BLOQUE TEMÃ TICO DOS

DIRECCIÓN DE PLANEACIÓN ACADÉMICA
SUBDIRECCIÓN DE ELABORACIÓN DE MATERIALES
EDUCATIVOS
PRIMER SEMESTRE
ASIGNATURA: Matemáticas I
”Solución de Problemas Reales”
BLOQUE TEMÁTICO DOS:
“Operaciones con Polinomios”
AUTOR: Mario Luis Flores Fuentes
ASESORA PSICOPEDAGÓGICA: Luz María García Muñoz
Material Didáctico Multimedia
Abril 2010
INTRODUCCIÓN
En el bloque temático I estudiaste las operaciones con los números reales,
razones y proporciones, series y sucesiones y lenguaje algebraico, con lo
cual desarrollaste competencias en la resolución de problemáticas situadas,
el desempeñar esas habilidades te permitirán iniciar con el estudio del
algebra|7, la cual se vale de la aritmética y sus operaciones de suma, resta,
multiplicación, división y elevación a potencias.
La finalidad del bloque temático II es que resuelvas problemáticas situadas
a través de las operaciones con polinomios, por lo que a lo largo del bloque
se te presentarán las diversas operaciones que se utilizan para resolver
dichas problemáticas. Para mejorar tus habilidades adquiridas en la
resolución de problemas, se requiere dedicación, curiosidad, investigación,
creatividad, ingenio, entre otros atributos, además de una metodología en
la cual consideres la comprensión del problema, la toma de los datos
necesarios, la elaboración de un plan de resolución para la obtención del
resultado y la comprobación del mismo, lo cual te permitirá llegar a la
meta, por lo que es importante que desarrolles tus competencias tanto
disciplinares como genéricas y que confíes en tus capacidades.
La intención del bloque temático II Solución de problemas a través de
las operaciones con polinomios es que logres argumentar y generalizar
los procedimientos de solución a diferentes problemáticas situadas, la
manera cómo vas a lograr esto es a través del aprendizaje basado en
problemas, identificando las variables y la relación entre ellas, ordenando
información y aplicando procedimientos que generen modelos matemáticos
para la resolución de problemas de diversas áreas del conocimiento
científico y humano, y así puedas explicar e interpretar los resultados
obtenidos, haciendo uso de las Tecnologías de la Información y
Comunicación (TIC).
2
PROPÓSITO
¿Qué vas a lograr?
Analizar los elementos medulares de un problema siguiendo instrucciones y
procedimientos, estructurando argumentos de manera clara, para poder
solucionar problemas en equipo que se presenten en su vida cotidiana,
reflexionando como cada paso contribuye al alcance de un objetivo.
¿Qué conocimientos desarrollarás?
Deberás argumentar y generalizar los procedimientos de solución a
diferentes situaciones problemáticas.
¿Cómo lo realizarás?
A través del aprendizaje basado en problemas ABP, donde podrás
identificar las variables y la relación entre ellas, ordenando la información y
aplicando los modelos matemáticos.
¿Para qué te va a servir?
Para poder explicar e interpretar los resultados obtenidos a la problemática
situada haciendo uso de las Tecnologías
de la Información y la
Comunicación.
3
BLOQUE TEMATICO DOS. OPERACIONES CON POLINOMIOS
1. OPERACIONES CON POLINOMIOS
1.1 Suma
1.2 Resta
1.3 Multiplicación
1.4 División
2. PRODUCTOS NOTABLES
2.1 Binomio al Cuadrado
2.2 Binomio con Término Común
2.3 Binomio Conjugado
3. FACTORIZACIÓN
3.1 Factor Común
3.2 Diferencia de Cuadrados
3.3 Trinomio Cuadrado Perfecto
3.4 Trinomio de la forma x2 + bx + c
3.5 Trinomio de la forma ax2 + bx + c
3.6 Simplificación de Expresiones Algebraicas
4
1. OPERACIONES CON POLINOMIOS
1.1 Suma
1.2 Resta
1.3 Multiplicación
1.4 División
5
1. OPERACIONES CON POLINOMIOS
Para que puedas iniciar con el estudio de este núcleo temático, es
importante que refuerces los conocimientos que tienes sobre las leyes de
los signos en las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y
división.
LEYES DE LOS SIGNOS
Los resultados de las operaciones de suma, multiplicación y división de dos
números con signos iguales o signos diferentes, te van a permitir
comprender las operaciones con polinomios. A continuación se te presentan
unas reglas sobre la forma de operar con los signos.
Suma
Regla 1
Regla 2
+
+
+
-
Regla 3
-
+
Regla 4
-
-
El resultado es positivo
Se escribe el signo del número con mayor valor
absoluto y se calcula la diferencia
Se escribe el signo del número con mayor valor
absoluto y se calcula la diferencia
Se escribe el signo menos y se suman los
números
Multiplicación y división
La tabla siguiente te muestra los signos que se obtienen al multiplicar o
dividir dos números
+
+
-
+
+
-
El
El
El
El
resultado
resultado
resultado
resultado
es
es
es
es
positivo
negativo
negativo
positivo
El siguiente es un ejemplo de cómo utilizamos las leyes de los signos en
nuestra vida cotidiana.
6
Por ejemplo.
1. El pico del monte Everest es
el punto más alto de la tierra,
tiene 8,848 msnm (metros
sobre el nivel del mar). La
mayor profundidad conocida
en
el
océano
es
de
10,911mbnm (metros bajo el
nivel de mar) se llama
Marianas Trench . ¿Cuántos
metros hay de diferencia
neta entre la cima del monte
Everest y el fondo de la fosa
de Marianas Trench?
Monte Everest
8,848 msnm
Marianas Trench
10,911 mbnm
Solución:
Figura 1. Monte Everest y a
la fosa Marianas Trench
La altura del monte Everest la puedes representar como +8848 y la
profundidad de las Marianas Trench como -10911. Si aplicas la regla 2 de
los signos para la suma, la diferencia neta se obtiene calculando la adición
8848 + (-10911), es decir:
8848 + (-10911) = -2063
Entonces -2063 m es la diferencia neta.
Cómo pudiste darte cuenta las leyes de los signos son útiles y necesarias
para comprender mejor algunos temas.
7
Operaciones con Polinomios
El álgebra trata con expresiones algebraicas, las cuales son más generales
que las expresiones numéricas y define operaciones semejantes a las
operaciones aritméticas. Las expresiones algebraicas nos permiten
desarrollar competencias para traducir al lenguaje matemático expresiones
del lenguaje coloquial y viceversa. Toda expresión algebraica es una
combinación de letras, números y signos de operación, los cuales implican
las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y elevación a
potencias cuyos exponentes son números naturales, a una expresión
algebraica de esta naturaleza se le llama polinomio. Por ejemplo:
3x,
-7x2 + 8y, 2x2 – 5xy + 8y2
En nuestro ejemplo el polinomio que consta de un sólo término se
denomina monomio (3x), el de dos se llama binomio (-7x2 + 8y) y el
que contiene tres términos se llama trinomio (2x2 – 5xy + 8y2) y cuando
una expresión tiene más de tres términos simplemente se le llama
polinomio.
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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1
Escribe en tu cuaderno la tabla y complétala, escribiendo en el
espacio correspondiente sí en caso de que sea un polinomio o
escribiendo no en caso contrario, si tu respuesta es afirmativa
escribe el nombre del polinomio.
No.
1
2
3
Expresión
5x4 – 12xy
-4ax + 13x3 – 7y
¿Es polinomio?
Nombre
9x – 2y
4
5
9
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Recuerda que un polinomio, es toda expresión algebraica que es una
combinación de letras, números y signos de operación, los cuales
implican las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y
elevación a potencias cuyos exponentes son números enteros.
No.
1
2
3
4
5
Expresión
5x4 – 12xy
-4ax + 13x3 – 7y
2𝑥
3
9x – 2y
−5
𝑥
¿Es polinomio?
Si
Si
Si
Nombre
Binomio
Trinomio
Monomio
Si
No
Binomio
El contenido de este Bloque se aborda con la siguiente problemática
situada.
EL DEPARTAMENTO DE LUJO DE MARCIAL
Marcial que es un profesor de matemáticas, construyó un departamento de
lujo con vista al mar en la Colonia Navidad, ubicada en Acapulco Guerrero
con la finalidad de irse a vivir con su familia. Empleando el lenguaje
algebraico planteo las medidas en expresiones algebraicas: la cocina es
cuadrada y mide (x + 6) de lado, la recamara tiene el mismo ancho que la
cocina y el largo de la recamara excede en 2x el ancho de la cocina. El lado
del baño que colinda con la recamara mide una tercera parte del largo de la
recamara y el ancho del baño es igual al de la cocina, como se puede
advertir en el croquis. Finalmente, el área de la sala esta dada por la
expresión algebraica (x2+14x+48) y su ancho mide (x+6). A continuación
se te muestra el croquis del departamento.
COCINA
SALA
COMEDOR
BAÑO
RECAMARA
Figura 2. Croquis del departamento
A partir de lo anterior qué te parece si apoyamos al Profesor Marcial a
responder las siguientes preguntas:
¿Cuál es el área del departamento?
¿Cómo podemos determinar la expresión algebraica del área de la cocina?
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Para dar respuesta a las preguntas planteadas, primero debes realizar la
siguiente actividad:
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2
Observa el plano del departamento del maestro Marcial y a partir de las subdivisiones
que lo componen, escribe en los recuadros del 2 al 8 las expresiones algebraicas que
determinan las medidas, toma como ejemplo el resultado escrito en el recuadro 1
5.
1. x + 6
COCINA
2.
7.
8.
COMEDOR
BAÑO
SALA
6.
RECAMARA
3.
4.
Figura 3. Plano del departamento
1. x + 6
LARGO DE LA COCINA
2. x + 6
ANCHO DE LA COCINA
3. x + 6
ANCHO DE LA RECAMARA
4. x + 6 + 2x
LARGO DE LA RECAMARA
5.
LARGO DEL BAÑO
6. x + 6
ANCHO DEL BAÑO
7. A = x2+14x+48
AREA DE LA SALA
8. x + 6
ANCHO DE LA SALA
11
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
1. x + 6
2. x + 6
8. x + 6
COCINA
COMEDOR
7. A = SALA
x2+14x+48
BAÑO
6. x + 6
3. x + 6
RECAMARA
4. x + 6 + 2x
Figura 4. Plano del departamento
Con los datos obtenidos sobre las dimensiones del departamento calculemos
el área A del departamento, primero necesitamos recordar la fórmula que
se emplea para calcular el área de un rectángulo considerando largo = b,
ancho = h, entonces:
A = largo del departamento (ancho del departamento)
por lo tanto
tenemos que:
A = bh
En el croquis observamos que el largo del departamento (LD), es largo de la
sala más el largo de la recamara, es decir:
LD = largo de la sala + largo de la recamara
que tenemos
sustituyendo la información
= ¡no se conoce! + x + 6 + 2x
Entonces debemos de calcular cuánto mide el largo de la sala LS. Analiza
los datos que conocemos de la sala.
x+6
AS = x2 + 14x + 48
Figura
LS4
Sabemos que el área AS = x2 + 14x + 48 que la base es LS y que el ancho
es x + 6 considerando que el área de un rectángulo es A = bh sustituyendo
tenemos que:
x2 + 14x + 48 = LS(x + 6)
12
Por lo tanto:
LS =
x 2 + 14x + 48
x+6
Para determinar el valor de LS necesitamos realizar una división de
polinomios y como recordarás de las operaciones aritméticas, para resolver
una división debes saber cómo se realiza la suma, la resta y la
multiplicación, lo mismo sucede en las operaciones con polinomios, por lo
que es necesario estudiar cómo se realizan estas operaciones.
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1.1 Suma
Para sumar polinomios, sumamos entre sí aquellos monomios que tengan la
misma parte literal.
El profesor Marcial también ha decidido que en la recamara se debe colocar
una alfombra que cubra totalmente el piso. ¿Cuál es el perímetro que se
alfombrara?
RECAMARA
Figura 5. Modelo de la alfombra que quiere colocar el Profesor Marcial
Tomado
de:http://img.decoesfera.com/2007/05/alfombra%20keshan%20carpet%20vista.jpg
Para determinar qué perímetro abarca la alfombra que llevará la recamara,
vamos a emplear la información que obtuviste del largo de la recamara (x +
6 + 2x) y el ancho de la misma (x + 6), observa que la recamara tiene dos
lados largos y dos lados anchos, por lo que vamos a plantear un modelo
matemático que nos permita calcular el perímetro.
Perímetro = dos largos más dos anchos
Si sustituimos los datos
tenemos que:
P = 2(x + 6 + 2x) + 2(x + 6)
multiplicando
P = 2x + 12 + 4x + 2x + 12
Si agrupamos en paréntesis los
términos que tienen la misma variable y el mismo exponente de manera
descendente, tenemos que:
P = (2x + 4x + 2x) + 12 + 12
ahora
separemos
los
coeficientes de los términos comunes, entonces:
P = (2 + 4 + 2)x + 12 + 12
Resolviendo
P = 8x + 24
Que es el perímetro de la alfombra
ANIMACION 1 NT 1 BLOQUE 2 (presentación en Power Point suma
de polinomios)
Revisemos cómo resolver sumas de polinomios cuando el exponente es
diferente de uno
Sean los polinomios P(x) = 2x3 + 5x – 3;
Q(x) = 4x – 13x2 + 9x3
Primero escribiremos la suma de manera lineal, es decir:
P(x) + Q(x) = 2x3 + 5x – 3 + 4x – 13x2 + 9x3
Agrupemos los términos semejantes
P(x) + Q(x) = (2x3 + 9x3) – 13x2 + (5x + 4x) – 3
Ahora separemos los coeficientes de los términos comunes, entonces:
P(x) + Q(x) = (2 + 9) x3 – 13x2 + (5 + 4)x – 3
14
El resultado lo obtenemos al realizar las operaciones con los coeficientes
P(x) + Q(x) = 11 x3 – 13x2 + 9x – 3
Para retroalimentar tu conocimiento sobre suma de polinomios realiza la
siguiente actividad.
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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 3
Realiza en tu cuaderno las sumas de polinomios que se te
proponen.
1. P(x) = -12x2 + 7x – 5
2. P(x) = 11x – 17
+9
4. P(x) = 5x5 – 7x3 + 8x – 4
15x
35x
Q(x) = -17 + 8x2 + 10x
más Q(x) = -26x + 13
3. P(x) = 3xy4 + 6x2 – 12y3
5. P(x) = -12x4 – 8x7
más
más
más
más
R(x) = 8x
Q(x) = 15x2 + 9y3 – 8xy4
Q(x) = -12x3 – 43x5 +
más Q(x) = 7x7 – 16x4
más
R(x) =
4
16
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Toma en cuenta que debes agrupar términos semejantes y aplicar las reglas
de los signos.
1. P(x) = -12x2 + 7x – 5
más
Q(x) = -17 + 8x2 + 10x
P(x) + Q(x) = (-12x2 + 7x – 5) + (-17 + 8x2 + 10x)
= -12x2 + 8x2 + 7x + 10x – 5 – 17
= -4x2 + 17x – 22
2. P(x) = 11x – 17
más Q(x) = -26x + 13
más
R(x) = 8x + 9
P(x) + Q(x) + R(x) = (11x – 17) + (- 26x + 13) + (8x + 9)
= 11x – 26x + 8x – 17 + 13 + 9
= - 7x + 5
3. P(x) = 3xy4 + 6x2 – 12y3
más
Q(x) = 15x2 + 9y3 – 8xy4
P(x) + Q(x) = (3xy4 + 6x2 – 12y3) + (15x2 + 9y3 – 8xy4)
= 3xy4 – 8xy4 + 6x2 + 15x2 – 12y3 + 9y3
= –5xy4 + 21x2 – 3y3
4. P(x) = 5x5 – 7x3 + 8x – 4
más
Q(x) = -12x3 – 43x5 + 15x
P(x) + Q(x) = (5x5 – 7x3 + 8x – 4) + (-12x3 – 43x5 + 15x)
= 5x5 – 43x5 – 7x3 -12x3 + 8x + 15x – 4
= –38x5 – 19x3 + 23x – 4
5. P(x) = -12x4 – 8x7
más Q(x) = 7x7 – 16x4
más
R(x) = 35x4
P(x) + Q(x) = (-12x4 – 8x7) + (7x7 – 16x4) + (35x4)
= –8x7 + 7x7 – 12x4 – 16x4 + 35x4
= –x7 + 7x4
17
1.2 Resta
Para restar polinomios, restamos entre sí aquellos monomios que tengan la
misma parte literal.
Ahora veamos cómo resolver la resta de polinomios, al polinomio P(x) = 6x3
+ 5x2 – 3x;
Restarle el polinomio Q(x) = 6x - 12x2 + 24x3
Escribimos la resta de manera lineal, es decir:
P(x) – Q(x) = 6x3 + 5x2 – 3x – (6x - 12x2 + 24x3)
Para restar polinomios, siempre que hay un signo menos antes de un
paréntesis, se le cambia el signo a todos los términos que están dentro de
él, entonces:
P(x) – Q(x) = 6x3 + 5x2 – 3x – 6x + 12x2 - 24x3
= (6x3 - 24x3) + (5x2 + 12x2) + (– 3x – 6x)
= (6 – 24)x3 + (5 + 12)x2 + (-3 – 6)x
= -18x3 + 17x2 – 9x
Realiza la siguiente actividad, la cual te permitirá practicar la resta de
polinomios.
18
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 4
Realiza en tu cuaderno las restas de polinomios que se te
proponen.
P(x) = -9x2 + 15x – 6
menos Q(x) = 23 - 8x2 + 19x
1. P(x) = 14x4 – 17x2 + 9x menos Q(x) = 26x4 + 8x2 – 7x
2. P(x) = 5xy - 4x2 – 14y2
menos
Q(x) = 6xy + 9y2 – 21x2
3. P(x) = -3x5 – 9x3 + 6x
25x
menos
Q(x) = -32x5 – 43x3 +
4. P(x) = -12x4 – 8x7 + 17
menos
Q(x) = -4x7 – 9x4 + 42
19
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Toma en cuenta que debes agrupar términos semejantes y aplicar las reglas
de los signos.
1. P(x) = -9x2 + 15x – 6
menos
Q(x) = 23 - 8x2 + 19x
P(x) – Q(x) = (-9x2 + 15x – 6) – (23 - 8x2 + 19x)
= -9x2 + 15x – 6 - 23 + 8x2 - 19x
= -9x2 + 8x2 + 15x – 19x – 6 – 23
= -x2 – 4x – 29
2. P(x) = 14x4 – 17x2 + 9x
menos
Q(x) = 26x4 + 8x2 – 7x
P(x) – Q(x) = (14x4 – 17x2 + 9x) – (26x4 + 8x2 – 7x)
= 14x4 – 17x2 + 9x - 26x4 - 8x2 + 7x
= 14x4 – 26x4 - 17x2 - 8x2 + 9x + 7x
= -12x4 - 25x2 + 16x
3. P(x) = 5xy - 4x2 – 14y2
menos
Q(x) = 6xy + 9y2 – 21x2
P(x) – Q(x) = (5xy - 4x2 – 14y2) – (6xy + 9y2 – 21x2)
= 5xy - 4x2 – 14y2 - 6xy - 9y2 + 21x2
= 5xy – 6xy - 4x2 + 21x2 – 14y2 - 9y2
= -xy + 17x2 – 23y2
4. P(x) = -3x5 – 9x3 + 6x
menos
Q(x) = -32x5 – 43x3 + 25x
P(x) – Q(x) = (-3x5 – 9x3 + 6x) – (-32x5 – 43x3 + 25x)
= -3x5 – 9x3 + 6x + 32x5 + 43x3 - 25x
= -3x5 + 32x5 – 9x3 + 43x3 + 6x - 25x
= 29x5 + 34x3 – 19x
5. P(x) = -12x4 – 8x7 + 17
menos
Q(x) = -4x7 – 9x4 + 42
P(x) – Q(x) = (-12x4 – 8x7 + 17) – (-4x7 – 9x4 + 42)
= -12x4 – 8x7 + 17 + 4x7 + 9x4 – 42
= –8x7 + 4x7 - 12x4 + 9x4 + 17 – 42
= –4x7 - 3x4 – 25
20
1.3 Multiplicación
Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cada monomio del primer
polinomio por cada polinomio del segundo. Luego sumamos aquellos
monomios con la misma parte literal.
La alfombra de la recamara se vende por metro cuadrado y se desea saber
cuál es la expresión algebraica que determina su precio, por lo tanto
debemos calcular cuánto tiene de área, para lo cual emplearemos la fórmula
del área de un rectángulo, que es:
A = (largo)(ancho)
al sustituir los datos que obtuviste de las
dimensiones del departamento, tenemos que largo = x + 6 + 2x; que el
ancho = x + 6, entonces:
A = (x + 6 + 2x)( x + 6)
resolviendo el primer paréntesis
A = (3x + 6)(x + 6)
Para multiplicar polinomios se multiplica cada término del primer polinomio
por todos los términos del segundo polinomio, observa los pasos en el
diagrama:
1º Primer término
por el binomio
(3x + 6)(x + 6) = 3x(x + 6) + 6(x + 6)
2º Segundo término por
el binomio
Resolviendo tenemos que:
A = 3x(x + 6) + 6(x + 6)
Multiplicando
se
obtiene
= 3x2 + 18x + 6x + 36
Agrupando
términos semejantes
= 3x2 + (18 + 6)x + 36
= 3x2 + 24x + 36
Esta expresión es el área
de la alfombra
y determina su precio.
ANIMACION 2 NT 1 BLOQUE 2 (presentación en PowerPoint
multiplicación de polinomios)
Apliquemos ahora la regla del diagrama para multiplicar dos polinomios, con
diferentes exponentes de la variable x.
Multiplicar P(x) = 3x2 – 5
por
Q(x) = -5x2 + 7x – 8, escribamos la
operación de manera lineal.
P(x) Q(x) = (3x2 – 5x) (-5x2 + 7x – 8)
Resolviendo
tenemos que:
= 3x2(-5x2 + 7x – 8) - 5x(-5x2 + 7x – 8)
= -15x4 + 21x3 – 24x2 + 25x3 – 35x2 + 40x
= - 15x4 + (21 + 25)x3 + (-24 – 35)x2 + 40x
= - 15x4 + 46x3 -59x2 + 40x
21
Aplica la regla mostrada en el diagrama para la multiplicación de polinomios
y efectúa la siguiente actividad.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 5
Realiza en tu cuaderno las multiplicaciones de polinomios que se te
proponen, en caso de dudas consulta con tu asesor
1. P(x) = 8x2 + 7x
por
Q(x) = 5x2 + 4x
2. P(x) = 6x3 – 3x2 + 9x
por
Q(x) = -8x2 + 3x
3. P(x) = 12x + 6x2 – 8x3
por
Q(x) = 5x – 7x2
4. P(x) = -6x3 + 9x2 - 4x
por
Q(x) = 2x2 + 7x
5. P(x) = -7x2 + 6x + 4
por
Q(x) = -3x2 – 6x + 9
22
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Es importante que apliques de manera correcta las reglas de los signos y
las leyes de los exponentes en el cálculo de los resultados.
1. P(x) = 8x2 + 7x
por
Q(x) = 5x2 + 4x
P(x)Q(x) = (8x2 + 7x)( 5x2 + 4x)
= 8x2( 5x2 + 4x) + 7x( 5x2 + 4x)
= 40x4 + 32x3 + 35x3 + 28x2
= 40x4 + 67x3 + 28x2
2. P(x) = 6x3 – 3x2 + 9x
por
Q(x) = -8x2 + 3x
P(x)Q(x) = (6x3 – 3x2 + 9x)( -8x2 + 3x)
= 6x3( -8x2 + 3x) – 3x2( -8x2 + 3x) + 9x( -8x2 + 3x)
= -48x5 + 18x4 + 24x4 – 9x3 – 72x3 + 27x2
= -48x5 + 42x4 – 81x3 + 27x2
3. P(x) = 12x + 6x2 – 8x3
por
Q(x) = 5x – 7x2
P(x)Q(x) = (12x + 6x2 – 8x3)( 5x – 7x2)
= 12x(5x – 7x2) + 6x2(5x – 7x2) – 8x3(5x – 7x2)
= 60x2 – 84x3 + 30x3 – 42x4 – 40x4 + 56x5
= 60x2 – 54x3 – 82x4 + 56x5
4. P(x) = -6x3 + 9x2 - 4x
por
Q(x) = 2x2 + 7x
P(x)Q(x) = (-6x3 + 9x2 - 4x)( 2x2 + 7x)
= -6x3(2x2 + 7x) + 9x2(2x2 + 7x) – 4x(2x2 + 7x)
= -12x5 – 42x4 + 18x4 + 63x3 – 8x3 – 28x2
= -12x5 – 24x4 + 55x3 – 28x2
5. P(x) = -7x2 + 6x + 4
por
Q(x) = -3x2 – 6x + 9
P(x)Q(x) = (-7x2 + 6x + 4)(-3x2 – 6x + 9)
= -7x2(-3x2 – 6x + 9) + 6x(-3x2 – 6x + 9) + 4(-3x2 – 6x +
9)
= 21x4 + 42x3 - 63x2 – 18x3 – 36x2 + 54x – 12x2 – 24x +
36
= 21x4 + 24x3 – 111x2 + 30x + 36
23
1.4 División
Una vez que has adquirido los conocimientos para realizar las operaciones
de suma, resta y multiplicación de polinomios, puedes abordar ahora la
división de polinomios.
Para la división debemos tomar el término de mayor grado del dividendo y
lo dividimos entre el término de mayor grado del divisor, obteniendo el
primer término del cociente. Retomemos el problema de calcular el valor del
largo de la sala LS, del departamento del profesor Marcial, entonces
tenemos que:
LS =
x 2 + 14x + 48
x+6
Escribamos la división de la manera siguiente:
x + 6 x2 + 14x + 48
Ahora dividamos el término de mayor potencia del dividendo entre el
término de mayor potencia del divisor, es decir:
𝑥2
𝑥
=𝑥
Recuerda que al exponente del numerador se le resta el exponente del
denominador, este resultado es el primer término del cociente, que al
multiplicarlo por el divisor se tiene que:
x2(x + 6) = x + 6x
Este resultado se le resta al dividendo
Recuerda que al restar un polinomio los signos de cada término
cambian
x+6
X
x2 + 14x + 48
-x2 – 6x
+ 8x + 48
Observa cómo se va obteniendo el resultado de la división:
Primer residuo
Ahora se divide el término de mayor potencia del primer residuo entre el
término de mayor potencia del divisor, es decir:
8𝑥
=8
𝑥
Este resultado es el segundo término del cociente, que al multiplicarlo por el
divisor obtenemos:
8(x + 6) = 8x + 48
Este resultado se le resta al primer residuo
24
Recuerda que al restar un polinomio los signos de cada término
cambian
Observemos la forma en que se obtiene el resultado de la división
x +8
x + 6 x2 + 14x + 48
-x2 – 6x
+ 8x + 48
- 8x - 48
0
En este caso el residuo es cero, la división ha concluido
ANIMACION 3
NT 1 BLOQUE 2 (presentación en Power Point
División de Polinomios)
Por lo que el largo de la sala es LS = x + 8
Entonces el largo del departamento es:
LD = largo de la sala + largo de la recamara
sustituyendo
= x + 8 + x + 6 + 2x
= 4x + 14
Por lo que el área del departamento es:
A = (largo del departamento) (ancho del departamento)
= (4x + 14)(2x + 12)
= 4x(2x + 12) + 14(2x + 12)
= 8x2 + 48x + 28x + 168
= 8x2 + (48 + 28)x + 168
= 8x2 + 76x + 168
Este resultado es el área del departamento, lo que contesta la primera
pregunta.
De acuerdo a la descripción que se hizo sobre la forma en que se dividen
dos polinomios, realiza la siguiente actividad.
25
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 6
Realiza en tu cuaderno las divisiones de polinomios que se te
proponen, en caso de dudas consulta con tu asesor
1. P(x) = 15x3 – 12x2 + 6x
entre
Q(x) = 3x
2. P(x) = x2 + 3x – 10
5
entre
Q(x) = x +
3. P(x) = 4x3 – x + 9
3
entre
Q(x) = 2x -
4. P(x) = x3 - 4x2 + 3x -10
x+2
entre
Q(x) = x2 –
5. P(x) = 3x4 - 15x2 – 40x + 12
3
entre
Q(x) = x –
26
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Es importante que apliques de manera correcta las reglas de los signos y
las leyes de los exponentes en el cálculo de los resultados. Recuerda que
cuando se multiplica el cociente por el divisor, el signo de cada producto
cambia, si lo consideras necesario repasa el tema.
1. P(x) = 15x3 – 12x2 + 6x
entre
Q(x) = 3x
5x2 - 4x + 2
3x 15x3 - 12x2 + 6x
-15x3
- 12x2 + 6x
+ 12x2
+ 6x
- 6x
0
2. P(x) = x2 + 3x – 10
x+5
entre
Q(x) = x + 5
x -2
x2 + 3x - 10
-x – 5x
- 2x - 10
+ 2x + 10
0
27
3. P(x) = 4x3 – x + 9
entre
Q(x) = 2x – 3
2x + 3x + 4
4x3 + 0x2 – x + 9
-4x3 + 6x2
+ 6x2 - x + 9
- 6x2 + 9x
+ 8x + 9
- 8x + 12
21
2
2x - 3
P(x) = x3 - 4x2 + 3x -10
x2 –x + 2
entre
x -3
x3 - 4x2 + 3x - 10
-x3 + x2 - 2x
- 3x2 + x - 10
+ 3x2 - 3x + 6
- 2x - 4
P(x) = 3x4 - 15x2 – 40x + 12
entre
Q(x) = x – 3
3x + 9x + 12x – 4
3x4 + 0x3 - 15x2 – 40x + 12
-3x4 + 9x3
+ 9x3 - 15x2 – 40x + 12
- 9x3 + 27x2
+12x2 –40x + 12
- 12x2 +36x + 12
- 4x + 12
+ 4x - 12
0
3
x-3
Q(x) = x2 – x + 2
2
¿QUIERES SABER MÁS?
Sobre las operaciones con polinomios consulta la siguiente página
web y realiza los ejercicios que se proponen.
http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1068
28
RESUMEN
El esquema te presenta los temas revisadas en este núcleo
O
P
E
R
A
C
I
O
N
E
S
C
O
N
P
O
L
I
N
O
M
I
O
S
SUMA
RESTA
 Aplicar las leyes de los signos en las
operaciones con polinomios.
 Reducir términos semejantes.
MULTIPLICACIÓN
 Aplicar las leyes de los exponentes en
las operaciones de multiplicación y
división.
 Resolver problemas que requieran el
cálculo
de
perímetros,
áreas
y
volúmenes.
DIVISIÓN
Las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y división de
números reales, son el eje de la enseñanza y el aprendizaje de matemáticas
elementales, la comprensión de los algoritmos para realizar las operaciones
mencionadas, te permitieron efectuar las operaciones algebraicas de suma,
resta, multiplicación y división de polinomios que contempla el núcleo
temático I del Bloque II.
Las cuatro operaciones estudiadas son utilizadas en la solución de
problemas de la vida cotidiana como el planteado en el departamento de
lujo del profesor Marcial y en general para calcular perímetros, áreas y
volúmenes.
29
En la actualidad se presentan con frecuencia problemáticas de distintas
áreas del conocimiento y de la vida cotidiana, que requieren una toma de
decisiones basadas en la interpretación de tablas gráficas y ecuaciones, por
lo que es importante que continúes con tu aprendizaje, con el objetivo
adquirir más competencias en matemáticas, que te permitan afrontar con
éxito situaciones cotidianas que lo requieran.
30
2.
PRODUCTOS NOTABLES
2.1 Binomio al Cuadrado
2.2 Binomio con Término Común
2.3 Binomio Conjugado
31
2. PRODUCTOS NOTABLES
En este núcleo temático, vamos a abordar el estudio de algunos productos
notables (binomio al cuadrado, binomios con término común y binomios
conjugados), estos productos son multiplicaciones que se presentan con
frecuencia en matemáticas, son multiplicaciones que se rigen por reglas
fijas, por lo que su resultado acorde al producto de que se trate, puede
calcularse mentalmente o por simple inspección. Por lo que debes retomar
las competencias que adquiriste sobre las leyes de los signos en las
operaciones aritméticas de suma y multiplicación de polinomios y las leyes
de los exponentes en la multiplicación de polinomios, por ejemplo:
En la terraza del departamento del profesor Marcial hay una planta, en la
cual se construye una casa para un ave con las medidas que se muestran
en la figura. ¿Cuál es el volumen que el ave tiene como casa?.
Figura 6. Casa del ave en la terraza
Tomada de:
Randall C. (1999). MIDDLE SCHOOL MATH. Scott Foresman – Addison Wesley. USA. 1999.
Página 551.
Escribamos primero un enunciado que represente la solución del cálculo del
volumen de la casa.
Volumen de la casa = volumen del cubo más volumen del prisma triangular
Recuerda que el volumen de un cubo se calcula como (lado)(lado)( lado) y
que el volumen del prisma triangular se calcula como
(1/2)
(largo)(ancho)(altura).
32
Sustituyendo en nuestro enunciado los datos de la casa tenemos que:
Vcasa =
=
=
=
(2a)(2a)(2a) + (1/2)(2a)(2a)(2a + 2)
8a3 + (1/2)(8a3 + 8a2 )
8a3 + 4a3 + 4a2
12a3 + 4a2
33
2.1 Binomio al Cuadrado
Un binomio al cuadrado es una ecuación con dos términos y los cuales están
elevados al cuadrado. Si tienes claro el significado, podrás ayudar al Prof.
Marcial a resolver la siguiente pregunta.
¿Cómo calculamos el área de la cocina?
Resolvamos ahora la pregunta del área de la cocina, retomando los datos
que obtuviste del plano del departamento del Profesor Marcial.
x +6
Cocina
x +6
Con las respuestas 1 y 2 del croquis del departamento calculemos el área
de la cocina.
A = lado (lado)
Entonces
A= (x + 6)(x + 6)
2
= lado
Sustituyendo
= (x + 6)2
Resolviendo
= x2 + 12x + 36
El resultado obtenido x2 + 12x + 36 es la
expresión algebraica del área de la cocina que es la respuesta a la
segunda pregunta
¿Cómo resolvemos un binomio al cuadrado?
Observa los pasos para elevar un binomio al cuadrado en el siguiente
diagrama:
1º Cuadrado del
primer término x
3º Cuadrado del
segundo término 6
(x + 6)2 = x2 + 12x + 36
2º Dos veces el primer
término por el segundo “x”
por seis
34
ANIMACION 1 NT 2 BLOQUE 2 (presentación en Power Point binomio al
cuadrado)
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 7
Analiza el diagrama anterior en el que se te mostró en tres pasos, el
desarrollo de un binomio al cuadrado y escribe sobre las líneas una regla que
te permita elevar cualquier binomio al cuadrado.
_______________________________________________________
_______________________________________________________
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Analiza el diagrama anterior en el que se te mostró en tres pasos, el
desarrollo de un binomio al cuadrado y escribe sobre las líneas una regla
que te permita elevar cualquier binomio al cuadrado.
El resultado de elevar un binomio al cuadrado es: el cuadrado del
primer término más dos veces el primer término por el segundo
término, más el cuadrado del segundo término.
Aplica la regla para elevar un binomio al cuadrado y realiza la siguiente
actividad:
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 8
Resuelve en tu cuaderno los binomios al cuadrado.
1. (x + 7)2 =
2. (x - 6)2 =
3. (2x + 3)2 =
4. (4x - y)2 =
5. (6xy - 9)2 =
35
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Resuelve en tu cuaderno los binomios al cuadrado, en caso de dudas
consulta con tu asesor.
1. (x + 7)2 = x2 + 2(7)(x) + (7)2
= x2 + 14x + 49
2. (x - 6) = x2 + 2(-6)(x) + (-6)2
2
= x2 - 12x + 36
3. (2x + 3)2 = (2x)2 + 2(3)(2x) + (3)2
= 4x2 + 12x + 9
4. (4x - y) = (4x)2 + 2(-y)(4x) + (-y)2
2
= 16x2 – 8xy + y2
5. (6xy - 9) = (6xy)2 + 2(-9)(6xy) + (-9)2
2
= 36x2 y2 – 108xy + 81
Existen otro tipo de productos notables, algunos de ellos son, el producto de
binomios con término común y producto de binomios conjugados.
36
2.2 Binomio con término Común
Un binomio con un término común es aquel que tiene un término común, es
decir, que todos tienen aquel termino, ejemplos: (x+5) y (x+3)
El termino común de estos binomios es x.
Para calcular el resultado de este tipo de binomios veamos los siguientes
diagramas
1º El término común x se
eleva al cuadrado
2º Se suman los términos
no comunes (a + b) y el
resultado se multiplica por
el término común “x”
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
3º Se multiplican los términos no
comunes a( b)
Ejemplos:
1º El término común x se
eleva al cuadrado
1.
2º Se suman los términos no
comunes (15 +6) y el
resultado se multiplica por el
término común “x”
(x + 15) (x + 6) = x2 + 21x + 90
3º Se multiplican los términos no
comunes 15(6)
2.
1º El término común x se
eleva al cuadrado
(x - 23) (x + 9) = x2 -14x - 207
1º El término común x se
eleva al cuadrado
2º Se suman los términos no
comunes (-23+9) y el
resultado se multiplica por el
término común “x”
2º Se suman los términos no
comunes (-27-6) y el
resultado se multiplica por el
término común “x”
3.
(x - 27) (x - 6) =
3º Se multiplican los términos no
x2comunes
- 33x -23(9)
+ 162
37
3º Se multiplican los términos no
comunes -27(-6)
Los diagramas te muestran la forma en que se calculan los resultados de la
multiplicación de binomios con término común “x” y los casos de signos
diferentes para los términos no comunes, Ahora realiza la siguiente
actividad.
38
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 9
Calcula el resultado de la multiplicación de binomios con término común,
para cada ejercicio escribe de manera directa el resultado.
1. (x + 9)(x + 15) =
2. (x - 21)(x + 17) =
3. (x - 8)(x – 13) =
4. (3x - 3)(3x + 6) =
5. (7x + 14)(7x – 11) =
39
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Calcula el resultado de la multiplicación de binomios con término común,
para cada ejercicio escribe de manera directa el resultado, en caso de dudas
consulta con tu asesor.
1. (x + 9)(x + 15) = x2 + (9 + 15)x + (9)(15)
= x2 + 24x + 135
2. (x - 21)(x + 17) = x2 + (-21 + 17)x + (-21)(17)
3. (x - 8)(x – 13)
= x2 - 4x - 357
= x2 + (-8 - 13)x + (-8)(-13)
= x2 - 21x + 104
4. (3x - 3)(3x + 6) = (3x)2 + (-3 + 6)(3x) + (-3)(6)
= 9x2 + 9x - 18
5. (7x + 14)(7x – 11) = (7x) + (14 – 11)7x + (14)(-11)
2
=
49x2 + 21x - 154
40
2.3 Binomio Conjugado
El binomio conjugado de uno dado, es otro binomio que se diferencia
únicamente por el signo de uno de los términos.
Por ejemplo: a – b es el binomio conjugado de a + b.
También se suele decir que a – b es el conjugado del binomio a + b.
Producto de dos binomios conjugados
El producto de dos binomios conjugados es un producto notable y su
resultado es una diferencia de cuadrados perfectos:
Ejemplo:
Para obtener el resultado del producto de dos binomios conjugados se
representa en el diagrama siguiente:
1º El primer término
de cada binomio se
eleva al cuadrado
2º Siempre se escribe el
signo menos
(x + y) (x – y) = x2 - y2
3º El segundo término de cada
binomio se eleva al cuadrado
41
Ejemplos:
1.
1º El primer término
de cada binomio se
eleva al cuadrado
2º Siempre se escribe el
signo menos
(x + 14) (x – 14) = x2 - 196
2.
3º El segundo término de cada
1º El primer binomio
término se eleva al cuadrado
de cada binomio se
2º Siempre se escribe el
eleva al cuadrado
signo menos
(2x - 9) (2x + 9) = 4x2 - 81
3º El segundo término de cada
binomio se eleva al cuadrado
42
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 10
Realiza las multiplicaciones de binomios conjugados, escribe los resultados
de manera directa.
1. (x + 7)(x - 7) =
2. (x - 8)(x + 8) =
3. (5x - 6)(5x + 6) =
4. (9 + 11x)(9 – 11x) =
5. (3x + 2y)(3x – 2y) =
43
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Realiza las multiplicaciones de binomios conjugados, escribe los resultados
de manera directa, en caso de dudas consulta con tu asesor.
1. (x + 7)(x - 7) = x2 – 49
2. (x - 8)(x + 8) = x2 – 64
3. (5x - 6)(5x + 6) = 25x2 – 36
4. (9 + 11x)(9 – 11x) = 81 - 121x2
5. (3x + 2y)(3x – 2y) = 9x2 – 4y2
¿QUIERES SABER MÁS? Sobre productos notables, consulta la
siguiente página y realiza los ejercicios que se proponen.
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/de
partamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurs
o/tests/identidadesnotables/productos/productos01.htm
44
RESUMEN
El esquema te presenta los temas revisadas en el núcleo 2
P
R
O
D
U
C
T
O
S
N
O
T
A
B
L
E
S
BINOMIO AL CUADRADO
BINOMIO CON TÉRMINO
COMÚN
BINOMIO CONJUGADO
Además de aprender la forma en qu
se desarrollan los productos notables
empleaste las competencias para:
 Aplicar las leyes de los signos en l
multiplicación
 Aplicar las leyes de los exponente
en la multiplicación.
 Resolver problemas que requiera
el cálculo de áreas de cuadrados.
Con el estudio de los productos notables binomio al cuadrado, binomio con
término común y binomio conjugado, vas adquiriendo otras competencias
matemáticas que te preparan para dar solución a diversas situaciones de la
vida cotidiana, en las que se involucren entre otras, problemas relacionados
con áreas.
Cuando te propones resolver una situación problemática en la que debas
usar herramientas matemáticas, es necesario que apliques tus capacidades
y competencias que has asimilado, de manera tal que logres interactuar
con el medio que te rodea, por lo que se te invita a que continúes
preparándote, con el estudio del bloque temático III con la finalidad de que
amplíes tus conocimientos , capacidades y aptitudes, para que puedas
desempeñarte de manera solvente en la resolución de problemas de
diversas áreas del conocimiento.
45
3. FACTORIZACIÓN
3.1 Factor Común
3.2 Diferencia de Cuadrados
3.3 Trinomio Cuadrado Perfecto
3.4 Trinomio de la forma x2 + bx + c
3.5 Trinomio de la forma ax2 + bx + c
3.6 Simplificación de Expresiones Algebraicas.
46
3. FACTORIZACIÓN
En núcleo temático III se aborda el estudio de la factorización, la cual se
revisa a través de la relación que tiene con los productos notables, veamos
como en el siguiente ejemplo:
El profesor Marcial eligió diseñar su departamento en ese lugar, porque a
100 m de ahí existe una zona ecológica en la que hay venados, cuyo hábitat
tiene las dimensiones mostradas en la figura.
Figura 6. Zona ecológica cercana al departamento de Marcial.
Tomada de:
Dugopolski M. (2006). Intermediate Algebra. fifth edition. Mc Graw Hill. USA. Página 333.
¿Cuál es la expresión algebraica que determina el área de hábitat de los
animales?
Para dar solución a la pregunta construyamos una figura auxiliar
8 – 2x
X
X
X
X
A 8 Km. se le sustrae una x de cada lado
10 – 2x
10 – 2x
A 10 Km. se le sustrae una x de cada lado
47
Por lo que el área del hábitat de los venados es:
A = (10 – 2x)(8 – 2x)
Este producto lo podemos reescribir como:
= (-2x + 10)(-2x + 8)
Aplicando el producto de binomios con término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
= 4x2 + (10 + 8)(-2x) + 80
= 4x2 + (18)(-2x) + 80
= 4x2 - 36x + 80
Que es el área solicitada
Como puedes ver la solución algebraica es:
(-2x + 10)(-2x + 8) = 4x2 - 36x + 80
Ya que es una igualdad podemos escribir que:
4x2 - 36x + 80 = (-2x + 10)(-2x + 8)
Que es el producto de dos binomios
contérmino común
A este proceso inverso de escribir
como producto una expresión
algebraica
se
le
llama
factorización.
Existe varios tipos de factorización los cuales revisaremos a continuación
48
3.1 Factor común
Se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos
tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de
los dos). Ejemplo:
En la actividad de aprendizaje I identificaste las subdivisiones del
departamento del profesor Marcial, asociando al largo de la recamara x + 6
+ 2x = 3x + 6, esta expresión se puede reescribir como se muestra en el
diagrama.
3x + 6 Se ha descompuesto en factores
3x + 6 = (3)(x) + (3)(2)
= 3(x + 2)
El número 3 es factor común
de los dos términos
Este resultado se conoce como factorización por factor común
Factorizar un polinomio, significa descomponerlo en dos o más polinomios llamados
factores, de manera que al multiplicarlos entre sí obtengamos el polinomio original.
Veamos los siguientes ejemplos de factorización por factor común:
1.
x + x2 = x(1) + x (x)
Se ha descompuesto en factores, “x” es factor
común
= x(1 + x)
Es el resultado de la factorización
2.
5x3y – 10x2z + 15xw = 5xxxy – 5(2)xxz + 5(3)xw
entonces:
= 5x(xxy – 2xz + 3w)
= 5x(x2y– 2xz + 3w)
factor común 5x,
Resolviendo
3.
3x2 – 6x + 2x – 4 = (3x2 – 6x) + (2x – 4)
Agrupando en parejas
= (3xx – 3[2]x) + (2x – 2[2])
Descomponiendo en
factores
Factores comunes de cada
= (3xx - 3[2]x) + (2x – 2[2])
pareja 3x, 2, entonces:
= 3x(x – 2) + 2(x – 2)
Factor común de cada término x
-2
= (x – 2)(3x + 2)
49
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 11
Realiza en tu cuaderno la factorización por factor común de las expresiones
algebraicas y envía tus respuestas a tu asesor para que te haga las
correcciones en caso necesario.
1. x3 – x2 =
2. -8x4 – 2x3 + 4x2 =
3. 20x3y2 – 40x2y3 + 30x2y2 =
4. -7x4a + 21x4b – 14x4c =
5. a(x – 1) + b(x – 1) =
6. y(x + 3) – 4(x + 3) =
7. xy + 5y -3x – 15 =
8. 2x2 – 4xa – 3xa + 6a2 =
50
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Realiza en tu cuaderno la Factorización por factor común de las expresiones
algebraicas y envía tus respuestas a tu asesor para que te haga las
correcciones en caso necesario.
1. x3 – x2 = x2 (x – 1)
2. -8x4 – 2x3 + 4x2 = 2x2 (-4x2 – x + 2)
3. 20x3y2 – 40x2y3 + 30x2y2 = 10x2y2(2x – 4y + 3)
4. -7x4a + 21x4b – 14x4c = -7x4(a – 3b + 2c)
5. a(x – 1) + b(x – 1) = (a + b)(x – 1)
6. y(x + 3) – 4(x + 3) = (y – 4)(x + 3)
7. xy + 5y -3x – 15 = y(x + 5) -3(x + 5)
= (y – 3)(x + 5)
8. 2x – 4xa – 3xa + 6a2 = 2x(x – 2a) -3a(x – 2a)
2
= (2x – 3a)(x – 2a)
51
3.2 Factorización de diferencia de cuadrados
Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el
producto de sus factores racionales y enteros, primos entre si.
Para realizar este tipo de factorizaciones recordemos cómo se calcula el
resultado del producto de dos binomios conjugados.
(x - 5)(x + 5) = x2 – 25
El proceso inverso es:
x2 – 25 = (x – 5)(x + 5)
De manera general si tienes una diferencia de cuadrados, su factorización la
puedes realizar aplicando la regla siguiente:
Raíz
cuadrada
Raíz
cuadrada
x2 – 49 = (x – 7)(x + 7)
Un signo es positivo
y el otro negativo
52
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 12
Realiza en tu cuaderno la factorización de la diferencia de cuadrados y envía
tus respuestas a tu asesor para que te haga las correcciones en caso
necesario.
1. x2 - 4 =
2. 9 - x2 =
3. 4x2 - 16=
4. 25 - 16x2c2 =
5. 49y2 – 100x2 =
6. x4 – y4 =
53
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Realiza en tu cuaderno la Factorización de la diferencia de cuadrados y
envía tus respuestas a tu asesor para que te haga las correcciones en caso
necesario.
1. x2 - 4 = (x – 2)(x + 2)
2. 9 - x2 = (3 – x)(3 + x)
3. 4x2 - 16= (2x – 4)(2x + 4)
4. 25 - 16x2c2 = (5 – 4xc)(5 + 4xc)
5. 49y2 – 100x2 = (7y – 10x)(7y + 10x)
6. x4 – y4 = (x2 – y2)(x2 + y2)
= (x – y)(x + y) )(x2 + y2)
54
3.3 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
Utilicemos el resultado del área de la cocina (x + 6)2 = x2 + 12x + 36,
como es una igualdad la podemos escribir de la siguiente manera x2 + 12x
+ 36 = (x + 6)2 este binomio al cuadrado es la factorización del trinomio
cuadrado perfecto. Para aplicar la regla de factorización, primero debemos
comprobar que se trata de un trinomio cuadrado perfecto.
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término está
elevado al cuadrado y el segundo término es dos veces las raíces
cuadradas, revisemos cómo se factoriza un trinomio cuadrado perfecto.
1.
Factorizar
x2 +
12x + 36
Esta al
cuadrado su
raíz es “x”
Esta al
cuadrado su
raíz es “6”
Es dos veces las
raíces cuadradas
2(x)(6)
Cumple con ser trinomio cuadrado perfecto que se factoriza como:
Raíz
cuadrada
Raíz
cuadrada
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
Resultado de la
factorización
Signo
55
Veamos otro ejemplo:
Factorizar
4x2 - 20x + 25y2
Esta al
cuadrado su
raíz es “2x”
Esta al cuadrado
su raíz es “5y”
Es dos veces las
raíces cuadradas
2(2x)(5y)
Cumple con ser trinomio cuadrado perfecto que se factoriza como:
Raíz
cuadrada
Raíz
cuadrada
4x2 - 20x + 25y2 = (2x – 5y)2
Resultado de la
factorización
Signo
ANIMACION 1 NT 3 BLOQUE 2
Factorización TCP)
(presentación en Power Point
56
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 13
Factoriza los trinomios cuadrados perfectos en tu cuaderno y consulta con tu
asesor las dudas que se te presenten para que te haga las aclaraciones
correspondientes.
1. x2 + 10x + 25=
2. x2 – 8x + 16 =
3. 100 – 20x + x2 =
4. 16x2 + 24xy + 9y2 =
5. 49x2 – 126xy + 81y2 =
57
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Factoriza los trinomios cuadrados perfectos en tu cuaderno y consulta con
tu asesor las dudas que se te presenten para que te haga las aclaraciones
correspondientes.
1. x2 + 10x + 25= (x + 5)2
2. x2 – 8x + 16 = (x – 4)2
3. 100 – 20x + x2 = (10 – x)2
4. 16x2 + 24xy + 9y2 = (4x + 3y)2
5. 49x2 – 126xy + 81y2 = (7x – 9y)2
58
3.4 Factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c
Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el
producto de sus factores racionales y enteros, primos entre si.
Revisemos como se descomponen en factores el trinomio x2 + 7x + 10
Primero se escriben dos paréntesis (
)(
)
El primer término de cada paréntesis es x, (x
)(x
)
Ahora tenemos que determinar dos números que al sumarlos
algebraicamente nos den cómo resultado 7 y que esos mismos números al
multiplicarlos den como resultado 10.
Los únicos números enteros que cumplen con esas condiciones son +2 y
+5
ya que 2 + 5 = 7
y 2(5) = 10
Entonces la factorización queda
como:
x2 + 7x + 10 = (x + 2) (x + 5)
Nota: la factorización también se puede escribir como:
x2 + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2)
Factoricemos ahora el trinomio x2 – 6x – 16
Primero
(
)(
)
Segundo
(x
)(x
)
Tercero los únicos números cuya suma es -6 y que multiplicados dan -16
son -8, + 2 ya que
-8 + 2 = -6
y
-8(+2) = -16
entonces la
factorización es:
x2 – 6x – 16 = (x – 8)(x + 2)
ANIMACION 2 NT 3 BLOQUE 2
factorización trinomios1
(presentación en Power Point
59
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 14
Efectúa la factorización de cada trinomio en tu cuaderno y consulta con tu
asesor las dudas que se te presenten para que te haga las aclaraciones
correspondientes.
1. x2 + 10x + 21=
2. x2 – 9x + 20 =
3. x2 +18x + 45=
4. x2 - 5x - 84 =
5. x2 + 7x - 144 =
60
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Efectúa la Factorización de cada trinomio en tu cuaderno y consulta con tu
asesor las dudas que se te presenten para que te haga las aclaraciones
correspondientes.
1. x2 + 10x + 21= (x + 3)(x + 7)
2. x2 – 9x + 20 = (x – 5)(x – 4)
3. x2 +18x + 45= (x + 3)(x + 15)
4. x2 - 5x - 84 = (x – 12)(x + 7)
5. x2 + 7x - 144 = (x – 9)(x + 16)
61
3.5 Factorización de trinomios de la forma ax2 + bx + c
En los trinomios de la forma: ax2 + bx + c, se diferencia el coeficiente del
término cuadrático inicial es distinto de 1. Ejemplos de esta clase de
trinomios son:
2x²+11x+5,
3a²+7a-6,
10n²-n-2
y
7m²-23m+6.
La regla para factorizar este tipo de trinomios se explica mediante el
siguiente
ejemplo:
Suponiendo que se desea factorizar: 6x2 - 7x – 3, primeramente se
multiplica el trinomio por el coeficiente del término cuadrático, dejando
indicado el producto en el segundo y cambiando el orden de los factores en
dicho
término:
36x² - 6(7x) – 18 = 36x² - 7(6x) - 18
Cuando se tienen trinomios cuadrados en los que el coeficiente de “x” es
diferente de uno la factorización se efectúa de la siguiente manera:
Ejemplos:
Factorizar el trinomio
5x2 – 13x - 6
Primero se multiplica el coeficiente del término cuadrático por el término
independiente, es decir:
5(-6) = -30
Ahora debemos obtener dos números que multiplicados den -30 y que al
sumarlos se obtenga -13, estos son - 15 y 2, ya que
-15 + 2 = - 13
y
-15(2) = -30
Utilizando los números obtenidos reescribamos la ecuación original como:
5x2 – 13x – 6 = 5x2 – 15x + 2x – 6
Agrupando
= (5x2 – 15x) + (2x – 6)
Factorizando
= 5x(x – 3) + 2(x – 3)
Aplicando
factor
común
= (x – 3)(5x + 2)
ANIMACION 3 NT 3 BLOQUE 2
factorización trinomios2)
(presentación en PowerPoint
62
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 15
Resuelve en tu cuaderno la factorización de cada trinomio, aplicando el
procedimiento revisado, consulta con tu asesor las dudas que se te
presenten para que te haga las aclaraciones correspondientes en caso
necesario.
1. 18x2 + 3x – 10 =
2. 6x2 + 5x – 6 =
3. 7x2 – 29x + 4 =
4. 6x2 – 11x – 10 =
5. 20x2 + 37x + 15 =
Autoevaluación
Analiza las soluciones y en caso necesario consulta con tu asesor las dudas
que se te presenten, para que te haga las aclaraciones correspondientes.
1. 18x2 + 3x – 10 = 18x2 + 15x – 12x – 10
= 3x(6x -5) – 2(6x – 5)
= (3x – 2)(6x – 5)
2. 6x2 + 5x – 6 = 6x2 – 4x + 9x – 6
= 2x(3x – 2) + 3(3x – 2)
= (2x + 3)(3x – 2)
3. 7x2 – 29x + 4 = 7x2 – 28x – x + 4
= 7x(x – 4) – 1(x – 4)
= (7x – 1)(x – 4)
4. 6x2 – 11x – 10 = 6x2 – 15x + 4x – 10
= 3x(2x – 5) + 2(2x – 5)
= (3x + 2)(2x – 5)
5. 20x2 + 37x + 15 = 20x2 + 12x + 25x + 15
= 4x (5x + 3) + 5(5x + 3)
= (4x + 5)(5x + 3)
63
3.6 Simplificación de expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es un valor desconocido compuesto por letras,
números y/o símbolos matemáticos para representar sumas (+), restas (), multiplicación (×) o división (÷). Un número solo o una letra sola se
consideran una expresión algebraica. Podemos tener una expresión verbal y
traducirla a una expresión algebraica o simbólica. Podemos evaluarla si los
valores numéricos de las variables son conocidos. Podemos simplificarlas
utilizando algunas de las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa,
identidad, inverso, y distributiva.
1. Simplificar la expresión
Como ya identificaste x2 – 9 es una diferencia de cuadrados, la cual se
factoriza como:
x2 – 9 = (x - 3)(x + 3)
Entonces considerando la factorización de la diferencia de cuadrados y
reescribiendo la expresión original tenemos:
Simplificando
El resultado es:
2. Realizar la operación y simplificar a su mínima expresión
Puedes observar que en el primer cociente las dos expresiones son
trinomios de la forma
x2 + bx + c recuerda que se factorizan como:
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
x2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)
64
En el segundo cociente hay dos diferencias de cuadrados, que se factorizan
como:
x2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
x2 - 25 = (x - 5)(x + 5)
Rescribamos la operación planteada como el cociente de la factorizaciones
realizadas, entonces tenemos que:
Aplicando la propiedad de la división
de fracciones tenemos que:
Simplificando
El resultado es:
En el desarrollo de los ejemplos anteriores habrás notado que para
simplificar las expresiones algebraicas fue necesario retomar tus
conocimientos que adquiriste sobre productos notables y factorización.
Aplica los casos de factorización por factor común, de una diferencia de
cuadrados, de un trinomio cuadrado perfecto, trinomios de la forma x2 +
bx + c y trinomios de la forma ax2 + bx + c, para realizar la siguiente
actividad.
65
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 16
Aplica tus conocimientos sobre productos notables y factorización para
simplificar las expresiones algebraicas, realiza las operaciones en tu
cuaderno, en caso de duda consulta con tu asesor, para que te haga las
aclaraciones correspondientes.
AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Checa tus respuestas con los resultados, en caso de duda consulta con tu
asesor, para que te haga las aclaraciones correspondientes.
1.
=
1
(𝑥+5)
2.
=
3.
𝑥−5
(𝑥 − 5)
=
(𝑥 − 5)(𝑥 + 5))
− 25
𝑥2
𝑥 + 10
(𝑥 + 10)
=
(𝑥 − 10)(𝑥 + 10)
− 100
𝑥2
1
𝑥−10
6 x 2 - 11x-2
6x 2 -12x + x-2
=
6 x 2 + 19x + 3
6x 2 + 18x + x + 3
=
=
=
6x(x-2)+ 1(x-2)
6x(x+3)+ 1(x+3)
(6x+1)((x-2))
(6x+1)(x+3)
(x-2)
(x+3)
x2- 9
x 2 + 5x + 6
(x 2 - 9)(x 2 - 4)
4. 2
÷
= 2
x - 5x + 6
x2- 4
(x - 5x + 6)(x 2 + 5x + 6)
=
(x- 3)(x+3)(x-2)(x+2)
(x-3)(x-2)(x+2)(x+3)
=1
66
5.
2x+8
x2 - 16
+
3x+2
3x2 +11x+6
=
(2x+8)(3x2 + 11x+6)+ (3x+2)(x2 - 16)
(x2 - 16)(3x2 + 11x+6)
=
2(x+4)(3x+2)(x+3)+ (3x+2)(x-4)(x+4)
(x-4)(x+4)(3x+2)(x+3)
=
=
=
=
[(3x+2)(x+4)][2(x+3)+ (x-4)]
(x-4)(x+4)(3x+2)(x+3)
2(x+3)+ (x-4)
(x-4)(x+3)
2x+6+x-4
(x-4)(x+3)
3x-2
(x-4)(x+3)
¿QUIERES SABER MÁS? SOBRE FACTORIZACION
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/de
partamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurs
o/tests/polinomios/factorizacion/factorizacion01.htm
67
RESUMEN
El esquema te presenta los temas revisadas en el núcleo 3
F
A
C
T
O
R
I
Z
A
C
I
Ó
N
FACTOR COMÚN
DIFERENCIA DE CUADRADOS
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
SIMPLIFICACIÓN
DE
EXPRESIONES RACIONALES
Para que tuvieras éxito en el tema
factorización,
fue
necesario
q
aplicaras
las
competenc
matemáticas adquiridas sobre la form
en que se desarrollan los produc
notables,
binomio
al
cuadrad
diferencia de cuadrados y binomios c
término común, además de aplicar
leyes de los signos y las leyes de
exponentes en la multiplicación, por
que
ahora
cuentas
con
conocimiento suficientes para abord
problemas que requieren del cálculo
perímetros y áreas, entre otros.
Con el estudio de este núcleo temático has establecido relaciones entre los
productos notables y la Factorización, adquiriste la capacidad de apreciar
patrones y regularidades, lograste deducir consecuencias, desarrollando tu
capacidad de analizar razonar y comunicar de manera escrita tus
resultados, este aprendizaje te va guiando en la comprensión de la utilidad
de las matemáticas en diferentes ámbitos, te lleva al terreno de la
resolución de problemas con herramientas matemáticas cada vez más
eficaces.
68
RECAPITULACIÓN
¿Qué aprendiste en el Bloque 2?
A realizar operaciones con polinomios
BLOQUE TEMÁTICO II
Aprendiste a
Construir, interpretar y argumentar
la solución a problemáticas situadas
Como
El Departamento de lujo de Marcial
Resolviste
Diferenciaste
Operaciones con
polinomios.
 Suma
 Resta
 Multiplicación
 División
Productos notables.
 Binomio al
cuadrado
 Binomio con
término común
 Binomio
conjugado
A
través de
Aplicaste
Factorización.
 Factor común
 Diferencia de
cuadrados
 Trinomio cuadrado
perfecto
 Trinomio de la forma
x2 + bx + c
 Trinomio de la forma
ax2 + bx + c
 Simplificación de
expresiones
algebraicas racionales
Preguntas que te den la oportunidad de reflexionar, un organizador
anticipado que te permitió tener presentes los conocimientos previos.
Como: mediante actividades de aprendizaje que te sirvieron de apoyo en
el desarrollo de los núcleos temáticos y la autoevaluación a través del
aprendizaje basado en problemas (ABP) donde mediste el logro de tus
competencias en la resolución de las problemáticas situadas. Para: Aplicar
procedimientos que generen modelos matemáticos para la resolución de
problemas de diversas áreas del conocimiento científico y humano, y así
puedas explicar e interpretar los resultados obtenidos, haciendo uso de las
Tecnologías de
69
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN
A continuación se te presentan unos ejercicios en los cuales debes aplicar
tus competencias matemáticas, realizando razonamientos bien fundados y
de manera variada por lo que se requiere que hayas comprendido los
núcleos temáticos de operaciones con polinomios, productos notables y
factorización.
Resuelve en tu cuaderno correctamente lo que se te solicita, no omitas
operaciones en el proceso de solución y consulta con tu asesor en caso
necesario.
ABP 1
1. En la sala del departamento de lujo de Marcial se desea colocar una
pecera cuyas medidas están expresadas algebraicamente como: volumen
V = h3 + 5h2 + 6h. altura h + 2, el ancho h y el largo es L como se
muestra en la figura.
h+2
h
L
Figura 7. Pecera que quiere colocar Marcial en el departamentoTomada de:
Dugopolski M. (2006). Intermediate Algebra. fifth edition. Mc Graw Hill. USA. Página 85.
Si sus aristas superiores, laterales e inferiores tienen aluminio ¿qué
expresión algebraica te permite calcular la cantidad de aluminio C que se
uso en las aristas?
Recuerda que el volumen de la pecera se obtiene multiplicando la altura
por el ancho y por el largo, es decir:
V = (h + 2)(h)(L)
70
ABP 2
2. La esposa del profesor Marcial, decidió que la recamara (ver figura)
debe llevar papel tapiz en las paredes, además se sabe que la puerta
(ubicada en uno de los anchos de la recamara) mide de alto x + 2 y
de ancho x + 0.5, que el ventanal mide el largo de la recamara x +
6 + 2x y de alto x + 2.5. Si la altura del departamento es de x + 2.8
Figura8. Recamara que quiere poner la esposa del profesor Marcial.
Tomado
de:http://sites.google.com/a/aequiev.com/inicio/_/rsrc/1235678106001/Home/congreso/xiv
-congreso-nacional-de-enfermer%C3%ADa-quir%C3%BArgica-15-al-18-de-septiembre2009-veracruz-ver/Recamar.jpg
¿Cuál es la expresión algebraica que determina el total de papel tapiz (TPT)
que se necesita?
Sugerencia: utiliza el siguiente modelo de solución
TPT = área de las cuatro paredes menos área de la puerta y menos área
del ventanal
71
ABP 3
La caja de cartón es requerida por
una amplia gama de productos que
van desde frutas y verduras frescas,
productos
manufacturados,
aparatos
electro-domésticos
y
maquinaria industrial, hasta la
transportación tipo semi-granel de
productos en cajones o tolvas. Se
adapta fácilmente y por igual, a
todos los modos de transporte, ya
sea por tierra, mar o aire.
Figura 8. Variedades de cajas
Tomado de: http://www.arquinoias.com/wp-content/uploads/2008/12/cajas-de-carton.jpg
El dueño de una empacadora pide a una empresa constructora de cajas,
que le construyan cajas de cartón sin tapa de medida estándar, para ello
cuenta con láminas de cartón cuadradas de 2,4 m por lado, además solicita
que dichas cajas tengan volumen máximo. El dueño desea saber
¿aproximadamente cuánto tendrá de alto cada caja? y ¿de qué volumen
serán?
Observa las figuras y tómalas como modelo de las cajas a construir
72
Como se desconoce qué cantidad se va a recortar en cada esquina llámala
“x”
Sugerencia: después de hayas calculado la expresión algebraica que
determina el volumen, construye una tabla para valores de x = 0.1, 0.2
73
AUTOEVALUACIÓN
1. Como ya conocemos cuánto mide la arista que representa el ancho (h) y
cuánto mide la arista que representa la altura (h + 2) de la pecera, nos
hace falta saber el valor del largo L. Utilizando la información que
tenemos, sabemos que el volumen es:
V = h3 + 5h2 + 6h sustituyendo en la ecuación V = (h + 2)(h)(L)
tenemos que:
h3 + 5h2 + 6h = (h + 2)(h)(L)
𝐡𝟑 + 𝟓𝐡𝟐 + 𝟔𝐡
(𝐡 + 𝟐)𝐡
(𝐡𝟐 + 𝟓𝐡+𝟔)𝐡
numerador
(𝐡 + 𝟐)𝐡
(𝐡+𝟑)(𝐡+𝟐)𝐡
(𝐡 + 𝟐)𝐡
h+3=L
despejando L
=𝐋
Factorizando h en el numerador
=𝐋
Factorizando el trinomio del
=𝐋
Efectuando la división
Que es largo de la pecera
Debido a que la pecera tiene 4 aristas de altura (h + 2), 4 aristas de ancho
(h) y 4 aristas de largo (h + 3) entonces, la expresión algebraica que
determina la cantidad de aluminio C empleado es:
C = 4(h + 2) + 4(h) + 4(h + 3)
= 4h + 8 + 4h + 4h + 12
= 12h + 20 Que es la expresión algebraica solicitada
2. Para calcular el área del total de papel tapiz TPT que se necesita, primero
determinemos el área de las cuatro paredes de la recamara, las cuales se
obtienen aplicando la fórmula del área de un rectángulo, es decir:
Área de la pared larga = (Largo de la recamara) (altura de la
recamara)
Sabemos que el largo de la recamara mide x + 6 + 2x
Que la altura de la recamara x + 2.8, entonces:
Área de la pared larga = (x + 6 + 2x)( x + 2.8)
= (3x + 6)(x + 2.8)
= 3x2 + 8.4x + 6x + 16.8
= 3x2 + 14.4x + 16.8
Como hay dos paredes largas al resultado obtenido se le multiplica por dos
con lo que obtenemos:
Área de las dos paredes largas = 2(3x2 + 14.4x + 16.8)
= 6x2 + 28.8x + 33.6
74
También debemos calcular el área de las dos paredes cortas, sabiendo que
el ancho de la recamara es x + 6
Área de las dos paredes cortas = 2(x + 6)(x + 2.8)
= 2(x2 + 2.8x + 6x + 16.8)
= 2(x2 + 8.8x + 16.8)
= 2x2 + 17.6x + 33.6
Entonces el área de las cuatro paredes es:
Área de las cuatro paredes = área de las paredes cortas + área de las
paredes largas
= (2x2 + 17.6x + 33.6) + (6x2 + 28.8x + 33.6)
= 8x2 + 46.4x + 67.2
Ahora calculemos el área de la puerta y el área del ventanal.
Área de la puerta = (x + 0.5)(x + 2)
= x2 + 2x + 0.5x + 1
= x2 + 2.5x + 1
Área del ventanal = (x + 6 + 2x)(x + 2.5)
= (3x + 6)(x + 2.5)
= 3x2 + 7.5x + 6x + 15
= 3x2 + 13.5x + 15
Con los resultados obtenidos podemos ahora determinar la expresión
algebraica que representa el total de papel tapiz, empleando el modelo
matemático sugerido.
TPT = área de las cuatro paredes menos área de la puerta, menos área del
ventanal
= 8x2 + 46.4x + 67.2 – (x2 + 2.5x + 1) – (3x2 + 13.5x + 15)
= 8x2 + 46.4x + 67.2 - x2 - 2.5x – 1 - 3x2 - 13.5x – 15
= 4x2 + 30.4x + 51.2
75
Tomemos la figura que se utilizará para construir las cajas y los datos con
los que contamos
x
x
2.4
En la figura podemos observar que la medida de cada lado del cuadrado es
L = 2.4 – 2x
El área de la base de la caja es:
A = L2
= (2.4 – x)2
= 5.76 – 4.8x + x2
Como los dobleces que se le hacen a la caja representan la altura, ésta es
x, entonces el volumen de la caja se obtiene multiplicando el área de la
base por la altura, es decir:
V = A(x)
Sustituyendo A
= (5.76 – 4.8x + x2)x
= 5.76x – 4.8x2 + x3
Para calcular el alto x de cada caja, como puedes observar x no puede
medir 1.2m, ya que la lámina quedaría partida a la mitad.
Construyamos una tabla en la que se muestren diferentes alturas y los
volúmenes respectivos para determinar qué altura nos proporciona el
volumen máximo.
76
Altura
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
Volumen
5.76x – 4.8x2 + x3
5.76(0.1) – 4.8(0.1)2 + (0.1)3 = 0.576 – 4.8(0.01) + 0.001
= 0.529
2
3
5.76(0.2) – 4.8(0.2) + (0.2) = 1.152 – 4.8(.04) + 0.008
= 0.968
2
3
5.76(0.3) – 4.8(0.3) + (0.3) = 1.728 – 4.8(0.09) + 0.027
= 1.323
2
3
5.76(0.4) – 4.8(0.4) + (0.4) = 2.304 – 4.8(0.16) + 0.064
= 1.6
2
3
5.76(0.5) – 4.8(0.5) + (0.5) = 2.88 – 4.8(0.25) + 0.125
= 1.805
2
3
5.76(0.6) – 4.8(0.6) + (0.6) = 3.456 – 4.8(0.36) + 0.216
= 1.944
2
3
5.76(0.7) – 4.8(0.7) + (0.7) = 4.032 – 4.8(0.49) + 0.343
= 2.023
2
5.76(0.8) – 4.8(0.8) + (0.8)3 = 4.608 – 4.8(0.64) +
0.512
= 2.048
2
3
5.76(0.9) – 4.8(0.9) + (0.9) = 5.184 – 4.8(0.81) + 0.729
= 2.025
2
3
5.76(1.0) – 4.8(1.0) + (1.0) = 5.76 – 4.8(1) + 1
= 1.96
2
3
5.76(1.1) – 4.8(1.1) + (1.1) = 6.336 – 4.8(1.21) + 1.331
= 1.859
Con los cálculos realizados se puede mostrar al dueño de la empacadora, la
tabla, en la cual puede visualizar que la altura de cada caja es de 0.8m,
con un volumen de 2.048m3
77
GLOSARIO
Álgebra.- Parte de las matemáticas que utiliza las letras como
representación de los números para generalizar su estudio, sus operaciones
se realizan con letras.
Autoevaluación.- Método que consiste en valorar uno mismo la calidad del
trabajo realizado.
Cociente.- Resultado de una división.
Coeficiente.- Elemento constante que multiplica.
Croquis.- Diseño, dibujo a escala.
Dividendo.- Cantidad que se divide entre otra.
Divisor.- Operador de una división, que indica en cuántas partes iguales va
a ser dividido el dividendo.
Excede.- Superar en tamaño.
Factorización.- Descomponer una expresión algebraica en productos.
Medular.- Lo más esencial.
Núcleo.- Elemento primordial al cual se le agregan otros para formar un
todo.
Perímetro.- Medida del contorno de una figura.
Residuo.- Lo que sobra de una división.
Termino algebraico.- Cada uno de los sumandos de un polinomio.
Variable.- Letra que representa un valor indeterminado.
78
ANEXO 1
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Suma de Polinomios
Para sumar dos polinomios se reducen los términos semejantes, por
ejemplo:
Sumar los polinomios P(x) = 4x2 + 7x – 10
con
Q(x) = 5x – 8x2
–6
P(x) + Q(x) = (4x2 + 7x – 10) + (5x – 8x2 – 6)
= -4x2 + 12x - 16
Resta de Polinomios
Para restar dos polinomios, se le cambia de signo a todos los
términos del sustraendo y se reducen términos semejantes, por
ejemplo.
Restar los polinomios P(x) = 4x2 + 7x – 10
con
Q(x) = 5x –
2
8x – 6
P(x) - Q(x) = (4x2 + 7x – 10) – (5x – 8x2 – 6)
= 4x2 + 7x – 10 - 5x + 8x2 + 6
= 12x2 + 2x - 4
Multiplicación de Polinomios
Para multiplicar dos polinomios primero se multiplica cada monomio
del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio,
después se reducen los términos semejantes, por ejemplo:
Multiplicar los polinomios P(x) = 5x – 9
por
Q(x) = 7x2 – 8x +
7
P(x) Q(x) = (5x – 9)( 7x2 – 8x + 7)
= 5x(7x2 – 8x + 7) – 9(7x2 – 8x + 7)
= 35x3 – 40x2 + 35x – 63x2 + 72x – 63
= 35x3 – 103x2 + 107x– 63
79
División de Polinomios
Para dividir dos polinomios primero se divide el término de mayor
grado del dividendo, entre el término de mayor grado del divisor con
lo que se obtiene el primer término del cociente.
Este término obtenido se multiplica por cada uno de los términos del
divisor y el resultado se le resta al dividendo.
Del nuevo dividendo obtenido, se divide el término de mayor grado
entre el término de mayor grado del divisor obteniéndose el segundo
término del cociente, el cual se multiplica por todos los términos del
divisor y al resultado se le resta del dividendo, este proceso se
continua hasta que el grado del dividendo sea menor que el del
divisor, por ejemplo:
Dividir los polinomios P(x) = 4x3 + 6x2 – 4x + 5 entre
Q(x) = 2x
-4
2x - 4
2x2 + 7x + 12
4x3 + 6x2 – 4x + 5
-4x3 + 8x2
+ 14x2 – 4x + 5
- 14x2 + 28x
24x + 5
- 24x + 48
53
80
ANEXO 2
PRODUCTOS NOTABLES:
Binomio al Cuadrado
El resultado de elevar un binomio al cuadrado es: el cuadrado del primer
término, más o menos dos veces el primer término por el segundo, más el
cuadrado del segundo término.
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x - y)2 = x2 - 2xy + y2
Binomio con Término Común
El resultado de multiplicar dos binomios que tienen un término común es:
el cuadrado del término común, más el producto el término común por la
suma de los dos términos no comunes, más el producto de los términos no
comunes.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Binomios Conjugados
El producto de dos binomios conjugados da como resultado una diferencia
de cuadrados
(x + y)(x - y) = x2 – y2
81
ANEXO 3
FACTORIZACIÓN
Factor Común
Obtener el factor común significa expresar una suma o una resta algebraica
por medio de un producto, por ejemplo:
Factorizar por factor común la expresión a(b) + a(c)
a(b) + a(c) = a(b + c)
Diferencia de Cuadrados
Una diferencia de cuadrados son dos términos elevados al cuadrado y
separados por el signo menos, que al factorizarlos se obtiene como
resultado dos binomios conjugados, por ejemplo:
Factorizar a² - b²
a² - b² = (a - b) (a + b)
Trinomio Cuadrado Perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto tiene tres términos, en donde dos de los
términos están elevados al cuadrado y el otro término es el doble producto
de las raíces de los términos cuadráticos, su factorización es un binomio al
cuadrado, por ejemplo:
Factorizar a² ± 2ab + b²
a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
Trinomio de la forma x2 + bx + c
Para factorizar un trinomio de este tipo, se descompone en dos binomios en
los cuales el primer término de cada uno es la raíz de x2, en el segundo
término de cada binomio se escribe un número, de manera que al sumar los
dos números den como resultado b y que al multiplicarlos den como
resultado c, por ejemplo:
Factorizar el trinomio x2 – 13x - 30
x2 – 13x – 30 = (x – 15)(x + 2)
82
Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Veamos un ejemplo de cómo se factorizan este tipo de trinomios
Factorizar el trinomio 12x2 – 23x + 10
Primero se multiplica el coeficiente del término cuadrático por el término
independiente, es decir:
12(10) = 120
Ahora debemos obtener dos números que multiplicados den 120 y que al
sumarlos se obtenga -23, estos son -15 y -8, ya que
-15 - 8 = -23
y
-15(-8) = -120
Utilizando los números obtenidos reescribamos la ecuación original como:
12x2 – 23x + 10 = 12x2 – 15x – 8x + 10
Agrupando
= (12x2 – 15x) + (– 8x + 10) Factorizando
= 3x(4x – 5) – 2(4x – 5)
Aplicando factor común
= (3x – 2)(4x – 5)
Simplificación de Expresiones algebraicas.
Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por
uno o más factores comunes a ambos, con lo que se obtiene otra fracción
equivalente, por ejemplo:
Simplificar
83
FUENTES DE INFORMACIÓN
Fuentes Consultadas Núcleo temático 1
Barnett, R. (1999). Álgebra. Sexta edición. Mc Graw Hill. México.
Cano, J. Matemáticas 1.ESO, LOE. Bruño. Madrid España.
Cano, J. (2009). Matemáticas 2.ESO, LOE. Bruño. Madrid España.
Cano, J. (2009). Matemáticas 3.ESO, LOE. Bruño. Madrid España.
Cano, J. (2009). Matemáticas 4.ESO, LOE. Bruño. Madrid España.
Colera, J.
España.
(2009). Bachillerato 1. Matemáticas I. Grupo ANAYA. Madrid
Sitio Web Consultado
(Figura de la alfombra)
http://img.decoesfera.com/2007/05/alfombra%20keshan%20carpet%20vis
ta.jpg
Fuentes Recomendadas
¿QUIERES SABER MÁS?
Sobre las operaciones con polinomios consulta la siguiente página y
realiza los ejercicios que se proponen.
http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1068
Fuentes Consultadas Núcleo temático 2
Barnett R. (1999). Álgebra. Sexta edición. McGraw Hill. México.
Randall C. (1999). MIDDLE SCHOOL MATH. Scott Foresman – Addison
Wesley. USA. 1999.
Dugopolski M. (2006). Intermediate Algebra. Fifth Edition. McGraw Hill.
USA.
Colera J.(2009). Bachillerato 1. Matemáticas I. Grupo ANAYA. Madrid
España.
84
Fuentes Recomendadas
¿QUIERES SABER MÁS? Sobre productos notables
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/de
partamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurs
o/tests/identidadesnotables/productos/productos01.htm
Fuentes Consultadas Núcleo temático 3
Barnett R. (1999). Álgebra. Sexta edición. McGraw Hill. México.
Randall C. (1999). MIDDLE SCHOOL MATH. Scott Foresman – Addison
Wesley. USA.
Dugopolski M. (2006). Intermediate Algebra. fifth edition. McGraw Hill.
USA. 2006.
Cano J. (2009). Matemáticas 1.ESO, LOE. Bruño. Madrid España.
Cano J. (2009). Matemáticas 2.ESO, LOE. Bruño. Madrid España.
Cano J. (2009). Matemáticas 3.ESO, LOE. Bruño. Madrid España.
Cano J. (2009). Matemáticas 4.ESO, LOE. Bruño. Madrid España.
Colera J. (2009). Bachillerato 1. Matemáticas I. Grupo ANAYA. Madrid
España.
Fuentes Recomendadas
¿QUIERES SABER MÁS? SOBRE FACTORIZACION
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/de
partamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurs
o/tests/polinomios/factorizacion/factorizacion01.htm
85
Fuentes Consultadas Núcleo temático 4
Barnett R. (1999). Álgebra. Sexta edición. Mc Graw Hill. México.
Campillo H. (1994). DICCIONARIO ACADEMIA AVANZADO. Fernández
Editores. México.
Randall C. (1999). MIDDLE SCHOOL MATH. Scott Foresman – Addison
Wesley. USA.
Dugopolski M. (2006). Intermediate Algebra. fifth edition. Mc Graw Hill.
USA.
Valiente S. (1998). DICCIONARIO DE MATEMÁTICAS. Addison Wesley
Longman. México.
Sitio Web Consultado
http://www.wordreference.com
86