortogonal si su inversa coincide con su traspuesta , A"l =!A,
y del hecho conocido
resulta
168
por lo que el conjunto de las matrices ortogonales constituye un subgrupo de GL (2, i{)
llamado cl grupo ortogonal 0 (2, R).
Una matriz ortogonal A satisface Ia relacion
(det A) 2 = I
(2.9)
En efecto, de (2.8)resulta
I= det I= det (AA-I) = det A. det A-I= det A. det t A= det A. det A
Asi, Ia aplicacion
'f
:0 (2,R)
~{ +I,-I}
(2.IO)
A~----+
det A
del grupo ortogonal en el subgrupo multiplicativo de It forma do por + I y - I, que es
homomorfismo de grupos abelianos, tiene por nucleo Ker f aquellas matrices cuyo
detenninante vale 1. Este subgrupo de 0 (2, It) se llama el grupo ortogonal propio
o+(2,R).
Utilizando (2.4) podemos concluir con la siguiente cadena de inclusiones:
o+(2,R)
c:
0 (2, R)
c
GL (2,R)
c
End (E2).
(2.11)
Se llama determinante de u y v (en ese ordcn) a
I
det (u , v) = ui VI
u2 v2
I
(2.I2)
Mediante (2.I2) se puede orientar el plano. Para ello, sea Bel conjunto de todas las
bases de E2. Si (ui , u2), (vi , v2) son dos bases, la relacion - definida por
(2.13)
es claramente de equivalencia, y parte a B en dos clases de equivalencia, las bases con
determinante positivo, y las bases con determinante negativo. Cada clase se llama una
169
orientacion de E2.
Es usual Hamar orientacion positiva a Ia clase de las bases con determinante positivo, y orientacion negativa a Ia otra. Asi, en particular, Ia base canonica ( e1 , e2) es de orientacion positiva.
3.
EL GRUPO ORTOGONAL PROPIO
Sea A=(~
o+
(2,1R)
~)una matriz ortogonal propia:
K1 = tA, det A= 1. Luego
'A=(: ; ) = A-1 =(l/d•t A) (_~
y por lo tanto a= d, b =-c. As{:
:)
=(.: :)
(3.1)
Proposicion 3.1
Sea A una matriz ortogonal propia. Entonces A conserva Ia norma.
Demostracion:
Sea A dada por (3.1), v= vl e1 + v2 e2. Asi
(3.2)
Luego:
11Av11
=llvll
2
=(av1-bv2) 2 + (bv 1 +' av 2)2=(a2+b2)(vy
2
+v~)=
~IIAvll=llvll
Proposicion 3.2
Sea A una matriz ortogonal propia. Entonces A conserva Ia orientacion del espacio.
Demostracion:
Sea (u, v) una base, (Au, A v) su base transformada por A. Se trata de ver que
det (u, v) det (Au, A v)
>0
para lo cual bastara con
170
det (u, v)
=det (Au, A v).
(3.3)
En efccto, de acuerdo a (3.2) para v y para u amilogamente,
dct (Au,Av)
=
I
"1
u2
=
au I - hu2
avi- hv2
hui +au2
hvi +av2
= (a2 + h2) (ui v2
u2 vi) =
vi!= det (u , v ).
v2
Las dos proposiciones anteriores nos dicen que las matrices ortogonales propias
satisfacen las dos condiciones (R I) y (R2) que cumplen las rotaciones. Lo interesante es
que el reciproco tamhi.en es cierto: los endomorfismos de E2 que satisfacen (RI) y (R2)
son precisamente las matrices ortogonales propias.
E2 un endomorfismo que satisfaga (RI) y (R2)· Nuestro
En efecto, sea£: E2 ohjetivo es demostrar que f e: o+ (2,IR) ; las proposiciones que siguen lo pruehan :
Proposicion 3.3
Si f conserva Ia norma entonces f es regular. 0 sea:
fcumple(RI) :::::;> fe: GL(2,R)
(3.4)
Demostracion:
Basta con ver que f es inyectiva, pues entonces transforma bases en bases. En
efccto, si f u = f v entonces II f (u v) II =II u - vii= 0, luego u = v.
Proposicion 3.4
Si £ conserva la norma entonces f conserva el producto escalar.
Demostracion:
De (2.2) resulta, para u, v e: E 2 cualesquiera:
£u. f v = ~ [ II f u + £v II 2 - II fu II 2 - II£ v 11 2 ] =
u.v
Proposicion 3.5
Si f conserva la norma entonces f es ortogonal. 0 sea:
171
(3.
Demostracion:
Hay que demostrar que Ia matriz A de { satisface K 1 =tA, para lo cual, puesto que
'AA •
(:
~)(~ ~)" (:::::
:;::g)
bastara con demostrar que
a2 +
h2
c2 + d2
ac + bd
= l
=l
(3.~
= 0
En efecto, Ia conservaci6n de Ia norma da, para el y e2 respectivamente,
que son las primeras relaciones (3.6). La tercera resulta de Ia conservaci6n del producto
escalar:
f e1 f e 2
0
= ac + bd =e1 . e 2 =0
0
Proposicion 3.6
Si f conserva Ia norma y Ia orientaci6n del espacio entonces f es ortogonal propia. 0
ua:
f cum pie (R 1) y (R2) ::::::;> f
£
o+ (2,R)
.
(3.7)
Demostracion:
Por Ia proposicion anterior ( det f) 2
efecto, (R2), habida cuenta de (2.13), da
y como det (e 1 , e2 ) = l entonces
172
= l, luego basta
demostrar que det {
> 00 En
Las proposiciones anteriores las podemos condensar en el siguiente teorema:
Teorema 3.7
Sea f: E2 ._. E2 un endomorfismo. Entonces :
En virtud de este resultado, Ia siguiente definicion es natural:
Definicion 3.1
Una rotacion es un endomorfismo de E2 cuya matriz es ortogonal propia.
4. SENOS Y COSENOS
Sea f una rotacion con matriz
Es claro que los dos numeros reales a y b determinan a f por completo. Veamos que
e8t&n instrinsecamente asociados a Ia rotacion.
En primer Iugar, de (3.1)
-1 E;;; a E;;; 1
(4.1)
-1 E;;; bE;;; 1
En segundo, resultan las dos proposiciones siguientes:
Proposicion 4.1
Para todo vector unitario u e: E2 se tiene :
a=u.fu .
(4.2)
173
Demostracion:
(~ -~)(;)=
f u::;::
u. fu =
ax - by\
( bx + ay)
(x)fax -by) = x(ax- by)+ y(bx + ay)
y \bx +ay
=
Proposicion 4.2
Para todo vector unitario u e: E2 se tiene :
~4.3)
b= det(u, fu).
Demostracion:
Sea u igual que en la proposicion anterior. Luego:
det (u, £ u) =
x
ax- by
Y
bx +ay
I
= x(bx + ay)- y(ax- by)=
Asi para conocer una rotacion £ hasta con dar la imagen £ u de cualquier vector
unitario u : a y b se calculan entonces mediante (4.2) y (4.3) respectivamente. Estos
resultados, junto con las consideraciones del parrafo l sobre angulos y rotaciones, sugieren la siguien te definicion:
Definicion 4.1
Un angulo e es una clase de pares ordenados (u, v) de vectores unitarios tales que el
segundo elemento del par sea Ia imagen por una rotacion del primero.
Es claro, de acuerdo a esta definicion, que hay tantos angulos como rotaciones. Por
consiguiente, si
es el conjunto de todos los angulos, se tiene:
a
Teorema 4.3
La aplicacion
174
r: (i ~ o+ (2, R)
e
si (u, f u)
£
~
(4.4)
r(e)=f
e, V u £ E2 unitario, es una hiyeccu)n.
A r (e) = f se le llama Ia rotacion del angulo e.
La estructura de grupo multiplicativo de o+ (2, R) se transporta sin mas al conjunto
de los angulos, escrita en notacion aditiva,. Asi (4.4) es isomorfismo de grupos
ahelianos.
Consecuencia interesante de nuestra definicion de angulo y del isomorfismo
anterior es que podemos definir el coseno y el seno de un angulo de forma
intrlnsecamente asociada a este:
a
Definicion 4.2
-!)
Sea e en angulo, r (e) =(~
su rotacion asociada. Se Haman coseno y seno del
angulo e a a y h respectivamente.
Como es usual, el coseno y el seno del angulo e se ahrevian por cos e y sen e,
respectivamente, as{ que:
r (e)=
-sen e)
cos e
(cos e
sene
(4.5)
Las proposiciones 4.1 y 4.2 nos dan la interpretacion geometrica clasica del coseno
y el seno, de acuerdo a esta definicion.
Como aplicacion sencilla de (4.5), utilizando el transporte de estructura dado en
(4.4), podemos ohtener las formulas de adicion, angulos multiples, etc, de senos y
cosenos. Por ejemplo:
Proposicion 4.4
cos (e + e') =cos e cos e'- sene sene'
(4.6)
sen (e + e') =sene cos e'+ cos e sene'
Demostracion:
Scan r (e)= (~OS e
sene
-lJene)
cos e
,
r(e') = (cos e'
sene'
-sen e)
cos e'
Luego
r (e + e')
=r(9). r(6') =
cose
sene
-sen·.e ) • (cos e:
cos e
sene
-sen e )
cos e'
=
175
cos e cos e'
- sen 8 cos 8
sene sen e)'
( sene cos e'·+ cose sene'
cos (e + e~
( sen (e + e)
cos
1
-
=
cos 8 sen 6' \
e cos e'-- sen 8 sen 8'
)
e'))
sen (6 +
cos (e + e')
de donde (4.6).
Propcsicion 4.5
(4.7;
cos (- 6) = cos e
sen (- e) = sene
Demostracion:
1 (cos e
r(-6)=[r( 8)J- = sene
cos (-8)
( sen (-8)
cos 8
- sene\ -1
cos8} = ( - sen 8
sene)
cos 8
=
sen(-8))
cos (-8)
de donde (4.7).
BIBLIOGRAFIA.
l.
MOISE, E. : Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Readin_g ,
Massachusetts, Palo Alto, London : Addison- Wesfey, 1963 .
2. BIRKHOFF, G. and MAC LANE,S. : Algebra. New York : Macmillan , 1967.
3. BIRKHOFF, G. Y MAC LANE, S.: AlgebraModerna. Barcelona: Vicens - Vives, 1954.
(Traduccion del ingles por R. Rodriguez V.)
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